人教版九年級上冊《第21章-一元二次方程》單元復(fù)習(xí)課件

《第二十一章

一元二次方程》

單元復(fù)習(xí)《第二十一章一元二次方程》

單元復(fù)習(xí)知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四

知識點(diǎn)一一元二次方程的定義

等號兩邊都是整式,只含有一個(gè)未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.名師解讀:由一元二次方程的定義可知,判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程必須同時(shí)滿足三個(gè)條件:(1)是整式方程,即分母中不含未知數(shù);(2)只含有一個(gè)未知數(shù);(3)未知數(shù)的最高次數(shù)是2.21.1一元二次方程知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四知識點(diǎn)一一元二次方程知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四例1

下面關(guān)于x的方程:①ax2+bx+c=0;②3(x-9)2-(x+1)2=1;③x2++5=0;④x2-2+5x3-6=0;⑤3x2=3(x-2)2;⑥12x-10=0.其中是一元二次方程的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4解析:根據(jù)一元二次方程的定義對各方程進(jìn)行逐一判斷即可:①ax2+bx+c=0,當(dāng)a=0時(shí)是一元一次方程,②3(x-9)2-(x+1)2=1是一元二次方程,③x2++5=0是分式方程,④x2-2+5x3-6=0.其中是一元三次方程,⑤3x2=3(x-2)2是一元一次方程,⑥12x-10=0是一元一次方程.答案:A知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四例1下面關(guān)于x的方程:①a知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四判斷一個(gè)方程是否為一元二次方程,應(yīng)根據(jù)一元二次方程的定義,需要的三個(gè)條件缺一不可.當(dāng)一元二次方程比較復(fù)雜不易直接觀察時(shí),要先進(jìn)行整理,要特別注意二次項(xiàng)系數(shù)是否有為零的可能.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四判斷一個(gè)方程是否為一元二次方知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四知識點(diǎn)二一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0).其中ax2是二次項(xiàng),a是二次項(xiàng)系數(shù);bx是一次項(xiàng),b是一次項(xiàng)系數(shù);c是常數(shù)項(xiàng).名師解讀:確定一元二次方程的相關(guān)項(xiàng)和系數(shù)時(shí),一元二次方程必須先化簡整理成一般形式,才能確定其二次項(xiàng)、二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).否則容易造成判斷錯(cuò)誤.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四知識點(diǎn)二一元二次方程的一般形知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四例2

把下列關(guān)于x的一元二次方程化為一般形式,并寫出二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).(1)3(x-5)=x(x-5);(2)x(x-2)=0;(3)x2-2x+1=2x(x-1).分析:根據(jù)去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),可得一元二次方程的一般形式,在一般形式中ax2叫二次項(xiàng),bx叫一次項(xiàng).其中a,b,c分別叫二次項(xiàng)系數(shù),一次項(xiàng)系數(shù),常數(shù)項(xiàng).知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四例2把下列關(guān)于x的一元二次知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四解:(1)去括號,得3x-15=x2-5x,移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得x2-8x+15=0,1是二次項(xiàng)系數(shù),-8是一次項(xiàng)系數(shù),15是常數(shù)項(xiàng);(2)去括號,得x2-2x=0,1是二次項(xiàng)系數(shù),-2是一次項(xiàng)系數(shù),0是常數(shù)項(xiàng);(3)去括號,得x2-2x+1=2x2-2x,移項(xiàng),得x2-1=0,1是二次項(xiàng)系數(shù),0是一次項(xiàng)系數(shù),-1是常數(shù)項(xiàng).知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四解:(1)去括號,得3x-1知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四解答此類問題時(shí),先把一元二次方程化成一般形式,再寫出各項(xiàng)系數(shù),整理過程中注意符號的變化,去括號時(shí)不要漏乘,移項(xiàng)時(shí)要注意符號的變化.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四解答此類問題時(shí),先把一元二次知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四知識點(diǎn)三一元二次方程的根使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個(gè)一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.名師解讀:凡是只含一個(gè)未知數(shù)的方程,其解都可以叫做方程的根,但是含有多個(gè)未知數(shù)的方程的解不能叫做方程的根,只能叫做方程的解.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四知識點(diǎn)三一元二次方程的根知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四例3

下列哪些數(shù)是方程x2+2x-8=0的根?-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4.分析:方程的根即方程的解,也就是能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值,將x的值分別代入已知方程進(jìn)行驗(yàn)證即可作出正確的判斷.解:將x=-4代入方程x2+2x-8=0,左邊=(-4)2+(-4)×2-8=0,即左邊=右邊,故x=-4是方程x2+2x-8=0的根.把x=-3,-2,-1,0,1,3,4代入方程x2+2x-8=0,左邊都不等于0,故它們都不是方程x2+2x-8=0的根,把x=2代入方程x2+2x-8=0,左邊=右邊,故x=2是方程x2+2x-8=0的根.所以-4,2是方程x2+2x-8=0的根.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四例3下列哪些數(shù)是方程x2+知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為一元二次方程的根與檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為一元一次方程的解的方法完全相同,故可以類比進(jìn)行.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是否為一元二次方程知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四知識點(diǎn)四根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題,要認(rèn)真讀題,運(yùn)用所學(xué)的知識點(diǎn)及生活經(jīng)驗(yàn)找出題目中的等量關(guān)系,并將等量關(guān)系數(shù)學(xué)符號化,從而建立一元二次方程模型.名師解讀:建立一元二次方程模型的一般步驟可以總結(jié)為:審題,設(shè)未知數(shù),列方程.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四知識點(diǎn)四根據(jù)實(shí)際問題列一元二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四例4

如圖所示,在一幅長80cm,寬50cm的矩形風(fēng)景畫的四周鑲一條同等寬度的金色紙邊,制成一幅矩形掛圖,如果要使整個(gè)掛圖的面積是5400cm2,設(shè)金色紙邊的寬為xcm,求x滿足的方程.分析:掛圖長可表示為(80+2x)cm,寬可表示為(50+2x)cm,根據(jù)其面積為5

400

cm2,即長×寬=5

400,列方程進(jìn)行化簡即可.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四例4如圖所示,在一幅長80知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四解:由題意,知掛圖長為(80+2x)cm,寬為(50+2x)cm,所以(80+2x)(50+2x)=5

400,即4x2+160x+4

000+100x=5

400.所以4x2+260x-1

400=0,即x2+65x-350=0.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四解:由題意,知掛圖長為(80知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四列一元二次方程時(shí),可類比列一元一次方程的方法,首先讀懂題目所給的數(shù)量關(guān)系,找出符合全部題意的等量關(guān)系,根據(jù)等量關(guān)系列出方程,并整理即可.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)三知識點(diǎn)四列一元二次方程時(shí),可類比列一拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)一根據(jù)一元二次方程的定義求字母的值或取值范圍例1

若(m-1)

-2x+5=0是關(guān)于x的一元二次方程,則m的值是(

)A.±1 B.1 C.-1 D.不能確定解析:由于題目給出的方程是關(guān)于x的一元二次方程,因此應(yīng)該滿足一元二次方程的定義所需要的條件,因?yàn)?2x和5都不是二次項(xiàng),所以(m-1)是二次項(xiàng),因此,未知數(shù)x的指數(shù)為2,系數(shù)不能為0,即

解得m=-1.答案:C拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)一根據(jù)一元二次方程的定拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解答這類問題,根據(jù)所給條件和一元二次方程的定義列出方程或方程組,通過解方程或方程組求得字母的值或取值范圍.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解答這類問題,根據(jù)所給條件和拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)二根據(jù)一元二次方程的一般形式求字母的值例2

一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式后為2x2-3x-1=0,試求a,b,c的值.分析:欲求a,b,c的值,可以先把方程的左端進(jìn)行整理化簡,變成一元二次方程的一般形式,然后根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可得關(guān)于a,b,c的方程組,通過解方程組可得答案.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)二根據(jù)一元二次方程的一拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解:一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式為ax2-(2a-b)x-(b-a-c)=0,由一元二次方程a(x-1)2+b(x-1)+c=0化為一般形式后為2x2-3x-1=0,拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解:一元二次方程a(x-1)拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解答這類與一元二次方程的一般形式相關(guān)的問題,首先要把方程整理成一般形式,然后根據(jù)“兩個(gè)多項(xiàng)式相等,其對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等”列方程組進(jìn)行求解.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解答這類與一元二次方程的一般拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)三利用一元二次方程的解求字母的值例3

已知關(guān)于x的方程x2-kx+1=0的一個(gè)根是x=3,則實(shí)數(shù)k的值是(

)解析:把x=3代入方程x2-kx+1=0,得9-3k+1=0,解得k=.答案:D拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)三利用一元二次方程的解拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解答此類問題的關(guān)鍵是把已知的根代入原方程,得到一個(gè)關(guān)于未知字母的方程,通過解方程求得未知字母的值.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解答此類問題的關(guān)鍵是把已知的拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)四與一元二次方程的定義有關(guān)的綜合題例4

方程(m+1)

+(m-3)x-1=0,(1)m取何值時(shí)是關(guān)于x的一元二次方程?(2)m取何值時(shí)是關(guān)于x的一元一次方程?分析:(1)要使關(guān)于x的方程是一元二次方程,由于(m-3)x和-1不是關(guān)于x的方程的二次項(xiàng),故(m+1)必須是二次項(xiàng),則有m2+1=2且系數(shù)(m+1)≠0,求出m的值即可;(2)如果所給方程是關(guān)于x的一元一次方程,則方程中不能含有二次項(xiàng),可以考慮有兩種情況:一是(m+1)中x的指數(shù)為“2”,而系數(shù)為0,不含有這一項(xiàng),此時(shí)一次項(xiàng)系數(shù)(m-3)不為零即可;二是(m+1)·中x的指數(shù)為“1”,此時(shí)與(m-3)x合并同類項(xiàng)后系數(shù)不為0即可.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)四與一元二次方程的定義拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解:(1)若方程是一元二次方程,則m2+1=2,解得m=±1.顯然m=-1時(shí)m+1=0,故m=1符合題意.所以m=1時(shí)原方程是關(guān)于x的一元二次方程.(2)當(dāng)m+1=0時(shí),解得m=-1,此時(shí)方程為-4x-1=0;當(dāng)m2+1=1時(shí),解得m=0,此時(shí)方程為-2x-1=0.所以當(dāng)m=-1或m=0時(shí),原方程為關(guān)于x的一元一次方程.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解:(1)若方程是一元二次方拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解答這類問題時(shí),要注意根據(jù)一元二次方程和一元一次方程的定義列出相應(yīng)的方程或不等式求解,尤其注意要分類討論解答,否則容易造成漏解.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四解答這類問題時(shí),要注意根據(jù)一知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一利用平方根的定義解一元二次方程

一般地,對于方程x2=p,(1)當(dāng)p>0時(shí),根據(jù)平方根的意義,方程x2=p有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,x1=,x2=-;(2)當(dāng)p=0時(shí),根據(jù)平方根的意義,方程x2=p有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,x1=x2=0;(3)當(dāng)p<0時(shí),因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x,都有x2≥0,所以方程x2=p無實(shí)根.21.2.1配方法知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一利用平方根的定義解一元二次方程21知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二名師解讀:利用平方根的定義解一元二次方程的方法也叫做直接開平方法,適合解一邊是關(guān)于某個(gè)未知數(shù)的完全平方式,另一邊是非負(fù)數(shù)的形式的一元二次方程.具體步驟如下:(1)將方程化為x2=a(a≥0)或(ax+b)2=c(c≥0)的形式;(2)兩邊開平方,得知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二名師解讀:利用平方根的定義解一元二次方程的方知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例1

用直接開平方法解下列方程:(1)x2-9=0;(2)4(x-2)2-3=0;(3)x2-6x+9=7;(4)(x-2)2=(2x+5)2.分析:(1)先變形得到x2=27,然后利用直接開平方法求解;(2)先變形得到(x-2)2=,然后利用直接開平方法求解;(3)先變形得到(x-3)2=7,然后利用直接開平方法求解;(4)先兩邊開方得到x-2=±(2x+5),然后解一元一次方程即可.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例1用直接開平方法解下列方程:知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二(1)用直接開平方法求一元二次方程的解的類型有:x2=a(a≥0);ax2=b(a,b同號且a≠0);(x+a)2=b(b≥0);a(x+b)2=c(a,c同號且a≠0).法則:先把方程化為“左平方,右常數(shù)”,再開平方取正負(fù),分開求得方程解.(2)運(yùn)用整體思想,可把被開方數(shù)看成整體.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二(1)用直接開平方法求一元二次方程的解的類型知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二用配方法解一元二次方程通過配成完全平方的形式來解一元二次方程的方法,叫做配方法.名師解讀:配方法就是通過配方,使一元二次方程轉(zhuǎn)化為可以用直接開平方法求解的形式,最終實(shí)現(xiàn)了“降次”的目的,這種方法“原則”上適用于任何形式的一元二次方程求解.一般步驟如下:(1)將方程化成一般形式并把二次項(xiàng)系數(shù)化成1.(方程兩邊都除以二次項(xiàng)系數(shù))(2)移項(xiàng),使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng),右邊為常數(shù).(3)配方,方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二用配方法解一元二次方程知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二(4)原方程變?yōu)?x+n)2=p的形式:①當(dāng)p>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根②當(dāng)p=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1=x2=-n;③當(dāng)p<0時(shí),因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)x,都有(x+n)2≥0,所以方程無實(shí)根.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二(4)原方程變?yōu)?x+n)2=p的形式:知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二對于二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程的配方,只需要利用等式的基本性質(zhì),左右兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半(與系數(shù)的符號無關(guān))的平方即可.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二對于二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程的配方,知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例3

用配方法解方程:x2+x-20=0.分析:因?yàn)轭}目要求用配方法解一元二次方程,故按照配方法的一般步驟進(jìn)行即可.解:∵x2+x-20=0,∴x2+x=20.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例3用配方法解方程:x2+x-20=0.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二選擇用配方法解一元二次方程時(shí),最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二選擇用配方法解一元二次方程時(shí),最好使方程的二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例4

用配方法解方程:2x2-4x=1.分析:題目要求利用配方法解一元二次方程,觀察發(fā)現(xiàn)方程的二次項(xiàng)的系數(shù)不為1,因此先把二次項(xiàng)系數(shù)化成1,然后方程左右兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,把左邊配成完全平方式,右邊化為常數(shù)即可.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例4用配方法解方程:2x2-4x=1.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二用配方法解一元二次方程,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為“1”時(shí),先化成“1”,然后按照二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的方法進(jìn)行即可.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二用配方法解一元二次方程,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)不為“1拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一特殊配方巧解一元二次方程例1

解方程4x2-4x-1=0.分析:方法一:按照常規(guī)的配方法去解;方法二:按照常規(guī)的配方法去解,但是不需要先把二次項(xiàng)系數(shù)化成1,觀察等號的左邊二次項(xiàng)的系數(shù)是一個(gè)完全平方數(shù),只要在方程的左右兩邊同時(shí)加上2,左端即變成一個(gè)完全平方式,右端是一個(gè)非負(fù)數(shù),就可以直接平開方求出方程的解.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一特殊配方巧解一元二次方程拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二此種解法告訴我們配方法可以靈活運(yùn)用,當(dāng)左邊二次項(xiàng)系數(shù)為一個(gè)數(shù)的完全平方時(shí),可以不必將二次項(xiàng)系數(shù)化成1,只要按照方法二的解法進(jìn)行即可.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二此種解法告訴我們配方法可以靈活運(yùn)用,當(dāng)左邊二拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)二利用配方法判定二次三項(xiàng)式的符號例2

用配方法證明:不論x為任何實(shí)數(shù),代數(shù)式x2-6x+10的值恒大于0.分析:本題主要考查利用配方法說明代數(shù)式的值恒大于0,說明一個(gè)二次三項(xiàng)式恒大于0的方法是通過配方將二次三項(xiàng)式化成“a2+正數(shù)”的形式,根據(jù)完全平方的非負(fù)性來證明.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)二利用配方法判定二次三項(xiàng)式的符號拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二證明:x2-6x+10=x2-6x+9-9+10=(x-3)2+1,又∵(x-3)2≥0,∴(x-3)2+1>0,即x2-6x+10>0.∴不論x為任何實(shí)數(shù),代數(shù)式x2-6x+10的值恒大于0.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二證明:x2-6x+10=x2-6x+9-9+拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二要說明一個(gè)式子恒大于0,只要把這個(gè)式子表示成“a2+正數(shù)”的形式即可;若要說明一個(gè)式子恒小于0,只要把這個(gè)式子表示成“-a2-正數(shù)”即可.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二要說明一個(gè)式子恒大于0,只要把這個(gè)式子表示成知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一一元二次方程的判別式

一般地,式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判別式,通常用希臘字母“Δ”表示,即Δ=b2-4ac.(1)當(dāng)Δ>0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;(2)當(dāng)Δ=0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;(3)當(dāng)Δ<0時(shí),一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)無實(shí)數(shù)根.21.2.2公式法知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一一元二次方程的判別式21.2.2知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二拓展講解:(1)判別式Δ=b2-4ac與一元二次方程根的情況的關(guān)系是相互的,即:①b2-4ac>0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;②b2-4ac=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;③b2-4ac<0?方程無實(shí)數(shù)根.(2)特別地:①一元二次方程有實(shí)根指的是有兩個(gè)不等實(shí)根和兩個(gè)相等實(shí)根,即此時(shí)應(yīng)有b2-4ac≥0;②一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根時(shí),不能說成無解,因?yàn)榉匠虩o解,只是在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二拓展講解:(1)判別式Δ=b2-4ac與一元知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例1

方程x2-2x+3=0的根的情況是(

)A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.只有一個(gè)實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根解析:把a(bǔ)=1,b=-2,c=3代入Δ=b2-4ac進(jìn)行計(jì)算,然后根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷方程根的情況.∵a=1,b=-2,c=3,∴Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×3=-8<0.∴方程沒有實(shí)數(shù)根.答案:C知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例1方程x2-2x+3=0的根的情況是(知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二解答這類判斷一元二次方程根的情況的問題,只要計(jì)算出判別式Δ=b2-4ac的值,根據(jù)判別式的符號即可確定.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二解答這類判斷一元二次方程根的情況的問題,只要知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二公式法當(dāng)Δ≥0時(shí),方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根可寫為

的形式,這個(gè)式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式.求根公式表達(dá)了一般的用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0的結(jié)果.解一個(gè)具體的一元二次方程時(shí),把各項(xiàng)系數(shù)直接代入求根公式,可以避免配方過程而直接得出根,這種解一元二次方程的方法叫做公式法.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二公式法知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二拓展講解:用公式法解一元二次方程的步驟是:(1)把一元二次方程化為一般形式;(2)確定a,b,c的值;(3)求出b2-4ac的值;(4)如果b2-4ac≥0,則把a(bǔ),b,c的值代入求根公式,求出x1和x2的值,如果b2-4ac<0,則方程無實(shí)數(shù)根;當(dāng)b2-4ac=0時(shí),必須把原方程的根寫成

的形式,這樣才能說明方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,而不是只有一個(gè)根.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二拓展講解:用公式法解一元二次方程的步驟是:知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例2

用公式法解下列方程.(1)x2-x=-2;(2)x2-2x=2x+1;(3)(3x-1)(x+2)=11x-4.分析:把各方程整理為一般形式,找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例2用公式法解下列方程.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二利用公式法可以解任何形式的一元二次方程,被稱為“萬能法”,但是使用時(shí),一定要先把一元二次方程化成一般形式,同時(shí)注意各項(xiàng)系數(shù)的符號,而且要先計(jì)算b2-4ac的值,確定了根的情況后才能套用公式.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二利用公式法可以解任何形式的一元二次方程,被稱拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一靈活地選擇方法解一元二次方程例1

選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?(1)(x-1)2=3;(2)x2-2x=4;(3)x2-3x+1=0.分析:(1)因?yàn)榉匠痰淖筮吺峭耆椒叫问?右邊是正整數(shù),所以利用直接開平方法求解;(2)由于方程的左邊二次項(xiàng)的系數(shù)為1,并且一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù),所以利用配方法求解較好;(3)雖然方程的左邊二次項(xiàng)的系數(shù)為1,但是一次項(xiàng)系數(shù)是奇數(shù),如果用配方法會出現(xiàn)分?jǐn)?shù),所以利用公式法解方程.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一靈活地選擇方法解一元二次方程拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三在一元二次方程的解法中,公式法和配方法可以說是“通法”,即能解任何一個(gè)一元二次方程.但對某些特殊形式的一元二次方程,有的用直接開平方法簡便.因此,在遇到一道題時(shí),應(yīng)根據(jù)題目自身的特點(diǎn)靈活地選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄈソ庖辉畏匠?

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三在一元二次方程的解法中,公式法和配方拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)二根據(jù)根的判別式確定字母的值或取值范圍例2

m為何值時(shí),關(guān)于x的一元二次方程(m+1)x2-(2m-3)x=-m-1:(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?(3)沒有實(shí)數(shù)根?分析:回答各個(gè)問題,只要根據(jù)方程的根的情況,確定判別式Δ=b2-4ac的取值,列出相應(yīng)的方程或不等式,解相應(yīng)的方程或不等式即可確定字母m的值或取值范圍.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)二根據(jù)根的判別式確定字母的值或拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問題的一般方法是根據(jù)方程根的情況列出關(guān)于未知字母的方程或不等式,通過解方程或不等式來求字母的值或確定字母的取值范圍.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問題的一般方法是根據(jù)方程根的拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三例3

已知關(guān)于x的方程(k-1)x2-6x+9=0.(1)若方程有實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍;(2)若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求k的取值范圍;(3)若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求k的值,并求此方程的根.分析:由于題目中沒有指出所給方程是一元二次方程,所以需要分類討論解答:(1)若k=1,方程為一元一次方程,有解,滿足題意;當(dāng)k不等于1時(shí),方程為一元二次方程,得到根的判別式大于等于0,且二次項(xiàng)系數(shù)不為0,列出不等式,求出不等式的解集即可得到k的范圍;(2)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,得到k-1不為0,且根的判別式大于0,即可得到k的范圍;(3)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,得到k-1不為0,且根的判別式等于0,即可得到k的值.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三例3已知關(guān)于x的方程(k-1)x2拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解:(1)若k=1,方程為一元一次方程,有解,滿足題意;若k≠1,方程為一元二次方程,∵方程有實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k≥0,解得k≤2且k≠1.綜上,k的范圍為k≤2.(2)∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k>0,且k-1≠0,解得k<2且k≠1.(3)∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,∴Δ=b2-4ac=(-6)2-36(k-1)=72-36k=0,且k-1≠0,解得k=2.∴原方程為x2-6x+9=0,解得x1=x2=3.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解:(1)若k=1,方程為一元一次方拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問題時(shí),注意觀察題目是否說明所給方程是一元二次方程,如果沒有,要分類討論解答.如果指出所給方程是一元二次方程,一般根據(jù)題目所給出的根的情況列出方程或不等式,通過解方程或解不等式求出結(jié)果.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問題時(shí),注意觀察題目是否說明拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)三與判別式有關(guān)的綜合題例4

已知關(guān)于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.(1)求證:無論k取何值,它總有實(shí)數(shù)根;(2)若等腰三角形一邊a=3,另兩邊為方程的根,求k的值及三角形的周長.分析:(1)計(jì)算方程的根的判別式,若Δ=b2-4ac≥0,則方程有實(shí)數(shù)根;(2)已知a=3,則a可能是底,也可能是腰,分兩種情況求得b,c的值后,再求出△ABC的周長.注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn).拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)三與判別式有關(guān)的綜合題拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解:(1)證明:∵Δ=[-(k+2)]2-4×2k=(k-2)2≥0,∴無論k取何值,它總有實(shí)數(shù)根.(2)當(dāng)a=3是等腰三角形的底時(shí),則Δ=0,即(k-2)2=0,解得k=2,則方程為x2-4x+4=0,解得x1=x2=2,此時(shí)等腰三角形的周長為2+2+3=7;當(dāng)a=3是等腰三角形的腰時(shí),則a=3是方程的一個(gè)根,將x=3代入x2-(k+2)x+2k=0,得k=3,此時(shí)方程變?yōu)閤2-5x+6=0,解方程得x1=2,x2=3,所以等腰三角形的底為2,周長為3+3+2=8.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解:(1)證明:∵Δ=[-(k+2)拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問題,首先根據(jù)根的判別式確定字母的取值范圍,同時(shí)注意結(jié)合等腰三角形的相關(guān)概念及三角形的三邊關(guān)系分類討論解答.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問題,首先根據(jù)根的判別式確定知識點(diǎn)知識點(diǎn)因式分解法先因式分解,使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式,再使這兩個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.名師解讀:(1)用因式分解法解一元二次方程的一般步驟是:①將方程的右邊化為零;②將方程的左邊分解為兩個(gè)關(guān)于未知數(shù)的一次因式的積;③令每個(gè)因式分別為零,得到兩個(gè)一元一次方程;④解這兩個(gè)一元一次方程,得出它們的解,它們的解就是原一元二次方程的解.(2)因式分解法也適合于一元“高次”(次數(shù)大于2的)方程的求解.如:解方程x(x-1)(x-2)=0.21.2.3因式分解法知識點(diǎn)知識點(diǎn)因式分解法21.2.3因式分解法知識點(diǎn)例1

方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根是(

)A.-1,-6 B.2,3 C.-2,-3 D.1,6解析:觀察方程的特點(diǎn),可以用配方法和公式法求解,但是發(fā)現(xiàn)方程的右端為0,而左端能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab進(jìn)行分解,表示成兩個(gè)一次式的乘積,因此可以使用因式分解法求解.∵x2-5x+6=0,∴(x-2)(x-3)=0,∴x-2=0或x-3=0,∴x1=2,x2=3.答案:B知識點(diǎn)例1方程x2-5x+6=0的兩個(gè)根是()知識點(diǎn)因式分解法解一元二次方程的理論根據(jù)是如果兩個(gè)因式的積等于零,那么,這兩個(gè)因式至少要有一個(gè)等于零.它是解一元二次方程最常用的方法.一般來說,能用因式分解法求解的一元二次方程應(yīng)盡量用因式分解法,這種方法快速、方便,準(zhǔn)確率高,當(dāng)使用因式分解法比較困難時(shí),再考慮運(yùn)用公式法等.

知識點(diǎn)因式分解法解一元二次方程的理論根據(jù)是如果兩個(gè)因式的積等知識點(diǎn)例2

解方程:(1)x(x+3)=7(x+3);(2)x2+5x-6=0.分析:(1)方程變形后,提取公因式可化為積的形式,然后利用“兩數(shù)相乘積為0,兩因式中至少有一個(gè)為0”轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解;(2)方程左邊能逆用(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab進(jìn)行因式分解.知識點(diǎn)例2解方程:知識點(diǎn)解:(1)方程變形得x(x+3)-7(x+3)=0,分解因式得(x+3)(x-7)=0,解得x1=-3;x2=7.(2)x2+5x-6=0,因式分解得(x-1)(x+6)=0,解得x1=1;x2=-6.知識點(diǎn)解:(1)方程變形得x(x+3)-7(x+3)=0,知識點(diǎn)利用因式分解法解一元二次方程時(shí),先考慮提公因式法,再考慮公式法,只要能把方程的右邊化為0,左邊變成兩個(gè)一次式的乘積即可.同時(shí)特別注意方程兩邊不能同除以含有未知數(shù)的式子(有可能為零).

知識點(diǎn)利用因式分解法解一元二次方程時(shí),先考慮提公因式法,再考拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一靈活地選擇方法解一元二次方程例1

解方程:3x(x-1)=1-x.分析:觀察方程,方程右邊的“1-x”如果移到方程左邊,則變?yōu)椤皒-1”,此時(shí)有公因式“x-1”可提,因此,易采用因式分解法.解:移項(xiàng),得3x(x-1)+(x-1)=0,因式分解,得(x-1)(3x+1)=0,∴x-1=0或3x+1=0,∴x1=1,拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)一靈活地選擇方法解一元二次方程拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二當(dāng)一元二次方程的一邊為0,另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí),或方程的各項(xiàng)中有含有未知數(shù)的一次式的公因式時(shí),應(yīng)選用因式分解法求解.由于因式分解法是把一個(gè)一元二次方程化為兩個(gè)一元一次方程,它充分體現(xiàn)“降次”在解題中的作用.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二當(dāng)一元二次方程的一邊為0,另一邊易于分解成兩拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二例2

方程(x+3)2=25的根是(

)A.5,-5 B.2,-2 C.8,2 D.-8,2解析:觀察原方程,方程的左邊是(x+3)的完全平方式,右邊是一個(gè)非零常數(shù)25,宜選用直接開平方法.兩邊開平方,得x+3=±5,∴x=±5-3,∴x1=-8,x2=2.答案:D拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二例2方程(x+3)2=25的根是()拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程,一般適宜用直接開平方法求解.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二形如(x+m)2=n(n≥0)的一元二次方程拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二例3

解方程:x2-2x-11=0.分析:本題若用因式分解法或直接開平方法都有一定的困難,但仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)是“1”,一次項(xiàng)系數(shù)是偶數(shù),可選用配方法求解.解:移項(xiàng),得x2-2x=11,方程兩邊都加上12(一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方),得x2-2x+1=11+1,即(x-1)2=12,拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二例3解方程:x2-2x-11=0.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二配方法適合于解任何一元二次方程,特別適合于一次項(xiàng)系數(shù)的絕對值是二次項(xiàng)系數(shù)的絕對值的2倍的方程.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二配方法適合于解任何一元二次方程,特別適合于一拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二例4

解方程:4x2-6x-3=0.分析:本題的各項(xiàng)系數(shù)沒有什么明顯的特點(diǎn),利用上述三種方法解都比較麻煩,所以考慮使用公式法求解.解:∵a=4,b=-6,c=-3,b2-4ac=(-6)2-4×4×(-3)=84,拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二例4解方程:4x2-6x-3=0.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二

當(dāng)所求解的一元二次方程沒有明顯的簡便解法時(shí),就選擇公式法,公式法適用于求解任何一元二次方程.

綜上所述,因式分解法和直接開平方法雖然簡便,但并非所有的方程都可使用;配方法適用于任何一個(gè)一元二次方程,但過程比較麻煩;而公式法是在配方法的基礎(chǔ)上,利用其導(dǎo)出的求根公式直接求解,比配方法簡單得多,但又不如直接開平方法和因式分解法快捷.所以解一元二次方程時(shí),要注意方法的選擇,可參考如下原則:

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二當(dāng)所求解的一元二次方程沒有明顯的簡便拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二(1)當(dāng)一元二次方程的左邊為完全平方式,右邊為非負(fù)數(shù)或者左右兩邊都是完全平方式時(shí),可利用直接開平方法;

(2)當(dāng)一個(gè)方程的二次項(xiàng)系數(shù)為“1”,一次項(xiàng)系數(shù)為偶數(shù)時(shí),適合用配方法;

(3)當(dāng)一元二次方程的兩邊有公因式或易于寫成左邊是兩個(gè)因式的積,右邊是0的形式時(shí),易采用因式分解法來解;

(4)在上述三種方法都不易求解的情況下,可利用公式法求解.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二(1)當(dāng)一元二次方程的左邊為完全平方式,右邊拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)二利用“換元法”解可化為一元二次方程的方程例5

解方程:(x2-3x)2-2(x2-3x)-8=0.解:設(shè)x2-3x=y,則原方程可化為y2-2y-8=0,解得y1=-2,y2=4.當(dāng)y=-2時(shí),x2-3x=-2,解得x1=2,x2=1;當(dāng)y=4時(shí),x2-3x=4,解得x3=4,x4=-1.故原方程的根是x1=2,x2=1,x3=4,x4=-1,根據(jù)以上材料,請解方程:(2x2-3x)2+5(2x2-3x)+4=0.分析:通過閱讀可知,根據(jù)整體思想,利用“換元法”能解“可化為一元二次方程的一元高次方程”,此問題中,可以把“(2x2-3x)”看做一個(gè)整體,令(2x2-3x)=y,則原方程變?yōu)閥2+5y+4=0,先求得y的值,再進(jìn)一步可求得原方程的解.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)二利用“換元法”解可化為一元二次方程的拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二解:設(shè)2x2-3x=y,原方程轉(zhuǎn)化為y2+5y+4=0,解得y1=-4,y2=-1.當(dāng)y1=-4時(shí),2x2-3x+4=0,此方程無實(shí)數(shù)根.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二解:設(shè)2x2-3x=y,原方程轉(zhuǎn)化為y2+5拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二當(dāng)所給出的方程比較“復(fù)雜”,或者不易直接求解時(shí),可以利用“換元法”求解,利用換元法解方程的基本步驟為:

(1)先選取換元的“基本單元”,將方程換元成“新方程”,注意換元后,僅含有新設(shè)的未知數(shù);

(2)解新方程,得出新未知數(shù)的值;

(3)將新未知數(shù)還原成“基本單元”,即還原成含原未知數(shù)的方程;

(4)解所還原后的幾個(gè)方程,得到原方程的解.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二當(dāng)所給出的方程比較“復(fù)雜”,或者不易直接求解知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系由于二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的方程可以化簡成x2+px+q=0的形式,所以當(dāng)方程有兩個(gè)根x1,x2時(shí),一定有一次項(xiàng)系數(shù)p=-(x1+x2),常數(shù)項(xiàng)q=x1·x2.名師解讀:由x1+x2=-p,x1·x2=q知,若已知x1,x2,p,q這四個(gè)量中的任何兩個(gè),都能確定另外兩個(gè),利用這種關(guān)系可以解答相關(guān)的問題.*21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程的根知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例1

如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為x1=2,x2=-1,那么p,q的值分別是(

)A.1,-2 B.-1,-2 C.-1,2 D.1,2解析:觀察可以發(fā)現(xiàn),方程的二次項(xiàng)系數(shù)為“1”,所以有p=-[2+(-1)]=-1,q=2×(-1)=-2.答案:B知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例1如果關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二解答這類問題,關(guān)鍵是正確掌握二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,當(dāng)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為“1”時(shí),不能使用.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二解答這類問題,關(guān)鍵是正確掌握二次項(xiàng)系數(shù)為“1知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例2

已知x1,x2是方程x2-5x-2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,則

的值為(

)A.31 B.29 C.25 D.17解析:此題若先解方程求得兩個(gè)根,再代入求值,計(jì)算量會很大,但是根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系,容易求得x1與x2的和與積,如果再把所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)變成用兩根的和與積表示出來的式子,“整體代入”求值則比較方便.∵x1,x2是方程x2-5x-2=0的兩個(gè)根,∴x1+x2=5,x1x2=-2.答案:A知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二例2已知x1,x2是方程x2-5x-2=0知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二解答這類求代數(shù)式的值的問題,先利用根與系數(shù)的關(guān)系分別求出“x1+x2”和“x1x2”的值,然后把所求值的代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化成含有“x1+x2”和“x1x2”的式子,利用“整體代入”的思想代入求值.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二解答這類求代數(shù)式的值的問題,先利用根與系數(shù)的知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二

知識點(diǎn)二二次項(xiàng)系數(shù)不是“1”的一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

任何一個(gè)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系為:兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù),兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比.用式子表示為

這個(gè)關(guān)系還叫做韋達(dá)定理.名師解讀:利用這兩個(gè)關(guān)系式可以解答“已知其中的三個(gè)量,求另外的兩個(gè)量的問題”,還可以解答求代數(shù)式的值的問題.要特別注意等式中的a,b,c所表示的含義.知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二二次項(xiàng)系數(shù)不是“1”的一元二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二解答這類問題,先求出方程的解再代入代數(shù)式求值,計(jì)算量會很大,一般先把求值的代數(shù)式進(jìn)行變形,使其變成包含兩根的和與兩根的積的式子,再利用整體代入的方法求值.

知識點(diǎn)一知識點(diǎn)二解答這類問題,先求出方程的解再代入代數(shù)式求值拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一利用韋達(dá)定理由方程的根確定原方程例1

已知α,β滿足α+β=5,且αβ=6,則以α,β為兩根的二次項(xiàng)系數(shù)為“1”的一元二次方程是(

)A.x2+5x+6=0 B.x2-5x+6=0C.x2-5x-6=0 D.x2+5x-6=0解析:以α,β為兩根的一元二次方程的兩根是α,β,且α,β滿足α+β=5,αβ=6.所以這個(gè)方程的系數(shù)應(yīng)滿足兩根之和是

,兩根之積是

,當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a=1時(shí),一次項(xiàng)系數(shù)b=-5,常數(shù)項(xiàng)c=6,所以方程為x2-5x+6=0.答案:B拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一利用韋達(dá)定理由方程的根確定原拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三滿足α+β=5,且αβ=6,則以α,β為兩根的一元二次方程有無數(shù)多個(gè),形式為a(x-α)(x-β)=0(a≠0),只要二次項(xiàng)系數(shù)a改變,方程就會隨著改變.但是此題可以利用排除法解答,也可以通過解各個(gè)方程找到正確答案.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三滿足α+β=5,且αβ=6,則以α,拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)二已知方程的一根,利用根與系數(shù)的關(guān)系求另一根或字母的值例2

方程4x2-kx+6=0的一個(gè)根是2,那么k的值和方程的另一個(gè)根分別是(

)拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)二已知方程的一根,利用根與系數(shù)拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問題時(shí),兩種方法都能解決問題,根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活選取,只要計(jì)算簡便即可.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解答這類問題時(shí),兩種方法都能解決問題拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)三根與系數(shù)的關(guān)系與判別式的綜合運(yùn)用例3

已知x1,x2是關(guān)于x的一元二次方程x2-2(k+1)x+k2-3=0的兩實(shí)根,且(x1+1)·(x2+1)=8,求k的值.分析:根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=2(k+1),x1x2=k2-3,代入(x1+1)·(x2+1)=8,即x1x2+(x1+x2)+1=8即可得到關(guān)于k的方程,可求出k的值,再根據(jù)Δ與0的關(guān)系舍去不合理的k值.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)三根與系數(shù)的關(guān)系與判別式的綜合拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解:依題意可知,x1+x2=2(k+1)=2k+2,x1x2=k2-3,由(x1+1)(x2+1)=8得x1x2+x1+x2+1=8,得k2-3+2k+2+1=8,即k2+2k-8=0,解得k1=2,k2=-4.而Δ=[-2(k+1)]2-4(k2-3)≥0,所以k≥-2.所以k=2.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三解:依題意可知,x1+x2=2(k+拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三一元二次方程只有有根的情況下,才能研究根的情況,所以解答此類問題時(shí)所求出的字母的值須使原方程有實(shí)根.如:本題中不要只根據(jù)(x1+1)(x2+1)=8,求出k的值,而忽略Δ與0的關(guān)系.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三一元二次方程只有有根的情況下,才能研知識點(diǎn)知識點(diǎn)列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題的一般步驟類似,可以歸納為:(1)審:審題,要明確已知量和未知量及問題中的等量關(guān)系;(2)設(shè):設(shè)出未知數(shù),有直接設(shè)法和間接設(shè)法兩種;(3)列:找出能表達(dá)應(yīng)用題全部含義的一個(gè)相等關(guān)系,列出一元二次方程;(4)解:求出所列方程的解;(5)驗(yàn):檢驗(yàn)方程的解是否正確,是否符合實(shí)際意義;(6)答:寫出正確答案.21.3實(shí)際問題與一元二次方程知識點(diǎn)知識點(diǎn)列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟21.3實(shí)際問知識點(diǎn)名師解讀:列一元二次方程解應(yīng)用題就是建立一元二次方程模型解應(yīng)用題,可以類比列一元一次方程解應(yīng)用題的方法,注意體會其中的建模思想.列方程時(shí),注意抓題目中的關(guān)鍵描述語,找到適合題目的數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系,這就需要熟練掌握常見的數(shù)量關(guān)系、面積公式、定理等.知識點(diǎn)名師解讀:列一元二次方程解應(yīng)用題就是建立一元二次方程模知識點(diǎn)例1

列方程解應(yīng)用題:某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干,每個(gè)支干又長出相同數(shù)目的小分支,主干、支干和小分支的總數(shù)是91,每個(gè)支干長出多少小分支?分析:由題意設(shè)主干長出的支干的數(shù)目是x,每個(gè)支干又長出x個(gè)小分支,則共有x2個(gè)小分支,則共有x2+x+1個(gè)分支,即可列方程求得x的值.解:設(shè)每個(gè)支干長出的小分支的數(shù)目是x個(gè),根據(jù)題意列方程得x2+x+1=91,解得x=9或x=-10(不合題意,應(yīng)舍去).所以x=9.答:每個(gè)支干長出9個(gè)小分支.知識點(diǎn)例1列方程解應(yīng)用題:知識點(diǎn)解答這類問題,按照一般步驟進(jìn)行:讀懂題意,正確地寫出主干、支干、小分支的數(shù)目,列出一元二次方程,注意所得方程的解要有實(shí)際意義才行.

知識點(diǎn)解答這類問題,按照一般步驟進(jìn)行:讀懂題意,正確地寫出主拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)一列一元二次方程解增長率問題例1

某圖書館2017年年底有圖書20萬冊,預(yù)計(jì)2019年年底圖書增加到28.8萬冊.(1)求該圖書館這兩年圖書冊數(shù)的年平均增長率.(2)如果該圖書館2020年仍保持相同的年平均增長率,請你預(yù)測2020年年底圖書館存圖書多少萬冊.分析:(1)經(jīng)過兩次增長,求年平均增長率的問題,應(yīng)該明確原來的基數(shù),增長后的結(jié)果.設(shè)這兩年的年平均增長率為x,則經(jīng)過兩次增長以后圖書館有書20(1+x)2萬冊,即可列方程求解;(2)利用求得的百分率,進(jìn)一步求得2020年年底圖書館存圖書數(shù)量即可.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)一列一元二次方拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五解:(1)設(shè)年平均增長率為x,根據(jù)題意得20(1+x)2=28.8,即(1+x)2=1.44,解得x1=0.2,x2=-2.2(舍去).答:該圖書館這兩年圖書冊數(shù)的年平均增長率為20%.(2)28.8(1+0.2)=34.56(萬冊).答:預(yù)測2020年年底圖書館存圖書34.56萬冊.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五解:(1)設(shè)年平均增拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五解答此類題目關(guān)鍵是認(rèn)真分析題意,用代數(shù)式表示出題目中相關(guān)的數(shù)量,掌握求平均變化率的方法.若設(shè)變化前的量為a,變化后的量為b,平均變化率為x,則經(jīng)過兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為a(1±x)2=b(當(dāng)增長時(shí)中間的“±”號選“+”,當(dāng)下降時(shí)中間的“±”號選“-”).另外所求出的增長率(降低率)須有實(shí)際意義.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五解答此類題目關(guān)鍵是認(rèn)拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)二列一元二次方程解數(shù)字問題例2

已知:三個(gè)連續(xù)奇數(shù),它們的平方和為251,求這三個(gè)奇數(shù).分析:設(shè)出這三個(gè)奇數(shù),根據(jù)它們的平方和為251列方程解答即可.解:設(shè)這三個(gè)奇數(shù)依次為n-2,n,n+2,其中n為整數(shù),則依題意列方程得,(n-2)2+n2+(n+2)2=251,3n2=243,n2=81,∴n=9或n=-9,當(dāng)n=9時(shí),n-2=7,n+2=11;當(dāng)n=-9時(shí),n-2=-11,n+2=-7.答:這三個(gè)連續(xù)奇數(shù)為7,9,11或-11,-9,-7.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)二列一元二次方拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五解答數(shù)字問題,一般采取間接設(shè)法,尤其是三個(gè)連續(xù)整數(shù),通常設(shè)中間一個(gè)為n,其余兩個(gè)用含n的代數(shù)式表示.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五解答數(shù)字問題,一般采拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)三列一元二次方程解圖形面積問題例3

如圖,要設(shè)計(jì)一副寬20cm,長30cm的圖案,其中有兩橫兩豎的彩條,橫、豎彩條的寬度比為2∶3,如果要使彩條所占面積是圖案面積的,應(yīng)如何設(shè)計(jì)彩條的寬度?拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)三列一元二次方拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五分析:設(shè)橫彩條的寬度是2x

cm,豎彩條的寬度是3x

cm,根據(jù)設(shè)計(jì)的圖案寬20

cm,長30

cm,其中有兩橫兩豎的彩條,橫、豎彩條的寬度比為2∶3,彩條所占面積是圖案面積的

,列出方程求解即可.解:設(shè)橫彩條的寬度是2x

cm,豎彩條的寬度是3x

cm,則(30-6x)(20-4x)=×20×30,解得x1=1,x2=9.∵4×9=36>20,∴x=9舍去,∴橫彩條的寬度是2

cm,豎彩條的寬度是3

cm.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五分析:設(shè)橫彩條的寬度拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想,需利用平移把不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則圖形,進(jìn)而即可列出方程,求出答案.另外還要注意解的合理性.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五這類題目體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)四列一元二次方程解商品銷售問題例4

某商場銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件贏利40元,為了擴(kuò)大銷售,增加利潤,盡量減少庫存,商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)1元,商場平均每天可多售出2件;(1)若商場平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?(2)每件襯衫降價(jià)多少元時(shí),商場平均每天盈利最多?分析:此題屬于經(jīng)營問題,若設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元,則每件所得利潤為(40-x)元,但每天多售出2x件,即售出件數(shù)為(20+2x)件,因此每天贏利為(40-x)(20+2x)元,進(jìn)而可根據(jù)題意列出方程求解.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)四列一元二次方拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五解:(1)設(shè)每件襯衫應(yīng)降價(jià)x元,根據(jù)題意得(40-x)(20+2x)=1

200,整理得2x2-60x+400=0,解得x1=20,x2=10.因?yàn)橐M量減少庫存,在獲利相同的條件下,降價(jià)越多,銷售越快,故每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元.答:每件襯衫應(yīng)降價(jià)20元.(2)設(shè)商場平均每天盈利y元,則y=(20+2x)(40-x)=-2x2+60x+800=-2(x2-30x-400)=-2[(x-15)2-625]=-2(x-15)2+1

250.∴當(dāng)x=15時(shí),y取最大值,最大值為1

250.答:每件襯衫降價(jià)15元時(shí),商場平均每天盈利最多,最大利潤為1

250元.拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五解:(1)設(shè)每件襯衫拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五降低每件的售價(jià),實(shí)際就是降低每件的利潤,售價(jià)降低,銷售量增加.減少庫存,就是要增加銷量,在保證盈利相同的情況下,降價(jià)越多,銷售量增加地越多,就達(dá)到減少庫存的目的.

拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五降低每件的售價(jià),實(shí)際拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)五列一元二次方程解生活實(shí)際問題例5

某市某樓盤準(zhǔn)備以每平方米6000元的均價(jià)對外銷售,由于國務(wù)院有關(guān)房地產(chǎn)的新政策出臺后,購房者持幣觀望,為了加快資金周轉(zhuǎn),房地產(chǎn)開發(fā)商對價(jià)格進(jìn)行兩次下調(diào)后,決定以每平方米4860元的均價(jià)開盤銷售.(1)求平均每次下調(diào)的百分率;(2)某人準(zhǔn)備以開盤均價(jià)購買一套100平方米的房子,開發(fā)商給予以下兩種優(yōu)惠方案供其選擇:①打9.8折銷售;②不打折,送兩年物業(yè)管理費(fèi).物業(yè)管理費(fèi)每平方米每月1.5元,請問哪種方案更優(yōu)惠?拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五拓展點(diǎn)五列一元二次方拓展點(diǎn)一拓展點(diǎn)二拓展點(diǎn)三拓展點(diǎn)四拓展點(diǎn)五分析:(1)設(shè)平均每次下調(diào)的百分率為x,根