數(shù)學建模-概率模型課件

數(shù)學建模---概率模型決策樹航空公司的預(yù)訂票策略學生作弊現(xiàn)象的調(diào)查與估計決策樹全概率公式和貝葉斯公式數(shù)學期望的使用例1

S1S20.40.6A1100-20

A27510A35030電視機廠試生產(chǎn)三種電視機Ai(i=1,2,3)。市場大、小Sj

(j=1,2)。生產(chǎn)哪種？解：100-207510503012340.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.4解：100-20751050303812823633840.60.40.60.40.6A1A2A3P(S1)=0.4多級決策問題例2、化工原料廠，由于某項工藝不好，影響效益，現(xiàn)廠方欲改革工藝，可自行研究(成功可能為0.6)，買專利(成功可能為0.8)。若成功，則有2種生產(chǎn)方案可選，1是產(chǎn)量不變，2是增產(chǎn)；若失敗，則按原方案生產(chǎn)，有關(guān)數(shù)據(jù)如下。試求最優(yōu)方案。按原工藝方案生產(chǎn)價低0.1-100-200-300-200-300

中0.5050500-250價高0.4100150250200600買專利(0.8)自研(0.6)產(chǎn)量不變增產(chǎn)產(chǎn)量不變增產(chǎn)(萬元)解：0.1解：0.1最優(yōu)決策

買入專利，成功則增產(chǎn)，失敗則保持原產(chǎn)量。例3某公司有資金500萬元，如用于某項開發(fā)事業(yè)，估計成功率為96%，一年可獲利潤12％；若失敗則喪失全部資金；若把資金全存在銀行，可獲得年利率6%，為輔助決策可求助于咨詢公司，費用為5萬元，根據(jù)咨詢過去公司類似200例咨詢工作，有下表：實施結(jié)果投資投資合計咨詢意見成功失敗可以投資1542156次不宜投資38644次合計1928200次試用決策樹方法分析該公司是否應(yīng)該咨詢？資金該如何使用？T1：咨詢公司意見：可以投資T2：咨詢公司意見：不宜投資E1：投資成功E2：投資失敗

156P(T1)=×100%=0.78200

44P(T2)=×100%=0.22200P(E1)=0.96P(E2)=0.04

154P(E1/

T1)==0.987156

2P(E2/

T1)==0.013156

38P(E1/

T2)==0.86544

6P(E2/

T2)==0.13544P(T1)P(T2)42.72投資投資存銀行存銀行47.72答：求助于咨詢公司如果投資公司給出可以投資意見則投資如果投資公司給出不宜投資意見則存入銀行練習：為生產(chǎn)某種新型的港口裝罐機械，提出了兩個建廠方案：一是投資300萬元建大廠；二是投資160萬元建小廠，均考慮10年經(jīng)營期。據(jù)預(yù)測，在這10年經(jīng)營期內(nèi)，前3年該產(chǎn)品銷路好的概率為0.7；而若前3年銷路好，則后7年銷路好的概率為0.9；若前3年銷路差，則后7年的銷路肯定差。另外，估計每年兩個建廠方案的益損值如表7-14所示，要求用決策樹法確定采用哪種建廠方案？兩個建廠方案益損表表7-14解:(1)畫決策樹如圖7-3所示圖

兩個建廠方案決策圖銷路差0.3銷路好(2)計算各方案節(jié)點的期望益損值節(jié)點④：[0.9×100+0.1×(-20)]×7=616(萬元)節(jié)點⑤：[1.0×(-20)]×7=－140(萬元)節(jié)點⑥：(0.9×40+0.1×10)×7=259(萬元)節(jié)點⑦：(1.0×10)×7=70(萬元)節(jié)點②：[0.7×100×3+0.3×(-20)×3]+[0.7×616+0.3×(-140)]－300=281(萬元)節(jié)點③：（0.7×40×3+0.3×10×3）+（0.7×259+0.3×70）－160=135(萬元)（3）比較、剪枝、決策比較節(jié)點②和節(jié)點③的期望收益值，節(jié)點②的期望收益值大，故：最優(yōu)方案為建大廠。將節(jié)點①上方標上期望收益值281(萬元)，并剪去小廠方案枝。后續(xù)：現(xiàn)假定兩個方案中，除了建大廠的方案以外，另一個方案是：先投資160萬元建小廠，若產(chǎn)品銷路好，則3年后考慮是否擴建成大廠，擴建投資為140萬元。擴建后經(jīng)營期為7年，每年的收益情況與大廠相同。此時，應(yīng)選擇哪個建廠方案？解

（1）畫決策樹

第一方案與上相同，故在本題中，略去第一方案的部分節(jié)點和樹枝，只保留第二個節(jié)點及其計算結(jié)果。第二個方案的決策樹模型如圖所示。(1)決策樹模型為：圖

第二個方案的決策樹模型(2)計算各方案節(jié)點的期望益損值節(jié)點②：建大廠方案，其值與例1相同，為281萬元。節(jié)點⑥：[0.9×100+0.1×(-20)]×7－

140=476(萬元)節(jié)點⑦：（0.9×40+0.1×10）×7=259(萬元)節(jié)點④：決策節(jié)點，比較節(jié)點⑥和節(jié)點⑦的值，因為476＞259，故選擇擴建方案為好，剪去不擴建方案，并且將476寫在節(jié)點④上方。節(jié)點⑤：（1.0×10）×7=70(萬元)節(jié)點③：（0.7×40×3

+0.3×10×3

）+（0.7×476+0.3×70）－160=287(萬元)節(jié)點①：決策節(jié)點，比較節(jié)點②和節(jié)點③的值，因為287＞281，故剪去建大廠方案。

最優(yōu)方案為：先投資160萬元建小廠，3年后，再追加投資140萬元，擴建成大廠，10年的總收益為287萬元。航空公司的預(yù)訂票策略1問題的提出有時在機場會出現(xiàn)一些乘客本已訂好了某家航空公司的某趟航班，卻被意外地告知此趟航班已滿，航空公司將為他們預(yù)定稍后的航班的情況。這不但會引起乘客的不便，還會加劇他們對航空公司的抱怨程度。在如今這個使用計算機系統(tǒng)來實行訂票的時代，是否可以通過設(shè)計某種系統(tǒng)來抑制這類事件的發(fā)生。試建立一個面對航空公司訂票決策的數(shù)學模型。2符號約定f——維持航班的總費用（成本）n——乘坐航班的乘客數(shù)量g——每名乘客支付的運費（機票票價）N——航班的滿艙載客數(shù)量k——誤機的乘客數(shù)

——k人誤機的概率m——預(yù)定航班的乘客數(shù)量S——航班的收支差額b——安置一名剩余乘客的費用p——訂票乘客登機的概率q——訂票乘客誤機的概率（1-p）j——航班賣出折價票的數(shù)量r——航班票價的折扣率3建模目標建立一個面對航空公司訂票決策的數(shù)學模型。航空公司制定超客訂票策略，是為了從航班中獲得盡可能大的利潤。順著這條脈絡(luò)，很自然地以求出航空公司期待從一趟預(yù)定航班中獲得的利潤來建立模型。1）初步建模（從簡單情形入手）首先，摒除對所求利潤帶來復(fù)雜影響的參量，從利潤最根本的角度出發(fā)建立基本模型。4建立模型

一趟航班運行的成本基本與實際搭乘的乘客數(shù)量無關(guān)。航班的成本包括了航空公司支付的薪水、燃料費用、機場承擔的起飛、降落和操作費用，以及一些其它的費用（比如飛機維修費用，地面工作人員的薪金，廣告費用）。不管航班是否滿艙，航空公司都必需給飛行員、領(lǐng)航員、工程師和艙內(nèi)全體職員支付薪金。而相對于半艙的航班，滿艙的航班所多消耗的燃料在總體的燃料負擔中僅占很小的比例。利潤=收入—成本一趟航班運行的成本記為如果一趟航班實際搭載了

名乘客，那么所得的余額是其中，為每名乘客支付的運費。當乘客的數(shù)目增加時，利潤也跟著增加。最大可得利潤是其中，是航班的滿艙載客量。不同類型的乘客支付不同的運費，例如頭等艙、公務(wù)艙、經(jīng)濟艙都有各自的定價。為了建模方便，現(xiàn)在假設(shè)所有的乘客都支付同樣的運費。一趟航班的收入取決于實際的乘客人數(shù)n當乘客所付的總運費恰好能維持航班的費用時，達到一個臨界人數(shù)當乘客人數(shù)少于它時，航班的經(jīng)營將會造成損失。容易看出，為了獲得盡可能大的利潤，航空公司應(yīng)當讓每一趟航班達到滿艙。誤機者會影響滿艙。分析初步模型模型每趟航班能否達到滿艙？因此，需要在基本模型上加進反映“乘客誤機”這一條件的參量，并考察其對所求利潤的影響。2）擴充模型時也不一定能保證利潤達到最大，則訂票上限便不應(yīng)局限于N值。假設(shè)訂票的總?cè)藬?shù)是，有可能超出航空公司可能從航班中得到的利潤為當考慮到發(fā)生乘客誤機的情況，使得即使訂票數(shù)為當有個人誤機時，乘客沒有搭乘航班屬于偶然事件，要反映這一事件，必須加進乘客搭乘航班的概率這一參量。設(shè)有個人誤機的概率是則所得利潤的表達方式只能是利潤的數(shù)學期望值，用表示，有設(shè)有如果，則第一項和不存在，僅由第二項和表出，并且求和下限由0代替。由于對航班需求的不同，顯然訂票的乘客數(shù)有可能小于航班載客量，航空公司并不需要考慮超額訂票的問題。根據(jù)求解的問題，需要假設(shè)各種情況，不論航空公司決定的最大訂票數(shù)為多少，在一些時間的熱門航線中它都是有可能會達到的。為研究對的影響，將上式改寫為根據(jù)的定義，，因此，有而在和都為正數(shù)的條件下，有。則唯一能達到預(yù)期利潤最大值的方法是降低所有的，使之趨近于0。當訂票數(shù)量充分的大于時，可以達到所要結(jié)果。因為，當訂票的乘客數(shù)目增加時，任意大的誤機人數(shù)出現(xiàn)的概率便隨之降低。因此，第二個模型通過預(yù)測已訂票乘客的真正登機數(shù)目表明，可以令訂票數(shù)充分地大于航班客載量來使預(yù)期的利潤趨近于理論上的最大值，即航班滿艙時的可獲得的利潤。在這個模型中對訂票的超額數(shù)量并沒有任何限制，它甚至可能是航班載客量的好幾倍。但是，一旦實行了超額訂票策略之后，除了對航班的利潤帶來保障外，也會帶一些負面的影響。即到達機場要求登機的乘客數(shù)m-k,可能要比航班的載客量大得多。對被擠兌的乘客數(shù)為單從表面上來看，顯然航空公司最后得到的利潤需要扣除這一部分費用，并且這筆費用是隨著m的變化而變化。因此，需要在模型里加進代表“被擠兌的乘客所支出的費用”這一參量，并考察其對所求利潤的影響，以及它與m的相互關(guān)系。被擠兌的乘客造成航空公司兩方面的損失：滯留費用，機票簽轉(zhuǎn)的費用。來自乘客的抱怨，影響公司形象的潛在費用。當出現(xiàn)超額訂票并有超出航班載客量的乘客抵達機場的情況時，假設(shè)航空公司通過各種方法處理被擠兌的乘客，每一名所需要的費用是b

建立包括處理超出乘客所需費用在內(nèi)的，航空公司從某趟航班中期望獲得的平均利潤的模型。設(shè)實際登機的乘客數(shù)為，則航班所得的利潤為當3）改進的模型事實上，將利潤看成一隨機變量，有個人登機所對應(yīng)的概率為，則航空公司從航班中所獲得的預(yù)期利潤，或說平均利潤，便是取遍所有可能的誤機人數(shù)的情況下，利潤的數(shù)學期望。因此，有，且表示預(yù)計的誤機人數(shù)，我們用表示，有現(xiàn)在，已經(jīng)得到一個相對復(fù)雜的中間結(jié)果。將和從開始令代入上式中進行檢驗。這符合乘客誤機的概率為0，即每一名訂票的乘客都抵達了機場。在這種情況下，上式簡化為從這個結(jié)果表明，如同預(yù)測的，如果有名乘客預(yù)定了載客量為的航班并且他們都抵達了機場，那么利潤將是滿艙的收支差額減去承擔名剩余乘客的費用。在這種情況下，最大平均利潤在時可以達到，就如同最初的基本模型所表示的一般。相較于基本模型，此時的模型已經(jīng)考慮了“乘客誤機”與“安排被擠兌乘客”兩種情況。其中“有

名乘客誤機”這一偶然事件的概率，還可進一步分解以方便估計與計算。接著，便來討論關(guān)于的形式。最簡單地，假設(shè)一乘客登機的概率為，而誤機的概率為。進一步假設(shè)抵達機場的乘客兩兩無關(guān)，則可得到的二項式結(jié)構(gòu)為當然，事實上這個誤機者兩兩無關(guān)的假設(shè)并不是完全正確的——一部分的乘客是兩人或是以小組為單位一起行動的?，F(xiàn)在，先從最簡單的情況開始入手。由這個結(jié)構(gòu)可得航空公司將要嘗試的就是找出航班所得平均利潤的最大值。上式中表達的平均利潤依賴于和。成本，票價和費用則在航空公司短期控制范圍之外（運費是由IATA決定，而不是由個別的航空公司決定），和由客觀因素約束，只有訂票數(shù)目上限是航空公司可以改變的參數(shù)。上式中的部分和結(jié)果表明，這個問題可以通過列舉細表來得到解決。但是，明顯地，最佳的訂票上限至少不低于航班的載客量。當時，所得利潤可化簡為這是關(guān)于的增函數(shù)。我們計算得包含各種取值，每一個對應(yīng)于一個訂票上限。通過和來求得利潤，并根據(jù)各組不同數(shù)值的來選出最佳的訂票上限。式中的和其實是一個關(guān)于的函數(shù)，在給出估算這個和，然后便會發(fā)現(xiàn)預(yù)期的利潤是一個關(guān)于的值后，可以編寫計算程序來的函數(shù)。航空公司綜合考慮大量的因素，得出的臨界人數(shù)大約是航班載客量的60%，所以可以估計一個最佳近似值，即是。因此，可以得到用計算程序比照訂票數(shù)量來計算一架載客量為300的飛機所能得到的預(yù)期利潤，假設(shè)和結(jié)果很明顯，依據(jù)超額訂票程度來達到最大的可能利潤是可行的。同樣，也可以計算個或是更多乘客發(fā)生座位沖撞的概率：結(jié)果表明，當超額訂票的乘客數(shù)分別為20和39時，可以達到最大的預(yù)期利潤。有5名或更多乘客發(fā)生座位沖撞的概率在46%和55%之間。當考慮到安排一名被擠兌乘客的費用所帶來的影響時，得到的結(jié)果和從直觀上所得的結(jié)果是一致的，因為安排剩余乘客所需費用增加，為從航班中得到的最大預(yù)期利潤所需要的超額訂票數(shù)便會減少，發(fā)生任意多名乘客座位沖撞的概率（這里以發(fā)生5名或更多的乘客座位沖撞例）也就降低了。能達到最大預(yù)期利潤的訂票水平，將作為構(gòu)成機票價格的一部份。對300座的客機，設(shè)對于值的估計，這筆費用大致是由實際和相對潛在的，例如公司信譽的損害與將來的潛在客源流失，兩筆花費構(gòu)成。這個討