第二章數(shù)學(xué)模型3課件

二.傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義

列寫傳遞函數(shù)典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)-

傳遞函數(shù)的定義

在零初始條件下，系統(tǒng)或環(huán)節(jié)輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比，稱為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)則輸出的拉氏變換為-傳遞函數(shù)的表示形式多項(xiàng)式形式零極點(diǎn)形式只適用于線性定常系統(tǒng)是在零初始條件下定義的只表示系統(tǒng)的端口關(guān)系輸入輸出之間關(guān)系-傳遞函數(shù)：

是系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模型，也是最常用的數(shù)學(xué)模型。傳遞函數(shù)的定義：在初始條件為零時(shí)，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。即-傳遞函數(shù)的性質(zhì)：

(1)傳遞函數(shù)是描述線性系統(tǒng)或線性元件特性的一種數(shù)學(xué)模型。它和系統(tǒng)或元件的運(yùn)動(dòng)微分方程式一一對(duì)應(yīng)。(2)傳遞函數(shù)反映系統(tǒng)本身的瞬態(tài)特性，只與系統(tǒng)本身參數(shù)、結(jié)構(gòu)有關(guān)，與輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。(3)傳遞函數(shù)不反映系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，不同的物理結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，他們可以具有相同形式的傳遞函數(shù)。具有相同形式的傳遞函數(shù)，從信號(hào)傳輸?shù)慕嵌葋?lái)看，具有相同的瞬態(tài)特性。(4)傳遞函數(shù)，只表明單輸入、單輸出信號(hào)轉(zhuǎn)遞關(guān)系。對(duì)多輸入、多輸出卻要用傳遞函數(shù)陣。(5)傳遞函數(shù)G(s)中的分子和分母是復(fù)變量s的有理多項(xiàng)式。對(duì)于工程系統(tǒng)分母的階次n大于或等于分子的階次m，即n≥m，這是因?yàn)閷?shí)際物理系統(tǒng)總是有慣性的原因造成的。--2.控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

復(fù)數(shù)阻抗（廣義歐姆定律）-電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可直接由復(fù)數(shù)阻抗寫出例：RLC網(wǎng)絡(luò)如圖，試采用復(fù)數(shù)阻抗法求取該網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)。解：傳遞函數(shù)為-由基爾霍夫電壓定律元件約束整理得-例:有源網(wǎng)絡(luò)（比例積分PI）如圖所示，求傳遞函數(shù)。解：-3.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)-一階慣性環(huán)節(jié)

微分環(huán)節(jié)-二階振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)-4.系統(tǒng)傳遞函數(shù)的建立-系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖-結(jié)構(gòu)圖1．結(jié)構(gòu)圖的組成2．結(jié)構(gòu)圖的建立3．結(jié)構(gòu)圖的等效變換4．梅遜公式-1.結(jié)構(gòu)圖的組成信號(hào)線方框比較點(diǎn)引出線-結(jié)構(gòu)圖的建立系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制步驟1)列寫每個(gè)環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)微分方程式。2)由微分方程式求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。3)依據(jù)傳遞函數(shù)畫出相應(yīng)的方框圖。4)按信號(hào)的傳遞關(guān)系將方框圖適當(dāng)?shù)芈?lián)接起來(lái)，便構(gòu)成系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

-結(jié)構(gòu)圖的建立例已知兩級(jí)RC

網(wǎng)絡(luò)如圖所示，作出該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。解：--系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為-為了便于系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)，常常需要對(duì)系統(tǒng)的復(fù)雜的結(jié)構(gòu)圖作等價(jià)變換，或者通過(guò)變換使系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化，求取系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)。因此，結(jié)構(gòu)圖變換是控制理論的基本內(nèi)容。結(jié)構(gòu)圖的化簡(jiǎn)等效變換的原則結(jié)構(gòu)圖的變換應(yīng)按等效原則進(jìn)行。所謂等效，即對(duì)結(jié)構(gòu)圖的任一部分進(jìn)行變換時(shí)，變換前后輸入輸出的數(shù)學(xué)關(guān)系保持不變結(jié)構(gòu)圖的基本組成形式串聯(lián)連接并聯(lián)連接反饋連接-23

等效變換的法則串聯(lián)連接的等效變換

傳遞函數(shù)的串聯(lián)連接，其等效傳遞函數(shù)為這些傳遞函數(shù)的積。上述結(jié)論可以推廣到多個(gè)傳遞函數(shù)的串聯(lián)，即n個(gè)傳遞函數(shù)依次串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個(gè)傳遞函數(shù)的乘積。-24并聯(lián)連接的等效變換傳遞函數(shù)的并聯(lián)連接，其等效傳遞函數(shù)為這些傳遞函數(shù)的和。上述結(jié)論可以推廣到多個(gè)傳遞函數(shù)的并聯(lián)，即n個(gè)傳遞函數(shù)并聯(lián)的等效傳遞函數(shù)，等于n個(gè)傳遞函數(shù)的和。-25反饋連接的等效變換-26比較點(diǎn)（綜合點(diǎn)）和引出點(diǎn)的移動(dòng)

在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化的過(guò)程中，有時(shí)為了便于進(jìn)行方框的串聯(lián)、并聯(lián)或者反饋連接的計(jì)算，需要移動(dòng)比較點(diǎn)或引出點(diǎn)的位置。比較點(diǎn)前后移動(dòng)-27引出點(diǎn)前后移動(dòng)-28注意對(duì)綜合點(diǎn)和分支點(diǎn)進(jìn)行移動(dòng)位置，消除交叉回路。但在移動(dòng)中一定要注意以下幾點(diǎn)：①必須保持移動(dòng)前后信號(hào)的等效性；②相鄰綜合點(diǎn)可以互相換位和合并；③相鄰分支點(diǎn)可以互相換位；④綜合點(diǎn)和分支點(diǎn)之間一般不宜交換位置。

-29

序號(hào)原結(jié)構(gòu)圖等效原結(jié)構(gòu)圖等效法則

1串聯(lián)等效

2并聯(lián)等效

3反饋等效-30

4等效單位反饋5比較點(diǎn)前移6比較點(diǎn)后移7引出點(diǎn)前移

-31

8引出點(diǎn)后移9交換和合并比較點(diǎn)10交換比較點(diǎn)和引出點(diǎn)（一般不采用)11負(fù)號(hào)在支路上移動(dòng)

-G4(s)(-)G2(s)G6(s)(-)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)-33例：試化簡(jiǎn)下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)顯然若不移動(dòng)比較點(diǎn)或引出點(diǎn)的位置就無(wú)法化簡(jiǎn)。H2(s)-34首先將間的引出點(diǎn)后移到方框的輸出端接著將組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化，其等效傳遞函數(shù)為H2(s)H2(s)-35得到圖為然后將組成的內(nèi)反饋網(wǎng)絡(luò)簡(jiǎn)化，其等效傳遞函數(shù)為：

H2(s)/G4(s)H2(s)-36得到圖為最后將求得其傳遞函數(shù)為：H2(s)/G4(s)-37練習(xí)：試化簡(jiǎn)下述系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖，并求傳遞函數(shù)C(s)/R(s)顯然化簡(jiǎn)該結(jié)構(gòu)圖也需要移動(dòng)比較點(diǎn)和引出點(diǎn)，需要注意得是，引出點(diǎn)和比較點(diǎn)之間是不宜隨便移動(dòng)的。因此我們將比較點(diǎn)前移，將引出點(diǎn)后移。得到圖為-38將兩個(gè)比較點(diǎn)合并，并將求出的等效傳遞函數(shù)：得到圖為得到系統(tǒng)等效傳遞函數(shù)：-R(s)ABCD___C(s)例：-ABCD1/AD___R(s)C(s)-R(s)C(s)R(s)C(s)_-G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)__例：-例：化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)圖，求取傳遞函數(shù)--系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：-例兩級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試采用結(jié)構(gòu)圖等價(jià)變換法化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)圖。解：-令-例：化簡(jiǎn)結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)傳函。-x1x4x3x2abc1節(jié)點(diǎn)：用以表示變量或信號(hào)的點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)，用 “o”表示。傳輸：兩節(jié)點(diǎn)間的增益或傳遞函數(shù)稱為傳輸。支路：連接兩節(jié)點(diǎn)并標(biāo)有信號(hào)流向的定向線段 支路的增益即為傳輸。源點(diǎn)：只有輸出支路而無(wú)輸入支路的節(jié)點(diǎn)（與 系統(tǒng)的輸入信號(hào)相對(duì)應(yīng)）。一.信號(hào)流圖的常用術(shù)語(yǔ):信號(hào)流圖信號(hào)流圖是由節(jié)點(diǎn)和支路組成的一種信號(hào)傳遞網(wǎng)絡(luò)。-阱點(diǎn)：只有輸入支路而無(wú)輸出支路的節(jié)點(diǎn)稱為阱點(diǎn)或輸 出節(jié)點(diǎn)，與輸出信號(hào)相對(duì)應(yīng)。混合節(jié)點(diǎn)：既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。通路：沿支路箭頭所指方向穿過(guò)各相連支路的通徑。開通路：如通路與任意節(jié)點(diǎn)相交不多于一次，稱為開通 路。閉通路：如果通路的終點(diǎn)就是通路的起點(diǎn)，而與任何其 它 節(jié)點(diǎn)相交次數(shù)不多于一次，則稱為閉通路或 回路?；芈吩鲆妫夯芈分懈髦穫鬏?shù)某朔e。不接觸回路：回路間沒(méi)有任何共有節(jié)點(diǎn)，則稱其為不接 觸回路。前向通路：從源點(diǎn)到阱點(diǎn)的通路上，通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多 于一次，稱為前向通路，前向通路中各支路 傳輸?shù)某朔e，稱為前向通路增益。-二.信號(hào)流圖的基本性質(zhì)x1x4x3x2abc11．以節(jié)點(diǎn)代表變量，源點(diǎn)代表輸入量，阱點(diǎn)代表輸出量，用混合節(jié)點(diǎn)代表變量或信號(hào)的匯合。在混合節(jié)點(diǎn)處，出支路的信號(hào)等于各支路信號(hào)的疊加。2．以支路表示變量或信號(hào)的傳輸和變換過(guò)程，信號(hào)只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號(hào)流圖中每經(jīng)過(guò)一條支路，相當(dāng)于在方框圖中經(jīng)過(guò)一個(gè)用方框表示的環(huán)節(jié)。3．增加一個(gè)具有單位傳輸?shù)闹罚梢园鸦旌瞎?jié)點(diǎn)化為阱點(diǎn)。4．對(duì)于同一系統(tǒng)，信號(hào)流圖的形式不是唯一的。信號(hào)流圖和方框圖是一一對(duì)應(yīng)的，且可以互相轉(zhuǎn)化。-三.信號(hào)流圖的簡(jiǎn)化X1X2X3X4a1a2a3X1X2X4a1a3a2a3abX1X2X1X2(1)串聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨e;(2)

并聯(lián)支路的總傳輸?shù)扔诟髦穫鬏斨?(3)

混合節(jié)點(diǎn)可以通過(guò)移動(dòng)支路的方法消去;(4)

回路可以根據(jù)反饋連接的規(guī)則化為等效支路。-信號(hào)流圖的繪制

1.由系統(tǒng)微分方程繪制信號(hào)流圖

1）將微分方程通過(guò)拉氏變換，得到S的代數(shù)方程；2）每個(gè)變量指定一個(gè)節(jié)點(diǎn)；3）將方程按照變量的因果關(guān)系排列；4）連接各節(jié)點(diǎn)，并標(biāo)明支路增益。-

1)

用小圓圈標(biāo)出傳遞的信號(hào)，得到節(jié)點(diǎn)。2)用線段表示結(jié)構(gòu)圖中的方框，用傳遞函數(shù)代表支路增益。注意信號(hào)流圖的節(jié)點(diǎn)只表示變量的相加。G(s)C(s)R(s)G1(s)G2(s)H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(-)(a)結(jié)構(gòu)圖(節(jié)點(diǎn))C(s)R(s)G(s)(節(jié)點(diǎn))(支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s)G2(s)-H(s)Y(s)D(s)V(s)11(b)信號(hào)流圖2.由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖繪制信號(hào)流圖-

繪制結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖(1)。Ui(s)Uo(s)I2(s)U(s)IC(s)I1(s)(-)(-)(-)Ui(s)Uo(s)Uo(s)U(s)I2(s)IC(s)-1-1-11/R11/C1s1/C2s1/R2-例

繪制結(jié)構(gòu)圖對(duì)應(yīng)的信號(hào)流圖(2)。-

特征式：

—所有單獨(dú)回路增益之和；

—在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中兩個(gè)回路增益乘積和；

—在所有互不接觸的單獨(dú)回路中，每次取其中三個(gè)回路增益的乘積之和。梅遜公式為：—余因子式，即在信號(hào)流圖中，把與第K條前向通路相接觸的回路去掉以后的Δ值。梅遜增益公式其中：n—從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)之前向通路總數(shù)。Pk—從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的第k條前向通路總增益。-前向通路有兩條：，沒(méi)有與之不接觸的回路：，與所有回路不接觸：

解：三個(gè)回路：RG1G2G3H2-H2-H1CG4例

已知系統(tǒng)信號(hào)流圖，求傳遞函數(shù)?；芈废嗷ゾ佑|，則：-f求傳遞函數(shù)X4/X1及

X2/X1。例

已知系統(tǒng)信號(hào)流圖，解：三個(gè)回路有兩個(gè)互不接觸回路-R(S)11G1-G7-G6-G5G3G2C(S)G4例已知系統(tǒng)信號(hào)流圖，求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。-例設(shè)某系統(tǒng)的方框圖如圖所示，試求其傳遞函數(shù)R(S)11G1G3G2C(S)G4-1-H1-H2CG1G2G3G4---H1H2R--例：三級(jí)RC濾波網(wǎng)絡(luò)如圖所示，求傳遞函數(shù)G(s)。

-獨(dú)立回路5個(gè)解：前向通路1條兩兩不接觸回路6個(gè)-三三不接觸回路特征式余子式傳遞函數(shù)-例：試求取圖示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)解：前向通路3條獨(dú)立回路2個(gè)-例：系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖所示，試求其傳遞函數(shù)解：前向通路4條獨(dú)立回路3個(gè)-閉環(huán)系統(tǒng)控制系統(tǒng)常采用反饋結(jié)構(gòu)，又稱閉環(huán)控制系統(tǒng)。通常，控制系統(tǒng)會(huì)受到兩類外作用信號(hào)的影響。一類是有用信號(hào)，或稱為輸入信號(hào)、給定值、參考輸入等，常用r(t)表示；另一類則是擾動(dòng)，或稱為干擾、噪聲等，常用n(t)表示。通過(guò)對(duì)反饋控制系統(tǒng)建立微分方程模型，直接在零初始條件下進(jìn)行拉氏變換，可求取反饋控制系統(tǒng)的傳函。通過(guò)對(duì)反饋控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化也能求傳函。-反