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數(shù)值積分法仿真第1頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月Overview數(shù)值積分方法的原理是什么?病態(tài)系統(tǒng)的特點(diǎn)和仿真算法選?。克惴ǖ姆€(wěn)定性分析?第2頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)數(shù)字仿真原理在連續(xù)系統(tǒng)的仿真中,數(shù)值積分法可分為兩大類:單步法:以龍格-庫塔法為代表多步法:以Adams法為代表數(shù)值積分法的要素:基本特性:穩(wěn)定性空間特性:精度時(shí)間特性:速度第3頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值積分基本原理連續(xù)系統(tǒng)的仿真,主要是對一階微分方程(組)的求解可見仿真關(guān)鍵是對Qm準(zhǔn)確,快速的求解第4頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月步長:將時(shí)間t離散t(k)(k=1,2,…n),相鄰兩點(diǎn)的距離為步長,即h=t(k+1)-t(k)步進(jìn)法:數(shù)值積分法求近似解根據(jù)初始值y0,按照離散的時(shí)間序列步進(jìn)求解。 t0t1t2t3…tn y0y1y2y3…tn計(jì)算格式:由y(k)計(jì)算出y(k+1)(k=0,1,…,n)的遞推公式。數(shù)值積分基本名詞第5頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值積分的基本性能基本性能數(shù)值積分算法的性能包含:定性特征:穩(wěn)定性時(shí)間粒度:計(jì)算速度空間粒度:計(jì)算精度不同的數(shù)值積分方法的具有不同的穩(wěn)定性。同一個(gè)模型采用不同的積分算法和不同的積分步長h,穩(wěn)定性不同。第6頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月計(jì)算速度和計(jì)算精度各種數(shù)值積分方法的差分方程是對原微分方程的近似逼近,并且因?yàn)橛?jì)算機(jī)的字長有限,存在明顯的截?cái)嗾`差。這些誤差都和計(jì)算步距h密切相關(guān),所以計(jì)算步距是影響計(jì)算精度、速度和穩(wěn)定性的重要因素。h取得較大,計(jì)算時(shí)間少,截?cái)嗾`差大;h取得較小,截?cái)嗾`差就會(huì)減小,但在給定時(shí)間范圍內(nèi),計(jì)算次數(shù)必然增加,使誤差積累增加。第7頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月截?cái)嗾`差、累計(jì)舍入誤差與步長h截?cái)嗾`差、累計(jì)舍入誤差與步長h關(guān)系如圖。圖中可知,兩種誤差對步距的要求是矛盾的,但兩者之和有一個(gè)最小值,步距最好能選在最小值。然而,實(shí)際要做到這一點(diǎn)是很困難的。一般只能根據(jù)經(jīng)驗(yàn)確定一個(gè)合理步長區(qū),通常將步長h限制在系統(tǒng)的最小時(shí)間常數(shù)數(shù)量級上。第8頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月引理:泰勒級數(shù):如果f(x)在x0點(diǎn)處任意階可導(dǎo),則在該鄰域內(nèi)的n階泰勒公式為:第二節(jié)單步法單步數(shù)值積分法的核心就是泰勒級數(shù)的近似。第9頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月2.1一階歐拉法對于一階微分方程故一般的一階歐拉法遞推形式為:第10頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月一階歐拉法圖示第11頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月2.22階龍格-庫塔對于一階微分方程第12頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月2階龍格-庫塔第13頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月2階龍格-庫塔第14頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月2階龍格-庫塔故一般的二階龍格-庫塔法遞推形式為:2階龍格-庫塔只取到泰勒級數(shù)展開式中y的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng),略去了三階以上高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。其截?cái)嗾`差正比于步長h3為紀(jì)念提出該方法的德國數(shù)學(xué)家C.Runge和M.W.Kutta,稱這種計(jì)算方法為二階龍格-庫塔法。第15頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月2階龍格-庫塔圖示第16頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月比較第17頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月高階龍格-庫塔(RK-4)一般在計(jì)算精度要求較高的情況下,多使用四階龍格-庫塔法。其計(jì)算公式為,其截?cái)嗾`差正比于步長h5第18頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月高階龍格-庫塔(RK-4)第19頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月單步法的特點(diǎn)單步法以上介紹的幾種數(shù)值積分公式,有一個(gè)共同的特點(diǎn),由于采用了泰勒級數(shù)展開,在本次計(jì)算中,僅僅用到前一步的計(jì)算結(jié)果,而不需要利用更前面各步的結(jié)果。這類計(jì)算方法稱為單步法。單步法運(yùn)算有下列優(yōu)點(diǎn):(1)需要存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量少,占用的存儲(chǔ)空間少。(2)給定初值,就可啟動(dòng)遞推公式進(jìn)行運(yùn)算(自啟動(dòng)計(jì)算能力)(3)容易實(shí)現(xiàn)變步長第20頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)變步長龍格-庫塔法步長控制是實(shí)現(xiàn)高精度的仿真算法的手段之一。實(shí)現(xiàn)步長控制涉及:局部誤差估計(jì)步長控制策略第21頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.1誤差估計(jì)通常設(shè)法尋找一個(gè)低一階的龍格-庫塔公式,兩者的結(jié)果之差可以設(shè)為誤差。為減少計(jì)算量,Ki通常要求公用。Runge-Kutta-Merson法(RK34)第22頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月Runge-Kutta-Fehlberg(RK45)計(jì)算公式為5階6級,誤差估計(jì)低階公式為4階五級,具有四階誤差估計(jì)和五階精度,稱為RK45法。RK45被公認(rèn)為對非病態(tài)系統(tǒng)仿真的最有效的方法之一。第23頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月Runge-Kutta-Fehlberg(RK45)iaibijcic*i1016/13525/21621/41/40033/83/329/326656/128251408/2565412/131932/2197-7200/21977296/219728561/564302197/410451439/216-83680/513-847/4104-9/50-1/561/2-8/272-3544/25661859/4104-11/402/550第24頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月RKF-12第25頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月RKS-34(1978,Shamping)第26頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.2步長控制步長控制策略一般分為:1)加倍-減半法2)最優(yōu)步長法第27頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月步長控制:加倍-減半法加倍-減半法第28頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月步長控制:最優(yōu)步長法第29頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月1.2.2步長控制第30頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月龍格-庫塔方法的一般形式各種龍格-庫塔法的公式都由兩部分組成,一個(gè)是上一步結(jié)果,另一個(gè)是步長乘以各點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的加權(quán)和。平均斜率第31頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)線性多步法單步法運(yùn)算基于泰勒級數(shù)展開法,其特點(diǎn)是:(1)需要存儲(chǔ)的數(shù)據(jù)量少,占用的存儲(chǔ)空間少。(2)給定初值(t0,y0),就可啟動(dòng)遞推公式進(jìn)行運(yùn)算(自啟動(dòng)計(jì)算能力。(3)容易實(shí)現(xiàn)變步長積分。可有效平衡計(jì)算速度和精度之間的矛盾。多步法的基本原理是多項(xiàng)式擬合利用一個(gè)多項(xiàng)式取匹配變量的若干已知值和各階導(dǎo)數(shù)。第32頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月線性多步法原理第33頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.1預(yù)報(bào)公式第34頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.1預(yù)報(bào)公式第35頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.1預(yù)報(bào)公式第36頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月預(yù)報(bào)舉例第37頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.2校正公式第38頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.2校正公式第39頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.2校正公式第40頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月預(yù)報(bào)-校正舉例第41頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月預(yù)報(bào)-校正舉例第42頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.3Adams公式根據(jù)前面的分析,我們可以將預(yù)報(bào)和校正公式統(tǒng)一寫成:第43頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月顯式Adams系數(shù)第44頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月隱式Adams系數(shù)第45頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月3.4多步法的特點(diǎn)與單步法相比,相同精度下,使用過去多步信息,計(jì)算量小。隱式法的精度高,穩(wěn)定性好,但在計(jì)算y(n+k)時(shí)需要用到f[y(n+k),t(n+k)],只能采用迭代法計(jì)算。缺點(diǎn)之一是不能自啟動(dòng),需用單步法計(jì)算初始值才能啟動(dòng)計(jì)算。第46頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月第四節(jié)積分算法的穩(wěn)定性穩(wěn)定的系統(tǒng)采用不同的積分算法,其穩(wěn)定性不同穩(wěn)定性的測試公式為:當(dāng)?shù)?7頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月4.1一階Adams法的穩(wěn)定性分析第48頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月一階Adams法的穩(wěn)定性分析第49頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月4.2一般算法的穩(wěn)定性分析根據(jù)上例可得數(shù)值積分方法穩(wěn)定域的一般方法。 設(shè)系統(tǒng)測試方程為: 而數(shù)值積分公式為: 只有當(dāng)時(shí),算法穩(wěn)定。各種數(shù)值積分算法的穩(wěn)定域參見書P96圖3.9第50頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月主要算法的穩(wěn)定性一階、二階Admas法為恒穩(wěn)算法,其他算法條件穩(wěn)定。除恒穩(wěn)法外,其他算法的步長h必須限制在最小時(shí)間的數(shù)量級對龍格-庫塔法,階次k增大,穩(wěn)定域略微增大。對Admas法,階次k增大,穩(wěn)定域反而縮小。第51頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)Matlab實(shí)現(xiàn)ODE(OrdinaryDifferentaialequation)解法模型描述算法描述算法仿真第52頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月微分方程模型描述Lorenz曲線filename:mdLorenz.m
functiondx=mdLorenz(t,x)dx=[-8/3*x(1)+x(2)*x(3);-10*x(2)+10*x(3);-x(1)*x(2)+28*x(2)-x(3)];end第53頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值積分算法描述matlab中的數(shù)值積分算法函數(shù)的格式如下:function[tout,yout]=solver(ModelName,tspan,x0,option)第54頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值積分算法描述%一階Euler算法,filename:svEulerfunction[tout,yout]=svEuler(odeFcn,tspan,y0)t0=tspan(1);t1=tspan(2);iflength(tspan)<3,h=(t1-t0)/1000;elseh=tspan(3);tout=[t0:h:t1]';N=length(y0);M=length(tout)-1;tout=[t0:h:t1]';yout=[y0';zeros(M,N)];fori=1:Mk1=h*feval(odeFcn,tout(i),y0);y0=y0+k1;yout(i+1,:)=y0';endend第55頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月數(shù)值積分算法描述function[tout,yout]=svRungeKutta4(odeFcn,tspan,y0)t0=tspan(1);t1=tspan(2);iflength(tspan)<3,h=(t1-t0)/1000;elseh=tspan(3);tout=[t0:h:t1]';N=length(y0);M=length(tout)-1;tout=[t0:h:t1]';yout=[y0';zeros(M,N)];fori=1:Mk1=h*feval(odeFcn,tout(i),y0);k2=h*feval(odeFcn,tout(i)+h/2,y0+0.5*k1);k3=h*feval(odeFcn,tout(i)+h/2,y0+0.5*k2);k4=h*feval(odeFcn,tout(i)+h,y0+k3);y0=y0+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;yout(i+1,:)=y0';endend第56頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月微分方程模型描述在Matlab文件中調(diào)用方法為:[t,y]=svEuler(@eqLorenz,[0,100],x0);第57頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月ode45ODE45Solvenon-stiffdifferentialequations,mediumordermethod.[TOUT,YOUT]=ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0)withTSPAN=[T0TFINAL]integratesthesystemofdifferentialequationsy'=f(t,y)fromtimeT0toTFINALwithinitialconditionsY0.ODEFUNisafunctionhandle.ForascalarTandavectorY,ODEFUN(T,Y)mustreturnacolumnvectorcorrespondingtof(t,y).EachrowinthesolutionarrayYOUTcorrespondstoatimereturnedinthecolumnvectorTOUT.ToobtainsolutionsatspecifictimesT0,T1,...,TFINAL(allincreasingoralldecreasing),useTSPAN=[T0T1...TFINAL].第58頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月ode45ODE45Solvenon-stiffdifferentialequations,mediumordermethod.
[TOUT,YOUT]=ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0,OPTIONS)solvesasabovewithdefaultintegrationpropertiesreplacedbyvaluesinOPTIONS,anargumentcreatedwiththeODESETfunction.SeeODESETfordetails.Commonlyusedoptionsarescalarrelativeerrortolerance'RelTol'(1e-3bydefault)andvectorofabsoluteerrortolerances'AbsTol'(allcomponents1e-6bydefault).Ifcertaincomponentsofthesolutionmustbenon-negative,useODESETtosetthe'NonNegative'propertytotheindicesofthese第59頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月ode45ODE45Solvenon-stiffdifferentialequations,mediumordermethod.
ODE45cansolveproblemsM(t,y)*y'=f(t,y)withmassmatrixMthatisnonsingular.UseODESETtosetthe'Mass'propertytoafunctionhandleMASSifMASS(T,Y)returnsthevalueofthemassmatrix.Ifthemassmatrixisconstant,thematrixcanbeusedasthevalueofthe'Mass'option.IfthemassmatrixdoesnotdependonthestatevariableYandthefunctionMASSistobecalledwithoneinputargumentT,set'MStateDependence'to'none'.ODE15SandODE23Tcansolveproblemswithsingularmassmatrices.第60頁,課件共63頁,創(chuàng)作于2023年2月ode45
ODE45Solvenon-stiffdifferentialequations,mediumordermethod.Example[t,y]=ode45(@vdp1,[020],[20]);plot(t,y(:,1));solvesthesystemy'=vdp1(t,y),usingthedefaultrelativeerrortolerance1e-3andthedefaultabsolutetoleranceof1e-6foreachcomponent,andplotsthefirstcomponentofthesolution.
ClasssupportforinputsTSPAN,Y0,andtheresultofODEFUN(T,Y):float:double,single
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