外接球和內(nèi)切球(精心整理)

外接球和內(nèi)切球(精心整理)

關(guān)于球的綜合問題1.多面體的外接球問題對于正方體（或長方體）和由同一頂點(diǎn)出發(fā)的三棱柱或三棱錐，其外接球的直徑為體對角線的長度。例如，對于長方體，其體對角線長度為①，對于正方體，其體對角線長度為②。設(shè)球半徑為R，則可以推廣到其他多面體。例1：已知一個(gè)表面積為18的正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求該球的體積。例2：一個(gè)三棱柱???????????????????的側(cè)棱垂直于底面，????=????=2，∠??????=90°，????1=2，且所有頂點(diǎn)都在同一球面上，求該球的表面積。例3：在球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=2，則該球的表面積為多少？例4：將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為陽馬；將四個(gè)面都為直接三角形的三棱錐稱為鱉臑。若三棱錐P-ABC為鱉臑，PA⊥平面ABC，PA=AB=2，AC=4，三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的表面積為多少？例5：已知正四面體的棱長為√2，則該四面體的外接球的體積為多少？例6：在三棱錐A-BCD中,AB=CD=2,AD=BC=√5,AC=BD=√7,則該三棱錐的外接球表面積是多少？2.球包柱問題可以利用球包柱的方法求解三角形的外接圓半徑，適用于等邊三角形、直角三角形和任意三角形。例7：一個(gè)側(cè)棱垂直于底面的三棱柱???????????????????，????=????=2，∠??????=120°，????1=2，且所有頂點(diǎn)都在同一球面上，求該球的表面積。例8：三棱錐D-ABC中，AD⊥平面ABC，AC＝√3，BC＝1，∠ACB=sin?∠ACB，AD＝2，則該三棱錐外接球的表面積為多少？例9：假設(shè)網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為l，給出某幾何體的三視圖如下圖所示，該幾何體由一個(gè)三棱柱切割得到。求該幾何體外接球的表面積。解析：我們可以先觀察三視圖，發(fā)現(xiàn)這個(gè)幾何體由一個(gè)三棱柱切割得到。因此，我們可以先求出這個(gè)三棱柱的外接球表面積，再減去被切割掉的部分。三棱柱的底面是一個(gè)等邊三角形，邊長為l，高為l。因此，三棱柱的外接球半徑為l/√2。根據(jù)球的表面積公式，三棱柱的外接球表面積為8π/√2。由于幾何體的切割部分是三棱柱的頂部，因此可以看作是一個(gè)正三角形棱柱。這個(gè)正三角形棱柱的高為l，底面邊長為l/√2。因此，它的外接球半徑為l/(2√2)。根據(jù)球的表面積公式，正三角形棱柱的外接球表面積為3π/(2√2)。最終，幾何體的外接球表面積等于三棱柱的外接球表面積減去正三角形棱柱的外接球表面積，即8π/√2-3π/(2√2)=16π/√2=8√2π。因此，答案為D。例10：假設(shè)網(wǎng)格紙上正方形的邊長為1，給出某三棱錐的三視圖如下圖所示。求該三棱錐的外接球的表面積。解析：觀察三視圖，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)三棱錐的底面是一個(gè)邊長為1的正方形，側(cè)面是三個(gè)等邊三角形。因此，我們可以先求出這個(gè)三棱錐的外接球半徑，再根據(jù)球的表面積公式求解。三棱錐的底面是一個(gè)正方形，因此它的外接圓半徑為1/2。我們可以通過勾股定理求出三棱錐的高，即√(3/4)。因此，三棱錐的外接球半徑為(1+√3/2)/2。根據(jù)球的表面積公式，三棱錐的外接球表面積為2π(1+√3/2)2=9π/2+3√3π/2。因此，答案為C。例11：一個(gè)圓錐的軸截面是邊長為2的正三角形，求其外接球的表面積。解析：觀察題目，可以發(fā)現(xiàn)這個(gè)圓錐的軸截面是一個(gè)邊長為2的正三角形，因此它是一個(gè)正四面體。我們可以先求出正四面體的外接球半徑，再根據(jù)球的表面積公式求解。正四面體的高為2√2/3，底面邊長為2。因此，它的外接球半徑為√6/2。根據(jù)球的表面積公式，正四面體的外接球表面積為2π(√6/2)2=3√3π。因此，答案為C。例13：在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=2，AB=AC=1，BC=√3。求該三棱錐的外接球的表面積。解析：觀察三棱錐P-ABC，可以發(fā)現(xiàn)它的底面是一個(gè)等邊三角形，邊長為1，高為√3/2。因此，底面的外接圓半徑為√3/3。我們可以通過勾股定理求出三棱錐的高，即√(7/4)。因此，三棱錐的外接球半徑為(2+√7/2)/2。根據(jù)球的表面積公式，三棱錐的外接球表面積為2π(2+√7/2)2=17√7π/2。因此，答案為A。例14：在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=PC=AC=2，AB=4。求該三棱錐的外接球的表面積。解析：觀察三棱錐P-ABC，可以發(fā)現(xiàn)它的底面是一個(gè)矩形，長為4，寬為2。因此，底面的外接圓半徑為√10/2。我們可以通過勾股定理求出三棱錐的高，即√14。因此，三棱錐的外接球半徑為(2+√10/2)/2。根據(jù)球的表面積公式，三棱錐的外接球表面積為2π(2+√10/2)2=17π+7√10π。因此，答案為B。例15：在三棱錐S-ABC中，△ABC是邊長為3的等邊三角形，SA=√3，SB=2√3，面角S-AB-C的大小為120°。求該三棱錐外接球的表面積。解析：觀察三棱錐S-ABC，可以發(fā)現(xiàn)它的底面是一個(gè)邊長為3的等邊三角形，因此底面的外接圓半徑為3/√3=√3。我們可以通過勾股定理求出三棱錐的高，即√21。因此，三棱錐的外接球半徑為(√3+2√3+√21)/2=(√21+3√3)/2。根據(jù)球的表面積公式，三棱錐的外接球表面積為2π(√21+3√3)/22=12√3π+3√21π/2。因此，答案為D。（2）球內(nèi)切三棱柱的問題例1：一個(gè)直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)球，已知AB=6，BC=8且AB垂直于BC。若球與側(cè)面和底面都相切，求側(cè)面AA1的長度。另外，若AA1=3，求球的體積V的最大值。2.模型2：球切錐類型一：球切圓錐例2：（1）一個(gè)圓錐的母線長為2，圓錐的母線與底面夾角為45°，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為（）A.8πB.4(2-√2)πC.4(2+√2)πD.2π。（2）將半徑為3，圓心角為120°的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的體積為（）A.9πB.3πC