2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第7節(jié)：函數(shù)的圖像（教師版）

2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

第7節(jié)函數(shù)的圖像

考試要求1.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法、列表

法、解析法）表示函數(shù)；2,會運用基本初等函數(shù)的圖像分析函數(shù)的性質(zhì)，解決方程

解的個數(shù)與不等式解的問題.

[|知識診斷?基礎(chǔ)夯實

知識梳理

1.利用描點法作函數(shù)的圖像

步驟：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）化簡函數(shù)解析式；（3）討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、

單調(diào)性、周期性、對稱性等）；（4）列表（尤其注意特殊點、零點、最大值點、最小

值點、與坐標(biāo)軸的交點等），描點，連線.

2.利用圖像變換法作函數(shù)的圖像

（1）平移變換

（2）對稱變換

y=/（x）的圖像—關(guān)于電軸對松―左）的圖像:

y=危）的圖像—差于丁軸對稱“=/（幻的圖像:

y=/（x）的圖像一關(guān)上原點對.缸二幻的圖像:

y=ax（a>0,且aWl）的圖像一關(guān)）直線“二工對松fy=log?。╝>0,且aWl）的圖像.

（3）伸縮變換

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__________縱坐標(biāo)不變__________

y=fix)*y=/(ax).

各點橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?(。>0)倍

a

橫坐標(biāo)不變

y=/(x)*y=4/(x).

各點縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹?/>0)倍

(4)翻折變換

X軸下方部分翻折到上方

y=/(x)的圖像?7=10的圖像;

X軸及上方部分不變

產(chǎn)曲的圖像力Q瑞喘曠皿的圖像

I常用結(jié)論

1.函數(shù)圖像自身的軸對稱

(1求一X)=/(X)Q函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于y軸對稱；

(2)函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于直線對稱華h。+x)=火。一x)=j/(x)=/(2a—x)=

/(—x)=/(2a+x)；

(3)若函數(shù)y=/(x)的定義域為R,且有/(a+x)=/(b—x),則函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于

a+b

直線x?對稱.

2

2.函數(shù)圖像自身的中心對稱

(1)/(—x)=-/(x)=函數(shù)y=/(x)的圖像關(guān)于原點對稱；

(2)函數(shù)y=y(x)的圖像關(guān)于點(a,0)對稱+x)=fa—x)<=>/(x)=—/(2a—

x)鈍A—x)=-J(2a+x)；

(3)函數(shù)夕=/(x)的圖像關(guān)于點(a,3成中心對稱oRa+x)=2b—/(a—x)<=>/(x)=26—

/(2a-x).

3.兩個函數(shù)圖像之間的對稱關(guān)系

(1)函數(shù)y=/(a+x)與歹=/(b—x)的圖像關(guān)于直線x=；—對稱(由a+x=b—x得對

稱軸方程)；

(2)函數(shù)y=j[x)與y=fi2a—x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱；

(3)函數(shù)y=/)與y=2b—/(—x)的圖像關(guān)于點(0,b)對稱；

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(4)函數(shù)丁=7(x)與y=2b—作a—x)的圖像關(guān)于點(a,b)對稱.

I］診斷自測

1.思考辨析(在括號內(nèi)打“J”或“義”)

(1)當(dāng)x￡(0,+8)時，函數(shù)歹=|/(x)］與歹=川刈的圖像相同.()

⑵函數(shù)歹=確0與y=/3)(a>0且aWl)的圖像相同.()

(3)函數(shù)與y=一/U)的圖像關(guān)于原點對稱.()

(4)若函數(shù)y=/(x)滿足/(I+x)=/(l—x),則函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=1對

稱.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)J

解析(1)令人X)=-X,當(dāng)xG(O,+8)時，y=］/(x)|=x,v=/(|x|)=—X,兩者圖像

不同，(1)錯誤.

(2)中兩函數(shù)當(dāng)aWl時，y=q/(x)與y=/(ax)是由y=/(x)分別進(jìn)行橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)

伸縮變換得到，兩圖像不同，(2)錯誤.

(3?=/(x)與_y=一/)的圖像關(guān)于x軸對稱，(3)錯誤.

2.下列圖像是函數(shù)'的圖像的是()

X—1,x20

答案C

解析其圖像是由歹=》2圖像中x<0的部分和y=x-l圖像中x20的部分組成.

3.(2021?昆明質(zhì)檢)已知圖①中的圖像對應(yīng)的函數(shù)為>=段)，則圖②中的圖像對應(yīng)

的函數(shù)為()

圖①圖②

A.^=XM)B.^=/(-M)

C片阿|D.y=-|/(x)|

答案B

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解析觀察函數(shù)圖像可得，②是由①保留y軸左側(cè)及歹軸上的圖像，然后將y軸

左側(cè)圖像翻折到右側(cè)所得，結(jié)合函數(shù)圖像的對稱變換可得變換后的函數(shù)的解析式

為丁=/(一慟).

4.(2021?天津卷)函數(shù)丁=嶗的圖像大致為()

xz+2

答案B

解析設(shè)丁=/3)=噢，則函數(shù)7U)的定義域為{x|x#o},關(guān)于原點對稱，

力十2

又/(一%)=劇=/(x),所以函數(shù)/(x)為偶函數(shù)，排除A,C；

(-x)2+2

當(dāng)x￡(0,1)時，ln|x|<0,x2+l>0,

所以外)V0,排除D.

5.(易錯題)設(shè)/(x)=2、，g(x)的圖像與/(x)的圖像關(guān)于直線夕=x對稱，/?(x)的圖像

由g(x)的圖像向右平移1個單位得到，則/i(x)=.

答案一10g2(X—1)

解析與/(X)的圖像關(guān)于y=x對稱的圖像所對應(yīng)的函數(shù)為g(x)=-logM,再將其

圖像右移1個單位得到/x)=-log2(x-l)的圖像.

6.(2022?西安調(diào)研)已知函數(shù)/(X)的圖像如圖所示，則函數(shù)g(x)=log4/(x)的定義域

是.

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答案(2,8]

解析當(dāng)/(x)>0時，函數(shù)g(x)=log\b(x)有意義，由函數(shù)/(X)的圖像知滿足/(x)>0

時，xG(2,8].

考點突破?題型剖析

考點一作函數(shù)的圖像

例1作出下列函數(shù)的圖像：

(l)y=2?+l；

(2)y=|lg(x-l)|；

(3)y=/一|x|_2.

解(1)將y=2x的圖像關(guān)于歹軸作對稱圖像，取丁21的部分得y=2區(qū)的圖像，再

將所得圖像向上平移1個單位長度，得到歹=2因+1的圖像，如圖①所示(實線部

分).

(2)首先作出y=lgx的圖像，然后將其向右平移1個單位長度，得到y(tǒng)=lg(x-l)

的圖像，再把所得圖像在x軸下方的部分翻折到x軸上方，即得所求函數(shù)y=|lg(x

—1)1的圖像，如圖②所示(實線部分).

(3)y=x2—|x|—2=''i‘函數(shù)為偶函數(shù)，先用描點法作出[0,+°°)±

廠+x-2,x<0,

的圖像，再根據(jù)對稱性作出(一8,0)上的圖像，其圖像如圖③所示.

2>2X

③

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感悟提升1.描點法作圖：當(dāng)函數(shù)解析式(或變形后的解析式)是熟悉的基本函數(shù)時,

就可根據(jù)這些函數(shù)的特征描出圖像的關(guān)鍵點直接作出.

2.圖像變換法：若函數(shù)圖像可由某個基本函數(shù)的圖像經(jīng)過平移、翻折、對稱得到，

可利用圖像變換作出，并應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式

的影響.

訓(xùn)練1分別作出下列函數(shù)的圖像：

9Y-1

(1?=,2—5x+4|；(2)y=---

x—1

解(1)令y=x2—5x+4=0,解出兩根為1,4,得到y(tǒng)=N—5x+4的圖像.將x軸

以下的部分關(guān)于x軸作對稱圖形，得到丁=|/一5》+4］的圖像，如圖①所示(實線

部分).

(2?=幺/y-----=I=2+」1一，故函數(shù)的圖像可由_y=L1的圖像向右平移1個單位，再向

X—1X—1X

上平移2個單位得到，如圖②所示.

考點二函數(shù)圖像的辨識

1.函數(shù)危)=疝'+》在［一無,無］的圖像大致為()

cosx+xz

答案D

解析?.貝一x)=-:mf一"),且［一兀，用，，火x)為奇函數(shù),

COS(—X)+(-X)2

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排除A.

TT

當(dāng)時，火兀)=———>0,排除B,C,只有D滿足.

X=TI-1+兀2

d,x20,

iLg(x)=—/(—x),則函數(shù)g(x)的圖像是()

答案D

解析法一當(dāng)x>0時，-x<0,

所以g(x)=-/(—x)=L

X

當(dāng)xWO時，一x20,g(x)=—x2,

從而根據(jù)函數(shù)的取值正負(fù)情況可知D正確.

法二也可先畫出外)的圖像，再關(guān)于原點對稱得g(x)的圖像.

囚，xWl,

3.已知函數(shù)/(x)=[ogix，x>l,則函數(shù)的大致圖像是()

答案D

3X,xWl,

解析法一先畫出函數(shù)八x)=logix，》>1的草圖，令函數(shù)4)的圖像關(guān)于y軸對

.3

稱，得函數(shù)/(-X)的圖像，再把所得的函數(shù)/(一X)的圖像，向右平移1個單位，得

到函數(shù)夕=/(l—X)的圖像(圖略)，故選D.

x20,

法二由已知函數(shù)/(X)的解析式，得y=/(l-x)='log](1-X)，x<0，故該函數(shù)過

.3

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點(0,3),排除A；過點(1,1),排除B；在(一8,0)上單調(diào)遞增，排除C.

4.(2⑼?浙江卷)已知函數(shù)須則圖像如圖的函數(shù)可能是)

.。卜

4

A.y=/a)+g(x)-：

B.7=/(x)_g(x)-；

C.y=/(x)g(x)

答案D

解析易知函數(shù)次x)=/+；是偶函數(shù),g(x)=sinx是奇函數(shù)，給出的圖像對應(yīng)的

函數(shù)是奇函數(shù).選項A,y=/(x)+g(x)—x2+sinx為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，

排除A；選項B,^=於)一烈6—5=/—sinx也為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，

[oq

排除B；因為當(dāng)x@(0,+8)時，危)單調(diào)遞增，且加:)>0,當(dāng)xW〔'2j時，g(x)

單調(diào)遞增，且g(x)>0,所以y=/(x)g(x)在卜’3上單調(diào)遞增，由圖像可知所求函數(shù)

在2上不單調(diào)，排除C.故選D.

感悟提升1.抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖像的左右

位置；從函數(shù)的值域，判斷圖像的上下位置；(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖像的變

化趨勢；(3)從周期性，判斷圖像的循環(huán)往復(fù)；(4)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖像的對

稱性.

2.抓住函數(shù)的特征，定量計算：從函數(shù)的特征點，利用特征點、特殊值的計算分

析解決問題.

考點三函數(shù)圖像的應(yīng)用

角度1研究函數(shù)的性質(zhì)

例2已知函數(shù)7(x)=x|x|-2x,則下列結(jié)論正確的是()

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A：(x)是偶函數(shù)，遞增區(qū)間是(0,+°°)

B：/(x)是偶函數(shù)，遞減區(qū)間是(一8,1)

C：/(x)是奇函數(shù)，遞減區(qū)間是(一1,1)

D：/(x)是奇函數(shù)，遞增區(qū)間是(一8,0)

答案C

解析將函數(shù)yu)=x|x|—2x去掉絕對值得外)=,，'-'畫出函數(shù)7(x)的

圖像，如圖，觀察圖像可知，函數(shù)")的圖像關(guān)于原點對稱，故函數(shù)段)為奇函數(shù),

且在(一1,1)上是遞減的.

角度2在不等式中的應(yīng)用

例3(1)若函數(shù)/(x)=log2(x+l),且a>b>c>0,貝公的大小關(guān)

abc

系為.

(2)設(shè)奇函數(shù)人x)在(0,+8)上為增函數(shù)，且火1)=0,則不等好⑴—/(-X)〈0

X

的解集為.

答案(10￡匕工業(yè)乂回

cha

(2)(—1,0)U(0,1)

解析(1)由題意可得,半-,2-分別看作函數(shù)/(X)=10g2(x+l)圖像上

abc

的點(a,(h,fib)),(c,/(c))與原點連線的斜率.

結(jié)合圖像可知，當(dāng)a>b>c>0時,

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/(a)JQb)J(c)

ahc

(2)因為./(x)為奇函數(shù),

所以不等式―/(—X)<0可化為&_YO,

XX

即步(%)<0,/(X)的大致圖像如圖所示，

所以原不等式的解集為(-1,o)u(o,1).

角度3求參數(shù)的取值范圍

例4(1)(2022?洛陽模擬)已知火x)=‘l即”'xWl，若關(guān)于x的方程a=Ax)恰

「爐+標(biāo)一2,x>l,

有兩個不同的實數(shù)根，則實數(shù)。的取值范圍是()

48-]1]

A.l2ju[l,2)Bl2ju[l,2)

C.(L2)D.[l,2)

(2)已知函數(shù)人x)=|/+3x|,xdR.若方程外)一。,一1|=0恰有4個互異的實數(shù)根,

則實數(shù)a的取值范圍為.

答案(1)B(2)(0,1)U(9,+8)

解析(1)關(guān)于x的方程a=/a)恰有兩個不同的實根，即y(x)的圖像與直線y=a恰

有兩個不同的交點，作出大x)的圖像如圖所示.

2y

1

寸r

TX

-2.

由圖像可得。的取值范圍為I0'2).

(2)設(shè)力=火冷=斤+3兄，yz=a\x-\\.

在同一直角坐標(biāo)系中作出

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丁2=。,一11的圖像如圖所示.

由圖可知/(x)—a|x—1|=0有4個互異的實數(shù)根等價于y=|x2+3x|與y2=a|x-1|

的圖像有4個不同的交點，且4個交點的橫坐標(biāo)都小于1,

所以①『——『一''(—34<0)有兩組不同解.

y=a(1—X)

消去y得好+(3—a)x+a=O,該方程有兩個不等實根xi,xi,

2=(3—a)2—4a>0,

.-3<『，

-?-2

(—3)2+(3—a)X(—3)+a>0,

02+(3—a)X0+a>0,

0<a<1.

"x?—1_3丫

②，'、(X>1)有兩組不同解.

y=a(x—1)

消去y得/+(3—q)x+a=O有兩不等實根X3,X4,

.".J=a2—10a+9>0,

又,.,x3+x4=a—3>2,X3X4=a>l,

a>9.

綜上可知，0<a<l或a>9.

感悟提升1.利用函數(shù)的圖像研究函數(shù)的性質(zhì)

對于已知或易畫出其在給定區(qū)間上圖像的函數(shù)，其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、

最值(值域)、零點)常借助于圖像研究，但一定要注意性質(zhì)與圖像特征的對應(yīng)關(guān)系.

2.利用函數(shù)的圖像可解決某些方程和不等式的求解問題，方程Ax)=g(x)的根就是

函數(shù)/(X)與g(x)圖像交點的橫坐標(biāo)；不等式/(x)<g(x)的解集是函數(shù)/(x)的圖像位于

g(x)圖像下方的點的橫坐標(biāo)的集合，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.

訓(xùn)練2(1)(2021唐山模擬)已知函數(shù)大工)=|%—2|+1,g(x)=kx,若4c)>g(x)恒成立,

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則實數(shù)k的取值范圍是.

⑵已知函數(shù)y=/(x)的圖像是圓》2+產(chǎn)=2上的兩段弧，如圖所示，則不等式

x)—2x的解集是.

(3)已知/(x)=』g"'2°'則函數(shù)y=2f(x)—3/(x)+l的零點個數(shù)是_____.

2W,x《0,

「—14廠

答案(1)L2J(2)(-1,O)U(1,V2]

(3)5

解析(1)如圖作出函數(shù)/(x)的圖像，

當(dāng)一iw左<3時，g(x)的圖像恒在y(x)下方.

(2)由圖像可知，函數(shù)人x)為奇函數(shù)，故原不等式可等價轉(zhuǎn)化為./U)>—X.

在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫出y=/(x)與y=-x的圖像,

由圖像可知不等式的解集為(-1,o)u(i,啦].

(3)方程"(x)—訓(xùn)x)+l=O的解為義x)=g或1.

作出y=/(x)的圖像，由圖像知y=/(x)與有2個交點，y=/(x)與》=1有3個

交點，故零點的個數(shù)為5.

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1分層訓(xùn)練?鞏固提升

A級基礎(chǔ)鞏固

1.在2h內(nèi)將某種藥物注射進(jìn)患者的血液中，在注射期間，血液中的藥物含量呈線

性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，能反映血液中藥物含量0

隨時間/變化的圖像是（）

答案B

解析依題意知，在2h內(nèi)血液中藥物含量0持續(xù)增加，停止注射后，。呈指數(shù)

衰減，圖像B適合.

2.（2022?河南名校聯(lián)考）函數(shù)/（x）=n°s：+sinx的部分圖像大致為（）

答案A

解析因為/(x)="cos：+sinx

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xcosx+sinx

危)，

x2+l

所以函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，排除選項C,D；

[o匹]

又當(dāng)'2J時，｛x)>0,所以排除B.選A.

3.若函數(shù)危4"(4>0且aWl)在R上為減函數(shù)，則函數(shù)y=log°(|x|-1)的圖

像可能是()

答案D

解析由於)在R上是減函數(shù)，知

又y=log"(|x|-1)是偶函數(shù)，定義域是(一8,—1)U(1,+°°).

...當(dāng)A1時，y=10g《X-l)的圖像由y=10g?X的圖像向右平移一個單位得到.因此

D正確.

4.下列函數(shù)中，其圖像與函數(shù)y=lnx的圖像關(guān)于直線x=l對稱的是()

A.^=ln(l—x)B.y=ln(2—x)

C.y=ln(1+x)D.y=ln(2+x)

答案B

解析法一設(shè)所求函數(shù)圖像上任一點的坐標(biāo)為(x,刃，則其關(guān)于直線x=l的對

稱點的坐標(biāo)為(2—x,夕)，由對稱性知點(2—x,刃在函數(shù)/(x)=lnx的圖像上，所以

y=ln(2-x).

法二由題意知，對稱軸上的點(1,0)在函數(shù)y=lnx的圖像上也在所求函數(shù)的圖

像上，代入選項中的函數(shù)表達(dá)式逐一檢驗，排除A,C,D,選B.

5.(2021?鄭州模擬)已知函數(shù)/(x)=—x+l+logax,則不等式/(x)<0的解集是()

A.(0,2)

B.(—8,1)U(2,+8)

C.(L2)

D.(0,1)U(2,+8)

答案D

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解析函數(shù)/(x)=—x+l+log2r的定義域為(0,+8),且人1)=/(2)=0,由危)<0

可得10g2X<X—1,作出函數(shù)V=10g2X與函數(shù)J=X—1的圖像如圖所示.

則函數(shù)y=logir與函數(shù)歹=x-1圖像的兩個交點的坐標(biāo)為(1,0),(2,1),由圖像

可知，不等式10g2X<x—l的解集為(0,1)U(2,+8).故選D.

6.(2022?大慶模擬)我們從某公司的商標(biāo)隊中抽象出一個圖像，如圖所示.其對應(yīng)

的函數(shù)解析式可能是()

A?=舌B危尸人

DJ(x)=―--

IM-1I

答案D

解析由題圖可知，/(X)為偶函數(shù)，故C錯誤;

又危)>0恒成立，對于A,/(x)=v—>0不恒成立，故A錯誤;

X2-1

由圖知大x)在X=-1和x=\處無定義，故B錯誤.故選D.

7.已知/(x)=2，-l,g(x)=l—x2.當(dāng)|/(x)|2g(x)時，人(x)=|/(x)|；當(dāng)|/(x)|<g(x)時，h(x)

=—g(x),則Zz(x)()

A.有最小值一1,最大值1

B.有最大值1,無最小值

C.有最小值一1,無最大值

D.有最大值一1,無最小值

答案C

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解析如圖，畫出>=a)|=|2*—1]與y=g(x)=l—N的圖像，它們交于Z,B兩

點.

由“規(guī)定”，在43兩側(cè),]/(x)|2g(x),故3)=a)|;

在45之間,l/(x)|<g(x),故//(x)=—g(x).

綜上可知，y=/?(x)的圖像是圖中的實線部分，因此〃(x)有最小值-1,無最大值.

8.若函數(shù)y=/(x)的圖像恒過點(2,2),則函數(shù)y=/(5—x)的圖像一定經(jīng)過點

答案(3,2)

解析：/(5-x)的圖像可以看作y=/(x)的圖像先關(guān)于y軸對稱，再向右平移5個

單位長度得到，點(2,2)關(guān)于y軸對稱的點(一2,2),再將此點向右平移5個單位

長度為(3,2),.\y=/(5—x)的圖像一定過點(3,2).

9.已知函數(shù)/(x)=/-2|x|一用的零點有兩個，則實數(shù)m的取值范圍是.

答案{—1}U(O,+8)

解析在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)2|x|的圖像和直線可知當(dāng)

〃?>0或加=-1時，直線與函數(shù)》=/一2園的圖像有兩個交點，即函數(shù)y(x)

=x2—2\x\—m有兩個零點.

10.已知函數(shù)/(X)在R上單調(diào)且其部分圖像如圖所示，若不等式一2勺(x+f)<4的解

集為(一1,2),則實數(shù)/的值為________.

答案1

解析由圖像可知不等式一2勺(x+f)<4,

第16頁共20頁

即｛3)</+。</(0).

又V=/(x)在R上單調(diào)遞減，

/.0<x+z<3,不等式解集為(一f,3一7).

依題意，得f=L

11.(2021-蘭州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)歹=/%)的圖像與y=G卜"的圖像關(guān)于直線y=x對稱，

且火3)十￡|=4,則實數(shù)。=.

答案一2

解析設(shè)(X,力是》=/(%)圖像上任意一點，則(y,X)在函數(shù)y=13j的圖像上，

所以x=G,則yulogU-a

3

因此/(X)=log1%一

3

由次3)+￡|=4,得一1+1—2a=4,

所以a=~2.

x2+1>x<l,

12.(2022?哈爾濱模擬)若函數(shù)/(x)=，niv的值域是3，+8),則。的取

值范圍是.

答案3'i]

X2+1,X<1,

解析畫出函數(shù)外)=?mY的圖像，如圖所示.

./)=<+1(X<1)的值域是口，+8),

人》)=。+8)(》21)的值域是1'"+；

第17頁共20頁

要使函數(shù)y(x)的值域是(a,+8),

則,3解得落戰(zhàn)1,

L<1,3

211

所以a的取值范圍是13，J

B級能力提升

13.若直角坐標(biāo)系內(nèi)48兩點滿足：(1)點/,3都在/(x)的圖像上；(2)點4B關(guān)

于原點對稱，則稱點對(/,8)是函數(shù)/(x)的一個“和諧點對”，缶，B)與(B,A)

x2+2x(x<0),

可看作一個“和諧點對”.已知函數(shù)於)=2(后0),則/a)的“和諧點對”

ev-，

有()

A.1個B.2個

C.3個D.4個

答