現(xiàn)代控制理論第一章-控制系統(tǒng)數(shù)學模型課件

第1章控制系統(tǒng)數(shù)學模型

本課程的任務(wù)是系統(tǒng)分析和系統(tǒng)設(shè)計。而不論是系統(tǒng)分析還是系統(tǒng)設(shè)計，本課程所研究的內(nèi)容是基于系統(tǒng)的數(shù)學模型來進行的。因此，本章首先介紹控制系統(tǒng)的數(shù)學模型。本章內(nèi)容為：1、狀態(tài)空間表達式2、由微分方程求出系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式3、傳遞函數(shù)矩陣4、離散系統(tǒng)的數(shù)學模型5、線性變換(狀態(tài)變量選取非唯一）6、組合系統(tǒng)的數(shù)學描述7、利用MATLAB進行模型之間的變換精品PPT1.1狀態(tài)空間表達式1.1.1狀態(tài)、狀態(tài)變量和狀態(tài)空間狀態(tài)——動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是一個可以確定該系統(tǒng)行為的信息集合。狀態(tài)變量——確定系統(tǒng)狀態(tài)的最小一組變量，如果知道這些變量在任意初始時刻的值以及的系統(tǒng)輸入，便能夠完整地確定系統(tǒng)在任意時刻的狀態(tài)。（狀態(tài)變量的選擇可以不同）≥狀態(tài)空間——以所選擇的一組狀態(tài)變量為坐標軸而構(gòu)成的正交線性空間，稱為狀態(tài)空間。精品PPT例：如下圖所示電路，為輸入量，為輸出量。建立方程：初始條件：

和可以表征該電路系統(tǒng)的行為，就是該系統(tǒng)的一組狀態(tài)變量精品PPT1.1.2狀態(tài)空間表達式前面電路的微分方程組可以改寫如下，并且寫成矩陣形式：該方程描述了電路的狀態(tài)變量和輸入量之間的關(guān)系，稱為該電路的狀態(tài)方程，這是一個矩陣微分方程。如果將電容上的電壓作為電路的輸出量，則該方程是聯(lián)系輸出量和狀態(tài)變量關(guān)系的方程，稱為該電路的輸出方程或觀測方程。這是一個矩陣代數(shù)方程。系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程一起，稱為系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式，或稱為系統(tǒng)動態(tài)方程，或稱系統(tǒng)方程。精品PPT設(shè)：則可以寫成狀態(tài)空間表達式：推廣到一般形式：精品PPT精品PPT如果矩陣A,B,C,D中的所有元素都是實常數(shù)時，則稱這樣的系統(tǒng)為線性定常（LTI，即：LinearTime-Invariant）系統(tǒng)。如果這些元素中有些是時間t的函數(shù)，則稱系統(tǒng)為線性時變系統(tǒng)。系統(tǒng)狀態(tài)圖和信號流圖如下：精品PPT嚴格地說，一切物理系統(tǒng)都是非線性的?？梢杂孟旅娴臓顟B(tài)方程和輸出方程表示。如果不顯含t，則稱為非線性定常系統(tǒng)。精品PPT1.1.3狀態(tài)變量的選?。?）狀態(tài)變量的選取可以視問題的性質(zhì)和輸入特性而定（2）狀態(tài)變量選取的非惟一性（3）系統(tǒng)狀態(tài)變量的數(shù)目是惟一的在前面的例子中，如果重新選擇狀態(tài)變量則其狀態(tài)方程為輸出方程為：精品PPT1.1.4狀態(tài)空間表達式建立的舉例例1-1

建立右圖所示機械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式（注：質(zhì)量塊m

的重量已經(jīng)和彈簧k

的初始拉伸相抵消）根據(jù)牛頓第二定律即：選擇狀態(tài)變量則：精品PPT機械系統(tǒng)的系統(tǒng)方程為該系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下精品PPT例1-2

建立電樞控制直流他勵電動機的狀態(tài)空間表達式電樞回路的電壓方程為系統(tǒng)運動方程式為（式中，為電動勢常數(shù)；為轉(zhuǎn)矩常數(shù)；為折合到電動機軸上的轉(zhuǎn)動慣量；為折合到電動機軸上的粘性摩擦系數(shù)。）精品PPT可選擇電樞電流和角速度為狀態(tài)變量，電動機的電樞電壓為輸入量，角速度為輸出量。狀態(tài)空間表達式狀態(tài)圖如下：精品PPT例1-3

建立單極倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。單級倒立擺系統(tǒng)是許多重要的宇宙空間應(yīng)用的一個簡單模型。在水平方向，應(yīng)用牛頓第二定律：對擺球來說，在垂直于擺桿方向，應(yīng)用牛頓第二定律：精品PPT而有：線性化：當和較小時，有化簡后，得求解得：精品PPT選擇狀態(tài)變量，，，為系統(tǒng)輸入，為系統(tǒng)輸出狀態(tài)圖為精品PPT1.2由微分方程求狀態(tài)空間表達式一個系統(tǒng)，用線性定常微分方程描述其輸入和輸出的關(guān)系。通過選擇合適的狀態(tài)變量，就可以得到狀態(tài)空間表達式。這里分兩種情況：1、微分方程中不含輸入信號導數(shù)項，（即1.2.1中的內(nèi)容）2、微分方程中含有輸入信號導數(shù)項，（即1.2.2中的內(nèi)容）精品PPT1.2.1微分方程中不含有輸入信號導數(shù)項首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為選取狀態(tài)變量則有寫成矩陣形式精品PPT狀態(tài)圖如下：一般情況下，n

階微分方程為：選擇狀態(tài)變量如下：┆精品PPT寫成矩陣形式：系統(tǒng)的狀態(tài)圖如下：精品PPT1.2.2微分方程中含有輸入信號導數(shù)項首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為（一）待定系數(shù)法選擇狀態(tài)變量：其中，待定系數(shù)為：精品PPT于是寫成矩陣形式精品PPT系統(tǒng)的狀態(tài)圖精品PPT一般情況下，n

階微分方程為：選擇

n

個狀態(tài)變量為系統(tǒng)方程為精品PPT系統(tǒng)狀態(tài)圖如下精品PPT（二）輔助變量法設(shè)

n

階微分方程為：Laplace變換，求傳遞函數(shù)引入輔助變量z精品PPT返回到微分方程形式：以及選擇狀態(tài)變量如下：┆精品PPT寫成矩陣形式注：如果輸入項的導數(shù)階次和輸出項導數(shù)階次相同，則有d。精品PPT例1-4

已知描述系統(tǒng)的微分方程為試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式。解

（1）待定系數(shù)法選擇狀態(tài)變量如下其中精品PPT于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為（2）輔助變量法引入輔助變量z選擇狀態(tài)變量精品PPT于是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為精品PPT1.3傳遞函數(shù)矩陣傳遞函數(shù)——系統(tǒng)初始松弛（即：初始條件為零）時，輸出量的拉氏變換式與輸入量的拉氏變換式之比。1.3.1傳遞函數(shù)單入-單出線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為在初始松弛時，求Laplace變換，并且化簡狀態(tài)變量對輸入量的傳遞函數(shù)輸出量對輸入量的傳遞函數(shù)（即：傳遞函數(shù)）精品PPT例1-5

系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：精品PPT1.3.2傳遞函數(shù)矩陣狀態(tài)空間表達式為進行拉普拉斯變換如果存在，則如果，則狀態(tài)變量對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣：精品PPT而輸出量對輸入向量的傳遞函數(shù)矩陣：其結(jié)構(gòu)為式中，表示只有第j

個輸入作用時，第i

個輸出量對第j

個輸入量的傳遞函數(shù)。精品PPT例1-7

線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式為求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。解精品PPT1.3.3正則（嚴格正則）有理傳遞函數(shù)（矩陣）如果當時，是有限常量，則稱有理函數(shù)是正則的。若，則稱是嚴格正則的。非正則傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)在實際的控制工程中是不能應(yīng)用的，因為這時系統(tǒng)對高頻噪聲將會大幅度放大。例如微分器為非正則系統(tǒng)，假如輸入信號帶有高頻污染經(jīng)過微分器輸出可見，在微分器輸入端，噪聲的幅值只是有效信號幅值的百分之一，輸出端噪聲的幅值卻是有效信號幅值的10倍，信噪比變得很小。精品PPT1.3.4閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)矩陣于是閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞矩陣為或精品PPT1.3.5傳遞函數(shù)（矩陣）描述和狀態(tài)空間描述的比較1）傳遞函數(shù)是系統(tǒng)在初始松弛的假定下輸入-輸出間的關(guān)系描述，非初始松弛系統(tǒng)，不能應(yīng)用這種描述；狀態(tài)空間表達式即可以描述初始松弛系統(tǒng)，也可以描述非初始松弛系統(tǒng)。2）傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；而狀態(tài)空間表達式可以在定常系統(tǒng)中應(yīng)用，也可以在時變系統(tǒng)中應(yīng)用。3）對于數(shù)學模型不明的線性定常系統(tǒng)，難以建立狀態(tài)空間表達式；用實驗法獲得頻率特性，進而可以獲得傳遞函數(shù)。4）傳遞函數(shù)一般僅適用于單入單出系統(tǒng)；狀態(tài)空間表達式可用于多入多出系統(tǒng)的描述。5）傳遞函數(shù)只能給出系統(tǒng)的輸出信息；而狀態(tài)空間表達式不僅給出輸出信息，還能夠提供系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)信息。且一般有m≤n。

綜上所示，傳遞函數(shù)（矩陣）和狀態(tài)空間表達式這兩種描述各有所長，在系統(tǒng)分析和設(shè)計中都得到廣泛應(yīng)用。精品PPT1.4離散系統(tǒng)的數(shù)學描述1.4.1狀態(tài)空間表達式首先，考察三階差分方程1.差分方程中不含有輸入量差分項選取狀態(tài)變量寫成矩陣形式精品PPT可以表示為其中輸出方程或者其中精品PPT推廣到n階線性定常差分方程所描述的系統(tǒng)選取狀態(tài)變量，，……

，系統(tǒng)狀態(tài)方程輸出方程精品PPT2.差分方程中含有輸入量差分項先考察3階線性定常差分方程選擇狀態(tài)變量待定系數(shù)為：精品PPT系統(tǒng)狀態(tài)方程為即：輸出方程為即：精品PPT多輸入-多輸出線性時變離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式當、、和的諸元素與時刻

無關(guān)時，即得線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式1.4.2脈沖傳遞函數(shù)（矩陣）對線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式進行z變換如果存在，則精品PPT其中，為系統(tǒng)狀態(tài)對輸入量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣如果初始松弛，則系統(tǒng)輸出向量對輸入向量的脈沖傳遞函數(shù)矩陣例1-9

已知線性定常離散系統(tǒng)方程為求其脈沖傳遞函數(shù)矩陣解精品PPT對于SISO線性定常離散系統(tǒng)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為精品PPT1.5線性變換

我們知道，系統(tǒng)確定后，狀態(tài)變量的個數(shù)是確定的，但狀態(tài)變量的選取是非唯一的。選擇不同的狀態(tài)變量，則得到的狀態(tài)空間表達式也不相同。由于它們都是同一個系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述，它們之間必然存在某種關(guān)系。這個關(guān)系就是矩陣中的線性變換關(guān)系。精品PPT1.5.1等價系統(tǒng)方程1.線性定常系統(tǒng)（1）

為n維狀態(tài)向量；為r維輸入向量；為m維輸出向量；、、、為相應(yīng)維數(shù)的矩陣。引入非奇異變換矩陣P,或者代入方程（1）其中精品PPT于是，系統(tǒng)狀態(tài)方程變?yōu)椋?）方程（1）與方程（2）互為等價方程2.線性時變系統(tǒng)（3）引入變換矩陣或者對上式求導并代入精品PPT可以得到又由可以得到（4）方程（3）與方程（4）互為等價方程精品PPT1.5.2線性變換的基本性質(zhì)1.線性變換不改變系統(tǒng)的特征值線性定常系統(tǒng)系統(tǒng)的特征方程為等價系統(tǒng)的特征方程為可見線性變換不改變系統(tǒng)的特征值精品PPT2.線性變換不改變系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣時的傳遞函數(shù)矩陣可見，經(jīng)過線性變換，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣不改變。精品PPT1.5.3化系數(shù)矩陣A為標準形所謂標準形是指：對角形、約當形、模態(tài)形設(shè)是矩陣A

的特征值，如果存在一個n

維非零向量使或成立，則稱為A的對應(yīng)于特征值的特征向量。而1.化矩陣A

為對角陣若n個特征值互異，則令精品PPT例1-10

將矩陣化為對角陣解解出變換矩陣精品PPT如果矩陣

A

具有這樣形式范德蒙特矩陣變換矩陣且A的n個特征值λ1、λ2、…….λn互異,則A可化為對角陣,Q陣為范德蒙特矩陣:精品PPT2.化矩陣A

為約當形如果矩陣A

有重特征值，可分為兩種情況，（1）仍有n個獨立的特征向量，此時仍可以化為對角陣；（2）獨立特征向量的個數(shù)小于n,這時不能化為對角陣，只能化為約當形。確定變換矩陣可以得到：精品PPT變換矩陣為例1-12

化矩陣為標準形矩陣解得出求二重特征根對應(yīng)的特征向量精品PPT得到而由得到求特征值對應(yīng)的特征向量得到精品PPT因此設(shè)特征值為當特征值為共軛復(fù)數(shù)時，可以將矩陣化為模態(tài)陣。3.化矩陣A

為模態(tài)形在此情況下，A

的模態(tài)形為精品PPT設(shè)為對應(yīng)于的特征向量，則令則變換矩陣例1-13

將化為模態(tài)形解特征值為解得因此精品PPT1.6組合系統(tǒng)的數(shù)學描述

工程中較為復(fù)雜的系統(tǒng)，通常是由若干個子系統(tǒng)按某種方式連接而成的。這樣的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。組合系統(tǒng)形式很多，在大多數(shù)情況下，它們由并聯(lián)、串聯(lián)和反饋等3種連接方式構(gòu)成的。下面以兩個子系統(tǒng)和構(gòu)成的組合系統(tǒng)進行介紹。精品PPT的系統(tǒng)方程為傳遞函數(shù)矩陣為的系統(tǒng)方程為傳遞函數(shù)矩陣為1.6.1并聯(lián)連接系統(tǒng)方程精品PPT傳遞函數(shù)矩陣1.6.2串聯(lián)連接精品PPT串連組合后系統(tǒng)方程傳遞函數(shù)矩陣所以1.6.3反饋連接組合后系統(tǒng)方程為精品PPT傳遞函數(shù)矩陣為或（1-125）（1-126）

應(yīng)當指出，在反饋連接的組合系統(tǒng)中，或存在的條件是至關(guān)重要的。否則反饋系統(tǒng)對于某些輸入就沒有一個滿足式（1-125）或式（1-126）的輸出。就這個意義來說，反饋連接就變得無意義了。例1-14精品PPT1.7利用MATLAB進行模型轉(zhuǎn)換1.7.1傳遞函數(shù)與狀態(tài)空間表達式之間的轉(zhuǎn)換1.連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式MATLAB是當今世界上最優(yōu)秀的科技應(yīng)用軟件之一，它以強大的科學計算能力和可視化功能，簡單易用的編程語言以及開放式的編程環(huán)境等一些顯著的優(yōu)點，使得它在當今許許多多科學技術(shù)領(lǐng)域中成為計算機輔助分析和設(shè)計、算法研究和應(yīng)用開發(fā)的基本工具和首選平臺。在本書中，用它作為系統(tǒng)分析和設(shè)計的軟件平臺，更顯示出獨特的優(yōu)勢。本節(jié)利用MATLAB實現(xiàn)數(shù)學模型的轉(zhuǎn)換。

可以用ss命令來建立狀態(tài)空間模型。對于連續(xù)系統(tǒng)，其格式為sys=ss(A,B,C,D)，其中A，B，C，D為描述線性連續(xù)系統(tǒng)的矩陣。當sys1是一個用傳遞函數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)時，可以用命令sys=ss(sys1)，將其轉(zhuǎn)換成為狀態(tài)空間形式。也可以用命令sys=ss(sys1,’min’)計算出系統(tǒng)sys的最小實現(xiàn)。精品PPT例1-15

控制系統(tǒng)微分方程為求其狀態(tài)空間表達式。解可以先將其轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)輸入下列命令語句執(zhí)行結(jié)果為精品PPT這個結(jié)果表示，該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為注意，在輸入命令中，sys=ss(G)也可以改用[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)，在本例中其作用和sys=ss(G)近似，也可以計算出矩陣A、B、C、D。精品PPT2.離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為

和連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的輸入方法相類似，如果要輸入離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，首先需要輸入矩陣G、H、C、d，然后輸入語句，即可將其輸入到MATLAB的workspace中，并且用變量名來表示這個離散系統(tǒng)，其中T為采樣時間。如果Gyu表示一個以脈沖傳遞函數(shù)描述的離散系統(tǒng)，也可以用ss(Gyu)命令，將脈沖傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達式。例1-16

假設(shè)某離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為采樣周期為，將其輸入到MATLAB的workspace中，并且繪制零、極點分布圖。并且將該離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換成狀態(tài)空間表達式。精品PPT

解

輸入下列語句語句執(zhí)行的結(jié)果為再輸入語句，繪制出零、極點分布圖如下精品PPT在執(zhí)行完上述語句后，Gyu已經(jīng)存在于MATLAB的workspace中，這時再執(zhí)行語句執(zhí)行結(jié)果為結(jié)果表示，離散系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為精品PPT1.7.2求傳遞函數(shù)矩陣

在已知線性定常系統(tǒng)中的A、B、C和D矩陣之后，則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣可以按下式求出例1-17

已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為輸入以下語句解精品PPT

其中inv()函數(shù)是求矩陣的逆矩陣，而simple()函數(shù)是對符號運算結(jié)果進行簡化。執(zhí)行結(jié)果如下這表示精品PPT1.7.3.線性變換1.化為對角矩陣函數(shù)eig()可以計算出矩陣A的特征值以及將A