三角函數(shù)概念5

5.2

三角函數(shù)的概念5.2.1

三角函數(shù)的概念成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤(pán)群3500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過(guò)期核心知識(shí)目標(biāo)核心素養(yǎng)目標(biāo)1.借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義.1.通過(guò)對(duì)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切2.能利用三角函a數(shù)的定義,判函數(shù)定義的理解與運(yùn)用,重點(diǎn)發(fā)展學(xué)生斷正弦、余弦、正切函數(shù)值在的數(shù)學(xué)抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).各象限a內(nèi)的符號(hào).2.通過(guò)三角函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào)3.通過(guò)任意角的三角函數(shù)的定和公式一的應(yīng)用,進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)義理解終邊相同角的同一三角學(xué)運(yùn)算和邏輯推理的核心素養(yǎng).函數(shù)值相等.知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識(shí)探究·素養(yǎng)啟迪情境導(dǎo)入在初中,我們通過(guò)直角三角形的邊角關(guān)系,學(xué)習(xí)了銳角的正弦、余弦、正切這三個(gè)三角函數(shù),如圖所示.鄰邊定義

sin

α=對(duì)邊

α= ,tan

α=,cos對(duì)邊斜邊 斜邊 鄰邊.探究:該定義中的三個(gè)三角函數(shù),對(duì)于同樣大的一個(gè)銳角來(lái)說(shuō),如果三角形的大小發(fā)生了改變,其三角函數(shù)值是否也改變呢?提示:不變.知識(shí)探究1.任意角的三角函數(shù)的定義[問(wèn)題1-1]如圖,銳角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)是P(x,y),你能否用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示sinα,cosα,tanα?這一結(jié)論能否推廣到α是任意角時(shí)的情形呢?提示:根據(jù)初中所學(xué)在直角三角形中正弦、余弦、正切的定義,得sin

α=y,??cos

α=x,tan

α=??(x≠0),這一結(jié)論能推廣到α是任意角時(shí)的情形.[問(wèn)題1-2]如果角α的終邊落在y軸上,這時(shí)其終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是什么?sin

α,cos

α,tan

α的值是否還存在?提示:終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)或(0,-1),這時(shí)tan

α的值不存在,因?yàn)榉帜覆荒転榱?但sin

α,cos

α的值仍然存在.梳理1 任意角的三角函數(shù)的定義定義正弦把點(diǎn)P的縱坐標(biāo)

y

叫做α的正弦,記作sin

α,即sin

α=y余弦把點(diǎn)P的橫坐標(biāo)

x

叫做α的余弦,記作cos

α,即cos

α=x正切??把點(diǎn)

P

的縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)的比值

??

叫做α的正切,記作

tan

α,??即tan

α=

??

(x≠0)三角函數(shù)正弦、余弦、正切都是以角為自變量,以單位圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù),將它們統(tǒng)稱為三角函數(shù)2.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)[問(wèn)題2]根據(jù)三角函數(shù)的定義,各個(gè)三角函數(shù)值是用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示的,當(dāng)角在不同象限時(shí),其與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的符號(hào)就不同,因此其各個(gè)三角函數(shù)值的正負(fù)就不同,你能推導(dǎo)出sinα,cosα,tanα在不同象限內(nèi)的符號(hào)嗎?提示:當(dāng)α在第一象限時(shí),sinα>0,cosα>0,tanα>0;當(dāng)α在第二象限時(shí),sin

α>0,cos

α<0,tan

α<0;當(dāng)α在第三象限時(shí),sin

α<0,cos

α<0,tan

α>0;當(dāng)α在第四象限時(shí),sin

α<0,cos

α>0,tan

α<0.梳理2 三角函數(shù)值的符號(hào)如圖所示.正弦:

一、二象限正,

三、四象限負(fù);余弦:

一、四象限正,

二、三象限負(fù);正切:

一、三象限正,

二、四象限負(fù).簡(jiǎn)記口訣:一全正、二正弦、三正切、四余弦.3.誘導(dǎo)公式一[問(wèn)題3]30°,390°,-330°這三個(gè)角的終邊有什么關(guān)系?它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)相同嗎?這三個(gè)角的正弦值、余弦值、正切值分別相等嗎?提示:這三個(gè)角的終邊相同,它們與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)相同,這三個(gè)角的正弦值、余弦值、正切值分別相等.梳理3 誘導(dǎo)公式一即終邊相同的角的同一三角函數(shù)值

相等

.小試身手??

??1.已知角α終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(√??,??),則cos

α等于()(A)????(B)√????(C)√????(D)±????B解析:由三角函數(shù)的定義可知,角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為角α的余弦??值,故cos

α=√??.故選B.??

??2.已知sin

α=??,cos

α=-??,則角α所在的象限是()(A)第一象限

(C)第三象限(B)第二象限

(D)第四象限B??解析:由sin

α=??>0得角α的終邊在第一或第二象限;由cos

α=-??<0得角α的??終邊在第二或第三象限.綜上,角α所在的象限是第二象限.故選B.??3.sin(-??????)=

,cos????????=

.??

????

??解析:sin(-??????)=sin(-8π+??)=sin

??=??,cos

??????=cos(6π+??)=cos??

????

????=??.答案:??????

??????從而sin

α+cos

α=-??

.答案:-12-

????????4.已知角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(5,a),且tan

α=-????,則a=

,sin

α+cos

α的值為

.解析:根據(jù)三角函數(shù)的定義,tan

α=??=-????,所以a=-12.??

??所以P(5,-12),r=13,所以sin

α=-????,cos

α=??

,????

????課堂探究·素養(yǎng)培育探究點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義及應(yīng)用[例1]設(shè)a<0,角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P(-3a,4a),求sin

α+2cos

α的值.??解:因?yàn)辄c(diǎn)P在單位圓上,則|OP|=1,即?(-????)??

+(????)??=1,解得

a=±??.因?yàn)閍<0,所以a=-??,所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(??,-??),??

??

??所以sin

α=-??,cos

α=??,??

??所以sin

α+2cos

α=-??+2×??=??.??

??

????解:因?yàn)辄c(diǎn)P在單位圓上,則|OP|=1,即?(-????)??

+(????)??=1,解得

a=±??.當(dāng)a=-??時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(??,-??),所以sin

α=-??,cos

α=??,??

??

??

??

??所以sin

α+2cos

α=-??+2×??=??.??

??

??當(dāng)a=??時(shí),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(-??,??),所以sin

α=??,cos

α=-??,??

??

??

??

??所以sin

α+2cos

α=??-2×??=-??.??

??

??[變式訓(xùn)練1-1]若將本例中“a<0”刪掉,其他條件不變,結(jié)果又是什么?解:r=?(-????)??

+

(????)??=5|a|.????

????

??

??

????

??①若

a>0,則

r=5a,且

sin α=??=????=??,cos

α=??=-????

,=-所以sin

α+2cos

α=??-2×??=-??.??

??

??[變式訓(xùn)練1-2]若將本例條件改為“角α的終邊過(guò)點(diǎn)P(-3a,4a)(a≠0)”,其結(jié)果又如何???-????

??②若a<0,則r=-5a,且sin

α=????

=-,cos

α=-????

??-????=??.所以sin

α+2cos

α=-??+2×??=??.??

??

????②在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x,y),P到原點(diǎn)的距離為r(r>0),則sin

α=??,方法總結(jié)由角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求其三角函數(shù)值

(1)已知角α的終邊在直線上時(shí),常用的解題方法有以下兩種:①先利用直線與單位圓相交,求出交點(diǎn)坐標(biāo),然后再利用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義求出相應(yīng)三角函數(shù)值.cos

α=??,tan

α=??.已知α的終邊求α的三角函數(shù)值時(shí),用這幾個(gè)公式更??

??方便.(2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí),一定注意對(duì)字母正、負(fù)的辨別,若正、負(fù)未定,則需分類(lèi)討論.探究點(diǎn)二 三角函數(shù)值的符號(hào)探究角度

1 根據(jù)確定的角確定其函數(shù)值符號(hào)[例2]確定下列各值的符號(hào).??(1)cos

260°;(2)sin(-??);解:(1)因?yàn)?60°是第三象限角,所以cos

260°<0.(2)因?yàn)???是第四象限角,所以sin(-??)<0.??

??(4)由??????=????+2π,可知??????是第三象限角,所以tan??

??

??????????>0.(3)tan(-672°20′);(4)tan????????.解:(3)由-672°20′=47°40′+(-2)×360°,可知-672°20′是第一象限角,所以tan(-672°20′)>0.即時(shí)訓(xùn)練2-1:判斷下列各式的符號(hào).(1)tan

191°-cos

191°;(2)sin

2·cos

3·tan

4.解:(1)因?yàn)?91°是第三象限角,所以tan

191°>0,cos

191°<0,所以tan

191°-cos

191°>0.

(2)因?yàn)?是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,所以sin

2>0,cos

3<0,tan

4>0,所以sin

2·cos

3·tan

4<0.方法總結(jié)根據(jù)確定的角判斷其相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào),首先利用終邊相同的角將所給角轉(zhuǎn)化為(0,2π]內(nèi)的角,判斷其所在象限后,結(jié)合三角函數(shù)特征確定符號(hào).探究角度2

根據(jù)三角函數(shù)值符號(hào),確定角的終邊所在象限[例3]

根據(jù)下列條件,確定θ是第幾象限角.(1)cos

θ與tan

θ異號(hào);解:(1)cosθ與tan

θ異號(hào),有以下兩種情況:?????????>??,或?????????<??,????????

<

?? ????????

>

??.因?yàn)閏os

θ>0,所以θ是第一或第四象限角或終邊在x軸的正半軸上的角.????????

<

??因?yàn)閠an

θ<0,所以θ是第二或第四象限角.所以滿足?????????>??,的角θ是第四象限角.同理可判斷滿足?????????<??,的角θ是第三象限角.????????

>

??所以滿足cos

θ與tan

θ異號(hào)的角θ是第三或第四象限角.(2)cos

θ與sin

θ同號(hào).解:(2)因?yàn)閏os

θ與sinθ同號(hào),所以?????????>??,或?????????<

??,????????

<

??,????????

>

??若sin

θ>0且cos

θ>0,則θ是第一象限角.若sin

θ<0且cos

θ<0,則θ是第三象限角.所以當(dāng)cos

θ與sin

θ同號(hào)時(shí),θ是第一或第三象限角.[變式訓(xùn)練3-1]分別確定θ是第幾象限角.cos

θ與tan

θ同號(hào);cos

θ與sin

θ異號(hào).解:(1)若cosθ與tanθ同號(hào),則cosθ>0且tanθ>0或cosθ<0且tanθ<0.當(dāng)cos

θ>0且tan

θ>0時(shí),θ是第一象限角;當(dāng)cos

θ<0且tan

θ<0時(shí),θ是第二象限角,故cos

θ與tan

θ同號(hào)時(shí),θ是第一或第二象限角.(2)若cos

θ與sin

θ異號(hào),則cosθ>0且sinθ<0或cos

θ<0且sin

θ>0.當(dāng)cosθ>0且sinθ<0時(shí),θ是第四象限角;當(dāng)cosθ<0且sinθ>0時(shí),θ是第二象限角.故cos

θ與sin

θ異號(hào)時(shí),θ是第二或第四象限角.方法總結(jié)確定角所在的象限,應(yīng)分別根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)確定所在象限后取交集.解:(1)原式=cos(8π+??)+tan(-4π+??)=cos??

????+tan

??=??+1=??.??

??

??

??探究點(diǎn)三 誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用(2)原式=sin(2×360°+90°)+tan(3×360°+45°)+cos(360°+60°)=??

??sin

90°+tan

45°+cos

60°=1+1+??=??.[例4]求下列各式的值.cos

??????+tan(-??????);??

??sin

810°+tan

1

125°+cos

420°.??

??tan

45°-sin

90°+cos

30°=1-1+√??=√??.即時(shí)訓(xùn)練4-1:求值.tan

405°-sin

450°+cos

750°;sin

????cos(-??????)+tan(-??????)cos

??????.??

??

??

??解:(1)原式=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(2×360°+30°)=(2)原式=sin(2π+??)cos(-4π+??)+tan(-4π+??)cos(4π+??)=sin

??cos??

??

??

??

??????+tan

??cos

??=√??×√??+1×??=??.??

??

??

??

??

??方法總結(jié)誘導(dǎo)公式一的實(shí)質(zhì)是:終邊相同的角,其同名三角函數(shù)的值相等.因?yàn)檫@些角的終邊都是同一條射線,根據(jù)三角函數(shù)的定義可知這些角的三角函數(shù)值相等.其作用是可以把任意角轉(zhuǎn)化為0°～360°之間的角.備用例題[例

1]

若????????>0

且

cos

α·tan

α<0,則角α的終邊在(

)????????(A)第一象限(C)第三象限(B)第二象限

(D)第四象限解析:由題,????????>0,則α的終邊落在第一象限或第四象限;????????又cosα·tan

α<0,則α的終邊落在第三象限或第四象限;綜上,α的終邊落在第四象限.故選D.[例2]已知角α的終邊在直線y=√??x上,求sin

α,cos

α,tan

α的值.解:因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線y=√??x上,所以可設(shè)P(a,√??a)(a≠0)為角α終邊上任意一點(diǎn),則r=?????

+(√????)??=2|a|(a≠0).若a>0,則α為第一象限角,r=2a,所以sin

α=√????=√??,cos

α=??

=??,tanα=√????=√??.????

??

????

??

??若

a<0,則α為第三象限角,r=-2a,所以

sin

α=√????=-√??,cos

α=-

??

=-??,-????

??

????

????tan

α=√????=√??.[例3]判斷下列各式的符號(hào).??

??(1)sin

105°·cos

230°;(2)sin

??π·tan

??π;解:(1)105°,230°分別為第二、第三象限角,所以sin105°>0,cos230°<0,所以sin

105°·cos

230°<0.(2)因?yàn)??<??π<π,所以??π是第二象限角,??

??

??所以sin

??π>0,tan

??π<0,所以sin

??π·tan

??π<0.??

??

??

??解:(3)因?yàn)??π<6<2π,??所以6弧度的角為第四象限角,所以cos6>0,tan6<0,所以cos

6·tan

6<0.??(3)cos

6·tan

6;(4)sin

4·tan(-????π).??(4)因?yàn)棣?lt;4<??π,所以sin

4<0.又因?yàn)閠an(-????π)=tan(-6π+??)=tan??

??????>0,??所以sin

4·tan(-????π)<0.[例4]計(jì)算下列各式的值:sin(-1

395°)cos

1

110°+cos(-1

020°)sin

750°;sin(-??????)+cos

??????·tan

4π.??

??解:(1)原式=sin(-4×360°+45°)cos(3×360°+30°)+cos(-3×360°+??60°)sin(2×360°+30°)=sin

45°cos

30°+cos

60°sin

30°=√??×√??+??×??=√??+??=??+√??.??

??

??

??

??

??(2)原式=sin(-2π+??)+cos(2π+????)·tan(4π+0)=sin

??+cos