第3章-標量衍射理論課件

普通高等教育“十一五”國家級規(guī)劃教材

《傅里葉光學(xué)?第2版》電子教案

周哲海呂乃光編著機械工業(yè)出版社第三章標量衍射理論引言衍射是一切波動傳播的共有特性。在此僅討論物理光學(xué)范圍內(nèi)的光波的衍射傳播。衍射：按照索末菲定義是“不能用反射或折射來解釋的光線對直線光路的任何偏離”

光波的傳播過程就是光波衍射過程，包括：光波在自由空間的傳播(光波在空間中從一個平面到另一個平面)，光波在光學(xué)成像系統(tǒng)的傳播，光波在光學(xué)信息處理系統(tǒng)的傳播，等等。光波是矢量波，應(yīng)當(dāng)用嚴格的衍射理論(考慮光波的矢量特性)來描述光波的衍射過程。但在一定的條件下，可以采用標量衍射理論來描述。引言假設(shè)與近似嚴格（矢量波）衍射理論(1)整個光波場內(nèi)光矢量振動方向不變，或只考慮光矢量的一個方向；(2)衍射屏的最小尺寸大于波長；(3)觀測距離遠大于波長；(4)折射率與光強無關(guān)(線性介質(zhì)).標量波衍射理論波動光學(xué)信息光學(xué)(基礎(chǔ))經(jīng)典的標量衍射理論最初是1678年惠更斯提出的，1818年菲涅耳引入干涉的概念補充了惠更斯原理，1882年基爾霍夫利用格林定理，采用球面波作為求解波動方程的格林函數(shù)，導(dǎo)出了嚴格的標量衍射公式。引言本章主要內(nèi)容1、光波的數(shù)學(xué)描述2、基爾霍夫衍射理論3、衍射的角譜理論4、菲涅耳衍射5、夫朗和費衍射6、衍射的巴比涅原理7、衍射光柵8、菲涅耳衍射和分數(shù)傅里葉變換*引言引言 以Kiechhoff衍射公式討論衍射問題，并利用線性系統(tǒng)理論賦予新的解釋。 把衍射過程看做線性不變系統(tǒng)，討論其脈沖響應(yīng)和傳遞函數(shù)。

重點掌握光的傳播就是光的衍射過程這一物理思想，理解角譜概念，在傅里葉光學(xué)的角度重新理解透鏡這一基本光學(xué)元件的成像機理。標量波動方程1、光波的數(shù)學(xué)描述單色光波場中的光振動為u(x,y,z,t)，滿足標量波動方程滿足該方程的基本解的線性組合都是方程的解。球面波和平面波都是波動方程的基本解。任何復(fù)雜的波都可以用球面波和平面波的線性組合表示，也都是滿足波動方程的解。大家已學(xué)過1、光波的數(shù)學(xué)描述1.1單色光波場的復(fù)振幅表示單色光波場中某點P(x,y,z)在t時刻的光振動u(x,y,z,t)可表示為其中，是光波的時間頻率；a(x,y,z)和

(x,y,z)分別是P點光振動的振幅和初相位。根據(jù)歐拉公式，可將該波函數(shù)表示為復(fù)指數(shù)函數(shù)取實部的形式：1、光波的數(shù)學(xué)描述式中，Re{}表示對括號內(nèi)復(fù)函數(shù)取實部。為簡單，去掉“Re”而直接用復(fù)指數(shù)函數(shù)表示簡諧波的波函數(shù)，光場隨時間的變化e

-j2pnt不重要:n~1014Hz,無法探測n為常數(shù),線性運算后亦不變復(fù)數(shù)表示有利于將時空變量分開定義一個新的物理量：稱之為單色平面波在P點的復(fù)振幅，它與時間t無關(guān)，僅是空間位置坐標的函數(shù)。光強分布則為對于攜帶信息的光波,感興趣的是其空間變化部分.

故引入復(fù)振幅U(P):1、光波的數(shù)學(xué)描述1、光波的數(shù)學(xué)描述1.2球面波單色發(fā)散球面波在空間任意一點P所產(chǎn)生的復(fù)振幅為其中，k=2

/

為波數(shù)，表示單位長度上產(chǎn)生的相位變化；

r

表示觀察點P(x,y,z)離開點光源的距離；

a0

表示距點光源單位距離處的振幅。（當(dāng)直角坐標的原點與球面波中心重合時）1、光波的數(shù)學(xué)描述思考題：對于會聚球面光波，復(fù)振幅表達式是什么？Answer:指數(shù)上加負號當(dāng)點光源或會聚點位于空間任意一點(x0,y0,z0)時，有考察與其相距z(z>0)的xy

平面上的光場分布。r

可寫為觀察點P(x,y,z)離開點光源或會聚點的距離1、光波的數(shù)學(xué)描述并考慮徬軸近似點光源位于x0y0平面，求與其相距z

(z>0)的xy平面上的光場分布.z0=0利用二項式展開，并略去高階項，得到利用二項式展開，并略去高階項，得到將簡化式代入發(fā)散球面波表達式，得到球面波在平面上復(fù)振幅分布為常量位相因子二次位相因子1、光波的數(shù)學(xué)描述發(fā)散球面波在平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布的位相因子中包括兩項(1)常量位相因子

exp(jkz)

與傳播距離有關(guān).1、光波的數(shù)學(xué)描述(2)隨平面坐標變化的第二項稱作二次（球面波的）位相因子，當(dāng)平面上復(fù)振幅分布的表達式中包含有下述因子，就可以認為距離該平面z處有一個點光源發(fā)出的球面波經(jīng)過這個平面。位相相同的點的軌跡，即等位相線方程為同心圓族1、光波的數(shù)學(xué)描述（1）若點光源位于x0y0平面的坐標原點，上式簡化為什么？（2）會聚球面波在徬軸近似下的復(fù)振幅表達式是什么？思考題：1、光波的數(shù)學(xué)描述重要概念：波前，等相位面a)發(fā)散球面波b)會聚球面波

當(dāng)?shù)认辔幻媾c某一平面相交，則得到一系列的交線，這些交線就是光波在該平面上的等相位線！1、光波的數(shù)學(xué)描述

1.3平面波平面波也是光波最簡單的一種形式(波動方程的基本解)。定義：在任意時刻、與波矢量相垂直的平面上振幅和位相為常數(shù)的光波稱為平面波.其中，（1）a

是常量振幅；（2）cos、cos、cos為傳播方向的方向余弦，而且有 沿k方向傳播的單色平面波，在光場中P(x,y,z)點產(chǎn)生的復(fù)振幅可以表示為：于是復(fù)振幅可寫為

其中1、光波的數(shù)學(xué)描述和球面波表達式類似，平面波復(fù)振幅可分成與坐標有關(guān)和與坐標無關(guān)的兩部分.同樣在xy平面上，z為常量，1、光波的數(shù)學(xué)描述平面波在xy

面上的等位相線(A為常量)在xy平面上的復(fù)振幅為：其中稱為平面波的位相因子.等位線方程為因此，等位相線是一些平行直線。1、光波的數(shù)學(xué)描述1.4平面波的空間頻率平面波的空間頻率是傅里葉光學(xué)中常用的基本物理量，透徹理解這個概念的物理意義是非常重要的。如下圖，首先研究傳播矢量位于x0z平面的簡單情況，此時cos=0,（1）xy平面上復(fù)振幅分布為（2）等位相線方程為xy平面z=z平面1、光波的數(shù)學(xué)描述由于等相位線上的振動相同，所以復(fù)振幅在xy平面周期分布的空間周期可以用位相相差2的兩相鄰等位相線的間隔X表示。xy平面上等位相線方程等位相線的分布如右圖所示，是一組垂直于x軸的平行線，而且間距相等。(沿y方向，相位不變)x方向的空間周期為X，X=?xz平面xy平面1、光波的數(shù)學(xué)描述其中，為光波波長?？臻g周期的倒數(shù)即為空間頻率，表示x方向單位長度內(nèi)變化的周期數(shù)，即xy平面上等位相線方程當(dāng)則有1、光波的數(shù)學(xué)描述又因為等相位線平行于y軸，則y方向的空間頻率為此時，xy平面上的復(fù)振幅分布可表示為即可用空間頻率表示xy平面上的復(fù)振幅分布；*上式就是一個傳播方向為(cos

=x、cos=0)的單色平面波的表達式。1、光波的數(shù)學(xué)描述當(dāng)為銳角時，如圖所示空間頻率為正值，表示在x方向上，位相沿x正向增加。當(dāng)為鈍角時，如圖所示空間頻率為負值，表示在x方向上，位相沿x正向減小。(3)空間頻率為負數(shù)的情況1、光波的數(shù)學(xué)描述比較兩種情況：位相沿x方向的變化相反沿x方向各點光振動發(fā)生的先后次序相反因此，空間頻率的正負，僅表示平面波不同的傳播方向。傳播方向的分量1、光波的數(shù)學(xué)描述在xy平面上，等相位線是一組斜平行線。很容易確定其沿x和y方向的空間頻率為（4）傳播方向為任意情況，情況又如何？則xy平面上的復(fù)振幅分布可表示為(用空間頻率表示)(用方向余弦表示)1、光波的數(shù)學(xué)描述前面，分析了平面波在某一平面(xy平面)上的情況,現(xiàn)在分析平面波在空間(3D)中的情況 平面波的位相差為2的等位相面的間距，在三個方向上分別為X、Y和Z——(振蕩)周期三個方向上平面波的空間頻率分別定義為 空間頻率表示在x

、y、z

軸上單位距離內(nèi)的復(fù)振幅周期變化的次數(shù)。這就是平面波空間頻率的物理意義。時間倒數(shù)：頻率；長度倒數(shù)：空間頻率，即在單位長度內(nèi)周期函數(shù)變化的周數(shù)（單位：周/mm，線對/mm，L/mm，等）信息光學(xué)中有兩種空間頻率，一種是空間強度分布，單位為：周/mm，線對/mm，L/mm，等，對二維圖象進行頻譜分析得到的圖象頻譜對應(yīng)的空間頻率；另一種是平面波對應(yīng)的空間頻率，因為電磁波在均勻介質(zhì)中波長是常數(shù)，在其傳播方向上空間頻率是不變的。因而其對應(yīng)在三維空間坐標上的每個方向的空間頻率（單位為：光波數(shù)/mm

）表示出的意義實際上是電磁波的傳播方向，或其傳播方向與坐標軸的夾角，而且大小受到光波長的限制，最大是波長的倒數(shù)?？臻g頻率的兩種意義1、光波的數(shù)學(xué)描述1、光波的數(shù)學(xué)描述而且滿足如下關(guān)系（1）思考題：若用空間角頻率表示平面波的復(fù)振幅分布，結(jié)果如何？已知從而平面波的復(fù)振幅的一般表達式變?yōu)?、光波的數(shù)學(xué)描述(2)對于如下圖所示的情況，光波從P0點沿P方向傳播，傳播矢量在x和y方向上與z軸的夾角分別是x

和y，則平面波在xy平面上的復(fù)振幅分布可表示為什么？提示：回顧1、光波的數(shù)學(xué)描述對于攜帶信息的光波,感興趣的是其空間變化部分.

故引入復(fù)振幅U(P):1、球面波在平面上復(fù)振幅分布為常量位相因子二次位相因子回顧2、平面波平面波在xy平面上(z為常量)復(fù)振幅為三個方向上平面波的空間頻率分別定義為 空間頻率表示在x

、y、z

軸上單位距離內(nèi)的復(fù)振幅周期變化的次數(shù)。這就是平面波空間頻率的物理意義。用空間頻率表示空間頻率與方向的關(guān)系回顧f的意義?1、光波的數(shù)學(xué)描述1.5復(fù)振幅分布的空間頻譜（角譜）利用傅里葉變換對位于單色光場中的xy平面上的復(fù)振幅分布U(x,y,z)進行傅里葉分析，U(x,y,z)的頻譜分布可由二維傅里葉變換計算得到同時有逆變換為空間頻譜：空間頻譜逆變換為1、光波的數(shù)學(xué)描述因此復(fù)振幅分布也可以看作為不同方向傳播的單色平面波分量的線性疊加。代表一個傳播方向余弦為(cos=x、cos=y)的單色平面波。平面上的復(fù)振幅分布U(x,y)看作頻率不同的復(fù)指數(shù)分量的線性組合，各頻率分量的權(quán)重因子是A(x,y)，而且2012-3-16換句話說：單色光波在某一平面上的光場復(fù)振幅分布U(x,y,z)可以看作是不同傳播方向的平面波的疊加，在疊加時各平面波有自己的振幅和位相，它們的值分別為頻譜的模和幅角。平面上的復(fù)振幅分布U(x,y)看作不同頻率的復(fù)指數(shù)分量的線性組合，各頻率分量的權(quán)重因子是A(x,y)。1、光波的數(shù)學(xué)描述頻率傳播方向1、光波的數(shù)學(xué)描述 由于各個不同空間頻率的空間傅里葉分量可看作是沿不同方向傳播的平面波，因此稱空間頻譜為xy平面上復(fù)振幅分布的角譜。 以平面波傳播方向的角度(方向余弦)為宗量，復(fù)振幅分布的空間頻譜(角譜)表示為1、光波的數(shù)學(xué)描述引入角譜的概念有助于進一步理解復(fù)振幅分解的物理意義：單色光波場中某一平面上的場分布可看作不同方向傳播的單色平面波的疊加；

不同方向=不同(空間)頻率(2)在疊加時各平面波成分有自己的振幅和常量相位，它們的值分別取決于角譜的模和幅角。1、光波的數(shù)學(xué)描述 在z=0平面上的光場分布U(x,y,0)

和z=z平面上的光場分布U(x,y,z)

可以分別記作研究角譜的傳播就是要找到上面兩個角譜，即

z=0

平面上的角譜和z=z平面上的角譜之間的關(guān)系。角譜的傳播1、光波的數(shù)學(xué)描述研究角譜的傳播就是要找到上面兩個角譜，即

z=0

平面上的角譜和z=z平面上的角譜之間的關(guān)系。2、基爾霍夫衍射理論2.1惠更斯—菲涅耳原理“波前上的每一個面元都可以看作是一個次級擾動中心，它們能產(chǎn)生球面子波”，并且，“后一時刻的波前的位置是所有這些子波前的包絡(luò)面?！?/p>

《論光》,惠更斯,1690“波前上任何一個未受阻擋的點都可以看作是一個頻率（或波長）與入射波相同的子波源；在其后任何地點的光振動，就是這些子波疊加的結(jié)果?！薄屠杩茖W(xué)院,菲涅耳,1818數(shù)學(xué)表達式2、基爾霍夫衍射理論其中，U(P0)是波面上任意一點P0的復(fù)振幅，U(P)是光場中任一觀察點P的復(fù)振幅，r是P0到P的距離，是P0P和過P0點的元波面法線n的夾角，K()是與有關(guān)的傾斜因子，C為常數(shù)。2、基爾霍夫衍射理論2.2基爾霍夫衍射公式1882年，基爾霍夫建立了一個嚴格的數(shù)學(xué)理論，證明菲涅耳的設(shè)想基本上正確，只是菲涅耳給出的傾斜因子不對，并對其進行了修正?；鶢柣舴蚶碚?，只適用于標量波的衍射，故又稱標量衍射理論。對于單色波，基爾霍夫從標量波動方程出發(fā)，利用格林定理這一數(shù)學(xué)工具，采用適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件，推導(dǎo)出無限大不透明屏上孔徑后面觀察點P的場分布為2、基爾霍夫衍射理論其中，P

是照明孔徑的點光源，P0是孔徑上某一點，P為孔徑后面某一觀察點，r

和r分別P

和P到P0的距離。上式稱為菲涅耳—基爾霍夫衍射公式，它為惠更斯—菲涅耳原理提供了更可靠的波動理論基礎(chǔ)。無限大不透明屏上孔徑后面觀察點P的場分布為2、基爾霍夫衍射理論U(P0)CK(0,)=K()菲涅耳—基爾霍夫衍射公式此式在假定邊界條件下經(jīng)過嚴格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，有嚴格的數(shù)學(xué)依據(jù)。是在無限大不透光屏上有一開孔的情況下推導(dǎo)出的。但可以推廣到任何復(fù)雜的衍射屏。只是此時，公式中：U(P0)=Ui(P0)t(P0)Ui(P0)：入射到衍射屏上的光場的復(fù)振幅分布，t(P0)：衍射屏的復(fù)振幅透過率。嚴格地U(P0)應(yīng)寫成U0(P0)Ui(P0)：入射到衍射屏上的光場的復(fù)振幅分布；t(P0)：衍射屏的復(fù)振幅透過率。2、基爾霍夫衍射理論U(P0)=Ut(P0)=Ui(P0)t(P0)2、基爾霍夫衍射理論2.3光波傳播的線性性質(zhì)令根據(jù)基爾霍夫衍射公式則有這正是描述線性系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的疊加積分；因此衍射過程(光波從衍射平面到觀察平面的傳播過程)可以看作是一個線性系統(tǒng)，即光波的傳播現(xiàn)象可以看作是一個線性系統(tǒng)！紅線部分取決于P、P0位置。2、基爾霍夫衍射理論

U(P0)是輸入，U(P)是輸出，h(P,P0)是該線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)(點擴散函數(shù))。

h(P,P0)可以看作是：衍射屏上P0點的一個單位脈沖在場點P產(chǎn)生的復(fù)振幅分布。它描述了衍射系統(tǒng)的特性。它具有點源球面波的特性，它就是惠更斯-費涅耳原理中的次波源發(fā)出的次級球面波。若把衍射過程看成一個線性系統(tǒng)，惠更斯-費涅耳原理中的次級球面波就是這個系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)(點擴散函數(shù))。2、基爾霍夫衍射理論 若孔徑在x0y0平面，而觀察平面在xy平面，上式可進一步表示為下面討論光波的衍射傳播具有平移不變性對脈沖響應(yīng)函數(shù)進行分析則上述線性系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)簡化為設(shè)點源與場點距衍射屏足夠遠，且觀察范圍較小(即在徬軸近似下)，2、基爾霍夫衍射理論傾斜因子可忽略忽略傾斜因子的變化后，就可以把光波在衍射孔徑后的傳播過程看成是光波通過一個線性不變系統(tǒng)。2、基爾霍夫衍射理論這表明，在滿足一定條件下，衍射屏上各次波源在場點P處產(chǎn)生的復(fù)振幅分布具有相同的分布形式，只是發(fā)生一個空間平移。也就是說，具有平移不變性。可寫成卷積形式：光波在衍射屏后的傳播過程是光波通過一個線性空間平移不變系統(tǒng)，其在空域中的特性唯一地由其空不變的脈沖響應(yīng)所決定。U0的說明2、基爾霍夫衍射理論脈沖響應(yīng)函數(shù)具有空間不變的函數(shù)形式，也就是說光波在衍射孔徑后的傳播現(xiàn)象可看作線性不變系統(tǒng)。這為我們用線性不變系統(tǒng)理論分析衍射現(xiàn)象提供了依據(jù)。利用兩者的關(guān)系，確定整個光場的傳播特性。3、衍射的角譜理論3.1角譜的傳播根據(jù)上面介紹的角譜理論可知，孔徑平面和觀察平面上的光場都可以分別看作是許多不同方向傳播的單色平面波分量的線性組合。而每一個平面波分量的相對振幅和位相取決于相應(yīng)的角譜：孔徑平面觀察平面3、衍射的角譜理論將U(x,y,z)表達式代入亥姆霍茲方程,改變積分與微分的順序，可以推導(dǎo)出，二階線性微分方程該二階常微分方程的一個基本解是或者寫成：3、衍射的角譜理論z=0平面上的角譜為，因而有最后得到兩個平行平面之間角譜傳播的規(guī)律為3、衍射的角譜理論 這就是衍射的角譜理論公式，它給出了角譜傳播的規(guī)律； 在確定了觀察光場的角譜后，就可以利用傅里葉逆變換求出其復(fù)振幅分布。3、衍射的角譜理論兩平行平面間角譜傳播規(guī)律的意義：已知平面上的光場分布U(x,y,0)，由角譜傳播規(guī)律，可求出光場分布U(x,y,z)。U(x,y,0)U(x,y,z)傅立葉逆變換傅立葉變換角譜傳播的規(guī)律3、衍射的角譜理論 實際上這就是自由空間衍射的數(shù)理模型，即光傳播的角譜分析方法； 還需要說明一點的是，兩個平行平面之間角譜傳播的規(guī)律也可以由平面波的復(fù)振幅傳播規(guī)律直接導(dǎo)出。

U(x,y,0)U(x,y,z)傅立葉逆變換傅立葉變換角譜傳播的規(guī)律3、衍射的角譜理論輸出頻譜輸入頻譜傳遞函數(shù)系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)由傳遞函數(shù)表征：3、衍射的角譜理論可見，光波的傳播現(xiàn)象可看作一個空間濾波器，它具有有限的空間帶寬：在頻率平面上半徑為1/的圓形區(qū)域內(nèi)，傳遞函數(shù)的模為1，對各頻率分量的振幅沒有影響，但引入了與頻率有關(guān)的相移；在圓形區(qū)域之外，傳遞函數(shù)為零。3、衍射的角譜理論思考題：基爾霍夫衍射理論和角譜理論的聯(lián)系和區(qū)別是什么？Answer:1）基爾霍夫衍射理論和角譜理論完全是統(tǒng)一的，它們都證明了光的傳播現(xiàn)象可看作線性不變系統(tǒng)；2）基爾霍夫理論是在空間域討論光的傳播，是把孔徑平面光場看作點源的集合，觀察平面上的場分布則等于它們所發(fā)出的帶有不同權(quán)重因子的球面子波的相干疊加，而球面子波在觀察平面上的復(fù)振幅分布就是系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。3、衍射的角譜理論Answer:3）角譜理論是在頻率域討論光的傳播，是把孔徑平面場分布看作很多不同方向傳播的平面波分量的線性組合，觀察平面上場分布仍然等于這些平面波分量相干疊加，但每個平面波分量引入相移。相移的大小決定于系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，它是系統(tǒng)脈沖響應(yīng)的傅里葉變換。2012-3-19回顧任何面上的光波場的復(fù)振幅都可以看出不同空間頻率（不同角度）的單色平面波分量的線性疊加。不同頻率所占的成分即頻譜（角譜）就是在頻域中描述光波場。研究光波場的傳播也就是研究角譜的傳播。角譜的傳播研究角譜的傳播就是要找到z=0

平面上的角譜和z=z平面上的角譜之間的關(guān)系。代表一個傳播方向余弦為(cos=x、cos=y)的單色平面波。回顧基爾霍夫衍射理論U(P0)CK(0,)=K()菲涅耳—基爾霍夫衍射公式這正是描述線性系統(tǒng)輸入—輸出關(guān)系的疊加積分；因此衍射過程(即光波的傳播現(xiàn)象)可以看作是一個線性系統(tǒng)，可以看作是一個線性系統(tǒng)！回顧

(在徬軸近似下)忽略傾斜因子的變化后，就可以把光波在衍射孔徑后的傳播過程看成是光波通過一個線性不變系統(tǒng)。

導(dǎo)出了衍射的角譜理論公式，即給出了角譜傳播的規(guī)律；系統(tǒng)在頻域的效應(yīng)由傳遞函數(shù)表征：回顧3、衍射的角譜理論3.2孔徑(衍射屏)對角譜的影響平面屏幕孔徑的復(fù)振幅透過率為t(x0,y0)，入射到孔徑平面上的光場復(fù)振幅為Ui(x0,y0)，則緊靠屏幕后的平面上透射光場的復(fù)振幅分布可以表示為假定入射光場的角譜和透射光場的角譜分別為和對應(yīng)的角譜表達式？3、衍射的角譜理論由傅里葉變換的卷積定理可確定兩者的關(guān)系為其中，T()是孔徑透過率函數(shù)的傅里葉變換。卷積運算的展寬效應(yīng)，導(dǎo)致：孔徑(衍射屏)的引入使光波的角譜(空間頻率)展寬。在出射光波中，除了包含與入射光波的傳播方向相同的分量之外，還增加了一些與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的平面波成分，這就是衍射波。衍射屏使光波在空間上受限，展寬了光波的角譜，空間受限越厲害，角譜展寬越大。如果采用單位振幅平面波垂直照明孔徑，入射光場為入射光場的角譜為3、衍射的角譜理論3、衍射的角譜理論則有透射光場等于孔徑透過率的傅里葉變換。光波由于衍射孔徑的限制，在頻率域展寬了入射光場的角譜。（出射光波的角譜等于衍射屏的角譜，大大展寬了。）3、衍射的角譜理論上式的四重積分是類似基爾霍夫公式的一個精確的表達式，盡管它不含三角函數(shù)，但是使用起來仍很不方便。下面還是要按照菲涅耳的辦法進行化簡，首先對不同傳播距離衍射的情況做個直觀的說明。菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射按傳播距離劃分衍射區(qū)菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射(2)幾何陰影區(qū)平面波入射衍射現(xiàn)象衍射理論要解決的問題是：光場中任意一點為P的復(fù)振幅U(P)

能否用光場中各源點的復(fù)振幅表示出來。

4、菲涅耳衍射4.1實際的衍射現(xiàn)象可分為兩種類型：菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射。

什么是菲涅耳衍射和夫瑯和費衍射？4、菲涅耳衍射4.2菲涅耳衍射公式其中：4、菲涅耳衍射近似條件：對復(fù)指數(shù)exp(jkr)中的r作二項式展開（當(dāng)z大于某一尺度）菲涅耳區(qū)即：孔徑和觀察平面之間的距離遠遠大于孔徑的線度，并且只對軸附近的一個小區(qū)域內(nèi)進行觀察，（z遠大于孔徑以及觀察區(qū)域的最大線度）則有4、菲涅耳衍射這是菲涅耳衍射充分條件，但不是必要條件。實際上當(dāng)z較小不滿足上式時，也能觀察到費涅耳衍射。4、菲涅耳衍射稱之為菲涅耳近似。此時脈沖響應(yīng)簡化為其物理意義是用二次曲面近似表示球面子波(費涅耳近似的實質(zhì))。把上述簡化的脈沖響應(yīng)函數(shù)代入疊加積分式，則得到卷積形式表達的菲涅耳衍射方程：4、菲涅耳衍射上式就是菲涅耳衍射公式?？沼蚍e分和卷積表示將指數(shù)中的二次項展開，可得到用傅里葉變換形式表示的菲涅耳衍射方程，更常用的菲涅耳衍射公式如下4、菲涅耳衍射費涅耳衍射的FT表示4、菲涅耳衍射前面4、菲涅耳衍射頻譜或角譜的表示前面得到兩個平行平面之間角譜傳播的規(guī)律在菲涅耳區(qū)內(nèi)又由于菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)是4、菲涅耳衍射菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)它表示菲涅耳衍射在頻率域的效應(yīng)；上式僅僅是對普遍的傳遞函數(shù)的一種近似。上式第一項位相因子表示各角譜分量在距離為z的兩個平面之間傳播時都要受到的一個均勻的位相延遲。第二項位相因子表示各角譜分量將產(chǎn)生與頻率有關(guān)的相移。4、菲涅耳衍射菲涅耳衍射的傳遞函數(shù)作傅立葉逆變換與基爾霍夫理論得出的疊加積分完全相同4、菲涅耳衍射4.3菲涅耳衍射的例子—泰伯效應(yīng)(Taboreffect)什么是泰伯效應(yīng)？用單色平面波垂直照射一個周期性物體（例如透射光柵）時，在物體后面周期性的距離上出現(xiàn)物體的像。它不是一種透鏡成像，而是衍射成像。圖中zT為泰伯距離，具體分析過程請參考教材91-92頁。復(fù)振幅透過率用單位振幅的平面波垂直照明，緊靠物體后的光場分布從頻域討論與物平面相距為Z的觀察平面上的光場分布4、菲涅耳衍射U(x,y,0)U(x,y,z)傅立葉逆變換傅立葉變換角譜傳播的規(guī)律d為周期物場的頻譜5、夫瑯和費衍射菲涅耳(衍射近似)條件：進一步相對地增大z5、夫瑯和費衍射若要使z進一步增大，使其不僅滿足菲涅耳近似條件，而且滿足這時觀察平面所在的區(qū)域稱為夫朗和費區(qū)，這一近似稱為夫瑯和費近似。菲涅耳近似在菲涅耳近似的基礎(chǔ)上進一步限定傳播距離z遠遠大于孔徑的線度，可以忽略(x02+y02)/(2z)，而觀察范圍的線度與z相比盡管很小，但還未小到可以略去(x2+y2)/(2z)的程度.5、夫瑯和費衍射5.1夫朗和費衍射公式在夫瑯和費近似，將5、夫瑯和費衍射代入脈沖響應(yīng)公式則平方位相因子在整個孔徑上近似為15、夫瑯和費衍射把上式代入脈沖響應(yīng)公式，有把該脈沖響應(yīng)代入衍射公式，有不再具有平移不變性強度分布為：5、夫瑯和費衍射說明：1.觀察平面上的場分布正比于孔徑平面上透射(出射)光場分布的傅里葉變換；(觀察面上的場分布等于衍射孔徑上場分布的傅里葉變換和一個二次位相因子的乘積)2.近似條件很苛刻,可以用會聚透鏡實現(xiàn);3.能用來計算菲涅爾衍射的公式也能用來計算夫瑯和費衍射,反之不能;4.菲涅爾衍射傳遞函數(shù)表達式仍然有效.夫瑯和費衍射區(qū)的條件苛刻例:P48,2.10題

=632.8nm,Rmax=31mm菲涅耳衍射區(qū)z>>1.2m

夫瑯和費衍射區(qū)要求z>>6.3m=532nm,夫瑯和費衍射區(qū)要求z>>7.5m與菲涅耳衍射的關(guān)系菲涅耳衍射區(qū)包括了夫瑯和費衍射區(qū)夫瑯和費衍射是菲涅耳衍射的進一步近似5、夫瑯和費衍射強調(diào)兩點：1）在夫瑯和費近似下，不再具有平移不變性；2）空域中，衍射光場分布U(x,y)不再具有卷積形式；除相位因子外，是衍射屏出射光場的FT。3）對于僅響應(yīng)光強不響應(yīng)位相的一般光探測器，夫瑯和費衍射和光場的傅里葉變換并沒有區(qū)別。5、夫瑯和費衍射上次課提要：說明：1.觀察平面上的場分布正比于孔徑平面上透射(出射)光場分布的傅里葉變換；(觀察面上的場分布等于衍射孔徑上場分布的傅里葉變換和一個二次位相因子的乘積)2.近似條件很苛刻,可以用會聚透鏡實現(xiàn);5、夫瑯和費衍射矩孔,單縫,和圓孔的夫瑯和費衍射圖樣5.2一些簡單孔徑的夫瑯和費衍射5、夫瑯和費衍射利用上面的夫瑯和費衍射方程可以確定一些典型孔徑的夫瑯和費衍射圖樣，例如圓孔、矩形孔、單縫以及多縫結(jié)構(gòu)（如光柵）等。孔徑（衍射屏）的類型： 振幅調(diào)制型和相位調(diào)制型5、夫瑯和費衍射衍射屏及其復(fù)振幅透過率(或反射率)衍射屏：只要以某種方式對入射光波的波面進行調(diào)制（包括振幅調(diào)制，相位調(diào)制等），就可稱之為衍射屏。衍射屏的復(fù)振幅透過率（或反射率）：是衍射屏對光波調(diào)制作用的數(shù)學(xué)描述，是描述衍射屏宏觀光學(xué)性質(zhì)的函數(shù)。

t(x,y)為復(fù)振幅透過率。5、夫瑯和費衍射t(x,y)可實可復(fù),一般可表示為：其中，A(x,y)是振幅透過率，(x,y)是相位透過率。當(dāng)(x,y)=常數(shù)，但A(x,y)常數(shù)時，只對入射光波的振幅進行調(diào)制，稱之為振幅型的。當(dāng)A(x,y)=常數(shù)，但(x,y)常數(shù)時，只對入射光波的相位進行調(diào)制，稱之為相位型的。當(dāng)A(x,y)常數(shù)，但(x,y)常數(shù)時，對入射光波的振幅和相位都進行調(diào)制，稱之為復(fù)合型的。如1）光學(xué)均勻的平行平面玻璃板——相位型2）非平行平面玻璃板，或非光學(xué)均勻的平行平面玻璃板——相位型3）各種不透明屏上的開孔，黑白光柵——振幅型4）圖像透過率片——振幅型，相位型，或復(fù)合型5）空間光調(diào)制器（SLM）

——振幅型，相位型，或復(fù)合型5、夫瑯和費衍射5、夫瑯和費衍射假設(shè)一均勻單色平面波垂直照明孔徑，平面波的振幅為A，則孔徑的透射光場分布為：其中，t(x0,y0)是孔徑的復(fù)振幅透過率。由夫朗和費衍射公式，觀察平面場分布為5、夫瑯和費衍射觀察平面上的衍射圖樣的復(fù)振幅分布正比于物體(孔徑、衍射屏)的頻譜。夫瑯和費衍射是實現(xiàn)傅里葉變換運算的物理手段，是我們對物體作頻譜分析的基礎(chǔ)。對應(yīng)的衍射圖樣的強度分布為振幅為A的單色平面波垂直入射時，孔徑的衍射場為：物屏(孔徑、衍射屏)的頻譜(即FT)=單色光垂直入射時，觀察平面上的夫瑯和費衍射圖樣。為實施這個圖樣，可以采用4f系統(tǒng)。夫瑯和費衍射也就是平行光衍射。5、夫瑯和費衍射5、夫瑯和費衍射1）圓孔衍射圓孔的復(fù)振幅透過率可以表示為其中，a為圓孔半徑，r0為孔徑平面的徑向坐標，如圖所示5、夫瑯和費衍射圓孔的復(fù)振幅透過率：圓函數(shù)的頻譜就是傅里葉-貝塞爾變換。5、夫瑯和費衍射采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，在觀察面上得到的夫瑯和費衍射場的復(fù)振幅分布為（利用傅里葉-貝塞爾變換）：強度分布為5、夫瑯和費衍射通常稱之為愛里圖樣。中央亮斑（愛里斑）的半徑為：強度分布為（如下圖）角半徑(衍射角1):重要的是中央光斑，占有全部能量的83.78%.——稱之為愛里斑。中央亮斑（愛里斑）的半徑為：5、夫瑯和費衍射具體在夫瑯和費衍射裝置中，z=f.2012-3-26回顧其中：菲涅耳近似下，脈沖響應(yīng)簡化為用二次曲面近似表示球面子波(費涅耳近似的實質(zhì))?；仡櫩沼蚍e分和卷積表示費涅耳衍射的FT表示回顧兩個平行平面之間角譜傳播的規(guī)律菲涅耳近似下，傳遞函數(shù)是由傅立葉逆變換同樣可以得到U(x,y)從頻域出發(fā)回顧若要使z進一步增大，使其不僅滿足菲涅耳近似條件，而且滿足夫瑯和費近似條件把該脈沖響應(yīng)代入衍射公式，有強度分布為：回顧假設(shè)一均勻單色平面波垂直照明孔徑，平面波的振幅為A，則孔徑的透射光場分布為：其中，t(x0,y0)是孔徑的復(fù)振幅透過率。強調(diào)兩點：1）在夫瑯和費近似下，不再具有平移不變性；2）空域中，衍射光場分布U(x,y)不再具有卷積形式；除相位因子外，是衍射屏出射光場的FT。3）對于僅響應(yīng)光強不響應(yīng)位相的一般光探測器，夫瑯和費衍射和光場的傅里葉變換并沒有區(qū)別。回顧5、夫瑯和費衍射2）矩孔衍射矩孔的復(fù)振幅透過率可表示為：其中，a、b分別是孔徑在x0和y0方向上的寬度。其對應(yīng)頻譜為5、夫瑯和費衍射采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑，在觀察面上得到的夫瑯和費衍射場的復(fù)振幅分布為：強度分布為5、夫瑯和費衍射光能主要集中在中央亮斑，其寬度為：

在x軸方向上的相對光強分布寬度與孔徑的關(guān)系5、夫瑯和費衍射單縫衍射對于上面的距孔，假如b>>a，矩孔就變成了平行于y0軸的狹縫，衍射圖樣將集中在x軸上。采用單位振幅的單色平面波垂直照明狹縫，距離為z的觀察平面上夫瑯和費衍射圖樣的復(fù)振幅分布為強度分布為單縫衍射的強度分布5、夫瑯和費衍射5、夫瑯和費衍射3)雙縫衍射如圖，衍射孔徑由雙縫組成，狹縫寬度為a，中心相距為d，其復(fù)振幅透過率可表示為：孔徑平面觀察平面5、夫瑯和費衍射其對應(yīng)的頻譜為透過率的頻譜為5、夫瑯和費衍射當(dāng)采用單位振幅的單色平面波垂直照明孔徑時，觀察平面上夫瑯和費衍射的復(fù)振幅分布為衍射因子5、夫瑯和費衍射強度分布為（如右圖）可見，雙縫夫瑯和費衍射圖樣的強度分布是單縫衍射圖樣與雙光束干涉圖樣相互調(diào)制的結(jié)果。干涉因子fxasinc(afx)01/aa*F.T.F.T.F.T.rect(x0/a)0a/2-a/21x00d/2-d/2d(x0-d/2)+d(x0-d/2)1x01x0t(x0)0d/2-d/22cos(pfxd)f02雙縫的頻譜是兩個單縫的頻譜以一定的位相關(guān)系互相干涉的結(jié)果5、夫瑯和費衍射——雙縫衍射6、衍射的巴比涅原理如上圖所示，兩個衍射屏1和2是一對互補屏；設(shè)U1(P)和U2(P)

分別表示由1和2在觀察平面上P點產(chǎn)生的衍射光場，則如下結(jié)論成立：1）兩個互補屏在觀察點產(chǎn)生的衍射場，其復(fù)振幅之和等于光波自由傳播時在該點的復(fù)振幅，即

U1(P)+U2(P)=U(P)2）若采用單色平面波垂直照明，經(jīng)透鏡聚焦在其后焦面，自由光場的夫瑯和費衍射正比于(P)，對于軸外點有U(P)=0。此時在每一軸外點互補屏產(chǎn)生的光場復(fù)振幅分布位相相差；互補屏產(chǎn)生的夫瑯和費衍射分布，除軸上點以外，強度分布完全相同。

U1(P)=

U2(P)

以及I1(P)=I2(P)6、衍射的巴比涅原理錯誤觀點：互補屏產(chǎn)生的衍射圖樣的強度互補。7、衍射光柵*1）回顧一下，什么是光柵？衍射光柵具有周期性重復(fù)排列的結(jié)構(gòu)，可對入射光波的振幅或位相（或者兩者同時）施加周期性的空間調(diào)制，2）光柵是光學(xué)儀器中或者光學(xué)信息處理系統(tǒng)中常用的重要光學(xué)元件。下面將嘗試使用傅里葉分析的方法分析幾種典型光柵的衍射圖樣以及它們對光譜的分辨本領(lǐng)。這幾類典型的光柵包括：線光柵余弦型振幅光柵正弦型位相光柵矩形位相光柵線光柵7、衍射光柵假設(shè)線光柵狹縫寬度為a，縫間不透明部分的寬度為b，相鄰狹縫的中心距為d（d稱為光柵常數(shù)），光柵縫數(shù)為N。首先從突出物理思想的角度分析線光柵夫瑯和費衍射?實驗裝置

(1)先設(shè)想將衍射屏上的各縫除任意一條之外都遮住，這時接收屏上呈現(xiàn)的是單縫衍射花樣。?光強的分布即衍射花樣僅取決于衍射角，當(dāng)只有單縫上下平移時，衍射花樣不變，因此：若讓N條縫輪流開放，幕上獲得的花樣是完全一樣的。1、分析：?(2)N條縫是相干的，因此由于多縫之間的干涉，幕上的強度就會發(fā)生重新分布。思路：先計算狹縫的衍射光強分布，得到N個單縫衍射光A

，然后再把這N個單縫衍射光相干疊加，得到P

點的總振動?？紤]：沿某一任一方向的各衍射線，經(jīng)透鏡L2的聚集后，都會聚幕上同一點P?？紤]相鄰兩個單縫衍射光的相位差（=相鄰兩個合振動的相位差）=相鄰兩個狹縫的對應(yīng)點發(fā)出的衍射線間的相位差。綜上所述，P點的振動可看成N束平行的、振幅相等、且相鄰兩束光的位相差也相同的多光束干涉。綜上所述，P點的振動可看成N束平行的、振幅相等、且相鄰兩束光的位相差也相同的多光束干涉。在P點：問題就歸結(jié)為多光束干涉。每一束光的振幅為相鄰兩束光的位相差2、多光束干涉的結(jié)果(一)極大值（條紋或譜線）光柵方程：由于A的不同，各級主最大的光強不等。

N個單縫衍射光A相干疊加，每一個縫的A隨（P）改變。（二）最小值設(shè)狹縫數(shù)目為N，對衍射角，若相鄰光振動矢量的相位差均為，則根據(jù)多邊形合成法則：3、光強分布特點：1.主最大的位置由縫間干涉決定，即由光柵常數(shù)決定（若可以忽略單縫衍射，各級主最大的光強度相同）。2.單縫衍射的作用僅在影響在各級主最大之間的能量(光強度)分配，即如圖形成一個“包絡(luò)線”?？煞Q多縫干涉被單縫衍射調(diào)制。3.兩個主最大間有(N-1)個最小值，(N-2)個次最大。4.多縫衍射的主最大，除受到單縫衍射因子調(diào)制外，仍具有多縫干涉的特點（亮、細、開）。缺級現(xiàn)象（衍射對干涉的調(diào)制）缺級規(guī)律的推導(dǎo) 當(dāng)j級譜線位置剛好是單縫衍射(因子)的最小值。三、光柵的色散本領(lǐng)和色分辨本領(lǐng) 光柵的主要應(yīng)用是形成光譜，不同顏色(波長)的譜線總存在一定的寬度，當(dāng)相鄰兩條譜線靠的很近時，就可能無法分辨。 要使光譜容易分辨，就希望不同顏色的譜線分得越開越好，譜線越細越好。光柵的色散本領(lǐng)和色分辨本領(lǐng){{復(fù)色光的光譜圖從光譜的角度看，光柵的色散本領(lǐng)和色分辨本領(lǐng)是描述光柵性能的兩個主要指標。兩條不同的譜線分開的程度與光柵本身的性質(zhì)有關(guān)，引入角色散本領(lǐng)或角色散率來描述光柵使不同譜線分開的能力。設(shè)兩波長分別為和+d，它們的j級譜線分開的角度為d，則角色散本領(lǐng)(角色散率)1、色散本領(lǐng)(色散率)對于j=1,2級光譜，衍射角很小，D近似為常數(shù)，與無關(guān)，譜線間距近似與波長間隔成正比(稱為勻排光譜)。角色散本領(lǐng)(角色散率)2、色分辨本領(lǐng)兩波長相差很小的譜線能否被分辨是光柵的另一個重要性質(zhì)。前面討論的色散率D，只說明譜線中心分離的程度，不能說明譜線是否重疊和是否能被分辨，因為還與譜線的粗細有關(guān)。譜線的粗細程度已討論。譜線的半角寬度：某一單色光波長差為的兩條譜線的色散角為定義光柵的色分辨本領(lǐng)P： 根據(jù)瑞利判據(jù),兩條相鄰譜線的色散角等于半角度寬度時,剛好能夠分辨。所以，已知譜線的半角寬度為:說明:①P與縫的總數(shù)N和級數(shù)j成正比，而與d無關(guān)。(N一定時，刻線密即d小，使色散本領(lǐng)大，但不能提高色分辨本領(lǐng)。因為d減小,使D和同時增大.）光柵的色分辨本領(lǐng)P：②d一定時，要求N大,使色分辨本領(lǐng)P增大,但不能提高色散本領(lǐng)。③光柵光譜儀的兩個本領(lǐng)是它本身確定的,與所用的光無關(guān)。7、衍射光柵假設(shè)線光柵狹縫寬度為a，相鄰狹縫的中心距為d，則光柵的透過率可表示為從FT角度分析其對應(yīng)的頻譜為若考慮光柵的大小限制，假設(shè)其為邊長為L的正方形，則其透過率為：7、衍射光柵其對應(yīng)的頻譜為若考慮光柵的大小限制，假設(shè)其為邊長為L的正方形，則其透過率為：7、衍射光柵若采用單位振幅的單色平面波垂直照明光柵，其夫朗和費衍射圖樣的復(fù)振幅分布為：則強度分布為7、衍射光柵7、衍射光柵分辨本領(lǐng)是指分辨兩個波長很靠近的譜線（和）的能力。根據(jù)瑞利判據(jù)，一條譜線的強度極大值與另一條譜線的第一個極小值重合時，兩條譜線剛好能夠分辨，如圖所示。則光柵的分辨本領(lǐng)為(m為光柵級次，N為光柵縫數(shù)):zx余弦型振幅光柵處于一個寬度為L

的方孔內(nèi)，光柵空間頻率為0

，透過率調(diào)制度為m，m/2表示透過率呈余弦變化的幅度，光柵的整體尺寸為LL，其透過率函數(shù)為：余弦型光柵振幅透過率函數(shù)在x0方向的截面圖7、衍射光柵余弦型振幅光柵7、衍射光柵余弦型振幅光柵的透過率函數(shù)可表示為根據(jù)余弦函數(shù)及矩形函數(shù)的傅里葉變換對和函數(shù)及傅里葉變換的性質(zhì)，可得光柵的頻譜為前面學(xué)過的線光柵是以矩形波的形式對入射波產(chǎn)生振幅調(diào)制的；余弦型振幅光柵是以余弦波的形式對入射波產(chǎn)生振幅調(diào)制的。夫瑯和費衍射圖的復(fù)振幅分布為7、衍射光柵由sinc函數(shù)的分布可知，每個sinc

函數(shù)的主瓣的寬度正比于

z

/L，而由上式可見，這三個函數(shù)主瓣之間的距離為f0

z。若光柵頻率f0

>>比1/L大得多，即光柵的周期d=1/f0比光柵的尺寸L小得多，那么三個函數(shù)（主瓣）之間不存在交疊，那么平方時不存在交叉項，因而強度為7、衍射光柵因而強度為結(jié)論：用平面波照明的光柵后方光能量重新分布，其能量只集中在三個衍射級上；0級與+1級衍射間的距離為f0lz

。

顯然傅里葉分析方法比傳統(tǒng)的光程差分析方法要簡捷得多。能量只集中在三個衍射級上7、衍射光柵*衍射圖樣只包含0、-1和+1級，而沒有更高的級次，這是與線光柵的主要區(qū)別。7、衍射光柵根據(jù)上面的分析可知，波長和

的一級譜的峰值分別位于0

z和0

z處，而每條譜中央亮斑的半寬度為

z/L，則根據(jù)瑞利判據(jù)，兩條譜線剛好分開必須滿足的條件為：則光柵的分辨本領(lǐng)為N為光柵上余弦條紋的數(shù)目，它與m=1級時的線光柵的分辨本領(lǐng)相同。光柵的分辨本領(lǐng)光柵的有限的分辨本領(lǐng)是由實際光柵的有限尺寸引起的有限尺寸Lx譜線的線形為sinc函數(shù)，其半寬度定義分辨本領(lǐng)光柵第m級譜線的位置xm對應(yīng)于陣列函數(shù)諧波頻率的位置:與使用波長有關(guān)瑞利準則要求

N為在Lx范圍內(nèi)容納的光柵條紋數(shù)即#7、衍射光柵（后面不講）有限大正型弦相位