第4章數(shù)字控制器的直接設(shè)計(jì)課件

第4章數(shù)字控制器的直接設(shè)計(jì)4.1最少拍無差系統(tǒng)的設(shè)計(jì)4.2最少拍無波紋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)*4.3W變換法設(shè)計(jì)

4.4純滯后對(duì)象的控制算法—大林算法整體概述概述二點(diǎn)擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容概述一點(diǎn)擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容概述三點(diǎn)擊此處輸入相關(guān)文本內(nèi)容第四章數(shù)字控制器的直接設(shè)計(jì)數(shù)字控制系統(tǒng)直接設(shè)計(jì)法基本原理：如圖4—1所示的離散控制系統(tǒng)中，GC（s）為被控對(duì)象為廣義對(duì)象的脈沖傳函，D（z）為被設(shè)計(jì)的數(shù)字控制器。其閉環(huán)傳函為(4—1)

由式（4—1）得（4—2）在已知對(duì)象特性前提下，設(shè)計(jì)步驟是：1．求得帶零階保持器的被控廣義脈沖傳函G（z）。2．根據(jù)系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求以及實(shí)現(xiàn)的約束條件構(gòu)造閉環(huán)z傳函Φ（z）。3．根據(jù)式（4—2）確定數(shù)字控制器的傳函D（z）。4．由D（z）確定控制算法并編制程序。第一節(jié)最少拍無差系統(tǒng)的設(shè)計(jì)最少拍無差系統(tǒng)是指在典型的控制輸入信號(hào)作用下能在最少幾個(gè)采樣周期內(nèi)達(dá)到穩(wěn)態(tài)無靜差的系統(tǒng)，其閉環(huán)z傳函具有如下形式：Φ（z）=m1z-1+m2z-2+…+mnz-nn為可能情況下的最小正整數(shù)。閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)在n個(gè)采樣周期后變?yōu)?。即系統(tǒng)在n拍后到達(dá)穩(wěn)態(tài)。對(duì)最少拍控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的要求：（1）準(zhǔn)確性：對(duì)于典型輸入，在到達(dá)穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)的采樣點(diǎn)上的輸出值準(zhǔn)確跟蹤輸入，無靜差。（2）快速性：系統(tǒng)準(zhǔn)確跟蹤輸入信號(hào)所需的采樣周期數(shù)應(yīng)為最少。（3）穩(wěn)定性：D（z）必須在物理上可實(shí)現(xiàn)，且閉環(huán)系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。典型控制輸入時(shí)間序列脈沖傳遞函數(shù)單位階躍輸入：單位速度輸入：單位加速度輸入：通式：一．典型輸入下最少拍系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法由圖4—1，系統(tǒng)誤差傳函Φe（z）為(4—4)根據(jù)準(zhǔn)確性要求，系統(tǒng)無穩(wěn)態(tài)誤差，而(4—5)因?yàn)椋核裕湫洼斎氲囊话阈问娇杀硎緸椋篈（z）為不包含（1-z-1）因子的關(guān)于z-1的多項(xiàng)式為使穩(wěn)態(tài)誤差為0，Φe（z）必須含有因子（1-z-1）q，即根據(jù)終值定理有其中p≥q，q為對(duì)應(yīng)于典型輸入函數(shù)R（z）中分母（1-z-1）因子的階次。F（z）是不包含零點(diǎn)z=1的z-1的多項(xiàng)式。根據(jù)快速性要求，有p=q，F(xiàn)（z）=1對(duì)于典型輸入，有Φe（z）=（1-z-1）q（4—11）Φ（z）=1-Φe（z）=1-（1-z-1）q（4—12）1．單位階躍輸入★

調(diào)節(jié)器模型：★

最少拍設(shè)計(jì)的輸出響應(yīng)：用長除法展開，有可見滯后一拍即能跟隨輸入，滿足最少拍無差設(shè)計(jì)要求。2．單位速度輸入★

調(diào)節(jié)器模型：★

最少拍設(shè)計(jì)的輸出響應(yīng)：可見滯后兩拍即能跟隨輸入。3．單位加速度輸入★

調(diào)節(jié)器模型：★

最少拍設(shè)計(jì)的輸出響應(yīng)：可見經(jīng)過三拍即能跟隨輸入。二．最少拍控制器的可實(shí)現(xiàn)性和穩(wěn)定性要求（一）物理上的可實(shí)現(xiàn)性要求當(dāng)前的輸出信號(hào)只與當(dāng)前的輸入信號(hào)、以前的輸入/輸出信號(hào)有關(guān)，而與將來的輸入信號(hào)無關(guān)。也即要求控制器的z傳函D（z）中不能有z的正冪項(xiàng)。D（z）一般表達(dá)式為上式要求n≥m，且a0≠0。若被控對(duì)象G（z）含有純滯后z-p，根據(jù)式（4—2）求取D（z），D（z）將含有因子

zp，故不能實(shí)現(xiàn)。為實(shí)現(xiàn)控制，Φ（z）必須含有z-p，即把純滯后保留，此時(shí)Φ（z）=z-p（m1z-1+m2z-2+…+mlz-l）這樣的最少拍控制器才是可實(shí)現(xiàn)的。（二）穩(wěn)定性要求在最少拍系統(tǒng)中，不僅要保證輸出量在采樣點(diǎn)上是穩(wěn)定，還要保證控制變量收斂，才能使閉環(huán)系統(tǒng)在物理上真正穩(wěn)定。由圖4—1可導(dǎo)出R(Z)Φ(Z)=U(Z)G(Z)=C(Z)

被控對(duì)象G（z）所有的零、極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。若G（z）有在單位圓上和圓外的零、極點(diǎn)，即G（z）和U（z）含有不穩(wěn)定極點(diǎn)，則控制變量u的輸出也會(huì)不穩(wěn)定。可看出，在閉環(huán)傳函中，一般D（z）總是和G（z）成對(duì)出現(xiàn)，但不能用D（z）的零極點(diǎn)去抵消G（z）中單位圓上或圓外的零極點(diǎn)。

因?yàn)槿缫笹（z）在單位圓上或圓外的零點(diǎn)抵消，D（z）分母里必然含有相應(yīng)的不穩(wěn)定極點(diǎn)，則D（z）不穩(wěn)定。

又如D（z）抵消了G（z）的不穩(wěn)定極點(diǎn)，則D（z）必然包含相應(yīng)的單位圓上或圓外的零點(diǎn)。實(shí)際控制中，存在對(duì)系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)的誤差及參數(shù)受外界環(huán)境影響及隨時(shí)間的變化，這類抵消不可能準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)，系統(tǒng)不能真正穩(wěn)定。由式（4—1）可知，要避免G（z）在單位圓上或圓外的零極點(diǎn)與D（z）的零極點(diǎn)抵消，則須滿足以下穩(wěn)定性約束條件：1．當(dāng)G（z）有單位圓上或圓外的零點(diǎn)時(shí)，在Φ（z）表達(dá)式中應(yīng)把這些零點(diǎn)作為其零點(diǎn)保留。2．當(dāng)G（z）有單位圓上或圓外的極點(diǎn)時(shí)，在Φe（z）表達(dá)式中應(yīng)把這些極點(diǎn)作為其零點(diǎn)保留。例：設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)單位反饋控制系統(tǒng)，T=1秒，單位速度輸入時(shí)，按最少拍法設(shè)計(jì)D(z)。解：?單位階躍輸入時(shí)：?單位加速度輸入時(shí)：nTC(nT)1284z-m為廣義對(duì)象中純滯后因子，當(dāng)對(duì)象中不含純滯后因子時(shí)m=1，否則m＞1。u為廣義對(duì)象單位圓上或圓外的零點(diǎn)數(shù)。v為廣義對(duì)象單位圓上或圓外的極點(diǎn)數(shù)。G1（z）是廣義對(duì)象傳函中不含單位圓上或圓外的零極點(diǎn)，和不包含純滯后環(huán)節(jié)的部分。三．最少拍快速有波紋系統(tǒng)設(shè)計(jì)的一般方法設(shè)廣義對(duì)象的脈沖傳函：1．設(shè)定Φe（z），把G（z）中單位圓上或圓外的極點(diǎn)作為自己的零點(diǎn)，即F1（z）是關(guān)于z-l多項(xiàng)式，且不包含G（z）中不穩(wěn)定極點(diǎn)ai。2．設(shè)定Φ（z），把G（z）中單位圓上或圓外的零點(diǎn)作為自己的零點(diǎn)，即

F2（z）是關(guān)于z-l多項(xiàng)式，且不包含G（z）中在單位圓上或圓外的零點(diǎn)bi。綜合考慮系統(tǒng)的準(zhǔn)確性、快速性和穩(wěn)定性要求，閉環(huán)脈沖傳函Φ（z）必須選擇為（4—38）由準(zhǔn)確性條件知，包含有的因子；由穩(wěn)定性條件知，必須包含的因子。而Φ（z）=1-Φe（z），所以式（4—38）中q+v個(gè)待定系數(shù)Φ0、Φ1、…Φq+v-1可由下列q+v個(gè)方程確定：考慮上述條件后，數(shù)字控制器中不再包含G（z）在單位圓上或圓外的零極點(diǎn)，在物理上具有可實(shí)現(xiàn)性。即

當(dāng)G（z）中有z=1的極點(diǎn)時(shí)，穩(wěn)定性條件與準(zhǔn)確性條件一致，即q個(gè)方程中第一個(gè)與v個(gè)方程中的Φ（ai）︱ai=1=1相同，因此，式（4—38）中待定系數(shù)的數(shù)目必然小于（q+v）個(gè)，即Φ（z）的設(shè)計(jì)要作一定的降階處理。也可分別列出Φ（z）和Φe（z）的表達(dá)式，利用Φ（z）=1-Φe（z）的關(guān)系，根據(jù)等式兩端有關(guān)z-1的多項(xiàng)式系數(shù)相等的原則求待定系數(shù)。（上次課復(fù)習(xí)）最少拍快速有波紋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)：已知：

ai和bi是G(z)在單位圓上和圓外的極點(diǎn)零點(diǎn)。綜合考慮系統(tǒng)的準(zhǔn)確性、快速性和穩(wěn)定性要求，對(duì)和必須選擇為：

例1：有如圖4-4所示計(jì)算機(jī)系統(tǒng)，其被控對(duì)象傳函為已知：K=10s-1，T=Tm=1s，輸入為單位速度函數(shù)，試設(shè)計(jì)快速有波紋系統(tǒng)的D（z）。顯然,u=0，v=1，m=1，q=2解：代入已知條件得根據(jù)穩(wěn)定性要求,G（Z）中z=1的極點(diǎn)應(yīng)包含在Φe（z）的零點(diǎn)中；單位速度輸入時(shí),由準(zhǔn)確性知Φe（z）必須包含（1-Z-1）2．準(zhǔn)確性條件中已滿足穩(wěn)定性條件,故Φ（z）可降一階設(shè)計(jì)：由式（4—39）得解得也可由待定系數(shù)法解得∴閉環(huán)脈沖傳函為所以即為所求的數(shù)字控制器的脈沖傳函。系統(tǒng)輸出為

數(shù)字控制器的輸出為四．最少拍控制系統(tǒng)的局限性

1．系統(tǒng)的適應(yīng)性差：最少拍控制器的D（z）的根據(jù)某類典型輸入信號(hào)設(shè)計(jì)的，對(duì)其他類型的輸入信號(hào)不一定是最少拍，甚至?xí)a(chǎn)生很大的超調(diào)和靜差。如：當(dāng)是按單位速度輸入設(shè)計(jì)時(shí)，有Φ（z）=2z-1-z-2當(dāng)用單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)輸出為C（z）=R（z）Φ（z）==2z-1+z-2+z-3…輸出序列如圖4—6a所示。由圖可知，系統(tǒng)要2拍才能達(dá)到期望值，已不是最少拍，且第一拍輸出幅值為2，超調(diào)為100%。單位加速度輸入時(shí)，系統(tǒng)輸出為

當(dāng)T=1時(shí)，到達(dá)穩(wěn)態(tài)后存在靜差e=1。2．對(duì)參數(shù)變化的靈敏度大：最少拍設(shè)計(jì)是在結(jié)構(gòu)和參數(shù)不變的條件下得到的理想結(jié)果，系統(tǒng)在z=0處有重極點(diǎn)，z=0的重極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)參數(shù)變化的靈敏度可為無窮大。因此，當(dāng)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，系統(tǒng)的性能指標(biāo)將受到嚴(yán)重影響。3．控制作用易超出限定范圍：按最少拍原則設(shè)計(jì)的系統(tǒng)是時(shí)間最優(yōu)系統(tǒng)。實(shí)際中，T很小時(shí)，實(shí)際的控制情況與理論不符。采樣周期的縮小要受到設(shè)備性能和系統(tǒng)總體要求的限制。所以，在最少拍設(shè)計(jì)時(shí)必須合理選擇采樣周期的大小。

4．在采樣點(diǎn)之間有波紋：最少拍設(shè)計(jì)只在采樣點(diǎn)上保證穩(wěn)態(tài)誤差為0。許多情況下，系統(tǒng)在采樣點(diǎn)之間呈現(xiàn)波紋，甚至?xí)袷幇l(fā)散，這實(shí)際上系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。最少拍無波紋設(shè)計(jì)要求是：系統(tǒng)在典型輸入作用下，經(jīng)過盡可能少的采樣周期后達(dá)到穩(wěn)態(tài)，且輸出在采樣點(diǎn)之間沒有波紋。一．波紋產(chǎn)生的原因及設(shè)計(jì)要求按上一節(jié)所述設(shè)計(jì)的最少拍控制器，系統(tǒng)輸出在采樣點(diǎn)之間存在波紋，是由控制量輸出序列的波動(dòng)引起的。如果經(jīng)過有限個(gè)周期，能使u（k）穩(wěn)定下來，系統(tǒng)輸出就不會(huì)產(chǎn)生波紋了。設(shè)廣義對(duì)象的脈沖傳函G（z）是關(guān)于z-1的有理分式第二節(jié)最少拍無波紋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

則有

P（z）和Q（z）分別是G（z）的零點(diǎn)多項(xiàng)式和極點(diǎn)多項(xiàng)式。要使控制量在穩(wěn)態(tài)過程中為0或者為常數(shù)，則必須使即為關(guān)于z-1的有限多項(xiàng)式，此時(shí)Φ（z）必須包含G（z）的分子多項(xiàng)式P（z），即包含G（z）的全部零點(diǎn)（單位圓內(nèi)、上和圓外），即Φ（z）=P（z）A（z）A（z）是關(guān)于z-1的多項(xiàng)式。設(shè)計(jì)要求：除滿足最少拍有波紋系統(tǒng)的一切要求，還須使Φ（z）包含G（z）的所有零點(diǎn)。這樣增加了調(diào)整時(shí)間，增加的拍數(shù)等于G（z）在單位園內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)。二．設(shè)計(jì)無波紋系統(tǒng)的必要條件必要條件是：被控對(duì)象GC（s）中必須含有無波紋系統(tǒng)所必需的積分環(huán)節(jié)數(shù)。

例如，針對(duì)單位速度輸入函數(shù)進(jìn)行設(shè)計(jì)，為了使得在常值的控制信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出也是所要求的單位速度變化量，GC(s)的傳遞函數(shù)必須至少有一個(gè)積分環(huán)節(jié)。三．最少拍無波紋系統(tǒng)Φ（z）的一般確定方法選擇閉環(huán)脈沖傳函Φ(z),Φe(z)為(4-43)

m為廣義對(duì)象G（z）的滯后環(huán)節(jié)；q對(duì)于階躍、速度、加速度輸入分別取1、2、3；a1、a2、…、av為G（z）單位圓上和圓外的v極點(diǎn)；b1、b2、…、bw為G(z)的所有w個(gè)零點(diǎn)。

式（4—43）中，q+v個(gè)待定系數(shù)由下列q+v個(gè)方程來確定

（4—44）

也可利用Φ（z）=1-Φe（z）的關(guān)系，根據(jù)等式兩端有關(guān)z-1的多項(xiàng)式系數(shù)相等的原則求待定系數(shù)。

例2：例4-1中，試針對(duì)單位速度輸入函數(shù)設(shè)計(jì)最少拍無波紋系統(tǒng)的D（z）。解：GC（s）中有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，滿足無波紋系統(tǒng)設(shè)計(jì)的必要條件。由例4-1知,系統(tǒng)的廣義脈沖傳函為已知：v=1，w=1,m=1單位速度輸入,q=2,G(z)有z=1的極點(diǎn),所以穩(wěn)定性條件已包含在準(zhǔn)確性條件中,可進(jìn)行降階設(shè)計(jì)。由式（4—43）可設(shè)由式（4—44）或待定系數(shù)法求得所以數(shù)字控制器的脈沖傳函為閉環(huán)系統(tǒng)的輸出序列為數(shù)字控制器的輸出序列為

可見,在第三拍后U(z)為常數(shù),系統(tǒng)輸出無波紋。系統(tǒng)的數(shù)字控制器和系統(tǒng)的輸出波形如圖4—7所示。

（上次課復(fù)習(xí)）最少拍快速有波紋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)：已知：

ai和bi是G(z)在單位圓上和圓外的極點(diǎn)零點(diǎn)。綜合考慮系統(tǒng)的準(zhǔn)確性、快速性和穩(wěn)定性要求:針對(duì)GC（s），m是純滯后環(huán)節(jié)，u為單位圓上和圓外的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，v為單位圓上和圓外的極點(diǎn)個(gè)數(shù)，q為典型輸入信號(hào)分母上(1-z-1)因子的階次。（上次課復(fù)習(xí)）最少拍快速無波紋系統(tǒng)的設(shè)計(jì)：已知：

bi是G(z)在單位圓上、圓內(nèi)和圓外的零點(diǎn)，ai是G(z)單位圓上和圓外的極點(diǎn)。綜合考慮系統(tǒng)的準(zhǔn)確性、快速性和穩(wěn)定性以及無波紋要求：

針對(duì)GC（s），m是純滯后環(huán)節(jié)，w為單位圓上、圓外、圓內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，v為單位圓上和圓外的極點(diǎn)個(gè)數(shù)，q為典型輸入信號(hào)分母上(1-z-1)因子的階次。m=1,q=2,u=0，v=1,w=1,例：設(shè)G(z)已知，若針對(duì)單位速度輸入，試確定快速有波紋系統(tǒng)和無波紋系統(tǒng)的￠(z)和￠e(z)有波紋系統(tǒng)：無波紋系統(tǒng)：q+v-1-1m+u-1q+v-1-1m+w-1P132習(xí)題1，T=0.2S，r(t)=t有波紋系統(tǒng)：無波紋系統(tǒng)：m=1,q=2,u=1，v=1,w=2有波紋系統(tǒng)：若輸入為單位速度信號(hào)q=2單位階躍信號(hào)輸入q=1m=1，u=1，v=2，w=2第四節(jié)純滯后對(duì)象的控制算法——大林算法一．大林算法的設(shè)計(jì)目標(biāo)以大林算法為模型的數(shù)字控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)的特性為具有時(shí)間滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，且滯后時(shí)間與被控對(duì)象的滯后時(shí)間相同。設(shè)τ=NT，N為正整數(shù)。大林算法的設(shè)計(jì)思路：假設(shè)：采用零階保持器，且采樣周期T。?被控對(duì)象為帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)?被控對(duì)象為帶有純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)二．振鈴現(xiàn)象及其抑制

例4-3：已知被控對(duì)象的傳函為：，T=1s，試用大林算法求數(shù)字控制器的D（z）。

解：設(shè)期望閉環(huán)系統(tǒng)為時(shí)間常數(shù)Tτ=2s的一階慣性環(huán)節(jié)，并帶有N=1個(gè)采樣周期的純滯后。這里，被控對(duì)象的滯后時(shí)間不是采樣周期的整數(shù)倍。廣義對(duì)象的脈沖傳函為：系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳函為：

數(shù)字控制器的傳函為：

當(dāng)輸入為單位階躍信號(hào)時(shí)，輸出是：

控制量輸出是引起振蕩削弱振蕩加劇振蕩