數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機

數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機第1頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

什么是悖論？籠統(tǒng)地說，是指這樣的推理過程：它看上去是合理的，但結(jié)果卻得出了矛盾。悖論在很多情況下表現(xiàn)為能得出不符合排中律的矛盾命題：由它的真，可以推出它為假；由它的假，則可以推出它為真。由于嚴(yán)格性被公認(rèn)為是數(shù)學(xué)的一個主要特點，因此如果數(shù)學(xué)中出現(xiàn)悖論會造成對數(shù)學(xué)可靠性的懷疑。第2頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

如果這一悖論涉及面十分廣泛的話，這種沖擊波會更為強烈，由此導(dǎo)致的懷疑還會引發(fā)人們認(rèn)識上的普遍危機感。在這種情況下，悖論往往會直接導(dǎo)致“數(shù)學(xué)危機”的產(chǎn)生。按照西方習(xí)慣的說法，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上迄今為止出現(xiàn)了三次這樣的數(shù)學(xué)危機。

第3頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月希帕索斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機

希帕索斯悖論的提出與勾股定理的發(fā)現(xiàn)密切相關(guān)。因此，我們從勾股定理談起。勾股定理是歐氏幾何中最著名的定理之一。天文學(xué)家開普勒曾稱其為歐氏幾何兩顆璀璨的明珠之一。它在數(shù)學(xué)與人類的實踐活動中有著極其廣泛的應(yīng)用，同時也是人類最早認(rèn)識到的平面幾何定理之一。在我國，最早的一部天文數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就已有了關(guān)于這一定理的初步認(rèn)識。不過，在我國對于勾股定理的證明卻是較遲的事情。一直到三國時期的趙爽才用面積割補給出它的第一種證明。

第4頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月在國外，最早給出這一定理證明的是古希臘的畢達哥拉斯。因而國外一般稱之為“畢達哥拉斯定理”。并且據(jù)說畢達哥拉斯在完成這一定理證明后欣喜若狂，而殺牛百只以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神秘色彩的稱號：“百牛定理”。第5頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月畢達哥拉斯第6頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

畢達哥拉斯是公元前五世紀(jì)古希臘的著名數(shù)學(xué)家與哲學(xué)家。他曾創(chuàng)立了一個合政治、學(xué)術(shù)、宗教三位一體的神秘主義派別：畢達哥拉斯學(xué)派。由畢達哥拉斯提出的著名命題“萬物皆數(shù)”是該學(xué)派的哲學(xué)基石。而“一切數(shù)均可表成整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰。然而，具有戲劇性的是由畢達哥拉斯建立的畢達哥拉斯定理卻成了畢達哥拉斯學(xué)派數(shù)學(xué)信仰的“掘墓人”。第7頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月畢達哥拉斯定理提出后，其學(xué)派中的一個成員希帕索斯考慮了一個問題：邊長為1的正方形其對角線長度是多少呢？他發(fā)現(xiàn)這一長度既不能用整數(shù)，也不能用分?jǐn)?shù)表示，而只能用一個新數(shù)來表示。希帕索斯的發(fā)現(xiàn)導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上第一個無理數(shù)√2的誕生。小小√2的出現(xiàn)，卻在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界掀起了一場巨大風(fēng)暴。它直接動搖了畢達哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰，使畢達哥拉斯學(xué)派為之大為恐慌。第8頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月實際上，這一偉大發(fā)現(xiàn)不但是對畢達哥拉斯學(xué)派的致命打擊。對于當(dāng)時所有古希臘人的觀念這都是一個極大的沖擊。這一結(jié)論的悖論性表現(xiàn)在它與常識的沖突上：任何量，在任何精確度的范圍內(nèi)都可以表示成有理數(shù)。這不但在希臘當(dāng)時是人們普遍接受的信仰，就是在今天，測量技術(shù)已經(jīng)高度發(fā)展時，這個斷言也毫無例外是正確的！第9頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

可是為我們的經(jīng)驗所確信的，完全符合常識的論斷居然被小小的√2的存在而推翻了！這應(yīng)該是多么違反常識，多么荒謬的事！它簡直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面對這一荒謬人們竟然毫無辦法。這就在當(dāng)時直接導(dǎo)致了人們認(rèn)識上的危機，從而導(dǎo)致了西方數(shù)學(xué)史上一場大的風(fēng)波，史稱“第一次數(shù)學(xué)危機”。

第10頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月歐多克第11頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月二百年后，大約在公元前370年，才華橫溢的歐多克索斯建立起一套完整的比例論。他本人的著作已失傳，他的成果被保存在歐幾里德《幾何原本》一書第五篇中。歐多克索斯的巧妙方法可以避開無理數(shù)這一“邏輯上的丑聞”，并保留住與之相關(guān)的一些結(jié)論，從而解決了由無理數(shù)出現(xiàn)而引起的數(shù)學(xué)危機。但歐多克索斯的解決方式，是借助幾何方法，通過避免直接出現(xiàn)無理數(shù)而實現(xiàn)的。這就生硬地把數(shù)和量肢解開來。在這種解決方案下，對無理數(shù)的使用只有在幾何中是允許的，合法的，在代數(shù)中就是非法的，不合邏輯的?；蛘哒f無理數(shù)只被當(dāng)作是附在幾何量上的單純符號，而不被當(dāng)作真正的數(shù)。第12頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月一直到18世紀(jì)，當(dāng)數(shù)學(xué)家證明了基本常數(shù)如圓周率是無理數(shù)時，擁護無理數(shù)存在的人才多起來。到十九世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的實數(shù)理論建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，無理數(shù)在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對數(shù)的認(rèn)識從有理數(shù)拓展到實數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機。

第13頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月貝克萊第14頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機

第二次數(shù)學(xué)危機導(dǎo)源于微積分工具的使用。伴隨著人們科學(xué)理論與實踐認(rèn)識的提高，十七世紀(jì)幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數(shù)學(xué)工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發(fā)現(xiàn)。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具后變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都是不嚴(yán)格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。第15頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

1734年，貝克萊以“渺小的哲學(xué)家”之名出版了一本標(biāo)題很長的書《分析學(xué)家；或一篇致一位不信神數(shù)學(xué)家的論文，其中審查一下近代分析學(xué)的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責(zé)牛頓，為計算比如說x2的導(dǎo)數(shù)，先將x取一個不為0的增量Δx，由(x+Δx)2-x2，得到2xΔx+(Δx2)，后再被Δx除，得到2x+Δx，最后突然令Δx=0，求得導(dǎo)數(shù)為2x。這是“依靠雙重錯誤得到了不科學(xué)卻正確的結(jié)果”。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學(xué)的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。

第16頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”?；\統(tǒng)地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當(dāng)時實際應(yīng)用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。這一問題的提出在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，由此導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生。第17頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月牛頓萊布尼茲第18頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月針對貝克萊的攻擊，牛頓與萊布尼茲都曾試圖通過完善自己的理論來解決，但都沒有獲得完全成功。這使數(shù)學(xué)家們陷入了尷尬境地。一方面微積分在應(yīng)用中大獲成功，另一方面其自身卻存在著邏輯矛盾，即貝克萊悖論。這種情況下對微積分的取舍上到底何去何從呢？

第19頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月“向前進，向前進，你就會獲得信念！”達朗貝爾吹起奮勇向前的號角，在此號角的鼓舞下，十八世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們開始不顧基礎(chǔ)的不嚴(yán)格，論證的不嚴(yán)密，而是更多依賴于直觀去開創(chuàng)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)地。于是一套套新方法、新結(jié)論以及新分支紛紛涌現(xiàn)出來。第20頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)過一個多世紀(jì)的漫漫征程，幾代數(shù)學(xué)家，包括達朗貝爾、拉格朗日、貝努力家族、拉普拉斯以及集眾家之大成的歐拉等人的努力，數(shù)量驚人前所未有的處女地被開墾出來，微積分理論獲得了空前豐富。18世紀(jì)有時甚至被稱為“分析的世紀(jì)”。然而，與此同時十八世紀(jì)粗糙的，不嚴(yán)密的工作也導(dǎo)致謬誤越來越多的局面，不諧和音的刺耳開始震動了數(shù)學(xué)家們的神經(jīng)。第21頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月柯西第22頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月到十九世紀(jì)，批判、系統(tǒng)化和嚴(yán)密論證的必要時期降臨了。使分析基礎(chǔ)嚴(yán)密化的工作由法國著名數(shù)學(xué)家柯西邁出了第一大步?？挛饔?821年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分析學(xué)一系列基本概念的嚴(yán)格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導(dǎo)。第23頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月這就是所謂極限概念的“算術(shù)化”。后來，德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ”方法。另外，在柯西的努力下，連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和等概念也建立在了較堅實的基礎(chǔ)上。不過，在當(dāng)時情況下，由于實數(shù)的嚴(yán)格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。

第24頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月

柯西之后，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經(jīng)過自己獨立深入的研究，都將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實數(shù)理論，并于七十年代各自建立了自己完整的實數(shù)體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結(jié)為遞增有界數(shù)列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數(shù)。1892年，另一個數(shù)學(xué)家創(chuàng)用“區(qū)間套原理”來建立實數(shù)理論。由此，沿柯西開辟的道路，建立起來的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臉O限理論與實數(shù)理論，完成了分析學(xué)的邏輯奠基工作。第25頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)分析的無矛盾性問題歸納為實數(shù)論的無矛盾性，從而使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎(chǔ)之上。重建微積分學(xué)基礎(chǔ)，這項重要而困難的工作就這樣經(jīng)過許多杰出學(xué)者的努力而勝利完成了。微積分學(xué)堅實牢固基礎(chǔ)的建立，結(jié)束了數(shù)學(xué)中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數(shù)學(xué)危機的徹底解決。第26頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機

第27頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月康托爾第28頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月十九世紀(jì)下半葉，康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，在集合論剛產(chǎn)生時，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了，并且獲得廣泛而高度的贊譽。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個數(shù)學(xué)大廈。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石?！耙磺袛?shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?900年，國際數(shù)學(xué)家大會上，法國著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“………借助集合論概念，我們可以建造整個數(shù)學(xué)大廈……今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格性已經(jīng)達到了……”可是，好景不長。1903年，一個震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！這就是英國數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。

第29頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月羅素構(gòu)造了一個集合S：S由一切不是自身元素的集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？根據(jù)排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定的集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。第30頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月羅素第31頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月其實，在羅素之前集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。如1897年，布拉利和福爾蒂提出了最大序數(shù)悖論。1899年，康托爾自己發(fā)現(xiàn)了最大基數(shù)悖論。但是，由于這兩個悖論都涉及集合中的許多復(fù)雜理論，所以只是在數(shù)學(xué)界揭起了一點小漣漪，未能引起大的注意。羅素悖論則不同。它非常淺顯易懂，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西。所以，羅素悖論一提出就在當(dāng)時的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動。第32頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月如G.弗雷格在收到羅素介紹這一悖論的信后傷心地說：“一個科學(xué)家所遇到的最不合心意的事莫過于是在他的工作即將結(jié)束時，其基礎(chǔ)崩潰了。羅素先生的一封信正好把我置于這個境地?！贝鞯陆鹨惨虼送七t了他的《什么是數(shù)的本質(zhì)和作用》一文的再版。可以說，這一悖論就象在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，而它所引起的巨大反響則導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機。

第33頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月危機產(chǎn)生后，數(shù)學(xué)家紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對康托爾的集合論進行改造，通過對集合定義加以限制來排除悖論，這就需要建立新的原則。“這些原則必須足夠狹窄，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊，使康托爾集合論中一切有價值的內(nèi)容得以保存下來。”1908年，策梅羅在自已這一原則基礎(chǔ)上提出第一個公理化集合論體系，后來經(jīng)其他數(shù)學(xué)家改進，稱為ZF系統(tǒng)。這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補了康托爾樸素集合論的缺陷。第34頁，課件共37頁，創(chuàng)作于2023年2月除ZF系統(tǒng)外，集合論的公理系統(tǒng)還有多種，如諾伊曼等人提出的NBG系統(tǒng)等。公理化集合系統(tǒng)的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機。但在另一方面，羅素悖論對數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響。它