數(shù)學建模方法之概率統(tǒng)計分析法

數(shù)學建模方法之概率統(tǒng)計分析法第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析因子模型馬氏鏈模型統(tǒng)計回歸模型排隊論模型概率模型第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第一篇主成分分析在實際經(jīng)濟工作中，我們經(jīng)常碰到多變量或多指標問題，例如，企業(yè)經(jīng)濟效益的評價，地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展情況比較。由于變量或指標較多，且變量或指標之間存在一定的相關(guān)性，人們自然希望用較少的變量或指標代替原來較多的變量或指標，而且可盡量保存原有信息，利用這種降維的思想產(chǎn)生了主成分分析方法第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析法：就是設(shè)法將原來的具有一定相關(guān)性的變量或者指標，重新組成一組新的相互無關(guān)的少數(shù)幾個綜合變量或指標，以此代替原來的變量或指標。簡單的說就是降維。應(yīng)用：綜合評價（系統(tǒng)評估）第4頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例：對我國上市公司的經(jīng)濟效益進行綜合評判。

上市公司資金利稅率x1產(chǎn)值利稅率x2百元銷售成本利潤x3百元銷售收入利稅x4流動資金周轉(zhuǎn)次數(shù)x5主營利潤增長率x6qinghua5.418.052.092.431.307.51beida7.218.544.515.261.4310.44hualian8.389.524.275.071.7010.49xinya6.319.973.634.591.297.21yanzhong8.971.431.731.181.105.22shuiyun3.746.470.330.390.985.24cengxin3.635.79-1.09-1.291.174.71qingshan14.475.977.621.371.2010.56pudong8.188.203.414.011.7512.13第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析步驟：1.將數(shù)據(jù)標準化，標準化后的數(shù)據(jù)矩陣仍記X陣。2.求矩陣X的相關(guān)系數(shù)陣3.求R的全部特征根i及相應(yīng)的特征向量()。4.根據(jù)前k個主分量累計貢獻率大?。ā疲?，確定主成分（因子）個數(shù)。根據(jù)具體指標內(nèi)容和指標變量系數(shù)大小解釋主成分含義。用每個主成分的貢獻率作權(quán)數(shù)，給出多指標綜合評價值。第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

EigenvaluesoftheCorrelationMatrixEigenvalueDifferenceProportionCumulative14.047670163.037348020.67460.674621.010322140.302483690.16840.843030.707838450.553001900.11800.961040.154836550.100373280.02580.986850.054463270.029593850.00910.995960.024869420.00411.0000第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月ObsPrin1Prin2Prin3Prin4Prin5Prin61-0.38118-0.32367-0.044500.303630.004300.0643720.57795-0.354160.492790.55119-0.187260.1741430.69219-0.215880.405570.40041-0.104610.0539340.22635-0.394190.275210.632960.13851-0.064815-0.82981-0.402930.47330-0.42964-0.55401-0.350206-1.19410-0.40627-0.368480.140000.022210.010637-1.63568-0.26394-0.67179-0.151890.01702-0.0376980.95195-0.461561.61851-0.925200.083940.2553090.46501-0.148880.190700.16273-0.303270.2088310-1.45693-0.18670-0.55658-0.17088-0.10267-0.0092211-0.294013.71727-0.02727-0.02382-0.064190.03517120.080410.225421.716940.127180.45539-0.2666813-2.11628-0.16312-0.90179-0.167840.14422-0.0333414-0.94513-0.31477-0.395130.097600.11375-0.03132156.74015-0.06989-1.12895-0.166180.04080-0.1139416-0.88090-0.23673-1.07853-0.380250.295890.10482第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月用于系統(tǒng)評估的方法：關(guān)鍵問題是如何科學的客觀地將一個多指標問題轉(zhuǎn)化為單指標問題第一種方法：用第一主成分得分y=F1.

必須要求：所有系數(shù)均為正第二種方法：將主成分F1,F2,Fm進行線性組合,系數(shù)為方差貢獻率第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

yidiyizhuchengfenpaixv13:30Saturday,July17,199935

namePrin1x1x2x3x4x5x6

laigang-2.116282.175.70-2.11-2.571.343.21cengxin-1.635683.635.79-1.09-1.291.174.71xinbai-1.456934.275.35-0.71-0.831.385.68shuiyun-1.194103.746.470.330.390.985.24guangsha-0.945134.657.800.530.651.185.82chanhong-0.880905.6510.63-0.92-1.191.088.84yanzhong-0.829818.971.431.731.181.105.22Qinghua-0.381185.418.052.092.431.307.51guoji-0.294018.078.690.730.8910.7510.16zonghang0.080419.666.276.692.633.051.64xinya0.226356.319.973.634.591.297.21pudong0.465018.188.203.414.011.7512.13beida0.577957.218.544.515.261.4310.44hualian0.692198.389.524.275.071.7010.49qingshan0.9519514.475.977.621.371.2010.56xiaxin6.7401525.9533.526.9615.381.5136.89

第11頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月統(tǒng)計軟件SAS(關(guān)于主成分分析）數(shù)據(jù)的輸入（介紹兩種方法）

data數(shù)據(jù)名（haimen);inputname$x1x2x3x4x5x6;card;qinghua50122run;

外部文件轉(zhuǎn)化為SAS數(shù)據(jù)集：已知c盤根目錄下文件名test.dat為的數(shù)據(jù)文件張三男82956478data數(shù)據(jù)名（chengji);infile‘c:\test.dat’;inputname$sex$chinesemathsenglishchemisty;run;

第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月主成分分析Procprincompn=6out=out1;varx1-x6;run;procprintdata=out1;varprin1-prin6;run;第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)據(jù)預處理一致性處理：越大越差、越大越好歸一化處理（去量綱）：

(x-max(xi))/極差，x/max(xi),

標準化處理（x-均值）/方差第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第二篇因子模型因子分析是統(tǒng)計中一種重要的分析方法，他的主要特點在于能探索不易觀測或不能觀察的潛在因素。它在社會調(diào)查、氣象、地質(zhì)等方面有廣泛應(yīng)用。第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月若有n個學生，每個學生考五門課，考試成績反映了學生的素質(zhì)和能力，理解能力，邏輯能力，記憶能力，對文字符號概念的反應(yīng)速度，能否從學生的學習成績?nèi)ふ页龇从尺@些能力的量。第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月因子模型為:其中：為原指標,稱為的公共因子或潛因子,為的特殊因子可將上式寫成矩陣表示形式：稱為因子載荷陣

第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月因子分析步驟：前四步驟與主成分步驟相同，在此略。5.求初始因子載荷陣A。6.若公因子的含義不清楚，不便于實際解釋時，將初始因子陣作旋轉(zhuǎn)處理，直到達到要求。7.根據(jù)因子載荷大小說明因子具體含義。將因子表示成原指標變量線性組合，估計因子得分。用每個因子的貢獻率作權(quán)數(shù)，給出多指標綜合評價值。第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月因子載荷陣的統(tǒng)計意義模型中載荷矩陣中的元素稱為因子載荷。因子載荷是與的協(xié)方差，也是與的相關(guān)系數(shù)，它表示依賴的程度?？蓪⒖醋鞯趇個變量在第j個公共因子上的權(quán)，的絕對值越大，表明與的相依程度越大，或稱公共因子對于的載荷量越大。為了得到因子分析結(jié)果的經(jīng)濟解釋，因子載荷矩陣A中有兩個統(tǒng)計量十分重要，即變量共同度和公共因子的方差貢獻。第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月變量共同度因子載荷矩陣中第i行元素之平方和記為，即，稱為變量的共同度。它是全部公共因子對的方差所做出的貢獻，反映了全部公共因子對變量的影響。越大表明對于F的每一分量的共同依賴程度大。第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

公共因子的方差貢獻將因子載荷矩陣的第j列的各元素的平方和記為，即，稱為公共因子對x的方差貢獻。就表示第j個公共因子對于的每一分量所提供方差的總和，它是衡量公共因子相對重要性的指標。越大，表明公共因子對x的貢獻越大,如果將因子載荷矩陣的所有都計算出來，使其按照大小排序，就可以依此提煉出最有影響力的公共因子。第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月因子載荷陣A（主成分法）一般設(shè)為樣本相關(guān)陣R的特征根，為對應(yīng)的標準正交化特征向量。則因子載荷陣A的一個解為：

第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月因子旋轉(zhuǎn)建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子，更重要的是知道每個公共因子的意義，以便對實際問題進行分析。如果求出主因子解后，各個主因子的典型代表變量不很突出，我們就可以利用因子載荷陣的不唯一性這一特點對得到的因子模型進行旋轉(zhuǎn)使得變換后的公共因子和載荷陣有明顯的實際意義。最常用的方法是最大方差正交旋轉(zhuǎn)法(Varimax)。進行因子旋轉(zhuǎn)，就是要使因子載荷矩陣中因子載荷的平方值向0和1兩個方向分化，使大的載荷更大，小的載荷更小。接近于1的表明公因子與的相關(guān)性很強，在很大的程度上解釋了的變化；接近于0的表明與的相關(guān)性很弱。。第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例：對我國上市公司的經(jīng)濟效益進行因子分析Procfactormethod=principaln=2rotate=varinmaxall;Varx1-x6;Run;第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月Factor1=0.95056x1+0.89158x2+0.75108x3+0.9565x4+0.24829x5+0.9247x6Factor2=0.0091x1-0.30529x2+0.49587x3-0.01446x4+0.89379x5-0.34281x6第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月馬氏鏈模型：系統(tǒng)在每個時期所處的狀態(tài)是隨機的，且這個時期到下個時期的狀態(tài)按照一定的概率進行轉(zhuǎn)移，并且下個時期的狀態(tài)只取決于這個時期的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率，與以前無關(guān)，此稱為馬氏性或無后效性。具有此種性質(zhì)的隨機序列稱為馬氏鏈。

馬氏鏈模型在經(jīng)濟學、社會學、生態(tài)學、遺傳學等許多領(lǐng)域有著廣泛地應(yīng)用。第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)隨機序列{X(n),n=0,1,2,···}的離散狀態(tài)空間E為{1,2,···}，下面定義馬爾科夫鏈。定義1設(shè)隨機序列{X(n),n=0,1,2,···}的離散狀態(tài)空間為E，若對于任意m個非負整數(shù)和任意自然數(shù)k，以及任意，滿足

=

則稱{X(n),n=0,1,2,···}為馬爾科夫鏈。第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)馬氏鏈模型數(shù)學表述馬氏鏈：設(shè)隨機變量序列，其狀態(tài)空間，若則隨機變量序列稱為馬氏鏈轉(zhuǎn)移概率（比例頻率）時齊的齊次的第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)：鋼琴銷售的存儲策略一家商店根據(jù)以往的經(jīng)驗，知道平均每周只能售出1架鋼琴，先在經(jīng)理制定的存儲策略為：每周末檢查庫存量，僅當庫存量為零時，才定購三架鋼琴以供下周銷售；否則，不定購。試估計在這種策略下失去銷售機會的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少？第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)基因遺傳生物的外部表征是由生物體內(nèi)相應(yīng)的基因決定，基因分優(yōu)勢基因和劣勢基因兩種，分別用d和r表示，則有三種基因類型，即

D(dd)H(dr)R(rr)

優(yōu)種混種劣種第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月生物繁殖時，一個后代隨機的繼承父親兩個基因中的一個，母親兩個基因中的一個，形成自己的基因

所以父母的基因類型就以一定的概率決定了每一后代的基因類型。父母基因后代基因DDRRDHDRHHHRD10?0?000?1??0100??HR第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

隨機交配、近親繁殖

假設(shè)在某一生物群體中雄性與雌性的比例是相等的，且在雄性中D,H,R的比例與在雌性中D,H,R的比例相等。第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機交配：對每一個雌性（或雄性）個體，都以D,H,R的數(shù)量比例為概率，與一個雄性（或雌性）個體交配，后代按照前述規(guī)則形成他的基因類型設(shè)D(dd)：H(dr)：R(rr)=a:2b:c

且a+2b+c=1

記p=a+b,q=b+c,則群體中優(yōu)勢基因d與劣勢基因r的數(shù)量比例為d:r=p:q

且p+q=1

第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月轉(zhuǎn)移矩陣第35頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月