2023年高考數(shù)學(xué)壓軸大題含答案

2023年高考數(shù)學(xué)壓軸題

1.已知函數(shù)/(x)—4x2-alnx-a(aGR).

(1)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)已知不等式/(x)》(2-?)阮—"+4/對任意的在(0,1］恒成立，求證：當(dāng)a

取最大值時，fCx)22加2-1.

【解答】解：(1)由題意得/(x)的定義域是(0,+8),

/、ca8x2—a

(x)=8x——=-----

XX

若aWO,則/'(x)>0恒成立，故/(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

若〃>0,令/(X)>0,解得：孚，令，(X)<0,解得：0<rV苧,

故/(x)在(0,遞減，在(客+8)遞增，

,44

綜上：aWO時，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

yj2a72a

〃>0時，f(x)在(0,---)遞減，在(---，+8)遞增；

44

(2)證明：,不等式/(x)N(2-〃)歷r-冰+4工2對任意工￡(0,1］恒成立，

故a(x-1)-2/〃x20對任意(0,1］恒成立,

令h(x)=a(x-1)-2bix,xE(0,1］,則分'(x)=a—￡=

①若aWO,則(x)VO恒成立，故〃(x)在(0,1］遞減，故A(x)min=h(1)=0,

f

②當(dāng)0<a<2時，h(x)<0,故〃Cx)在(0,1］遞減，h(x)min=h(1)=0,

③a>2時，ov2vi,令h'(x)>0,解得：一

Qa

222

令h'(x)<0,解得：OVxVj故A(x)=h(一)=2-a-

aminaa

2

令A(yù)u(x)=2-x-21k=2-x-2ln2+2lnx(x>2),

x

貝Ij"'(x)=-1+p由x>2,解得：u'(x)<0,

故〃(x)在(2,+8)遞減，故"(x)<0在(2,+8)上恒成立，

2

故a>2時，h(x)在(0,1］上的最小值是2-a-2/,qV0,

故a>2不合題意，

綜上：時，a的最大值是2,

當(dāng)a取最大值時，f(x)=4f-2lnx-2,

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11

/(x)在(o,-)遞減，在(5，+8)遞增,

1

f(x)min=f(5)=2ln2-1,

故當(dāng)。取最大值時，f(x)22。2-1.

2.已知斜率為1的直線與圓C：(x-3)2+/=2切于點T,且點T在拋物線，=2加(p＞0)

上.

(1)求p的值；

(2)若不過點。的動直線/：廠少=川與拋物線交于E,F兩點,與圓。交于P,。兩點，

求:ACEF的最小值及此時m的值.

'△CPQ

【解答】解：(1)設(shè)切線方程為

由題意可知C(3,0)到切線的距離"=反型=&,

解得f=-1或f=-5舍，

得切線方程為y=x-1.

H_1__

設(shè)r(小〃-1),則—-=—1,可得〃=2,T(2,1),

n-3

由7在拋物線上，可得4=2p,

解得p=2；

(2)設(shè)E(xi，y\),F(X2，歹2),

由2〃可得/+以-4"7=0,

+4y

所以x\+x2=-4,x\X2=-4m,

2

\EF\=V2*74-x2)-=V2*V16+16m=4a71+m,

因為圓心(3,0)到直線P0的距離為牛到，

V2

所以|尸0|=2^2-(^^)2=V-2m2+12m-10,

所以也竺=股=4j2(l+m)_=4I1+m

S&CPQ\PQ\V-2m2+12m-10\-m2+6m-5)

由于不過點C的動直線/與拋物線和圓C均有兩個不同的交點，

16+16m＞0

0Vlm-3|v應(yīng),解得1＜機＜3或3＜加＜5.

V2

(mW3

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令1+加=〃，貝lj(2,4)U(4,6),m=u-1,

注您I〃

S^CPQ=4-J-(u-l)2+6(u-l)-5

=y/2+瓜,

當(dāng)且僅當(dāng)〃=號，即〃=2百，即m=2百一1時取得等號，

所以當(dāng)加=2w一1時，登更取得最小值，且為無+傷.

S^CPQ

3.已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸、y軸，且過力(0,-2),8(旦，-1)

2

兩點.

(1)求E的方程;

(2)設(shè)過點PQ,-2)的直線交E于A/,N兩點，過M且平行于x軸的直線與線段

N8交于點T,點〃滿足證=后.證明：直線"V過定點.

22

【解答】解：(1)設(shè)E的方程為tJy=l，

abz

4=i

將A(0,-2),BC|,-1)兩點代入得9i，

’,22=1

4ab

解得/=3,廬=4,

22

故E的方程為“—=1：

34

⑵由A(0,-2),B(-1,-1)可得直線AB：y~x-2

CaO

①若過P(l,-2)的直線的斜率不存在，直線為x=l,

代入《工=1'可得Md，嗓)，N(l，

將y代入AB：y=-|-x-2,可得T(遍+3,乙號

OQO

由而=存，得H(2^+5,呼■)，

O

易求得此時直線HN：y=(2?R)x-2,過點(0，-2)；

3

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②若過尸(1,-2)的直線的斜率存在，設(shè)履-廣(%+2)=0,M(xi，yi),N(m,

/)，

kx-y-(k+2)=0

聯(lián)立，Y2V2，得(3廬+4)&-6k(2+k)x+3k(什4)=0,

—+—=1

l341

6k(2+k)-8(2+k)

x+x=--------了1+了2-3k2+4_2

1"23k2+44k

故有，4(4+妣-2k2,且xiy2+x2yi=H(*),

3k(4+k)

?1X=----5----

32k2+4“2-3k2+4

，「安為「3yl

聯(lián)立｛2，可得T(—+3,y.),H(3yt+6-X1>y)

y=yx-2/

可求得此時HN：y-y=--------------(x-X0)，

203y1+6-xrX22

將(0,-2)代入整理得2(xi+x2)-6(yi+>2)+x\y2+x2yi-3yiyi-12=0,

將(*)代入，得24A+12F+96+48A-24k-48-48桿24嚴(yán)-36k2-48=0,

顯然成立.

綜上，可得直線過定點(0,-2).

4.已知函數(shù)/(x)=/"(1+x)+axex.

(1)當(dāng)a=l時，求曲線y=/(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)若/(x)在區(qū)間(-1,0),(0,+8)各恰有一個零點，求。的取值范圍.

【解答】解：(1)當(dāng)。=1時，/(x)=/〃(1+x)+xe，x,則f，(x)=^+e-x_xe-x,

1+x

"(0)=1+1=2,

又/(0)=0,

所求切線方程為y=2x；

⑵f，(x)=1,a(l-x),

1

W1+xex

若a20,當(dāng)-ICxVO時，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，則/(x)</(0)=0,不合

題意；

故a<0,1(x)?、乓?與皂),令g(x)=iW以，注意到

14-vXX

J■八ao

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/八一1~/八、_1上_//、a(X-1+V2)(X-1-V2)

g⑴T，§(O)-l+a>g(x)=----------------------，

e

令