上海市武寧中學2022-2023學年高二數(shù)學理期末試題含解析

上海市武寧中學2022-2023學年高二數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若函數(shù)為上的增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B2.已知等差數(shù)列中，，則首項和公差的值分別為（

）

A．１，３B．－３，４C．１，４D．１，２參考答案：C3.已知函數(shù)，則（

）

參考答案：D4.已知雙曲線H：﹣=1，斜率為2的動直線l交H于A，B兩點，則線段AB的中點在一條定直線上，這條定直線的方程為（）A．x+y=0 B．x﹣y=0 C．x+2y=0 D．x﹣2y=0參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為M（x0，y0）．利用中點坐標公式、斜率計算公式、“點差法”即可得出．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為M（x0，y0）．則，=1，相減可得=，即=2?又=2，y1+y2=2y0，x1+x2=2x0，則2?=2，即x0=y0，即x0﹣y0=0．故線段AB的中點在直線x﹣y=0上．故選：B5.已知圓M：（x﹣1）2+y2=，橢圓C：+y2=1，若直線l與橢圓交于A，B兩點，與圓M相切于點P，且P為AB的中點，則這樣的直線l有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．6條參考答案：C【分析】討論直線AB的斜率不存在和存在，利用點差法求得直線AB的斜率，根據(jù)kMP?kAB=﹣1，求得P點橫坐標，確定在橢圓內(nèi)，即可得到所求直線的條數(shù)．【解答】解：當直線AB斜率不存在時且與圓M相切時，P在x軸上，故滿足條件的直線有兩條；當直線AB斜率存在時，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由+y12=1，+y22=1，兩式相減，整理得：=﹣?，則kAB=﹣，kMP=，kMP?kAB=﹣1，則kMP?kAB=﹣?=﹣1，解得：x0=，由＜，可得P在橢圓內(nèi)部，則這樣的P點有兩個，即直線AB斜率存在時，也有兩條．綜上可得，所求直線l有4條．故選：C．6.從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A．至少有1個白球；都是白球B．至少有1個白球；至少有1個紅球C．恰有1個白球；恰有2個白球D．至少有一個白球；都是紅球參考答案：C【考點】互斥事件與對立事件．【分析】由題意知所有的實驗結(jié)果為：“都是白球”，“1個白球，1個紅球”，“都是紅球”，再根據(jù)互斥事件的定義判斷．【解答】解：A、“至少有1個白球”包含“1個白球，1個紅球”和“都是白球”，故A不對；B、“至少有1個紅球”包含“1個白球，1個紅球”和“都是紅球”，故B不對；C、“恰有1個白球”發(fā)生時，“恰有2個白球”不會發(fā)生，且在一次實驗中不可能必有一個發(fā)生，故C對；D、“至少有1個白球”包含“1個白球，1個紅球”和“都是白球”，與都是紅球，是對立事件，故D不對；故選C．7.已知函數(shù)，其導函數(shù)的圖象如圖所示，則(

)A．在(－∞,0)上為減函數(shù)

B．在x=1處取極小值

C．在x=2處取極大值

D．在(4,+∞)上為減函數(shù)參考答案：D8.橢圓上有兩點P、Q,O為原點,若OP、OQ斜率之積為,

為

(

)A.

4

B.

64

C.

20

D.

不確定

參考答案：C略9.等差數(shù)列的前n項和記為，若為一個確定的常數(shù)，則下列各數(shù)中也是常數(shù)的是

（

）A． B． C． D．參考答案：B10.已知全集U={－1，0，1，2}，集合A={1，2}，B={0，2}，則（CUA）∩B=（

）A．φ

B．{0} C．{2}

D．{0，1，2}參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為

．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積．【專題】作圖題；運動思想；等體積法；空間位置關(guān)系與距離．【分析】畫出幾何體的直觀圖，利用已知條件，求解幾何體的體積即可得到答案．【解答】解：由題意可知幾何體的直觀圖如圖：旋轉(zhuǎn)體是底面半徑為2，高為4的圓柱，挖去一個相同底面高為2的倒圓錐，幾何體的體積為：=．故答案為：．【點評】本題考查幾何體的體積的求法，考查空間想象能力以及計算能力．畫出幾何體的直觀圖是解題的關(guān)鍵，是中檔題．12.一個社會調(diào)查機構(gòu)就某地居民的月收入調(diào)查了10000人，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫了樣本的頻率分布直方圖（如圖）．為了分析居民的收入與年齡、學歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000人中再用分層抽樣方法抽出100人作進一步調(diào)查，則在［2000，3000）（元）月收入段應抽出_____人．

參考答案：5013.甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是_________（寫出所有正確結(jié)論的編號）．①；②；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發(fā)生有關(guān)．參考答案：略14.已知x、y的取值如表所示：x0134y2.24.34.86.7從散點圖分析，y與x線性相關(guān)，且=0.95x+a，則a=．參考答案：2.6【考點】線性回歸方程．【分析】根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以分別求出變量x，y的算術(shù)平均值，而根據(jù)回歸方程知道直線的斜率為0.95，然后帶入求截距的公式即可求出a．【解答】解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)得：；又由回歸方程知回歸方程的斜率為0.95；∴．故答案為：2.6．【點評】考查線性相關(guān)的概念，回歸方程中直線的斜率和截距的計算公式，以及變量的算術(shù)平均值的計算．15.長方體一個頂點上三條棱的長分別為3、4、5，且它的八個頂點都在同一球面上，這個球的表面積是

參考答案：略16.如右圖，矩形長為5，寬為3，在矩形內(nèi)隨機撒100顆黃豆，數(shù)得落在橢圓內(nèi)的黃豆數(shù)為80顆，以此實驗數(shù)據(jù)為依據(jù)可以估算橢圓的面積約為

．參考答案：12

17.復數(shù)的共軛復數(shù)是

。參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某校從名男教師和名女教師中任選人參加全縣教育系統(tǒng)舉行的“我的教育故事”演講比賽．如果設(shè)隨機變量表示所選人中女教師的人數(shù)．求：(1)的分布列；(2)的數(shù)學期望；(3)“所選3人中女教師的人數(shù)≥”的概率．參考答案：解：(1)易知可能的取值為0,1,2.．……………2分所以得分布列為011

…6分(2)的數(shù)學期望為：；…10分(3)“所選3人中女教師的人數(shù)≥”的概率為：+．…………14分19.(本小題滿分13分)某房地產(chǎn)開發(fā)商投資81萬元建一座寫字樓，第一年裝修費為1萬元，以后每年增加2萬元，把寫字樓出租，每年收入租金30萬元．(Ⅰ)若扣除投資和各種裝修費，則從第幾年開始獲取純利潤？(Ⅱ)若干年后開發(fā)商為了投資其他項目，有兩種處理方案：①年平均利潤最大時以46萬元出售該樓；②純利潤總和最大時，以10萬元出售該樓，問哪種方案盈利更多？參考答案：解：(Ⅰ)設(shè)第n年獲取利潤為y萬元，n年共收入租金30n萬元，付出裝修費構(gòu)成一個以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，共，因此利潤y=30n－(81+n2)，令y>0，解得：3<n<27，所以從第4年開始獲取純利潤.(Ⅱ)年平均利潤，(當且僅當，即n=9時取等號)所以9年后共獲利潤：12=154(萬元)，利潤y=30n－(81+n2)=－(n－15)2+144，所以15年后共獲利潤：144+10=154(萬元).兩種方案獲利一樣多，而方案①時間比較短，所以選擇方案①.

20.設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導函數(shù)．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n﹣f（n）的大小，并加以證明．參考答案：【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由已知，，…可得用數(shù)學歸納法加以證明；（Ⅱ）由已知得到ln（1+x）≥恒成立構(gòu)造函數(shù)φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），利用導數(shù)求出函數(shù)的最小值即可；（Ⅲ）在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則，n依次取1，2，3…，然后各式相加即得到不等式．【解答】解：由題設(shè)得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用數(shù)學歸納法證明．①當n=1時，，結(jié)論成立．②假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即，那么n=k+1時，=即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．設(shè)φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），則φ′（x）=，當a≤1時，φ′（x）≥0（僅當x=0，a=1時取等號成立），∴φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴當a≤1時，ln（1+x）≥恒成立，（僅當x=0時等號成立）當a＞1時，對x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上單調(diào)遞減，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即當a＞1時存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由題設(shè)知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比較結(jié)果為g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）證明如下：上述不等式等價于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得結(jié)論得證．21.在直角坐標系xoy中，曲線C1的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρsin（θ+）=4．（Ⅰ）求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程；（Ⅱ）設(shè)P為曲線C1上的動點，求點P到C2上點的距離的最小值．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標方程．【分析】（I）利用cos2α+sin2α=1消參數(shù)得到C1的普通方程，將極坐標方程左側(cè)展開即可得