第9節(jié)-多項式插值課件

總結(jié)：線性方程組解法：直接法：Gauss法、列主元、全主元、LU，Cholesky法范數(shù)向量范數(shù)概念，1、2、∞范數(shù)計算；矩陣范數(shù)的概念；算子范數(shù)的概念，1、2、∞范數(shù)計算、相容性等性質(zhì)。病態(tài)問題概念，與算法穩(wěn)定性的關(guān)系；系數(shù)誤差和解誤差的關(guān)系；條件數(shù)：概念、計算；總結(jié)：迭代法解線性方程組：迭代法的概念；迭代法解方程的原理；Jacobi方法、Gauss-Seidel方法、SOR方法：寫出迭代公式迭代法收斂性-壓縮映射原理線性方程組迭代方程收斂的充分必要條件特殊矩陣的收斂性收斂速度迭代法程序結(jié)構(gòu)。第四章函數(shù)的數(shù)值逼近第一節(jié)多項式插值數(shù)值逼近（Approximation）Approximationtheoryisconcernedwithhowfunctionscanbestbeapproximatedwithsimplerfunctions,andwithquantitativelycharacterizingtheerrorsintroducedthereby.逼近理論研究如何將函數(shù)利用一組簡單函數(shù)近似表征，并定量分析逼近過程中產(chǎn)生的誤差。數(shù)值逼近包括兩大類：插值和擬合應(yīng)用：問題1：已知美國1900年~2000年人口數(shù)，分析美國人口變化規(guī)律，預(yù)測美國未來人口數(shù)目；問題2：已知某元件在電壓為v1…vn時，其電流為i1…in，求該元件的伏安特性曲線。巴爾默譜系當極少量的高純氫氣在高真空玻璃管中，加入高電壓使之放電，管中發(fā)出光束，使這種光經(jīng)過分光作用，在可見光區(qū)得到四條顏色不同的譜線。巴爾默譜系實驗總結(jié)：1885年，瑞士一位中學(xué)數(shù)學(xué)教師J.J.Balmar(巴爾默)指出，上述譜線的頻率符合下列公式：由此公式可算出：當n＝3時，是Hα的頻率當n＝4時，是Hβ的頻率當n＝5時，是Hγ的頻率當n＝6時，是Hδ的頻率數(shù)值逼近插值（interpolate）已知函數(shù)在xi處的值為yi，求f(x)，使之滿足：yi=f(xi)

其中，f(x)為插值函數(shù)，

xi處為插值節(jié)點，插值節(jié)點的區(qū)間稱為插值區(qū)間，yi=f(xi)為插值條件。擬合（fit）已知函數(shù)在xi處的值為yi，求f(x)，使之滿足：e=‖yi-f(xi)

‖在給定的準則下最小。差異：插值函數(shù)必須經(jīng)過插值點。擬合函數(shù)不必經(jīng)過擬合點。插值在已知<xi,yi>的前提下，有多少函數(shù)滿足yi=f(xi)？給定任意一組<xi,yi>，存在無窮多函數(shù)滿足yi=f(xi)，因此，在解決插值問題前，必須首先明確所采用的插值函數(shù)。常用插值函數(shù)：多項式函數(shù)；xnsinc函數(shù)等；sin（x）/x多項式插值問題描述：給定插值點<xi,yi>，構(gòu)造多項式函數(shù)Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，使之滿足：Pn(xi)=yi

(i=0,1,2,…,n)。如何計算：多項式Pn(x)由其多項式系數(shù)a0,a1,a2,…,an決定，只需要求解多項式系數(shù)，即可獲得該插值多項式。將Pn(xi)=yi寫為矩陣形式可得：求解該線性方程組即可得到多項式的系數(shù)范德蒙矩陣（Vandermonde）插值多項式的存在唯一性該線性方程組有解嗎，解唯一嗎？唯一性定理：通過n+1個節(jié)點的n階插值多項式存在且唯一。范德蒙矩陣的行列式的值為xi-xj的連乘積，當

xi≠xj時，該行列式的值不為零，即線性方程組有解，且存在唯一解證明：多項式插值例：已知x=0,0.2,0.4,0.6,0.8,1.0，y=1.0,1.17,1.70,2.59,3.93,6.00，求5階多項式差值。多項式插值的另一表示-拉格朗日多項式多項式插值的拉格朗日多項式表示：給定插值點<xi,yi>，其插值多項式可表示為：拉格朗日多項式性質(zhì)性質(zhì)1：拉格朗日多項式在本插值點值為1，其它插值點值為0。二階拉格朗日差值函數(shù)四階拉格朗日差值函數(shù)拉格朗日多項式性質(zhì)拉格朗日多項式例：已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用一次、二次多項式插值計算lg12的近似值。拉格朗日多項式多項式插值誤差定理：多項式插值誤差多項式插值誤差例：

分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50并估計誤差。多項式插值的Runge現(xiàn)象clearallcloseallclc

%runge

x=-5:1.0:5;y=1./(1+x.^2);t=-5:0.05:5;y0=1./(1+t.^2);p=polyfit(x,y,10);y1=polyval(p,t);plot(t,y0,x,y,'o',t,y1,'.')多項式插值的Rung現(xiàn)象2階4階8階10階注意：上述插值結(jié)果是正確的多項式插值結(jié)果，而且是唯一的多項式插值結(jié)果。Rung現(xiàn)象是多項式插值本身的缺陷而非誤差。埃爾米特（Hermite）插值在不少實際問題中，對插值不但要求在節(jié)點上函數(shù)值相等而且還要求它的導(dǎo)數(shù)值也相等。埃爾米特插值埃爾米特插值埃爾米特插值的矩陣表示Hermite插值性質(zhì)Hermite插值性質(zhì)Hermite插值也存在Runge現(xiàn)象。Hermite插值的計算Hermite插值的計算Hermite插值的計算Hermite插值結(jié)果，保留了f’(x)的特征Hermite插值與多項式插值比較多項式插值結(jié)果，沒有保留了f’(x)的特征Hermite插值的計算sin函數(shù)的三階多項式插值和Hermite插值拉格朗日插值程序%lagrangen.mfunctiony=lagrangen(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0;

fork=1:nL=1;

forj=1:n

ifj~=kL=L*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

endend

s=s+L*y0(k);

end

y(i)=s;endy;拉格朗日插值程序%Chazhibijiao.mx=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.^2);plot(x,z,'k',x,y,'r')axis([-55-1.52]);pause,holdonforn=2:2:10x0=linspace(-5,5,n+1);y0=1./(1+x0.^2);x=-5:0.1:5;y1=lagrangen(x0,y0,x);plot(x,y1),pauseendy2=1./(1+x0.^2);y=interp1(x0,y2,x);plot(x,y,'k'),holdoffgtext('n=2'),gtext('n=4'),gtext('n=6')gtext('n=8'),gtext('n=10')gtext('f(x)=1/(1+x^2)')經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverythi