直線與平面垂直

直線與平面垂直授課教師：學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面垂直的定義.2理解直線與平面垂直的判定定理.(重難點(diǎn))3.理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理,并能夠證明.

(重難點(diǎn))4.能運(yùn)用判定定理證明直線與平面垂直的簡(jiǎn)單命題.5.能運(yùn)用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.溫故知新異面直線所成角與線線垂直異面直線所成角的定義異面直線所成的角、線線垂直的應(yīng)用線線垂直的定義異面直線所成角的范圍1.（重點(diǎn)）直線與平面垂直的定義與表示課文精講在日常生活中,我們對(duì)直線與平面垂直有很多感性認(rèn)識(shí).比如,旗桿與地面的位置關(guān)系(如圖),教室里相鄰墻面的交線與地面的位置關(guān)系等,都給我們以直線與平面垂直的形象.1.（重點(diǎn)）課文精講如圖,在陽光下觀察直立于地面的旗桿AB及它在地面的影子BC.隨著時(shí)間的變化,影子BC的位置在不斷地變化,旗桿所在直線AB與其影子BC所在直線是否保持垂直?直線與平面垂直的定義與表示始終保持垂直C′B′CBA1.（重點(diǎn)）課文精講事實(shí)上,隨著時(shí)間的變化,盡管影子BC的位置在不斷地變化,但是旗桿AB所在直線始終與影子BC所在直線垂直.也就是說,旗桿AB所在直線與地面上任意一條過點(diǎn)B的直線垂直.對(duì)于地面上不過點(diǎn)B的任意一條直線B'C',總能在地面上找到過點(diǎn)B的一條直線與之平行,根據(jù)異面直線垂直的定義,可知旗桿AB所在直線與直線B'C'也垂直.因此,旗桿AB所在直線與地面上任意一條直線都垂直.直線與平面垂直的定義與表示1.（重點(diǎn)）課文精講1.定義一般地,如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線l與平面α互相垂直,記作l⊥α.直線l叫做平面α的垂線,平面α叫做直線l的垂面.直線與平面垂直時(shí),它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足.直線與平面垂直的定義與表示1.（重點(diǎn)）課文精講注意:在掌握直線和平面垂直的定義時(shí),應(yīng)注意一條直線垂直于一個(gè)平面,是指這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線,由此,我們經(jīng)常使用下列的結(jié)論:直線與平面垂直的定義與表示1.（重點(diǎn)）課文精講理解定義必須注意以下幾點(diǎn):①定義中的“任意一條直線”與“所有直線”意義相同,但與“無數(shù)條直線”意義不同,定義的實(shí)質(zhì)就是直線與平面內(nèi)的所有直線都垂直.②直線和平面垂直是直線和平面相交的一種特殊形式.直線與平面垂直的定義與表示1.（重點(diǎn)）課文精講理解定義必須注意以下幾點(diǎn):③直線和平面垂直時(shí),可以得到直線和平面內(nèi)任意一條直線都垂直,給判定兩條直線垂直帶來了方便.簡(jiǎn)述為“若線面垂直,則線線垂直”,這是我們判定兩條直線互相垂直時(shí)經(jīng)常使用的一種重要方法.直線與平面垂直的定義與表示1.（重點(diǎn)）課文精講Plα2.畫法畫直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直,如圖所示.直線與平面垂直的定義與表示1.（重點(diǎn)）課文精講可以發(fā)現(xiàn),過一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條.過一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線,則該點(diǎn)與垂足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段,垂線段的長度叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離.在棱錐的體積公式中,棱錐的高就是棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離.點(diǎn)到平面的距離1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的判定1.定理推導(dǎo)下面我們來研究直線與平面垂直的判定,即探究直線與平面垂直的充分條件.根據(jù)定義可以進(jìn)行判斷,但無法驗(yàn)證一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都垂直.那么,有沒有可行的方法?它與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的判定1.定理推導(dǎo)如圖,準(zhǔn)備一塊三角形的紙片ABC,過△ABC的頂點(diǎn)A翻折紙片,得到折痕AD,將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD,DC與桌面接觸)(1)折痕AD與桌面垂直嗎?(2)如何翻折才能使折痕AD與桌面垂直?為什么?不一定重直ABCD1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的判定1.定理推導(dǎo)容易發(fā)現(xiàn),AD所在直線與桌面所在平面α垂直(如圖)的充要條件是折痕AD是BC邊上的高.這時(shí),由于翻折之后垂直關(guān)系不變,所以直線AD與平面α內(nèi)的兩條相交直線BD,DC都垂直.ABCDABCDα1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的判定1.定理推導(dǎo)事實(shí)上,由基本事實(shí)的推論2,平面α可以看成是由兩條相交直線BD,DC所唯一確定的,所以當(dāng)直線AD垂直于這兩條相交直線時(shí),就能保證直線AD與α內(nèi)所有直線都垂直.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的判定2.判定定理一般地,我們有如下判定直線與平面垂直的定理.定理如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,那么該直線與此平面垂直.定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”和“直線與直線垂直”的互相轉(zhuǎn)化.1.（重點(diǎn)）課文精講怎樣理解直線與平面垂直的判定定理?1.該定理可簡(jiǎn)記為:“若線線垂直,則線面垂直”.2.該定理有五個(gè)條件:a?α,b?α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b這五個(gè)條件缺一不可,但對(duì)l過不過a與b的交點(diǎn)及l(fā)與a,b共面或異面都不作要求,正是這種不作要求的“寬松”條件,使證明直線與平面垂直的方法很靈活.直線與平面垂直的判定1.（重點(diǎn)）課文精講怎樣理解直線與平面垂直的判定定理?3.“兩條相交直線”是定理的關(guān)鍵詞,應(yīng)用定理時(shí)不能忽略,例如:若一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條不相交的直線都垂直,則該直線與平面不一定垂直.直線與平面垂直的判定1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的判定2.判定定理思考:兩條相交直線可以確定一個(gè)平面,兩條平行直線也可以確定一個(gè)平面,那么定理中的“兩條相交直線”可以改為“兩條平行直線”嗎?你能從向量的角度解釋原因嗎?如果改為“無數(shù)條直線”呢?不可以不可以,無數(shù)條直線可能都平行1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的判定2.判定定理設(shè)直線的方向向量為平面內(nèi)的兩直線的方向向量分別為平面內(nèi)任一直線的方向向量為當(dāng)兩直線相交時(shí),為不共線向量,所以存在唯一數(shù)對(duì)(λ,μ)使1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的判定2.判定定理與平面垂直.當(dāng)兩直線平行時(shí),共線,不一定能用表示,∴不能保證∴與平面不一定垂直.1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題3.定理應(yīng)用例1:求證:如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面.已知:如圖,a//b,a⊥α,求證b⊥α.直線與平面垂直的判定abα1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題分析:要證明直線b⊥α,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知,只需證明直線b垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線即可.3.定理應(yīng)用已知:如圖,a//b,a⊥α,求證b⊥α.直線與平面垂直的判定abα1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題證明:如圖,在平面α內(nèi)取兩條相交直線m,n.∵直線a⊥α,∴a⊥m,a⊥n.∵b//a,∴b⊥m,b⊥n.又m?α,n?α,m,n是兩條相交直線,∴b⊥α.3.定理應(yīng)用已知:如圖,a//b,a⊥α,求證b⊥α.直線與平面垂直的判定abαmn1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題注意:本題給出了又一個(gè)判定直線和平面垂直時(shí)常用的結(jié)論:直線與平面垂直的判定這個(gè)結(jié)論體現(xiàn)了平行關(guān)系與垂直關(guān)系之間的聯(lián)系,通常我們把這個(gè)結(jié)論稱為直線與平面垂直的判定2,可直接使用.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面所成的角1.定義如圖,一條直線l與一個(gè)平面α相交,但不與這個(gè)平面垂直,這條直線叫做這個(gè)平面的斜線,斜線和平面的交點(diǎn)A叫做斜足.AlαPOθ垂線垂足斜線斜足射影1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面所成的角1.定義過斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引垂線PO,過垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.AlαPOθ垂線垂足斜線斜足射影1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面所成的角1.定義如果AB是平面α內(nèi)的任意一條不與直線AO重合的直線,那么直線PA與直線AB所成的角和直線PA與這個(gè)平面所成的角的大小關(guān)系是什么?直線PA與直線AB所成的角大于等于直線PA與這個(gè)平面所成的角.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面所成的角1.定義一條直線垂直于平面,我們說它們所成的角是90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們說它們所成的角是0°.直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°.這兩點(diǎn)是對(duì)前面直線與平面所成角的定義的補(bǔ)充.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面所成的角總結(jié):直線與平面所成的角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°,具體情況如下:θ0°90°0°<θ<90°位置關(guān)系直線與平面平行或在平面內(nèi)直線與平面相交但不垂直(斜交)直線與平面垂直謝謝1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題2.應(yīng)用例2:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.直線與平面所成的角BCDA1B1C1D1A分析:關(guān)鍵是找出直線A1B在平面A1DCB1上的射影.1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題2.應(yīng)用例2:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.直線與平面所成的角BCDA1B1C1D1A解:連接BC1,B1C,BC1與B1C相交于點(diǎn)O,連接A1O.設(shè)正方體的棱長為a.O1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題2.應(yīng)用例2:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.直線與平面所成的角BCDA1B1C1D1A解:∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1,∴A1B1⊥平面BCC1B1.∴A1B1⊥BC1.又BC1⊥B1C,∴BC1⊥平面A1DCB1.O1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題2.應(yīng)用例2:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.直線與平面所成的角BCDA1B1C1D1AO解:∴A1O為斜線A1B在平面A1DCB1上的射影,∠BA1O為A1B和平面A1DCB1所成的角.在Rt△A1BO中,1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題2.應(yīng)用例2:如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,求直線A1B和平面A1DCB1所成的角.直線與平面所成的角BCDA1B1C1D1AO解:∴直線A1B和平面A1DCB1所成的角為30°.1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題直線與平面所成的角總結(jié):本題的設(shè)置目的是掌握直線與平面所成的角的求法,及直線與平面所成的角的作法.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)下面我們研究直線與平面垂直的性質(zhì),即探究在直線a與平面α垂直的條件下能推出哪些結(jié)論.根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn),我們可以探究直線a與平面α內(nèi)的直線的關(guān)系.但由定義,a與α內(nèi)的所有直線都垂直.所以,可以探究a,α與其他直線或平面的關(guān)系.我們知道,在平面內(nèi),垂直于同一條直線的兩條直線平行.在空間中是否有類似的性質(zhì)呢?1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)1.性質(zhì)定理的推導(dǎo)(1)如圖,在長方體ABCD-A'B'C'D'中,棱AA',BB',CC',DD'所在直線都垂直于平面ABCD,它們之間具有什么位置關(guān)系?平行,由長方體的結(jié)構(gòu)特征可知.ABCDA′B′C′D′1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)1.性質(zhì)定理的推導(dǎo)(2)如圖,已知直線a,b和平面α.如果a⊥α,b⊥α,那么直線a,b一定平行嗎?一定平行.abα1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)1.性質(zhì)定理的推導(dǎo)可以發(fā)現(xiàn),這些直線相互平行.不失一般性,我們以(2)為例加以證明.Oabβcb'α如圖,假設(shè)b與a不平行,且b∩α=O.顯然點(diǎn)O不在直線a上,所以點(diǎn)O與直線a可確定一個(gè)平面,1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)Oabβcb'α在該平面內(nèi)過點(diǎn)O作直線b'//a,則直線b與b'是相交于點(diǎn)O的兩條不同直線,所以直線b與b'可確定平面β,設(shè)α∩β=c,則O∈c.因?yàn)閍⊥α,b⊥α,所以a⊥c,b⊥c.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)Oabβcb'α又因?yàn)閎'//a,所以b'⊥c.這樣在平面β內(nèi),經(jīng)過直線c上同一點(diǎn)O就有兩條直線b,b'與c垂直,顯然不可能.因此b//a.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)Oabβcb'α由于無法把兩條直線a,b歸入到一個(gè)平面內(nèi),所以在定理的證明中,無法應(yīng)用平行直線的判定知識(shí),也無法應(yīng)用基本事實(shí)4.在這種情況下我們采用了“反證法”.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)2.性質(zhì)定理的內(nèi)容這樣,我們得到了直線與平面垂直的一條性質(zhì)定理:定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.直線與平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們,可以由兩條直線與一個(gè)平面垂直判定這兩條直線互相平行.直線與平面垂直的性質(zhì)定理揭示了“平行”與“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)2.性質(zhì)定理的內(nèi)容在a⊥α的條件下,如果平面α外的直線b與直線a垂直,你能得到什么結(jié)論?如果平面β與平面α平行,你又能得到什么結(jié)論?b//αa⊥β1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的其他性質(zhì)和結(jié)論(1)一條直線與一個(gè)平面垂直,這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行.(3)如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面.1.（重點(diǎn)）課文精講直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的其他性質(zhì)和結(jié)論(4)如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也和另一個(gè)平面垂直.(5)如果一條直線和一個(gè)平面垂直,那么它與這個(gè)平面的平行線垂直.(6)如果平面外一條直線垂直于該平面的一條垂線,那么這條直線平行于這個(gè)平面.1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題3.性質(zhì)定理的應(yīng)用例3:如圖,直線l平行于平面α,求證:直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.直線與平面垂直的性質(zhì)ABA1B1lβα證明:過直線l上任意兩點(diǎn)A,B分別作平面α的垂線AA1,BB1,垂足分別為A1,B1.∵AA1⊥α,BB1⊥α,∴AA1//BB1.1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題3.性質(zhì)定理的應(yīng)用例3:如圖,直線l平行于平面α,求證:直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.直線與平面垂直的性質(zhì)ABA1B1lβα證明:設(shè)直線AA1,BB1確定的平面為β,β∩α=A1B1.∵l//α,∴l(xiāng)//A1B1.∴四邊形AA1B1B是矩形.∴AA1=BB1.1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題3.性質(zhì)定理的應(yīng)用例3:如圖,直線l平行于平面α,求證:直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.直線與平面垂直的性質(zhì)ABA1B1lβα證明:由A,B是直線l上任取的兩點(diǎn),可知直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題直線與平面垂直的性質(zhì)總結(jié):本題的設(shè)置目的是:①掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理;②引出直線到平面的距離的定義.1.（重點(diǎn)）課文精講直線到平面的距離、兩平行平面間的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí),這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離,叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.由前面的例題我們還可以進(jìn)一步得出,如果兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等,我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.1.（重點(diǎn)）課文精講直線到平面的距離、兩平行平面間的距離空間中點(diǎn)面距離、線面距離、面面距離的關(guān)系:線面距離面面距離點(diǎn)面距離轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題直線到平面的距離、兩平行平面間的距離例4:推導(dǎo)棱臺(tái)的體積公式其中S',S分別是棱臺(tái)的上、下底面面積,h是高.1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題解:如圖,延長棱臺(tái)各側(cè)棱交于點(diǎn)P,得到截得棱臺(tái)的棱錐.過點(diǎn)P作棱臺(tái)的下底面的垂線,分別與棱臺(tái)的上、下底面交于點(diǎn)O',O,則PO垂直于棱臺(tái)的上底面,從而O'O=h.設(shè)截得棱臺(tái)的棱錐的體積為V,去掉的棱錐的體積為V'、高為h',則PO'=h'.直線到平面的距離、兩平行平面間的距離O'OP1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題直線到平面的距離、兩平行平面間的距離O'OP解:于是所以棱臺(tái)的體積①由棱臺(tái)的上、下底面平行,可以證明棱臺(tái)的上、下底面相似,1.（重點(diǎn)）課文精講典型例題典型例題直線到平面的距離、兩平行平面間的距離O'OP解:并且代入①,得所以1.