選修2-1空間向量與立體幾何練習題及答案

選修2-1空間向量及立體幾何練習題、選擇題（本大題共10個小題,每小題5分,共50分）(2013高密高二檢測)已知a=(2x,l,3),b=(l,-2y,9),如果a與b為共線向量,則(C)x=1,y=1(B)x=1,y=-122(C)x=I,y=-3(D)x=-1,y=36262解析:Ja=(2x,1,3)與b=(1,-2y,9)共線，故有2x=丄=3,-2y9.?.x二1,y=-3.故選C.62(2013云南三明高二檢測)已知a=3i+2j-k,b二i-j+2k,則5a與3b的數(shù)量積等于(A)(A)-15(B)-5(C)-3(D)-1解析:a=(3,2,-1),b=(1,-1,2),.*.5a?3b=15a?b=T5.故選A.若向量(1,0,z)與向量(2,1,2)的夾角的余弦值為二，則z等于(A)(A)0(B)1(C)-1(D)2解析：由已知得(1,0,z)a2)_2,3八1+z232二2z=2,r-i+z23解得z=0,故選A.(2013德州高二檢測)空間直角坐標系中A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),則直線AB與CD的位置關系是(A)(A)平行(B)垂直(C)相交但不垂直(D)無法確定解析:???沖=(-2,-2,2),.=(1,1,-1),?一Q「■.|^=-2>,???"〃」，又A,B,C,D不共線，???AB〃CD.在正方體ABCD_ABCD中,BC與對角面DDBB所成角的大小為1111111(B)(A)15°(B)30°(C)45°(D)60°解析:設正方體棱長為2,建立如圖所示空間直角坐標系.則C(0^2,0),B1(說,0,2),?”；=(-T,7,-2),又丘=(0,說,0)是平面BB1D1D的法向量.TOC\o"1-5"\h\z?:COS〈”「，「〉=_2_=丄.2血x、込2???BC與平面BDDB的法向量夾角為60°,111???BC與平面BDDB的夾角為30°,故選B.111已知平面a和平面B的法向量分別為m=(3,l,-5),n=(-6,-2,10),則(B)(A)a丄B(B)a〃B(C)a與B相交但不垂直(D)以上都不對解析：Vn=-2(3,1,-5)=-2m,.*.m#n,.*.a#B.故選B.已知向量a=(l,x,l),b=(2,l,T),a?b〉0,則函數(shù)y=X2+4xT的值域是(C)(A)(-g,3)(B)(—,-3)(C)(-4,+s)(D)(—,-4)解析：由于a?b=lX2+xT=x+l〉0,?：x〉—l.y=x2+4x-1=(x+2)2-5在(T,+8)為增函數(shù),所以y〉(-l)2+4X(-l)-l=-4,即yw(-4,+g),故選C.(2013長春外國語學校高二檢測)如圖，在正方體ABCD_ABCD中,1111下面結(jié)論錯誤的是(D)DiBD〃平面CBD11AC丄BD1AC丄平面CBD111向量川與異的夾角為60°解析：以D為原點,DA、DC、DD所在直線分別為x、y、z軸建立空間11B(1,1,1),C(0,1,1),D(0,0,1).111w；=(T,T,0),=(T,1,1),tJ=(0,-1,1),僉=(T,-1,0),汕=(1,0,1).對于選項A.由心「二炸知結(jié)論正確；對于選項B,由*?.⑴：=(T,1,1)?(T,T,0)=0知結(jié)論正確;對于選項C,由選項B,易知AC丄BD,111再由?：：嚴(-1,1,1)?(-1,0,-1)=0知結(jié)論正確；_AEj_CB_對于選項D,由cos〈心小〉=汕門;二-云，知結(jié)論不正確.2正方體ABCD_ABCD的棱長為1,0是底面ABCD的中心，則0到平11111111面ABCD的距離為(B)11(A)1(B)五(C)五(D)i3422解析：如圖所示,建立空間直角坐標系,

丄」.2則A(1,0,0),C(0,1,0),B(l,l,l),Ol1丄」.212???，=1，-汕二(1,0,1).22由于BC丄BC,BC丄DC,11111???BC丄平面ABCD,111因此廠陽二n=（l,0,l）是平面ABCD的一個法向量,11?點O到平面ABCD的距離11d二’："二丄二三,故選B.2五4已知O為坐標原點,_二（1,2,3）,汕：二（2,1,2）,劇；二（1,1,2）,點Q在TOC\o"1-5"\h\z直線OP上運動，則當小?皿取得最小值時，點Q的坐標為(C)(A)11,3,1/(B)11,3,3:43224(C)14,4,—(DP4,4,7/33333解析:設Q(x,y,z),???Q在也上,故有g〃:屮,x=入，y二入，z=2入，則x=入，y二入，z=2入，則Q（入,,2?:“二仃-入，2-入,3-2入），:打二（2—入，1-入，2-2入）,??打；1?二6入2-16入+10=6（入-4）2-2,TOC\o"1-5"\h\z3當入二4時,小?：”取得最小值，此時Qi4,4,8.：,3333故選C.二、填空題（本大題共4個小題,每小題5分,共20分）（2012北京高二模擬）已知a=（3入，6,入+6）,b=（入+1,3,2入）為兩平行平面的法向量，則入=.解析：由題意知a〃b,?：3九=6=x+6,解得入=2.九+13一IX答案：2命題：若a與b共線,b與c共線，則a與c共線；向量a、b、c共面,則它們所在的直線也共面;若a與b共線,則存在惟一的實數(shù)入，使b二入a;若A、B、C三點不共線,0是平面ABC外一點，皿=丄％+"+1”,333則點M—定在平面ABC上,且在△ABC內(nèi)部.上述命題中的真命題是.解析：當b=0時，①不正確;a,b,c共面于平面a,a,b,c所在直線可能異面，但都與平面a平行，所以②不正確;③不正確,a〃bob二入a,但a#0;由空間向量基本定理可知④正確.答案:④(2012重慶高二上學期質(zhì)量檢測)空間四點0(0,0,0),A(0,0,3),B(0,3,0),C(3,0,0),O點到平面ABC的距離為.解析:設平面ABC的一個法向量為n=(x,y,z),小=(0,0,3),m=(0,3,-3),w=(3,0,-3).貝寸眄Au=gn；y=z,n'AOOlx=z.???取n=(l,l,l)故所求距離為d=「；八=三答案:.-

（2012政和高二檢測）如圖，空間四邊形OABC,點M,N分別為OA,BC解析：2二2-小的中點，且二a,汕:二解析：2二2-小的中點，且二a,汕:二b,』二c,用a,b,c表示心，則”二22=-1a+1b+1c.222答案:-1a+1b+1c222三、解答題（本大題共4個小題,共50分）（本小題滿分12分）已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，點M、N分別在對角線BD、AE上,且BM二1BD,AN=1AE,求證:MN〃平面CDE.證明：建立如圖所示空間直角坐標系，設AB,AD,AF長分別為3證明：建立如圖所示空間直角坐標系，設AB,AD,AF長分別為3a,3b,3c,則2=“+“+.小=（2a,0,-c）又平面CDE的一個法向量w=（0,3b,0）,由沖?」：=0,得到沙i丄和;?因為MN不在平面CDE內(nèi),

所以NM〃平面CDE.(本小題滿分12分)(2012浙江溫州高二上學期期末聯(lián)考)如圖,在平行六面體ABCD_ABCD中，AB二AD二AA=1,ZBAD=60°,ZBAA二ZDAA=451111111求|紜」;求證:求|紜」;求證:BD丄平面ACCA.11(1)解：；；=.z+.「町」2=(應+說+血」)2=二〕「+."+；：；；+2(.「沁.'b；）=1+1+1+2i-1-込:=2,222⑵證明：^=”顯，小?，旅⑵證明：^=”顯，小?，旅=0,則BD丄AA,1又BD丄AC,所以BD丄平面ACCA.11（本小題滿分12分）（2013郴州高二檢測）如圖，在三棱柱ABCABC中,AA丄平面1111ABC,AC=3,BC=4,AB=5,AA=4.1134134(1)證明:AC丄BC;1⑵求二面角C_AB_C的余弦值大小.1解:在三棱柱ABCABC中,AA丄平面ABC,AC=3,BC=4,AB=5,故1111AC,BC,CC兩兩垂直,建立空間直角坐標系(如圖),1則C(0,0,0),A(3,0,0),C(0,0,4),B(0,4,0),B(0,4,4).11(1)證明：=(-3,0,0),廳=(0,-4,4),◎◎??「；?w=0.故AC丄BC.1⑵平面ABC的一個法向量為m=(0,0,1),設平面CAB的一個法向量為1n=(x,y,z),*=(-3,0,4),力=(-3,4,0),-3x+4z=0,-3x+4y=0,令x=4,則y=3,z=3.?：n=(4,3,3).故cos〈m,n〉二丄=^34.3434即二面角c_AB_C的余弦值為T.(本小題滿分14分)(2011年高考北京卷)如圖，在四棱錐PABCD中,PA丄平面ABCD,底面若PA=AB,求PB與AC所成角的余弦值；當平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長.(1)證明:VPA丄平面ABCD,???PA丄BD,V?底面ABCD為菱形,???AC丄BD,VPAnAC=A,???BD丄平面PAC.解:(2)設ACnBD=O,VZBAD=60°,PA=AB=2,.*.BO=1,AO=OC=7,如圖，以0為坐標原點,0B、OC所在直線為x,y軸，以過0點且垂直平面ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標系Oxyz,則:P(0,-=2),A(0,-二0),B(1,0,0),C(0,.J0),?：.i：i：=(1,.丁,—2),w=(0,2._,0),設PB與AC所成的角為。，則cos0=|cos