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文檔簡(jiǎn)介
2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題
1.已知函數(shù)/(x)—4x2-alnx-a(aGR).
(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)已知不等式/(x)》(2-?)阮—"+4/對(duì)任意的在(0,1]恒成立,求證:當(dāng)a
取最大值時(shí),fCx)22加2-1.
【解答】解:(1)由題意得/(x)的定義域是(0,+8),
/、ca8x2—a
(x)=8x——=-----
XX
若aWO,則/'(x)>0恒成立,故/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
若〃>0,令/(X)>0,解得:孚,令,(X)<0,解得:0<rV苧,
故/(x)在(0,遞減,在(客+8)遞增,
,44
綜上:aWO時(shí),/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,
yj2a72a
〃>0時(shí),f(x)在(0,---)遞減,在(---,+8)遞增;
44
(2)證明:,不等式/(x)N(2-〃)歷r-冰+4工2對(duì)任意工£(0,1]恒成立,
故a(x-1)-2/〃x20對(duì)任意(0,1]恒成立,
令h(x)=a(x-1)-2bix,xE(0,1],則分'(x)=a—£=
①若aWO,則(x)VO恒成立,故〃(x)在(0,1]遞減,故A(x)min=h(1)=0,
f
②當(dāng)0<a<2時(shí),h(x)<0,故〃Cx)在(0,1]遞減,h(x)min=h(1)=0,
③a>2時(shí),ov2vi,令h'(x)>0,解得:一
Qa
222
令h'(x)<0,解得:OVxVj故A(x)=h(一)=2-a-
aminaa
2
令A(yù)u(x)=2-x-21k=2-x-2ln2+2lnx(x>2),
x
貝Ij"'(x)=-1+p由x>2,解得:u'(x)<0,
故〃(x)在(2,+8)遞減,故"(x)<0在(2,+8)上恒成立,
2
故a>2時(shí),h(x)在(0,1]上的最小值是2-a-2/,qV0,
故a>2不合題意,
綜上:時(shí),a的最大值是2,
當(dāng)a取最大值時(shí),f(x)=4f-2lnx-2,
第1頁(yè)共5頁(yè)
11
/(x)在(o,-)遞減,在(5,+8)遞增,
1
f(x)min=f(5)=2ln2-1,
故當(dāng)。取最大值時(shí),f(x)22。2-1.
2.已知斜率為1的直線(xiàn)與圓C:(x-3)2+/=2切于點(diǎn)T,且點(diǎn)T在拋物線(xiàn),=2加(p>0)
上.
(1)求p的值;
(2)若不過(guò)點(diǎn)。的動(dòng)直線(xiàn)/:廠(chǎng)少=川與拋物線(xiàn)交于E,F兩點(diǎn),與圓。交于P,。兩點(diǎn),
求:ACEF的最小值及此時(shí)m的值.
'△CPQ
【解答】解:(1)設(shè)切線(xiàn)方程為
由題意可知C(3,0)到切線(xiàn)的距離"=反型=&,
解得f=-1或f=-5舍,
得切線(xiàn)方程為y=x-1.
H_1__
設(shè)r(小〃-1),則—-=—1,可得〃=2,T(2,1),
n-3
由7在拋物線(xiàn)上,可得4=2p,
解得p=2;
(2)設(shè)E(xi,y\),F(X2,歹2),
由2〃可得/+以-4"7=0,
+4y
所以x\+x2=-4,x\X2=-4m,
2
\EF\=V2*74-x2)-=V2*V16+16m=4a71+m,
因?yàn)閳A心(3,0)到直線(xiàn)P0的距離為牛到,
V2
所以|尸0|=2^2-(^^)2=V-2m2+12m-10,
所以也竺=股=4j2(l+m)_=4I1+m
S&CPQ\PQ\V-2m2+12m-10\-m2+6m-5)
由于不過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)和圓C均有兩個(gè)不同的交點(diǎn),
16+16m>0
0Vlm-3|v應(yīng),解得1<機(jī)<3或3<加<5.
V2
(mW3
第2頁(yè)共5頁(yè)
令1+加=〃,貝lj(2,4)U(4,6),m=u-1,
注您I〃
S^CPQ=4-J-(u-l)2+6(u-l)-5
=y/2+瓜,
當(dāng)且僅當(dāng)〃=號(hào),即〃=2百,即m=2百一1時(shí)取得等號(hào),
所以當(dāng)加=2w一1時(shí),登更取得最小值,且為無(wú)+傷.
S^CPQ
3.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸,且過(guò)力(0,-2),8(旦,-1)
2
兩點(diǎn).
(1)求E的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)PQ,-2)的直線(xiàn)交E于A/,N兩點(diǎn),過(guò)M且平行于x軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段
N8交于點(diǎn)T,點(diǎn)〃滿(mǎn)足證=后.證明:直線(xiàn)"V過(guò)定點(diǎn).
22
【解答】解:(1)設(shè)E的方程為tJy=l,
abz
4=i
將A(0,-2),BC|,-1)兩點(diǎn)代入得9i,
’,22=1
4ab
解得/=3,廬=4,
22
故E的方程為“—=1:
34
⑵由A(0,-2),B(-1,-1)可得直線(xiàn)AB:y~x-2
CaO
①若過(guò)P(l,-2)的直線(xiàn)的斜率不存在,直線(xiàn)為x=l,
代入《工=1'可得Md,嗓),N(l,
將y代入AB:y=-|-x-2,可得T(遍+3,乙號(hào)
OQO
由而=存,得H(2^+5,呼■),
O
易求得此時(shí)直線(xiàn)HN:y=(2?R)x-2,過(guò)點(diǎn)(0,-2);
3
第3頁(yè)共5頁(yè)
②若過(guò)尸(1,-2)的直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)履-廣(%+2)=0,M(xi,yi),N(m,
/),
kx-y-(k+2)=0
聯(lián)立,Y2V2,得(3廬+4)&-6k(2+k)x+3k(什4)=0,
—+—=1
l341
6k(2+k)-8(2+k)
x+x=--------了1+了2-3k2+4_2
1"23k2+44k
故有,4(4+妣-2k2,且xiy2+x2yi=H(*),
3k(4+k)
?1X=----5----
32k2+4“2-3k2+4
,「安為「3yl
聯(lián)立{2,可得T(—+3,y.),H(3yt+6-X1>y)
y=yx-2/
可求得此時(shí)HN:y-y=--------------(x-X0),
203y1+6-xrX22
將(0,-2)代入整理得2(xi+x2)-6(yi+>2)+x\y2+x2yi-3yiyi-12=0,
將(*)代入,得24A+12F+96+48A-24k-48-48桿24嚴(yán)-36k2-48=0,
顯然成立.
綜上,可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(0,-2).
4.已知函數(shù)/(x)=/"(1+x)+axex.
(1)當(dāng)a=l時(shí),求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程;
(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個(gè)零點(diǎn),求。的取值范圍.
【解答】解:(1)當(dāng)。=1時(shí),/(x)=/〃(1+x)+xe,x,則f,(x)=^+e-x_xe-x,
1+x
"(0)=1+1=2,
又/(0)=0,
所求切線(xiàn)方程為y=2x;
⑵f,(x)=1,a(l-x),
1
W1+xex
若a20,當(dāng)-ICxVO時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,則/(x)</(0)=0,不合
題意;
故a<0,1(x)?、乓?與皂),令g(x)=iW以,注意到
14-vXX
J■八ao
第4頁(yè)共5頁(yè)
/八一1~/八、_1上_//、a(X-1+V2)(X-1-V2)
g⑴T,§(O)-l+a>g(x)=----------------------,
e
令
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