人教A版高中數(shù)學(xué)選修同步不等式和絕對(duì)值不等式-導(dǎo)學(xué)課件

第一講不等式和絕對(duì)值不等式一不等式1.不等式的基本性質(zhì)1.兩個(gè)實(shí)數(shù)a,b的大小關(guān)系【思考】任意實(shí)數(shù)a,b的關(guān)系可能有哪些?提示:a>b,a=b,a<b.2.不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性:a>b?____.(2)傳遞性:a>b,b>c?____.(3)可加性:____?a+c>b+c.(4)可乘性:如果a>b,c>0,那么______;如果a>b,c<0,那么______.b<aa>ca>bac>bcac<bc(5)乘方:如果a>b>0,那么an__bn(n∈N,n≥2).(6)開方:如果a>b>0,那么__(n∈N,n≥2).>>【思考】若a<b,一定有>嗎?提示:不一定.如a=-1,b=2.當(dāng)ab>0時(shí),若a<b,則有>;當(dāng)ab<0時(shí),若a<b,則有<;當(dāng)ab=0時(shí),若a<b,則與中有一個(gè)式子無意義.【素養(yǎng)小測(cè)】

1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)若a<b或a=b之中有一個(gè)正確,則a≤b正確. (

)(2)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不變. (

)(3)若a+c>b+d,則a>b,c>d. (

)提示:(1)√.不等式a≤b表示a<b或a=b.所以若a<b或a=b中有一個(gè)正確,則a≤b一定正確.(2)×.同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)或0時(shí)不等號(hào)改變.(3)×.取a=4,c=5,b=6,d=2,滿足a+c>b+d,但不滿足a>b,所以此說法錯(cuò)誤.2.已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足c<b<a且ac<0,那么下列選項(xiàng)中一定成立的是(

)

A.ab>ac B.c(b-a)<0C.ab2>cb2 D.a(a-c)<0【解析】選A.由題意,知a>0,c<0,b的符號(hào)不確定.不等式兩端同乘以一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不改變.3.若a,b是任意實(shí)數(shù),且a>b,則 (

)A.a2>b2 B.>1C.lg(a-b)>0 D.<【解析】選D.a>b并不能保證a,b均為正數(shù),從而不能保證A,B成立.又a>b?a-b>0,但不能保證a-b>1,從而不能保證C成立.顯然D成立.事實(shí)上,指數(shù)函數(shù)y=是減函數(shù),所以a>b時(shí),<成立.已知a>b,,求證:ab>0.提醒:要注意不等式的性質(zhì)是否可逆;要注意不等式成立的條件.所以a2+b2+5≥2(2a-b),所以②正確;提醒:要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只要考查它們的差的符號(hào).已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足c<b<a且ac<0,那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)或0時(shí)不等號(hào)改變.任意實(shí)數(shù)a,b的關(guān)系可能有哪些?提示:作差法,作商法.又因?yàn)閡=-x2+2x在[-1,0]上遞增,=a2-4a+b2+2b+5=(a-2)2+(b+1)2≥0,(1)若a>b>0,則<.【證明】-(a+b)=取a=4,c=5,b=6,d=2,滿足a+c>b+d,但不滿足a>b,所以此說法錯(cuò)誤.【解析】m-n=+-=-已知x∈R,比較x3-1與2x2-2x的大小.事實(shí)上,指數(shù)函數(shù)y=是減函第一講不等式和絕對(duì)值不等式類型一作差法比較大小==,==,類型一作差法比較大小【典例】已知x,y均為正數(shù),設(shè)m=+,n=,試比較m和n的大小.【思維·引】【解析】m-n=+-=-==,因?yàn)閤,y均為正數(shù),所以x>0,y>0,xy>0,x+y>0,(x-y)2≥0,所以m-n≥0,即m≥n(當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立).【內(nèi)化·悟】比較大小的常用方法有哪些?提示:作差法,作商法.【類題·通】作差法比較大小的四個(gè)步驟提醒:要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小,只要考查它們的差的符號(hào).【習(xí)練·破】已知x∈R,比較x3-1與2x2-2x的大小.【解析】(x3-1)-(2x2-2x)=(x3-x2)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1).因?yàn)閤2-x+1=所以當(dāng)x>1時(shí),(x-1)(x2-x+1)>0.即x3-1>2x2-2x;當(dāng)x=1時(shí),(x-1)(x2-x+1)=0,即x3-1=2x2-2x;當(dāng)x<1時(shí),(x-1)(x2-x+1)<0,即x3-1<2x2-2x.【加練·固】已知a,b為正數(shù),且a≠b,比較a3+b3與a2b+ab2的大小.【解析】(a3+b3)-(a2b+ab2)=a3+b3-a2b-ab2=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)(a2-b2)=(a-b)2(a+b).因?yàn)閍>0,b>0,且a≠b,所以(a-b)2>0,a+b>0.所以(a3+b3)-(a2b+ab2)>0,即a3+b3>a2b+ab2.類型二不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用角度1判斷不等式是否成立【典例】判斷下列命題是否正確,并說明理由. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號(hào)(1)若a>b>0,則<.(2)若c>a>b>0,則(3)若,則ad>bc.(4)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),若a-<b-,則a<b.【思維·引】利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假.【解析】(1)正確.因?yàn)閍>b>0,所以ab>0.兩邊同乘以,得a·>b·,得>.(2)正確.因?yàn)閏-a>0,c-b>0,且c-a<c-b,所以>0.又a>b>0,所以(3)不正確.因?yàn)樗约此约碼d>bc且cd>0或ad<bc且cd<0.(4)正確.因?yàn)閍-<b-,且a>0,b>0,所以a2b-b<ab2-a?a2b-ab2-b+a<0?ab(a-b)+(a-b)<0?(a-b)(ab+1)<0,所以a-b<0,即a<b.【素養(yǎng)·探】判斷不等式是否成立的題型,體現(xiàn)了邏輯推理的核心素養(yǎng).下列命題中正確的是________.(填序號(hào))

①若a>b>0,c>d>0,那么②若a,b∈R,則a2+b2+5≥2(2a-b);③若a,b∈R,a>b,則a2>b2;④若a,b∈R,a>b,則【解析】對(duì)于①,因?yàn)閏>d>0,所以所以所以,所以①錯(cuò)誤;對(duì)于②,a2+b2+5-(4a-2b)=a2-4a+b2+2b+5=(a-2)2+(b+1)2≥0,所以a2+b2+5≥2(2a-b),所以②正確;對(duì)于③,由于a>b不能保證a,b同時(shí)大于0,所以a2>b2不成立,所以③錯(cuò)誤;對(duì)于④,因?yàn)閏2+1>0,所以由a>b,可得,所以④正確.答案:②④角度2簡(jiǎn)單不等式的證明【典例】已知a>b>0,c<d<0,求證:【思維·引】由條件首先確定a-c與b-d的大小,然后進(jìn)一步證明.【證明】因?yàn)閏<d<0,所以-c>-d>0,又a>b>0,所以a-c>b-d>0,所以0<因?yàn)?<b<a,所以【類題·通】利用不等式性質(zhì)證明簡(jiǎn)單不等式的實(shí)質(zhì)與技巧(1)實(shí)質(zhì):就是根據(jù)性質(zhì)把不等式進(jìn)行變形,要注意不等式性質(zhì)成立的條件.(2)技巧:若不能直接由不等式性質(zhì)得到,可先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu).利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推,尋找使其成立的充分條件.提醒:要注意不等式的性質(zhì)是否可逆;要注意不等式成立的條件.【習(xí)練·破】1.已知a>b,,求證:ab>0.

【證明】因?yàn)?/p>

，所以<0,所以<0,又a>b,所以b-a<0,所以ab>0.2.若不等式-x2+2x-m>0在x∈[-1,0]上恒成立,則m的取值范圍是________.

【解析】由m<-x2+2x在x∈[-1,0]上恒成立知,m只需小于u=-x2+2x,x∈[-1,0]的最小值.又因?yàn)閡=-x2+2x在[-1,0]上遞增,所以u(píng)min=-1-2=-3,所以m<-3.答案:(-∞,-3)【加練·固】1.已知a>0,b>0,求證:≥a+b.【證明】

-(a+b)=

=(a-b)(a+b)·(a-b)2(