2023年高考數(shù)學強基計劃模擬試卷含答案（十四）

2023年高考數(shù)學強基計劃模擬題(十四)

(滿分100分，測試時間：60分鐘)

一、填空題(每小題10分)

1.整數(shù)p,q滿足p+q=218,/+「％+q=。有整數(shù)根，則滿足這樣條件的整數(shù)對

(p,q)的個數(shù)為.

2.△ABC的三個頂點分別對應復數(shù)Z2,Z3,已知寒1=1+2"則△ABC的面積與

其最長邊長的平方的比等于.

3.不等式彳+；>1且xN3,yN3的正整數(shù)解(x,y)的個數(shù)是.

4.令斯表示距離赤最近的正整數(shù)，已知2+上+…+白2020,則n的值等于

5.有種方式可以將正整數(shù)集合N+分拆成兩個不相交的子集的并，使得每個子集

都不包含無窮等差數(shù)列.

6.設數(shù)列｛即｝滿足%=6,an+i=『%?，則以下幾個結論中：

3

(l)Vn€N*,an<(n+I);

(2)VneN*,an消2020;

(3)3nGW*.a”為完全平方數(shù)；

(4”n€N*,與為完全立方數(shù).

正確的有.

二、解答題(每小題20分)

7.設4(%,。2,…，。2。。。)是一個整數(shù)數(shù)列，其中由e[-1000,1000].^+a2+-+

。2000=1，求證：存在4的一個非空子數(shù)列，其和為零.

3

8.設出=1,即+T=(l+；)3(n+an),neN*.求證：(l)an=n(l+Sfc=ip)；

(2)nk(l+$<3.

答案

1.【答案】4

【分析】

本題考查了根與系數(shù)的關系，屬于基礎題.

設方程的兩個根為X2,(X!<X2)>由韋達定理結合條件可得一01+犯)+X1%2=218,

整理成(%-1)(%2-1)=219,即可分析得結果.

【解答】

解：設方程的兩個根為勺，不，014必)，

所以由韋達定理得｛：；：2q~P，

故兩根都是整數(shù)，

再由p+q=218,可得-(X1+x2)+%!%2=218,

則01-1)(血-1)=219,

即01-1)(&-1)=1x219=3x73=(-1)x(-219)=(-3)X(-73),

易知結論為4.

故答案為4.

2.【答案】1

【解析】由復數(shù)除法的幾何意義可知濘1=1+2i的輔角主值表示以為為頂點，以F，彷

為邊的角，把AABC對應的Z1移到坐標頂點，再利用相似的三角形相關比不變性質(zhì)，構造一

個邊長石石為1的三角形，進而易求.

3.【答案】5

【分析】

本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎題.

利用不等式的性質(zhì)，得(x-2)(y-2)<4,即可求解.

【解答】

解：因為xN3,y>3,

不等式“?l=2y+2x>xy

<=>xy—2%—2y<0<=>(x-2)(y—2)<4,

所以@一2,y-2)可以是(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)，

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所以滿足不等式彳+三>1且x23,y23的正整數(shù)解(x,y)為(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3),

xy

故正整數(shù)解(x,y)的個數(shù)是5.

4.【答案】1021110

【分析】

本題考查了數(shù)列的求和，屬于中檔題.

分別求出a2>a3,a4,a5,a6,a7的值，可得a2,即按照這樣的規(guī)律取值：2個

1,4個2,6個3,…，2k個k,從而可求和.

【解答】

解：由題意可得%=1,a2=1,a3=2,a4=2,a5=2,a6=2,a7=3,??-,

即的,a2,an按照這樣的規(guī)律取值：2個1,4個2,6個3,…，2k個匕…,

所以有(：+：)+(之+之+:+^)+(g+…+?)+"=2020=>2+2+…+2=2020.

共有1010組2構成等式，故n=2+4+…+2x1010=1021110.

5.【答案】無窮多

【解析】將正整數(shù)集合N+分拆為48,B=N+/A任取一正整數(shù)放入集合B中，設為元素a,

以此為初始元素開始構成集合B,a+2作為集合8中的第二個元素，a+5作為第三個，間隔

的距離以每次在前一個長度上再增加一個長度為基準……依此類推，得到的集合B則是滿足

題意的一種分法，由于a的任意性，故有無窮多利L

6.【答案】(1)(2)

【解析】利用數(shù)列的遞推方法，可求得的=6,an+1=彳即的通項公式為即+1=n(n4-

l)(n+2),

顯然可得(1)和(2)成立.下面考慮(3)(4)不成立.若(3)成立，則存在一個正整數(shù)m,滿足n(n+

l)(n+2)=巾2.由于n+1與n，n+2均互質(zhì)，則有n+1與n(n+2)必均是完全平方數(shù)，但

是由于小，在任意兩個連續(xù)的完全平方數(shù)之間不存在其他完全平方數(shù)，故無論n為何值，an

都不可能是完全平方數(shù)洞理，即也不可能是完全立方數(shù).

7.【答案】可以采用構造法，若存在一項為0,則命題成立;若任一項均不為0,則任取整數(shù)

數(shù)列4中一項a作為瓦.令S]=瓦，不妨設瓦>0,瓦€[1,1000].若瓦=1,則余下的項的和

滿足題意.若瓦>2,由于%+a2+.??+a2000=1,故余下的項中必存在取值為負整數(shù)的項，

從中任取一項作為慶6[-1000,-l].^S2=瓦+⑦，則526[一999,999]若52>0,則一定

存在負整數(shù)項，令其為壇.若$2<0，則必存在正整數(shù)項，令其為以.令S3=&+與+?，依

此類推，若S>0,則必有后續(xù)數(shù)為負.若S2<0,則必有后續(xù)數(shù)為正.如此，若Si，S2,…,

S1999有某值為0,則命題成立;若有某值為1，則后續(xù)數(shù)和為0,命題成立.若無0,1,貝52,

…，S1999e[-999,-1]U[2,1000],且由抽屜原理和16Z可知必存在Si=廿，i*j,i,je

{1,2,…,1999},二者之差則是符合題意的結論.

8.【答案】⑴由歸納法易得.或令勾=簿則與+1=如+1，由累加法知垢=1+2k+，

即an=4（1+￡仁；/）.

33￡

(2)因為以=爐(1+優(yōu)&)=/c+fc-S5=14-/c,所以誓=?：：*；

11k1+%=1二

nn

n41￡i,14l.n—1+Z^二-1-7

1=1(1+ak)=%I