數(shù)據(jù)的插值與逼近

數(shù)據(jù)的插值與逼近第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月第二節(jié)數(shù)據(jù)的最小二乘逼近最小二乘逼近理論1利用Matlab實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近2第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、最小二乘逼近理論最小二乘逼近的定義插值所需的數(shù)據(jù)往往來源于觀察測量，本身有一定的誤差。要求插值曲線通過這些本身有誤差的點(diǎn)，勢必使結(jié)果更加不準(zhǔn)確。另外，如果由試驗(yàn)提供的數(shù)據(jù)量比較大，又容易使得插值多項式的次數(shù)過高而效果不理想。所以在對離散數(shù)據(jù)建立模型時，并不需要函數(shù)曲線一定要插值所有給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)。，在取定的函數(shù)類中，求定義1.對給定數(shù)據(jù)即，使誤差，的平方和最小，函數(shù)稱為最小二乘解，求的方法稱為最小二乘逼近。

第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、最小二乘逼近理論對離散數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行最小二乘逼近首先要確定的是用什么類型的函數(shù)作為模型，然后通過計算求得該類函數(shù)中的參數(shù)。按照求解參數(shù)在最小二乘逼近解中的地位，最小二乘分為線性最小二乘逼近和非線性最小二乘逼近。例如：線性最小二乘逼近非線性最小二乘逼近線性最小二乘逼近的求解比非線性最小二乘逼近容易，一定條件下，非線性最小二乘逼近可以轉(zhuǎn)化為線性最小二乘逼近。第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、最小二乘逼近理論線性最小二乘逼近第一步:先選定一組函數(shù)r1(x),r2(x),…rm(x),m<n,令f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)（1）其中a1,a2,…am

為待定系數(shù)。第二步:確定a1,a2,…am

的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）：使n個點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離i的平方和最小。記

問題歸結(jié)為，求

a1,a2,…am

使J(a1,a2,…am)

最小。第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、最小二乘逼近理論將J(a1,a2,…am)看作是a1,a2,…am的m元函數(shù)。最小二乘問題就是這個m元函數(shù)的最小值問題，由極值的必要條件：得：其中：該方程組的解就是最小二乘問題的解第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、最小二乘逼近理論線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函數(shù){r1(x),…rm(x)}的選取

1.通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…n作圖，通過直觀判斷確定f(x)：可化為線性最小二乘第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、最小二乘逼近理論非線性最小二乘逼近如果要用非線性模型對離散數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘逼近，一般的方法是將其線性化，然后求解線性化以后的最小二乘逼近問題?？删€性化的非線性最小二乘逼近（線性化后為）第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月一、最小二乘逼近理論可線性化的非線性最小二乘逼近（線性化后為）第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近利用MATLAB實(shí)現(xiàn)多項式最小二乘逼近在MATLAB中，要利用多項式f(x)=a1xm+…+amx+am+1對離散數(shù)據(jù)進(jìn)行線性擬合,可利用命令：a=polyfit(x,y,m)輸出擬合多項式系數(shù)a=[a1,…am,

am+1](數(shù)組)）輸入同長度的數(shù)組X，Y擬合多項式次數(shù)要計算多項式在x處的值y可用以下命令計算：

y=polyval（a，x）第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近例1：對下面一組數(shù)據(jù)作二次多項式擬合x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線的圖形第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近2）計算結(jié)果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317原始數(shù)據(jù)及擬合曲線第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近下面在更多點(diǎn)比較2次和10次最小二乘逼近多項式的逼近效果?xi=linspace(0,1,100);%x-axisdataforplotting?z=polyval(p,xi);?xi=linspace(0,1,100);%x-axisdataforplotting?z=polyval(p,xi);?pp=polyfit(x,y,10);?zz=polyval(pp,xi);%evaluate10thorderpolynomial?plot(x,y,'o',xi,z,':',xi,zz)%plotdata?xlabel(‘x’)；ylabel(‘y=f(x)’)；?title('2ndand10thOrdercurveFitting')；第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近2次和10次最小二乘多項式逼近效果比較第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近利用MATLAB實(shí)現(xiàn)非線性最小二乘逼近對于非線性最小二乘逼近，在Matlab中有兩種途徑解決：(1)如果模型可以線性化，可先線性化后，再利用polyfit求解；(2)利用Matlab中直接求解非線性最小二乘逼近的兩種函數(shù)

lsqcurvefit和lsqnonlin。例2.在人口的logistic模型中，人口總數(shù)y與時間t之間的關(guān)系滿足,下表是某地區(qū)1971年－2000年之間的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，試確定logistic模型中的a,b。第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近年人口總數(shù)年人口總數(shù)197133815198634520197233981198734507197334004198834509197434165198934521197534212199034513197634327199134515197734344199234517197834458199334519197934498199434519198034476199534521198134483199634521198234488199734520198334513199834507198434497199934509198534511200034521第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近解：先線性化，設(shè)y為人口總數(shù)，t＝年份－1970，即。令，則logistic模型可線性化為。下面在Matlab下編程進(jìn)行最小二乘逼近：clear;clc;t＝1:30;y=[33815,33981,34004,34165,34212,34327,34344,34458,34498,34476,34483,34488,34513,34497,34511,34520,34507,34509,34521,34513,34515,34517,34519,34519,34521,34521,34520,34507,34509,34521]fori=1:30,x(i)=exp(-t(i));yy(i)=1/y(i);%線性化end第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近程序運(yùn)行結(jié)果%對線性化后的模型用polyfit進(jìn)行一次多項式最小二乘逼近pp=polyfit(x,yy,1);%對逼近結(jié)果繪圖forj=1:30Y(j)=1/(pp(2)+pp(1)*exp(-j));endplot(t,Y);a＝pp(2)=0.182×10－5，b＝pp(1)=0.2902×10－4，第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近

Matlab提供了兩個求非線性最小二乘擬合的函數(shù)：lsqcurvefit和lsqnonlin。兩個命令都要先建立M-文件，在其中定義函數(shù)f(x)，但兩者定義f(x)的方式是不同的。1.lsqcurvefit已知數(shù)據(jù)點(diǎn)：xdata=（xdata1，xdata2，…，xdatan），ydata=（ydata1，ydata2，…，ydatan）

fun是一個事先建立的定義函數(shù)F(x,xdata)的M-文件,自變量為x和xdata說明：x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);迭代初值已知數(shù)據(jù)點(diǎn)選項見無約束優(yōu)化第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近輸入格式為:(1)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata);(2)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options);(3)x=lsqcurvefit(‘fun’,x0,xdata,ydata,options,’grad’);

例:用下面一組數(shù)據(jù)擬合中的參數(shù)a，b，k.第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近該問題即解最優(yōu)化問題：1）編寫M-文件curvefun1.mfunctionf=curvefun1(x,tdata)f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)%其中x(1)=a;x(2)=b；x(3)=k;2）輸入程序tdata=100:100:1000cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqcurvefit('curvefun1',x0,tdata,cdata)f=curvefun1(x,tdata)第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近3）運(yùn)算結(jié)果為：f=0.00430.00510.00560.00590.00610.00620.00620.00630.00630.0063x=0.0063-0.00340.25424）結(jié)論：a=0.0063,b=-0.0034,k=0.2542第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近2.lsqnonlin

lsqnonlin用以求含參量x（向量）的向量值函數(shù)

f(x)=(f1(x),f2(x),…,fn(x))T

中的參量x，使得:

最小。其中fi(x)=f（x，xdatai，ydatai）=F(x,xdatai)-ydatai第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近說明：x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；fun是一個事先建立的定義函數(shù)f(x)的M-文件，自變量為x迭代初值選項見無約束優(yōu)化輸入格式為：1）x=lsqnonlin（‘fun’，x0）；2）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options）；3）x=lsqnonlin（‘fun’，x0，options，‘grad’）；第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用MATLAB實(shí)現(xiàn)最小二乘逼近利用lsqnonlin計算上例：1）編寫M-文件curvefun2.m

functionf=curvefun2(x)tdata=100:100:1000;cdata=1e-03*[4.54,4.99,5.35,5.65,5.90,6.10,6.26,6.39,6.50,6.59];

f=x(1)+x(2)*exp(-0.02*x(3)*tdata)-cdata2）輸入命令:

x0=[0.2,0.05,0.05];x=lsqnonlin('curvefun2',x0)f=curvefun2(x)第25頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月二、利用