線性代數(shù) 線性方程組解的一般理論

線性代數(shù)線性方程組解的一般理論1第1頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月則線性方程組的向量表達式為令，，….n個未知量，m個方程的線性方程組(1)=0=0:=0(2)(1)(2)2第2頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月系數(shù)矩陣與增廣矩陣則線性方程組的矩陣表達式為非齊次齊次3第3頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）當m=n時，克萊姆法則，有解,有唯一解.有無窮多解.，無解,(2)消元法【問】r刻畫了矩陣什么屬性？r=r(A)4第4頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月【逆否命題】線性方程組(1)無解的充要條件是1、判定定理推論1

線性方程組(1)有唯一解的充要條件是推論2

線性方程組(1)有無窮解的充要條件是推論3

線性方程組(2)僅有零解的充要條件是推論4

線性方程組(2)有非零解的充要條件是(§2.2補充定理)需證

一、線性方程組有解的判定定理需證

5第5頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2、上述判定方法與以前判定方法的比較①對齊次線性方程組(2),若m<n，則存在非零解。②推論1保證了克萊姆法則的正確性:【說明】當m<n時,一定有,則齊次線性方程組一定有非零解.

n個未知量，n個方程的線性方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)行列式D≠0.【說明】

D≠0,一定有=r(ā),則線性方程組有唯一解.6第6頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例1線性方程組有解，證明:行列式7第7頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月1、齊次線性方程組解的性質(zhì)n個未知量的線性方程組，每個解是一個n維向量，性質(zhì)若1與2是齊次線性方程組(2)的解，則c1與1+2都是方程組(2)的解,c為任意常數(shù).稱為解向量，記做，代表二、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)8第8頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月2、齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定義－－基礎(chǔ)解系：齊次線性方程組(2)的解向量組的一個極大無關(guān)組，稱為齊次線性方程組(2)的一個基礎(chǔ)解系。(只有齊次線性方程組才有基礎(chǔ)解系)【注】基礎(chǔ)解系中的向量應滿足三點：①是齊次線性方程組(2)的解；②線性無關(guān)；③可線性表示齊次線性方程組(2)的任一解。推廣若1,2,…,t是齊次線性方程組(2)的解，則c11+c22+

…+ctt是方程組(2)的解，

ci為任意常數(shù)。9第9頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月【注】①基礎(chǔ)解系不唯一，若r(A)=r,則任意n-r個線性無關(guān)的解向量都是一個基礎(chǔ)解系，n-r即自由未知量的個數(shù)；②若

1,2,…n-r是齊次線性方程組(2)的一個基礎(chǔ)解系，則稱＝c11+c22+…+cn-rn-r(其中c1,c2,…cn-r為任意常數(shù))是方程組(2)的一般解或全部解，。定理2：若齊次線性方程組(2)系數(shù)矩陣A的秩r(A)=r<n,則該方程組有基礎(chǔ)解系，并且基礎(chǔ)解系中解向量的個數(shù)是n-r。10第10頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例2求齊次線性方程組的一般解解A11第11頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月令得到基礎(chǔ)解系一般解(c1,c2,c3為任意常數(shù).)12第12頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月1、非齊次線性方程組解的性質(zhì)(1)定義－－導出組：非齊次線性方程組(1)中的常數(shù)項全換為0，得到齊次線性方程組(2)，(2)稱為(1)的導出組。(2)性質(zhì)1若是(1)的解，是其導出組(2)的解，則+

是方程組(1)的解。性質(zhì)2若1與2是方程組(1)的解，則1－2

是其導出組(2)的解。三、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)13第13頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月方程組(1)的一個特解定理3若0是方程組(1)的一個解，是其導出組(2)的全部解，即＝c11+c22+…+cn-rn-r其中

1,2,…n-r是齊次線性方程組(2)的一個基礎(chǔ)解系，則方程組(1)的全部解或一般解為＝0+＝0+

c11+c22+…+cn-rn-r，其中ci為任意常數(shù)，i=1,2,…,n-r，0稱為方程組(1)的一個特解。2、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)14第14頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月【注】方程組(1)與其導出組(2)解的關(guān)系非齊次線性方程組(1)有唯一解其導出組(2)僅有零解.非齊次線性方程組(1)有無窮多解其導出組(2)有非零解.①導出組(2)有解(1)有解.②當非齊次線性方程組(1)有解時(前提條件)15第15頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例3

求解線性方程組，若是無窮解，求其全部解。解16第16頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月因為，所以方程組有無窮解，取x2,x4,x5,為自由未知量，繼續(xù)進行初等行變換等價的方程組為17第17頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月令令則方程組的全部解為＝0+

c11+c22+c33

，

c1,c2,c3為任意常數(shù)。18第18頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月需寫明判斷解的理由【注】求方程組(1)的解的基本步驟①對(1)的增廣矩陣化階梯形，判斷解的狀況；②若r(A)≠r(ā)，則(1)無解，若r(A)＝r(ā)＝n(未知量個數(shù))，則(1)有唯一解，若r(A)＝r(ā)=r<n，則(1)有無窮解，此時求全部解，先求出(1)的一個特解0，再求導出組的一個基礎(chǔ)解系

1,2,…n-r，

則(1)的全部解為

＝0+＝0+

c11+c22+…+cn-rn-r其中ci，i=1,2,…n-r為任意常數(shù).19第19頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例4線性方程組(重要題型)【注】①矩陣方法適用于任何線性方程組的討論；②當方程個數(shù)=未知量個數(shù)時，如果增廣矩陣不容易化階梯形，可以先用行列式進行討論。20第20頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月例5設(shè)方程組21第21頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月解，方程組有唯一解；方程組無解；

①當即，r(A)＝r(ā)=1<4，方程組有無窮多解，此時令②③22第22頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月得導出組的基礎(chǔ)解系

令得方程組特解方程組一般解為（為任意常數(shù)）23第23頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月【注】由于例4、5恰好方程的個數(shù)和未知量的個數(shù)相同,則也可利用cramer法則:系數(shù)行列式不為零等價于有唯一解，即先求出λ取何值時有唯一解.然后再用增廣矩陣討論無解和無窮多解的情況.(該方法只適用于方程個數(shù)=未知量個數(shù)的線性方程組,過程略)24第24頁，課件共29頁，創(chuàng)作于2023年2月課后習題二

28(3),29(3),30，31，32，33，34，35，36【注】35題目有誤最后一行改為：…其中1=(),2=(),…25