滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《用直角三角形解實(shí)際中的方位角、坡角問題》教學(xué)設(shè)計(jì)

滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《用直角三角形解實(shí)際中的方位角、坡角問題》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教學(xué)目標(biāo)理解方位角和坡角的概念，能夠在實(shí)際問題中準(zhǔn)確使用。熟練運(yùn)用三角函數(shù)（正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)）解決直角三角形的實(shí)際問題。能夠通過實(shí)際建模，利用直角三角形解決有關(guān)方位角、坡角的應(yīng)用問題。二、教學(xué)重點(diǎn)理解方位角和坡角的含義。運(yùn)用直角三角形的基本定義，靈活地應(yīng)用三角函數(shù)解決實(shí)際問題，尤其是在方位角、坡角問題中的應(yīng)用。三、教學(xué)難點(diǎn)能夠理解和應(yīng)用方位角、坡角的概念和解決問題的方法。靈活運(yùn)用多種三角函數(shù)解決有關(guān)方位角、坡角問題的實(shí)際應(yīng)用。四、教學(xué)內(nèi)容1.方位角的概念方位角是指一個(gè)終點(diǎn)相對(duì)于起點(diǎn)的方向角度，通常用正北方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，以順時(shí)針方向計(jì)算?？杀硎緸椋?\\alpha=0^\\circ,0\\leq\\alpha\\leq360^\\circ$，其中0度表示正北方向，90度表示正東方向，180度表示正南方向，270度表示正西方向。2.坡角的概念坡角是指一個(gè)斜面相對(duì)于水平面的傾斜角度，通常以度數(shù)為單位。坡度通常用千分之幾或百分之幾表示，可表示為：$k=\\dfrac{h}{l}\\%$，其中h為高度差，l為水平距離。3.應(yīng)用案例（1）方位角應(yīng)用案例小明想要在運(yùn)動(dòng)場上向東奔跑100米，但他只有一張地圖，該地圖上只標(biāo)出了運(yùn)動(dòng)場的東南、西南、西北三條邊的長度如下圖：B

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AC如果小明從點(diǎn)A出發(fā)向東奔跑100米，他應(yīng)該沿著哪個(gè)方向走？請(qǐng)計(jì)算方位角。解析：因?yàn)樾∶饕呦驏|方，所以我們可以先推導(dǎo)出BC線段的方向角，再計(jì)算出小明出發(fā)點(diǎn)A的方位角。根據(jù)圖中三角形AB$\\sin\\angleACB=\\dfrac{AB}{BC}=\\dfrac{8}{15}$$\\cos\\angleACB=\\dfrac{AC}{BC}=\\dfrac{17}{15}$因此，$\\angleACB\\approx61.93^\\circ$，即BC線段相對(duì)于東方的方向角是$61.93^\\circ$再根據(jù)小明要向東奔跑100米，得出A點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,0)，而他走的方向又相對(duì)于東方的方向角為$61.93^\\circ$，因此，小明的終點(diǎn)坐標(biāo)為最后，根據(jù)終點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算出小明出發(fā)點(diǎn)A的方位角為：$\\alpha=\\arctan\\dfrac{y}{x}\\approx56.31^\\circ$，即小明應(yīng)該向東北方向走，方位角為$56.31^\\circ$。（2）坡角應(yīng)用案例某地的高速公路有一段上坡路段，長500米，坡度為8%。小明駕車行駛了這段路，他將車停在山頂，發(fā)現(xiàn)站在此處東南方向可以看到一家大型超市的位置。他想要計(jì)算該超市相對(duì)于他所在位置的方位角，該怎么做？解析：首先，我們可以根據(jù)題目給出的信息計(jì)算出該上坡路段的高度差h和水平距離l。由于坡度為8%，因此可得：$k=\\dfrac{h}{l}=8\\%=0.08$又因?yàn)椋?k=\\tan\\theta$所以：$\\theta=\\arctank\\approx4.52^\\circ$因此，該路段的高度差可以計(jì)算出來：$h=l\\timesk=500\\times0.08=40$接著，我們可以根據(jù)小明所看到的大型超市的位置和他所在位置的坐標(biāo)，計(jì)算出兩點(diǎn)間的直線距離和方位角。設(shè)小明的位置為點(diǎn)A，大型超市的位置為點(diǎn)B，坐標(biāo)分別為(0,0)和(a由于小明所看到的大型超市位于他所在位置的東南方向，因此可以得到：$\\tan\\theta=\\dfrac{a}$又因?yàn)椋篴其中，l0表示點(diǎn)A和點(diǎn)B因此，可以得到：$a=\\dfrac{l_0}{\\sqrt{1+\\tan^2\\theta}}$$b=\\dfrac{l_0}{\\sqrt{1+\\dfrac{1}{\\tan^2\\theta}}}$將l0帶入可以得到：$a=\\dfrac{\\sqrt{(l+500)^2+1600}}{\\sqrt{1+(\\tan4.52^\\circ)^2}}=1115.382m,$$b=\\dfrac{\\sqrt{(l+500)^2+1600}}{\\sqrt{1+(\\frac{1}{\\tan4.52^\\circ})^2}}=501.3821m$因此，可以計(jì)算出相對(duì)于小明所在位置的方位角$\\alpha$：$\\alpha=\\arctan\\dfrac{a}=\\arctan\\dfrac{501.3821}{1115.382}\\approx24.10^\\circ$因此，該大型超市相對(duì)于小明所在位置的方位角為$24.10^\\circ$。五、教學(xué)方法本節(jié)課設(shè)計(jì)采用講授與實(shí)踐結(jié)合的教學(xué)方法：1.通過引導(dǎo)、提問、討論等方式幫助學(xué)生了解方位角、坡角的概念和意義。2.通過講解方位角、坡角的使用方法和技巧，引導(dǎo)學(xué)生掌握求解這類問題的技能。3.通過具體應(yīng)用案例的分析和解決，幫助學(xué)生理解和掌握具體應(yīng)用領(lǐng)域中方位角、坡角的應(yīng)用方法。4.實(shí)驗(yàn)操作，通過三角函數(shù)表的計(jì)算實(shí)例，幫助學(xué)生掌握用這些函數(shù)解決實(shí)際問題的方法。六、教學(xué)評(píng)價(jià)方式課堂練習(xí)：設(shè)幾個(gè)小組，進(jìn)行比賽，以作業(yè)題為主，考驗(yàn)學(xué)生分析判斷問題，解題能力。實(shí)際操作：將學(xué)生按年級(jí)平均分配四人一組