特征值與特征向量二次型

特征值與特征向量二次型第1頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特征值定義相似求法實(shí)對(duì)稱陣隱含的信息性質(zhì)特征值定義特征多項(xiàng)式特征向量不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)k重特征值至多有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量概念矩陣對(duì)角化應(yīng)用第2頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月顯然，如果矩陣A可逆，則A的特征值不等于0.一、特征值與特征向量第3頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.對(duì)角陣5.屬于不同特征值的特征向量是線性無(wú)關(guān)的．第4頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、矩陣的相似3、

若階方陣A與對(duì)角陣相似，第5頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、方陣對(duì)角化3、如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A與對(duì)角陣相似．4、如果A的特征方程有r重根λ，而λ沒(méi)有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則矩陣A不能對(duì)角化.5、實(shí)對(duì)稱陣一定能對(duì)角化.第6頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一、正交矩陣定義14、A為正交矩陣的充要條件是A的行、列向量組都是兩兩正交的單位向量．第7頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、向量的內(nèi)積定義1內(nèi)積定義2正交正交向量組：非零向量組中的向量?jī)蓛烧?。?頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）正交化，取，三、Schmidt正交化規(guī)范化過(guò)程第9頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）單位化，取施密特正交化過(guò)程第10頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）n階實(shí)對(duì)稱矩陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.四、實(shí)對(duì)稱矩陣隱含的信息（3）實(shí)對(duì)稱矩陣屬于不同特征值的特征向量一定正交.（4）n階實(shí)對(duì)稱矩陣有n個(gè)兩兩正交的單位特征向量.（5）對(duì)于n階實(shí)對(duì)稱矩陣A，一定有正交陣T，對(duì)角陣D，使得其中對(duì)角陣D對(duì)角線上的元素是T的各列所對(duì)應(yīng)的特征值。第11頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對(duì)稱矩陣化為對(duì)角矩陣，其具體步驟為：將特征向量正交化;3.將特征向量單位化.4.2.1.構(gòu)造正交陣T.5.第12頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二次型與它的矩陣是一一對(duì)應(yīng)的．n元二次型

A與B合同：，其中C可逆。A與B合同.二次型X′AX可經(jīng)非退化線性替換化為二次型Y′BY定理第13頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

正交變換法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第一步寫出f的矩陣A第二步求A的特征值第三步并將屬于λi的特征向量正交化第四步將特征向量單位化第五步得到正交變換X=TY第14頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義正定二次型第15頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月正定性的相關(guān)結(jié)論1)實(shí)二次型正定

3）非退化線性替換不改變二次型的正定性.

秩＝n＝（的正慣性指數(shù)）.2）(定理2)

n元實(shí)二次型

正定規(guī)范形為4）正定二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

等價(jià)描述：實(shí)對(duì)稱矩陣A正定

A與單位矩陣E合同.第16頁(yè)，課件共18頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5）實(shí)二次型X′AX正定的充分必要條件是實(shí)對(duì)稱陣A的特征值都是正數(shù)。6）正定矩陣A的行列式大于0.7）

二次型

是正定的充分必要條件是實(shí)對(duì)稱矩陣的各階順序主子式都大于0。8）

二次型

是負(fù)定的充分必要條件是實(shí)對(duì)稱矩陣