統(tǒng)計(jì)教材課件

在概率的研究中為什么需要引入隨機(jī)變量？

引入隨機(jī)變量是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的需要。為了便于數(shù)學(xué)推理和計(jì)算，有必要將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，使得可以用高等數(shù)學(xué)課程中的理論與方法來研究隨機(jī)試驗(yàn)，研究和分析其結(jié)果的規(guī)律性，因此，隨機(jī)變量是研究隨機(jī)試驗(yàn)的重要而有效的工具。隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量、概率分布、分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量及其分布律連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度返回退出如何引入隨機(jī)變量的概念？為了全面地研究隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，揭示隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，我們將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果與實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)起來，將隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，引入隨機(jī)變量的概念。在隨機(jī)現(xiàn)象中，有很大一部分問題與數(shù)值發(fā)生關(guān)系，例如在產(chǎn)品檢驗(yàn)問題中，我們關(guān)心的是抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中，我們關(guān)心的是某時(shí)刻正在工作的車床數(shù)；在電話問題中關(guān)心的是某段時(shí)間中的話務(wù)量，它與呼叫的次數(shù)及各次呼叫占用交換設(shè)備的時(shí)間長(zhǎng)短有關(guān)。此外如測(cè)量時(shí)的誤差，氣體分子運(yùn)動(dòng)的速度，信號(hào)接收機(jī)所收到的信號(hào)(用電壓表示或數(shù)字表示)的大小，也都與數(shù)值有關(guān)。有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來描述，例如在擲硬幣問題中，每次出現(xiàn)的結(jié)果為正面或反面，與數(shù)值沒有關(guān)系，但是我們能用下面方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來，當(dāng)出現(xiàn)正面時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)“1”，而出現(xiàn)反面時(shí)對(duì)應(yīng)數(shù)“0”，為了計(jì)算n次投擲中出現(xiàn)的正面數(shù)就只須計(jì)算其中“1”出現(xiàn)的次數(shù)了。如何引入隨機(jī)變量的概念？一般地，如果A為某個(gè)隨機(jī)事件，則一定可以通過如下示性函數(shù)使它與數(shù)值發(fā)生聯(lián)系：如果A發(fā)生如果A不發(fā)生這些例子中，試驗(yàn)的結(jié)果能用一個(gè)數(shù)x來表示，這個(gè)數(shù)x是隨著試驗(yàn)的結(jié)果的不同而變化的，也即它是樣本點(diǎn)的一個(gè)函數(shù)，這種量以后稱為隨機(jī)變量。下面我們就來考慮應(yīng)當(dāng)如何給這種量以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義。正如對(duì)隨機(jī)事件一樣，我們所關(guān)心的不僅是試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)的結(jié)果，更重要的是要知道這些結(jié)果將以怎樣的概率出現(xiàn)，也即對(duì)隨機(jī)變量我們不但要知道它取什么數(shù)值，而且要知道它取這些數(shù)值的概率。例1：將一枚硬幣拋擲3次，我們感興趣的是三次投擲中，出現(xiàn)H的總次數(shù)，而對(duì)H,T出現(xiàn)的次序不關(guān)心。以X記三次投擲中出現(xiàn)H的總次數(shù)，那么對(duì)于樣本空間S={e}中的每一個(gè)樣本點(diǎn)e，X都有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，即有樣本點(diǎn)HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值32221110我們注意到，隨機(jī)變量的取值隨試驗(yàn)的結(jié)果而定，而試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果出現(xiàn)有一定的概率，因而隨機(jī)變量的取值有一定的概率。如，當(dāng)且僅當(dāng)事件A={HHT,HTH,THH}發(fā)生時(shí)有{x=2},而且P(A)=3/8,則P{x=2}=3/8。設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S=｛e｝,X=X(e)是定義在樣本空間S上的單值實(shí)函數(shù)，稱X=X(e)為隨機(jī)變量。概率分布

一般，若L是一個(gè)實(shí)數(shù)集合，將X在L上取值寫成{X∈L},它表示事件B={e∣X(e)∈L}，即B是由S中使得X(e)∈L的所有樣本點(diǎn)e所組成的事件，此時(shí)有P{X∈L}=P(B)=P{e∣X(e)∈L}。P{X∈L}稱為隨機(jī)變量X的概率分布。隨機(jī)變量設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)F(x)=P{X≤x}=P{e∣X(e)∈(－∞,ｘ]}稱為X的分布函數(shù)。分布函數(shù)設(shè)X(e)是定義于概率空間（S,F,P)上的單值實(shí)函數(shù)，如果對(duì)于直線上任意波雷爾點(diǎn)集B，有

{e∣X(e)∈B}則稱X(e)為隨機(jī)變量。概率分布而P{X(e)∈B}稱為隨機(jī)變量X(e)的概率分布。隨機(jī)變量特別地，取B=(－∞,ｘ），稱F(x)=P{X(e)<x}，－∞<x<∞為隨機(jī)變量X(e)的分布函數(shù)。分布函數(shù)[思考]對(duì)于有限樣本空間，或者由可列個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的樣本空間，我們只要知道每一個(gè)樣本點(diǎn)所構(gòu)成的基本事件的概率，便可了解整個(gè)樣本空間的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。但是對(duì)于由不可列個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的樣本空間，我們不可能逐點(diǎn)去認(rèn)識(shí)它的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即不可能把隨機(jī)變量X取每個(gè)實(shí)數(shù)的概率一一列舉，更何況對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量取任意指定的實(shí)數(shù)值的概率都等于0。在實(shí)際中，我們感興趣的往往是隨機(jī)變量X取值于某個(gè)區(qū)間(a,b)的概率，或取值于若干個(gè)這種區(qū)間的概率，如測(cè)量誤差小于某個(gè)數(shù)的概率，壽命大于某個(gè)數(shù)的概率，雨量介于100毫米到120毫米之間的概率，等等。前面我們給出了分布函數(shù)的定義，而分布函數(shù)F(x)在x處的函數(shù)值就表示隨機(jī)變量X取值于區(qū)間（-∞，x]上的概率，如果我們已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),那么隨機(jī)變量X取其它值的概率便可由此計(jì)算，如對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1＜x2),有P{x1＜X≤x2}=P{X≤X2}-P{X≤X1}=F(x2)-F(x1)分布函數(shù)的基本性質(zhì)分布函數(shù)F(x)具有下列性質(zhì):⑴F(x)是一個(gè)不減函數(shù)。即對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1,x2(x1<x2),有F(x1)≤F(x2);⑵⑶F(x)是右連續(xù)的。即F(x+0)=F(x)為什么分布函數(shù)定義為右連續(xù)？定義左連續(xù)或者右連續(xù)只是一種習(xí)慣。目前，俄羅斯和東歐國(guó)家一般定義左連續(xù)；西歐和美國(guó)一般定義右連續(xù)；我國(guó)的大多數(shù)書籍也采用右連續(xù)。左連續(xù)和右連續(xù)的區(qū)別在于計(jì)算F(x)時(shí)，X=x點(diǎn)的概率是否計(jì)算在內(nèi)。對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言，因?yàn)橐稽c(diǎn)上的概率等于零，定義左連續(xù)和右連續(xù)沒有什么區(qū)別；對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果P{X=x}≠0，則左連續(xù)和右連續(xù)時(shí)的F(x)值就不相同了。因此，在閱讀關(guān)于概率論的參考書時(shí)，要注意作者是定義左連續(xù)還是右連續(xù)的，以免出錯(cuò)。返回X取其各個(gè)可能值xk(k＝1，2，…)的概率P{X＝xk}＝pk，稱為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)(概率分布或分布律)。分布率也可以用表格的形式來表示：稱為隨機(jī)變量X的分布列。如果隨機(jī)變量X的取值是有限個(gè)或可列無限多個(gè)，則稱X為離散型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的概念Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…離散型隨機(jī)變量的概率分布離散型隨機(jī)變量分布函數(shù)的計(jì)算有了分布列，可以通過下式求得分布函數(shù)顯然這時(shí)F(x)是一個(gè)跳躍函數(shù)，我們可以用分布列或分布函數(shù)來描述離散型隨機(jī)變量。例2：設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四組信號(hào)燈，每組信號(hào)燈以1／2的概率允許或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時(shí)，它已通過的信號(hào)燈的組數(shù)(設(shè)各組信號(hào)燈的工作是相互獨(dú)立的)，求X的分布律。解以p表示每組信號(hào)燈禁止汽車通過的概率，易知X的分布律為或?qū)懗蒔{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3,P{X=4}=(1-p)4以p=1/2代入得X01234pkp(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4X01234pk0.50.250.1250.06250.0625例3設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求X的分布函數(shù)，并求P{X≤1/2},P{3/2＜X≤5/2},P{2≤X≤3}.解X－123pk1/41/21/4F(X)的圖形如下F(x)O1-1321X例4：一個(gè)靶子是半徑為2米的圓盤，設(shè)擊中靶上任意同心圓盤上的點(diǎn)的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能擊中靶，以X表示彈著點(diǎn)于圓心的距離。試求隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。解若X<0，則{X≤x}是不可能事件，于是F(x)=P{X≤x}=0若0≤x≤2,由題意，P{0≤X≤x}=kx2,k是某一常數(shù)，為確定k的值，取x=2,有P{0≤X≤2}=22k，但已知P{0≤X≤2}=1,故得k=1/4,即P{0≤X≤x}=x2/4.于是F(x)=P{X≤x}=P{X＜0}+P{0≤X≤x}=x2/4.若X>2，由題意，有F(x)=P{X≤x}=1.綜合上述，即得X的分布函數(shù)為O1321X1/2F(x)退化分布若隨機(jī)變量a只取常數(shù)值c，即P{x=c}=1這時(shí)分布函數(shù)為(0—1)分布的分布律也可寫成（0—1）分布設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律是P{X＝k}＝pk(1一p)1-k，k＝0，1(0<p<1)，則稱X服從(0—1)分布或兩點(diǎn)分布。X01pk1-pp關(guān)于（0—1）分布對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個(gè)元素，即S={e1，e2}，我們總能在S上定義一個(gè)服從(0一1)分布的隨機(jī)變量來描述這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。例如，對(duì)新生嬰兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格，某車間的電力消耗是否超過負(fù)荷以及前面多次討論過的“拋硬幣”試驗(yàn)等都可以用(0—1)分布的隨機(jī)變量來描述。(0一1)分布是經(jīng)常遇到的一種分布。伯努利試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A及，則稱E為伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)。設(shè)P(A)＝p(0<p<1)，此時(shí)P()＝1-p。將E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)。這里“重復(fù)”是指在每次試驗(yàn)中P(A)＝p保持不變；“獨(dú)立是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響，即若以Ci記第i次試驗(yàn)的結(jié)果，Ci為A或，i＝1，2，…，n．“獨(dú)立”是指P{C1C2…Cn}＝P(C1)P(C2)…P(Cn)．n重伯努利試驗(yàn)是一種很重要的數(shù)學(xué)模型．它有廣泛的應(yīng)用，是研究最多的模型之一。n重伯努利試驗(yàn)例如，E是拋一枚硬幣觀察得到正面或反面。A表示得正面，這是一個(gè)伯努利試驗(yàn)．如將硬幣拋n次，就是n重伯努利試驗(yàn)。又如拋一顆骰子，若A表示得到“1點(diǎn)”，表示得到“非l點(diǎn)”。將骰子拋n次，就是n重伯努利試驗(yàn)。再如在袋中裝有a只白球，b只黑球。試驗(yàn)E是在袋中任取一只球，觀察其顏色。以A表示“取到白球”，P(A)＝a／(a+b)。若連續(xù)取球n次作放回抽樣，這就是n重伯努利試驗(yàn)。然而，若作不放回抽樣，則每次試驗(yàn)都有P(A)＝a／(a+b)，但各次試驗(yàn)不再相互獨(dú)立，因而不再是n重伯努利試驗(yàn)了。伯努利試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn)E只有兩個(gè)可能結(jié)果：A及，則稱E為伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)。n重伯努利試驗(yàn)考慮n重伯努里試驗(yàn)中，事件A恰出現(xiàn)k次的概率。以X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，X是一個(gè)隨機(jī)變量，我們來求它的分布律。X所有可能取的值為o，1，2，…，n．由于各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的，故在n次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生k次的概率為伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布從圖中可以看出，對(duì)于固定的n及p，當(dāng)k增加時(shí)，b(k;n,p)險(xiǎn)隨之增加并達(dá)到某極大值，以后又下降。此外，當(dāng)概率p越與1/2接近時(shí)，分布越接近對(duì)稱。固定n和p，當(dāng)k取何值時(shí)，b(k;n,p)取最大值？由于對(duì)0<p<1,因此當(dāng)k<(n+1)p時(shí)，b(k;n,p)>b(k-1;n,p)當(dāng)k=(n+1)p時(shí)，b(k;n,p)=b(k-1;n,p)當(dāng)k>(n+1)p時(shí)，b(k;n,p)<b(k-1;n,p)因?yàn)?n+1)p不一定是正整數(shù)，所以存在正整數(shù)m，使得(n+1)p-1＜m≤(n+1)P,當(dāng)k=m時(shí)達(dá)到極大值。例5：按規(guī)定，某種型號(hào)電子元件的使用壽命超過1500小時(shí)的為一級(jí)品。已知某一大批產(chǎn)品的一級(jí)品率為0．2，現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查20只。問20只元件中恰有k只(k=0，，…，20)為一級(jí)品的概率是多少?解這是不放回抽樣。但由于這批元件的總數(shù)很大，且抽查的元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來說又很小，因而可以當(dāng)作放回抽樣來處理，這樣做會(huì)有一些誤差，但誤差不大。我們將檢查一只元件看它是否為一級(jí)品看成是一次試驗(yàn)，檢查20只元件相當(dāng)于做20重伯努利試驗(yàn)。以X記20只元件中一級(jí)品的只數(shù)，那么，X是一個(gè)隨機(jī)變量，且有X～b(20，0．2)。即得所求概率為例6：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0．02，獨(dú)立射擊400次，試求至少擊中兩次的概率。解：將一次射擊看成是一次試驗(yàn)．設(shè)擊中的次數(shù)為X，則X～b(400，0．02)。X的分布律為什么是小概率事件？它有什么實(shí)際意義？小概率事件是指一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率很小的事件。但從理論上講，一個(gè)事件發(fā)生的概率不論多小，只要不斷重復(fù)試驗(yàn)下去，事件遲早會(huì)出現(xiàn)的，概率是1。因?yàn)?，若設(shè)P(A)＝>0，Ak為A在第k次試驗(yàn)中出現(xiàn)，則

，于是在前n次試驗(yàn)中，A至少出現(xiàn)一次的概率為其實(shí)際意義是，我們可以借助它判斷事情的真實(shí)性。因?yàn)楦鶕?jù)實(shí)際推斷原理，小概率事件在一次試驗(yàn)中幾乎是不可能發(fā)生的。而某一認(rèn)為概率很小的事件，居然在一次試驗(yàn)中發(fā)生了，人們就有理由懷疑其正確性。例7：設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是0．01，且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理?？紤]兩種配備維修工人的方法，其一是由4人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)20臺(tái)；其二是由3人共同維護(hù)80臺(tái)．試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。解按第一種方法。以X記“第1人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”，以Ai(i＝1，2，3，4)表示事件“第i人維護(hù)的20臺(tái)中發(fā)生故障不能及時(shí)維修”，則知80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為P(A1UA2UA3UA4)≥P(A1)＝P{X≥2}．而X～b(20，0．01)，故有按第二種方法．以Y記80臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)。此時(shí)，Y～b(80，0．01)，故80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為我們發(fā)現(xiàn)，在后一種情況盡管任務(wù)重了(每人平均維護(hù)約27臺(tái))，但工作效率不僅沒有降低，反而提高了。例8保險(xiǎn)事業(yè)是最早使用概率論的部門之一。保險(xiǎn)公司為了估計(jì)企業(yè)的利潤(rùn)，需要計(jì)算各種各樣的概率，下面是典型問題之一。若一年中某類保險(xiǎn)者里面每個(gè)人死亡的概率等于0．005，現(xiàn)有10000個(gè)這類人參加人壽保險(xiǎn)，試求在來來一年中在這些保險(xiǎn)者里面，(1)有40個(gè)人死亡的概率；(2)死亡人數(shù)不超過70個(gè)的概率。解]作為初步近似，可以利用貝努里概型，n=10000．p=0．005，設(shè)為未來一年中這些人里面死亡的人數(shù)，則所求的概率分別為(1)b(40；10000,0.005)直接計(jì)算這些數(shù)值相當(dāng)困難，要有更好的計(jì)算方法。可以利用概率論中的極限定理來實(shí)現(xiàn)近似計(jì)算。關(guān)于極限定理后面將討論。對(duì)某批N件產(chǎn)品進(jìn)行不放回抽樣檢查，若這批產(chǎn)品中有M件次品，現(xiàn)從整批產(chǎn)品中隨機(jī)抽出n件產(chǎn)品，則在這n件產(chǎn)品中出現(xiàn)的次品數(shù)v是隨機(jī)變量，它取值0，1，2，…，n，其概率分布為超幾何分布。超幾何分布幾何分布在事件A發(fā)生的概率為p的貝努利試驗(yàn)中，若以記A首次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則為隨機(jī)變量，它可能取的值為1,2,3…，其概率分布為幾何分布。g(k,p)=P{=k}=qk-1p,k=1,2,…巴斯卡分布在事件A發(fā)生的概率為p的貝努利試驗(yàn)中，若以記A第r次出現(xiàn)時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則為隨機(jī)變量，它可能取的值為r,r+1,…，其概率分布為巴斯卡分布。顯然當(dāng)r=1時(shí)，即為幾何分布。返回連續(xù)型隨機(jī)變量、概率密度函數(shù)如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)，存在非負(fù)函數(shù)f(x)使對(duì)于任一實(shí)數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)。由數(shù)學(xué)分析的知識(shí)知，連續(xù)性隨機(jī)變量的分布函數(shù)一定是連續(xù)函數(shù)。概率密度函數(shù)的性質(zhì)由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，概率密度函數(shù)具有以下性質(zhì)：(1)f(x)≥0，函數(shù)曲線位于x軸上方；

反之，對(duì)于定義在（-∞,∞)上的可積函數(shù)f(x),若它滿足性質(zhì)1和性質(zhì)2，則由它定義的F(x)是一個(gè)分布函數(shù)，即它滿足分布函數(shù)所必須具備的三個(gè)性質(zhì)。連續(xù)型隨機(jī)變量在任何一點(diǎn)的概率對(duì)于連續(xù)性隨機(jī)變量X，X取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0，即P{X=a}=0。證X的分布函數(shù)為F(x)，⊿x>0，則由{X＝a){a-⊿x

<X≤a)得0≤P{X＝a}≤P{a-⊿x<X≤a}＝F(a)一F(a-⊿x)。在上述不等式中令⊿x→0，并注意到X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其分布函數(shù)F(x)是連續(xù)的。即得P{X＝a}=0[注意}在計(jì)算連續(xù)型隨機(jī)變量落在某一區(qū)間的概率時(shí)，可以不必區(qū)分該區(qū)間是開區(qū)間或閉區(qū)間或半閉區(qū)間。例如有P{a<X≤b}＝P{a≤X≤b}=P{a<X<b>。在這里，事件{X=a)并非不可能事件，但有P{X＝a}=0．這就是說，若A是不可能事件，則有P(A)=0；反之，若P(A)＝0，并不一定意味著A是不可能事件。以后當(dāng)我們提到一個(gè)隨機(jī)變量X的“概率分布”時(shí)，指的是它的分布函數(shù)；或者，當(dāng)X是連續(xù)型時(shí)指的是它的概率密度，當(dāng)X是離散型時(shí)指的是它的分布律。連續(xù)型隨機(jī)變量的f(x)⊿x在概率中的含義由概率密度f(x)的性質(zhì)4，有

若不計(jì)高階無窮小，有P{x<X≤x+⊿x}≈f(x)⊿x這表示X落在小區(qū)間（x,x+⊿x]上的概率近似地等f(x)⊿x。例11設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度⑴確定常數(shù)k；⑵求X的分布函數(shù)F(x)；⑶求P{1<X≤7/2}。相應(yīng)的分布函數(shù)為：均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布。記為X～U(a,b).分布函數(shù)均勻分布的密度函數(shù)與分布函數(shù)例12設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900～1100。求R的概率密度及R落在950～1050的概