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文檔簡(jiǎn)介

2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題

1.已知函數(shù)/(x)—4x2-alnx-a(aGR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)已知不等式/(x)》(2-?)阮—"+4/對(duì)任意的在(0,1]恒成立,求證:當(dāng)a

取最大值時(shí),fCx)22加2-1.

【解答】解:(1)由題意得/(x)的定義域是(0,+8),

/、ca8x2—a

(x)=8x——=-----

XX

若aWO,則/'(x)>0恒成立,故/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

若〃>0,令/(X)>0,解得:孚,令,(X)<0,解得:0<rV苧,

故/(x)在(0,遞減,在(客+8)遞增,

,44

綜上:aWO時(shí),/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

yj2a72a

〃>0時(shí),f(x)在(0,---)遞減,在(---,+8)遞增;

44

(2)證明:,不等式/(x)N(2-〃)歷r-冰+4工2對(duì)任意工£(0,1]恒成立,

故a(x-1)-2/〃x20對(duì)任意(0,1]恒成立,

令h(x)=a(x-1)-2bix,xE(0,1],則分'(x)=a—£=

①若aWO,則(x)VO恒成立,故〃(x)在(0,1]遞減,故A(x)min=h(1)=0,

f

②當(dāng)0<a<2時(shí),h(x)<0,故〃Cx)在(0,1]遞減,h(x)min=h(1)=0,

③a>2時(shí),ov2vi,令h'(x)>0,解得:一

Qa

222

令h'(x)<0,解得:OVxVj故A(x)=h(一)=2-a-

aminaa

2

令A(yù)u(x)=2-x-21k=2-x-2ln2+2lnx(x>2),

x

貝Ij"'(x)=-1+p由x>2,解得:u'(x)<0,

故〃(x)在(2,+8)遞減,故"(x)<0在(2,+8)上恒成立,

2

故a>2時(shí),h(x)在(0,1]上的最小值是2-a-2/,qV0,

故a>2不合題意,

綜上:時(shí),a的最大值是2,

當(dāng)a取最大值時(shí),f(x)=4f-2lnx-2,

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11

/(x)在(o,-)遞減,在(5,+8)遞增,

1

f(x)min=f(5)=2ln2-1,

故當(dāng)。取最大值時(shí),f(x)22。2-1.

2.已知斜率為1的直線(xiàn)與圓C:(x-3)2+/=2切于點(diǎn)T,且點(diǎn)T在拋物線(xiàn),=2加(p>0)

上.

(1)求p的值;

(2)若不過(guò)點(diǎn)。的動(dòng)直線(xiàn)/:廠(chǎng)少=川與拋物線(xiàn)交于E,F兩點(diǎn),與圓。交于P,。兩點(diǎn),

求:ACEF的最小值及此時(shí)m的值.

'△CPQ

【解答】解:(1)設(shè)切線(xiàn)方程為

由題意可知C(3,0)到切線(xiàn)的距離"=反型=&,

解得f=-1或f=-5舍,

得切線(xiàn)方程為y=x-1.

H_1__

設(shè)r(小〃-1),則—-=—1,可得〃=2,T(2,1),

n-3

由7在拋物線(xiàn)上,可得4=2p,

解得p=2;

(2)設(shè)E(xi,y\),F(X2,歹2),

由2〃可得/+以-4"7=0,

+4y

所以x\+x2=-4,x\X2=-4m,

2

\EF\=V2*74-x2)-=V2*V16+16m=4a71+m,

因?yàn)閳A心(3,0)到直線(xiàn)P0的距離為牛到,

V2

所以|尸0|=2^2-(^^)2=V-2m2+12m-10,

所以也竺=股=4j2(l+m)_=4I1+m

S&CPQ\PQ\V-2m2+12m-10\-m2+6m-5)

由于不過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線(xiàn)/與拋物線(xiàn)和圓C均有兩個(gè)不同的交點(diǎn),

16+16m>0

0Vlm-3|v應(yīng),解得1<機(jī)<3或3<加<5.

V2

(mW3

第2頁(yè)共5頁(yè)

令1+加=〃,貝lj(2,4)U(4,6),m=u-1,

注您I〃

S^CPQ=4-J-(u-l)2+6(u-l)-5

=y/2+瓜,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=號(hào),即〃=2百,即m=2百一1時(shí)取得等號(hào),

所以當(dāng)加=2w一1時(shí),登更取得最小值,且為無(wú)+傷.

S^CPQ

3.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱(chēng)軸為x軸、y軸,且過(guò)力(0,-2),8(旦,-1)

2

兩點(diǎn).

(1)求E的方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)PQ,-2)的直線(xiàn)交E于A/,N兩點(diǎn),過(guò)M且平行于x軸的直線(xiàn)與線(xiàn)段

N8交于點(diǎn)T,點(diǎn)〃滿(mǎn)足證=后.證明:直線(xiàn)"V過(guò)定點(diǎn).

22

【解答】解:(1)設(shè)E的方程為tJy=l,

abz

4=i

將A(0,-2),BC|,-1)兩點(diǎn)代入得9i,

’,22=1

4ab

解得/=3,廬=4,

22

故E的方程為“—=1:

34

⑵由A(0,-2),B(-1,-1)可得直線(xiàn)AB:y~x-2

CaO

①若過(guò)P(l,-2)的直線(xiàn)的斜率不存在,直線(xiàn)為x=l,

代入《工=1'可得Md,嗓),N(l,

將y代入AB:y=-|-x-2,可得T(遍+3,乙號(hào)

OQO

由而=存,得H(2^+5,呼■),

O

易求得此時(shí)直線(xiàn)HN:y=(2?R)x-2,過(guò)點(diǎn)(0,-2);

3

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②若過(guò)尸(1,-2)的直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)履-廣(%+2)=0,M(xi,yi),N(m,

/),

kx-y-(k+2)=0

聯(lián)立,Y2V2,得(3廬+4)&-6k(2+k)x+3k(什4)=0,

—+—=1

l341

6k(2+k)-8(2+k)

x+x=--------了1+了2-3k2+4_2

1"23k2+44k

故有,4(4+妣-2k2,且xiy2+x2yi=H(*),

3k(4+k)

?1X=----5----

32k2+4“2-3k2+4

,「安為「3yl

聯(lián)立{2,可得T(—+3,y.),H(3yt+6-X1>y)

y=yx-2/

可求得此時(shí)HN:y-y=--------------(x-X0),

203y1+6-xrX22

將(0,-2)代入整理得2(xi+x2)-6(yi+>2)+x\y2+x2yi-3yiyi-12=0,

將(*)代入,得24A+12F+96+48A-24k-48-48桿24嚴(yán)-36k2-48=0,

顯然成立.

綜上,可得直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)(0,-2).

4.已知函數(shù)/(x)=/"(1+x)+axex.

(1)當(dāng)a=l時(shí),求曲線(xiàn)y=/(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線(xiàn)方程;

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個(gè)零點(diǎn),求。的取值范圍.

【解答】解:(1)當(dāng)。=1時(shí),/(x)=/〃(1+x)+xe,x,則f,(x)=^+e-x_xe-x,

1+x

"(0)=1+1=2,

又/(0)=0,

所求切線(xiàn)方程為y=2x;

⑵f,(x)=1,a(l-x),

1

W1+xex

若a20,當(dāng)-ICxVO時(shí),f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,則/(x)</(0)=0,不合

題意;

故a<0,1(x)?、乓?與皂),令g(x)=iW以,注意到

14-vXX

J■八ao

第4頁(yè)共5頁(yè)

/八一1~/八、_1上_//、a(X-1+V2)(X-1-V2)

g⑴T,§(O)-l+a>g(x)=----------------------,

e

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