平穩(wěn)時間序列預測法

平穩(wěn)時間序列分析本課程內容：第一章：平穩(wěn)時間序列分析導論第二章：平穩(wěn)時間序列分析的基礎知識第三章：平穩(wěn)時間序列模型的建立第一章平穩(wěn)時間序列分析導論一、時間序列1、含義：指被觀察到的依時間為序排列的數(shù)據(jù)序列。2、特點：（1）現(xiàn)實的、真實的一組數(shù)據(jù)，而不是數(shù)理統(tǒng)計中做實驗得到的。既然是真實的，它就是反映某一現(xiàn)象的統(tǒng)計指標，因而，時間序列背后是某一現(xiàn)象的變化規(guī)律。（2）動態(tài)數(shù)據(jù)。二、時間序列分析

1、時間序列分析：是一種根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動態(tài)結構和規(guī)律的統(tǒng)計方法。其基本思想：根據(jù)系統(tǒng)的有限長度的運行記錄（觀察數(shù)據(jù)），建立能夠比較精確地反映序列中所包含的動態(tài)依存關系的數(shù)學模型，并借以對系統(tǒng)的未來進行預報（王振龍）

2、計量經濟學中的建模方法和思想

3、理論依據(jù)：盡管影響現(xiàn)象發(fā)展的因素無法探求，但其結果之間卻存在著一定的聯(lián)系，可以用相應的模型表示出來，尤其在隨機性現(xiàn)象中。三、確定性時間序列分析與隨機性時間序列分析時間序列依據(jù)其特征，有以下幾種表現(xiàn)形式，并產生與之相適應的分析方法：（1）長期趨勢變化受某種基本因素的影響，數(shù)據(jù)依時間變化時表現(xiàn)為一種確定傾向，它按某種規(guī)則穩(wěn)步地增長或下降。使用的分析方法有：移動平均法、指數(shù)平滑法、模型擬和法等；（2）季節(jié)性周期變化受季節(jié)更替等因素影響，序列依一固定周期規(guī)則性的變化，又稱商業(yè)循環(huán)。采用的方法：季節(jié)指數(shù)；（3）循環(huán)變化周期不固定的波動變化。(4)隨機性變化由許多不確定因素引起的序列變化。它所使用的分析方法就是我們要講的時間序列分析。確定性變化分析趨勢變化分析周期變化分析循環(huán)變化分析時間序列分析隨機性變化分析AR、MA、ARMA模型四、發(fā)展歷史

1、時間序列分析奠基人：

20世紀40年代分別由NorbortWiener和AndreiKolemogoner

獨立給出的，他們對發(fā)展時間序列的參數(shù)模型擬和和推斷過程作出了貢獻，提供了與此相關的重要文獻，促進了時間序列分析在工程領域的應用。

2、時間序列分析在經濟領域的應用

20世紀70年代，G.P.Box

和G.M.Jenkins發(fā)表專著《時間序列分析：預測和控制》，使時間序列分析的應用成為可能。BJ方法

3、現(xiàn)代時間序列分析的發(fā)展趨勢（1）單位根檢驗（2）協(xié)整檢驗

2003年度諾貝爾經濟學獎的獲得者是美國經濟學家羅伯特.恩格爾和英國經濟學家克萊夫.格蘭杰。獲獎原因：“今年的獲得者發(fā)明了處理許多經濟時間序列兩個關鍵特性的統(tǒng)計方法：時間變化的變更率和非平穩(wěn)性?！眱扇耸菚r間序列經濟學的奠基人。時間變化的變更率指方差隨時間變化而變化的頻率，這主要是指恩格爾在1982年發(fā)表的條件異方差模型（ARCH），最初主要用于研究英國的通貨膨脹問題，后來廣泛用作金融分析的高級工具；傳統(tǒng)的計量經濟學研究中，通常假定經濟數(shù)據(jù)和產生這些數(shù)據(jù)的隨機過程是平穩(wěn)的。格蘭杰的貢獻主要是在非平穩(wěn)過程假定下所進行的嚴格計量模型的建立。（協(xié)整檢驗）

第二章平穩(wěn)時間序列分析的基礎知識

第一節(jié)隨機序列一、隨機過程

1、定義：在數(shù)學上，隨機過程被定義為一組隨機變量，即，其中，T表示時間t的變動范圍，對每個固定的時刻t而言，Zt是一隨機變量，這些隨機變量的全體就構成一個隨機過程。

2、特征（1）隨機過程是隨機變量的集合（2）構成隨機過程的隨機變量是隨時間產生的，在任意時刻，總有隨機變量與之相對應。二、隨機序列（時間序列）1、當時，即時刻t只取整數(shù)時，隨機過程

可寫成此類隨機過程稱為隨機序列，也成時間序列?？梢姡?）隨機序列是隨機過程的一種，是將連續(xù)時間的隨機過程等間隔采樣后得到的序列；（2）隨機序列也是隨機變量的集合，只是與這些隨機變量聯(lián)系的時間不是連續(xù)的、而是離散的。三、時間序列的分布、均值、協(xié)方差函數(shù)1、分布函數(shù)(1)一維分布函數(shù):隨機序列中每個隨機變量的分布函數(shù).F1(z),F2(z),…,Ft-1(z),Ft(z)

(2)二維分布函數(shù):隨機序列中任意兩個隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)

Fi,j(zi,zj).i,j=…,-2,-1,0,1,2,…

2、均值函數(shù)對隨機序列中的任一隨機變量取期望。當t取遍所有可能整數(shù)時，就形成了離散時間的函數(shù)ut稱ut

為時間序列的均值函數(shù)。3、自協(xié)方差函數(shù)和自相關函數(shù)自相關函數(shù)：

當t,s取遍所有可能的整數(shù)時，就形成了時間序列的自相關函數(shù)，它描述了序列的自相關結構。它的本質等同于相關系數(shù)。第二節(jié)平穩(wěn)時間序列一、平穩(wěn)時間序列1、定義：時間序列{zt}是平穩(wěn)的。如果{zt}有有窮的二階中心矩，而且滿足：（1）ut=Ezt

=c;（2）r(t,s)=E[(zt-c)(zs-c)]=r(t-s,0)則稱{zt}是平穩(wěn)的。含義：

a有窮二階矩意味著期望和自協(xié)方差存在；

b平穩(wěn)時間序列任意時刻所對應的隨機變量的均值相等；

c自協(xié)方差函數(shù)只與時間間隔有關，而與時間起點無關。二、平穩(wěn)時間序列的均值、自協(xié)方差和自相關函數(shù)1、均值函數(shù)：平穩(wěn)時間序列均值為常數(shù)，為分析方便，假定Ezt=0，當均值不為零時，給每個值減去均值后再求均值，即等于0。2、自協(xié)方差函數(shù)：平穩(wěn)時間序列的自協(xié)方差僅與時間間隔有關，而與具體時刻無關，所以，自協(xié)方差函數(shù)僅表明時間間隔即可。3、自相關函數(shù)ρk

平穩(wěn)時間序列自協(xié)方差僅與時間隔有關，當間隔為零時，自協(xié)方差應相等。4、自協(xié)方差與自相關函數(shù)的性質

(1)rk=r-k

ρk=ρ-kk、－k僅是時間先后順序上的差異，它們代表的間隔是相同的。

(2)三、偏自相關函數(shù)（PACF)1、偏自相關函數(shù)用來考察扣除zt

和zt+k之間zt+1，

zt+2，…，zt+k-1影響之后的zt

和zt+k之間的相關性。2、偏自相關函數(shù)的定義設{zt}為零均值平穩(wěn)序列，zt+1，

zt+2，…，zt+k-1對zt

和zt+k

的線性估計為：φkk表示偏自相關函數(shù)，則：3、PACF的涵義設有zt+1，zt+2，zt+34、pacf的推導四、隨機序列的特征描述（1）樣本均值（2）樣本自協(xié)方差函數(shù)（3）樣本自相關函數(shù)（4）樣本偏自相關函數(shù)例1、設動態(tài)數(shù)據(jù)16，12，15，10，9，17，11，16，10，14，求樣本均值、樣本自相關函數(shù)（SACF）和偏自相關函數(shù)（SPACF）（各求前三項）第三節(jié)線性平穩(wěn)時間序列模型一、自回歸過程(AR(p)）1、

2、AR(P)模型的ACF、PACF特征以AR(1)為例例：k12345678910k0.880.760.670.570.480.40.340.280.210.17kk0.880.01-0.010.110.02-0.010.01-0.02-0.060.05計算結果表明，ACF逐漸衰減，但不等于零；PACF在k=1后，與零接近，是截尾的。結論：ACF呈指數(shù)衰減，是拖尾的；PACF在一步后為零，是截尾的。二、移動平均模型（MA(q)）1、形如zt=at-1at-1-2at-2-…-qat-q模型為滑動平均模型，其中，簡化形式zt=(B)at(B)=1-1B-2B2-…-qBq,滿足(B)=0的根在單位圓外，即?B?>1，此時該過程是可逆的。2、MA模型的ACF及PACF(3)PACF例：用zt=(1-0.5B)at模擬產生250個觀察值，at為白噪聲序列，得到序列自相關和偏自相關函數(shù)如下：可見，ACF在一步后截尾，PACF是拖尾的。結論：MA(q)的ACF是截尾的，PACF是拖尾的。k12345678910ACF-0.4400.02-0.03-0.01-0.050.04-0.03-0.030.02PACF-0.44-0.24-0.11-0.08-0.07-0.12-0.06-0.07-0.1-0.08三、自回歸移動平均模型（ARMA(p,q)）1、2、ARMA(p,q)的ACF和PACF(2)ACF、PACF均是拖尾的例：(1-0.9B)zt=(1-0.5B)at模擬產生250個觀察值，ACF、PACF如下表所示：k12345678910acf0.570.50.470.350.310.250.210.180.10.12pacf0.570.260.18-0.030.01-0.010.010.01-0.080.05本節(jié)介紹了三類模型的形式、特性及自相關和偏自相關函數(shù)的特征，現(xiàn)繪表如下：AR(p)MA(q)ARMA(p,q)模型方程(B)=atzt=(B)at(B)zt=(B)at平穩(wěn)性條件(B)=0的根在單位圓外無(B)=0的根在單位圓外可逆性條件無(B)=0的根在單位圓外(B)=0的根在單位圓外自相關函數(shù)拖尾Q步截尾拖尾偏自相關函數(shù)P步截尾拖尾拖尾第三章平穩(wěn)時間序列模型的建立第一節(jié)模型識別與定階一、模型識別1、含義：對一個觀察序列，選擇一個與其實際過程相吻合的模型結構。2、方法：利用序列的acf、pacf識別。判斷截尾、拖尾的主觀性較大，只是初步識別。

二、模型定階（一）acf、pacf方法（1）MA(q):Bartlett公式：當k>q時，N充分大，(2)AR（P）：（二）殘差方差圖：（1）殘差：在多元回歸y=a1x1+a2x2+….+anxn+at,存在自變量x的選擇問題。如果x選擇不夠，模型擬合不足，表現(xiàn)為y與?

差異較大；若x選擇多，則過度擬合，y與?差異減小速度很慢。將(y-?)稱為殘差，多元回歸就是利用此確定模型的自變量，即新增或減少變量是否會顯著影響殘差。（2）將該思想應用到時間序列模型定階上。(3)利用a2的變化規(guī)律，確定模型階數(shù)。隨著模型階數(shù)的增大，分母減小；分子在不足擬合時，一直減小，速度較快；過擬合時，分子雖減小，但速度很慢，幾乎不變。a2取決于分子、分母減小的速度。在不足擬合時，a2一直減??；過擬合時，a2卻增大。選擇a2的最低點為模型的最優(yōu)階數(shù)。（三）F檢驗定階法：（1）F分布：（2）用F分布檢驗兩個回歸模型是否有顯著差異。

(3)對于ARMA(p,q)模型定階例如：在ARMA(p,q)和ARMA(p-1,q-1)選擇。例：每隔20分鐘進行一次觀察的造紙過程入口開關調節(jié)器的觀察值160個。1、seriesMeanS.DMaxMinz32.020.743430.7令z1=z–32.022、12345678910

acf0.8680.7820.7080.6630.6270.6170.5940.5590.50.48