曲線的標準展開

曲線的標準展開第1頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月一．曲線的局部規(guī)范形式按照Taylor展開式的基本思想，曲線的位置向量函數(shù)在所指定的任意點鄰近都可以用適當次數(shù)的多項式向量函數(shù)來逼近．對于C3弧長s參數(shù)化曲線C:r

r(s)，任取其上一點P0:r(s0)，不妨設(shè)s0

0，則有Peano余項形式的Taylor展開式

其中余項o(s3)是s3的高階無窮小向量．若C無逗留點，則上式可用Frenet標架表出．事實上，記{r(0);T(0),N(0),B(0)}{r0;T0,N0,B0},(0)

0,(0)

0，則易知有第2頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月一．曲線的局部規(guī)范形式對于C3弧長s參數(shù)化曲線C:r

r(s)，任取其上一點P0:r(s0)，不妨設(shè)s0

0，則有Taylor展開式若C無逗留點，則上式可用Frenet標架表出．事實上，記{r(0);T(0),N(0),B(0)}{r0;T0,N0,B0},(0)

0,(0)

0，則易知有(5.2)r

(0)

T0,r

(0)

0N0，

r

(0)

(0)N0

0[0T0

0B0]．此式說明：通過對線性無關(guān)向量組{r

(s),r

(s),r

(s)}進行規(guī)范的Schmidt正交化，所得到的標準單位正交基實際上就是Frenet標架基向量組{T(s),N(s),B(s)}．第3頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月一．曲線的局部規(guī)范形式對于C3弧長s參數(shù)化曲線C:r

r(s)，任取其上一點P0:r(s0)，不妨設(shè)s0

0，則有Taylor展開式若C無逗留點，則(5.2)r

(0)

T0,r

(0)

0N0，

r

(0)

(0)N0

0[0T0

0B0]．取{r0;T0,N0,B0}為E3的一個新的單位正交右手標架，所建立的新直角坐標系坐標記為(x*,y*,z*)，

則此時曲線C的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為r*

r*(s)(x*(s),y*(s),z*(s))

x*(s)T0+y*(s)N0+z*(s)B0

其中r*(s)r(s)r0．第4頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月一．曲線的局部規(guī)范形式由此，將(5.2)式代入(5.1)式，C的分量形式即為(5.2)r

(0)

T0,r

(0)

0N0,

r

(0)

(0)N0

0[0T0

0B0]．r*

r*(s)r(s)r0

(x*(s),y*(s),z*(s))

x*(s)T0+y*(s)N0+z*(s)B0．第5頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月一．曲線的局部規(guī)范形式其中余項ox*(s3),oy*(s3),oz*(s3)分別是s3的高階無窮小.此式稱為曲線C在點P0處的標準展開或局部規(guī)范形式，或稱為Bouquet公式．對于撓曲線，其局部規(guī)范形式的主要部分確定了一條三次多項式曲線——曲線C

在

P0點的局部近似曲線：C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．第6頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月二．曲線的局部近似曲線撓曲線C

在

P0點的局部近似曲線

C*:

`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．直接計算表明，其位置向量的導數(shù)在

P0點與曲線C具有相同的取值．進一步，曲線C*與曲線C

在

P0點具有相同的Frenet標架以及相同的曲率值和撓率值（習題）；這說明它們的幾何行為在

P0點附近也是很接近的——在

P0點的局部近似．注意：曲線C*與曲線C

的弧長參數(shù)并不一定一致（習題），只是上述各取值相同之處一定包含著所考慮的點

P0

而已．第7頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月二．曲線的局部近似曲線但無論如何，從逼近的角度去看，近似曲線的局部形狀已經(jīng)足以反映出原有撓曲線的局部形狀．為觀察近似曲線

C*在

P0點附近的圖形，可以通過觀察其向Frenet標架坐標面上的投影曲線的圖形而進行，從而得到其基本特征．撓曲線C

在

P0點的局部近似曲線

C*:

`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．曲線C*與曲線C

的弧長參數(shù)并不一定一致．第8頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線的局部近似圖形向密切平面上的投影曲線為拋物線C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．為觀察近似曲線

C*在

P0點附近的圖形，可以通過觀察其向Frenet標架坐標面上的投影曲線的圖形而進行，從而得到其基本特征．第9頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線的局部近似圖形向從切平面的投影曲線為立方拋物線向法平面的投影曲線為半立方拋物線C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．第10頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月曲線的局部近似圖形后面二者的平面圖形走向顯然與撓率的符號有關(guān)；其立體投影圖形也可以仿照圖2-8做出（自己練習）．類似于圖2-7所示的局部情形，當0>0時，近似曲線和原曲線都是從密切平面“下方”“右旋上升”穿過法平面和密切平面而去．C*:`r*(s)(s,(0/2)s2,(00/6)s3)．第11頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月圖2-9示意了當0<0時，近似曲線和原曲線都是從密切平面“上方”“右旋下降”穿過法平面和密切平面而去．此時曲線的局部基本狀況分別類似于右旋上升的圓柱螺線和右旋下降的圓柱螺線．并且主法向量總是指向原曲線和近似曲線“凹”的一側(cè)，曲線局部也總是落在這一側(cè)．曲線的局部近似圖形當0>0時，近似曲線和原曲線都是從密切平面“下方”“右旋上升”穿過法平面和密切平面而去．第12頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月三．曲線的切觸為了比較兩條曲線在某個局部的接近程度，通常為了方便而將所考慮的一對對應(yīng)點視為兩條曲線的公共點．如果還想知道這兩條曲線的位置差異程度，那么，引進所謂切觸及其階數(shù)的概念將是方便的．設(shè)相交于點P0的曲線

C:r(s)和曲線

C*:r*(s)同時以s為弧長參數(shù)，并且不妨設(shè)

OP0

r(s0)

r*(s0)，則兩條曲線上的點的對應(yīng)關(guān)系規(guī)定為取相同的參數(shù)值，幾何意義即為對應(yīng)點到公共交點P0的弧段具有相同的有向長度．此時，對應(yīng)點之間在E3中的距離若為它們到交點P0的弧段長度的高階無窮小，則稱兩條曲線

C和C*在點P0

切觸.第13頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月三．曲線的切觸比較兩條曲線在某個局部的接近程度．設(shè)

C:r(s)和C*:r*(s)同時以s為弧長參數(shù)，并且OP0

r(s0)

r*(s0)，點的對應(yīng)關(guān)系規(guī)定為取相同的參數(shù)值；對應(yīng)點之間在E3中的距離若為它們到交點P0的弧段長度的高階無窮小，即則稱兩條曲線

C和C*在點P0

切觸.若正整數(shù)

n

使則稱兩條曲線

C和C*在點P0有

n

階切觸（或n

階密切）．第14頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月三．曲線的切觸(5.3)式和(5.4)式說明撓曲線及其近似曲線有至少二階切觸．從(5.1)式和(5.2)式還可以看到，相切的兩條曲線若在切點具有相同的非零曲率值和相同的有向密切平面，則它們在切點有至少二階切觸．第15頁，課件共16頁，創(chuàng)作于2023年2月三．曲線的切觸(5.3)