人教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)3.3.2 第二課時(shí) 直線與拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用 課件（共35張PPT）

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第二課時(shí)直線與拋物線的位置關(guān)系及其應(yīng)用

[學(xué)習(xí)目標(biāo)]能用坐標(biāo)方法解決一些與直線和拋物線的位置關(guān)系有關(guān)的簡(jiǎn)單幾何問題．

必備知識(shí)自主探究

關(guān)鍵能力互動(dòng)探究

課時(shí)作業(yè)鞏固提升

問題1類比直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系，你認(rèn)為應(yīng)該研究哪些問題？

問題2怎樣判定直線與拋物線的位置關(guān)系？

問題3如何研究與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題？

[預(yù)習(xí)自測(cè)]

1．已知直線l與拋物線x2＝2py(p>0)只有一個(gè)公共點(diǎn)，則直線l與拋物線的位置關(guān)系為()

A．相交B．相離

C．相切D．相交或相切

解析：由題意可知直線l與拋物線相交或相切．如圖

D

C

3．已知拋物線C：y2＝x，直線l：y＝x－2，直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________.

4．直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則k＝________.

0或1

直線與拋物線的位置關(guān)系

1．直線的斜率存在時(shí)

設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p>0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.

(1)若k≠0，

當(dāng)Δ>0時(shí)，直線與拋物線，有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與拋物線，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)Δ0)．顯然，當(dāng)m0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)．

[例1]求過(guò)點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y2＝2x有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程．

分析：在設(shè)直線方程時(shí)，要注意選擇形式，如果無(wú)法避免討論，要考慮全面．

一般地，點(diǎn)P在拋物線內(nèi)，則過(guò)點(diǎn)P且和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條；點(diǎn)P在拋物線上，則過(guò)點(diǎn)P且和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條；點(diǎn)P在拋物線外，則過(guò)點(diǎn)P且和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有三條．因此，在求過(guò)點(diǎn)P且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程時(shí)要考慮周全，不要出現(xiàn)漏解的情況．另外，在求直線與拋物線的位置關(guān)系時(shí)，對(duì)消元后的方程不要忘記討論二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況．

1.過(guò)點(diǎn)(－1,1)且與拋物線y＝x2＋2有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程為__________________________________．

拋物線的弦長(zhǎng)問題

2.已知點(diǎn)P(1，m)是拋物線C：y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，且|PF|＝2，過(guò)焦點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A，B.

(1)求拋物線C的方程；

(2)若|AB|＝8，求直線l的方程．

與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題

由直線與拋物線相交，利用列出k的方程求解．另由于該類問題與直線斜率及弦中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)，故可利用求k.

根與系數(shù)的關(guān)系

點(diǎn)差法

[例3]已知拋物線y2＝2x，過(guò)點(diǎn)Q(2,1)作一條直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，試求弦AB的中點(diǎn)的軌跡方程．

分析：思路一：利用點(diǎn)差法，設(shè)點(diǎn)作差，要考慮直線的斜率不存在的情況；

思路二：可設(shè)出直線的方程，將其與拋物線方程聯(lián)立，得一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，消參后即可得軌跡方程，同樣要考慮斜率不存在的情況．

解決中點(diǎn)弦問題的方法

(1)解決中點(diǎn)弦問題的基本方法是點(diǎn)差法，因?yàn)橛命c(diǎn)差法求軌跡方程時(shí)用到了斜率，所以必須驗(yàn)證斜率不存在的情況．(2)直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，隱含著條件Δ>0，求y1＋y2及x1＋x2是為利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式做準(zhǔn)備．

3.過(guò)點(diǎn)Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，恰被點(diǎn)Q所平分，求AB所在直線的方程．

1．知識(shí)清單：(1)直線與拋物線的位置關(guān)系．

(2)拋物線的弦長(zhǎng)問題