課件：剛體的定軸轉動-Liu

剛體的定軸轉動內容：1剛體和剛體的基本運動2力矩剛體繞定軸轉動微分方程3繞定軸轉動剛體的動能動能定理4動量矩和動量矩守恒定律剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.（任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組）剛體的運動形式：平動、轉動.剛體平動質點運動1、平動：剛體中所有點的運動軌跡完全相同，

或，剛體內任意兩點連線總保持平行例：沿直線運動的車廂；車床車刀的進給1剛體和剛體的基本運動——理想化模型1.1剛體的概念1.2剛體的平動和定軸轉動2、轉動：剛體中所有的點都繞同一直線做圓周運動.非定軸轉動定軸轉動剛體的一般運動質心的平動繞質心的轉動+1.3剛體繞定軸的轉動角坐標θ一、描述剛體繞定軸轉動的角量(運動學方程)角速度角加速度zIIIP方向:右手螺旋方向剛體定軸轉動（一維轉動）的轉動方向可以用角速度的正負來表示.1）每一質點均作圓周運動，圓面為轉動平面；2）任一質點運動均相同.定軸轉動的特點

沿逆時針方向轉動θ>0；反之θ<0。二勻變速轉動公式

剛體繞定軸作勻變速轉動質點勻變速直線運動當剛體繞定軸轉動的角加速度為恒量時，剛體做勻變速轉動.剛體勻變速轉動與質點勻變速直線運動公式對比三角量與線量的關系Mω,β剛體θzOrm任意點都繞同一軸作圓周運動,且，β

都相同飛輪30s內轉過的角度例1一飛輪半徑為0.2m、轉速為150r·min-1，因受制動而均勻減速，經30s停止轉動.試求：（1）角加速度和在此時間內飛輪所轉的圈數(shù)；（2）制動開始后t=6s

時飛輪的角速度；（3）t=6s時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s時，設.飛輪做勻減速運動時，

t=0s

（2）時，飛輪的角速度（3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該點的切向加速度和法向加速度轉過的圈數(shù)

例2在高速旋轉的微型電機里，有一圓柱形轉子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉動.開始時，它的角速度，經300s后，其轉速達到18000r·min-1.已知轉子的角加速度與時間成正比.問在這段時間內，轉子轉過多少轉？解由題意，令，即，積分得當t=300s時所以轉子的角速度由角速度的定義得有在300s內轉子轉過的轉數(shù)2.1力矩2力矩剛體繞定軸轉動微分方程力改變質點的運動狀態(tài)質點獲得加速度力矩改變剛體的轉動狀態(tài)剛體獲得角加速度方向：右手螺旋法則力矩大小：轉動平面(1)力F在轉動平面內轉動平面(2)力F在轉動平面外取其在轉動平面內的分力(垂直于Z軸）產生力矩。對于作定軸轉動的剛體，也可用力矩的正負表示其方向：右手螺旋法則從沿小于角旋轉到，大拇指指向為力矩方向。OPdr1、當力平行于轉軸或通過轉軸時，對轉軸的力矩M為0.OF1P1d1r1r1r2F2F3r32、若有幾個力同時作用在剛體上，則合力矩等于這幾個外力矩的代數(shù)和.3、內力力矩之和為0.討論OFPdrF12.2剛體繞定軸轉動微分方程第k個質元切線方向在上式兩邊同乘以rk對所有質元求和內力矩之和為0轉動慣量Jzrk剛體的轉動定律：剛體對轉軸的轉動慣量與角加速度的乘積，等于作用在剛體上所有外力對該軸的力矩之和。外力矩之和Δmk注意幾點1.是矢量式（但在定軸轉動中各物理量的正負表示方向）。2.具有瞬時性。3.M、J、α是對同一軸而言的。4.與牛頓第二定律比較：2.3、轉動慣量Jz2、轉動慣量的定義：單位：千克·米2，kg·m2

質量不連續(xù)分布質量連續(xù)分布1、意義：描述剛體在轉動過程中慣性大小的物理量。3、剛體的轉動慣量與哪些物理量有關？①.與剛體總質量有關。②.與質量對軸的分布有關。③.與軸的位置有關。例1：在無質輕桿的b處3b

處各系質量為2m和m

的質點，可繞

o

軸轉動，求：質點系的轉動慣量J。解：由轉動慣量的定義4、轉動慣量的計算質量連續(xù)分布剛體轉動慣量的計算①.確定剛體的質量密度。②.建立坐標系，坐標原點為軸上一點。③.確定質量元質量。④.由定義計算轉動慣量。例2：長為l、質量為m的勻質細桿，繞細桿一端軸轉動，求轉動慣量J。解：細桿為線質量分布，單位長度的質量為：在距離坐標原點為x處取長度為dx

的質量元dm,則質量元的質量質量線密度：建立如圖坐標系，由繞細桿邊緣軸的轉動慣量為J與剛體的總質量有關等長的細木棒和細鐵棒繞端點軸轉動慣量例3：半徑為R

質量為

M的圓環(huán)，繞垂直于圓環(huán)平面的質心軸轉動，求轉動慣量J。解：在圓環(huán)上取質量元dm圓環(huán)上各質量元到軸的距離相等，繞圓環(huán)質心軸的轉動慣量為R例4：半徑為R質量為M

的圓盤，繞垂直于圓盤平面的質心軸轉動，求轉動慣量J。rdr解：圓盤為面質量分布，單位面積的質量為：分割質量元為圓環(huán)，M則圓環(huán)質量圓環(huán)的半徑為r寬度為dr,由則圓盤的轉動慣量為：RrdrrM由圓環(huán)的轉動慣量公式J與質量對軸的分布有關。LMzLOxdxM2.4、平行軸定理zdCMz'zJ與轉軸的位置有關:剛體繞任意軸的轉動慣量:剛體繞通過質心軸的轉動慣量:兩軸間垂直距離x典型的幾種剛體的轉動慣量l細棒轉軸通過中心與棒垂直ml細棒轉軸通過端點與棒垂直mM，R薄圓盤轉軸通過中心與盤面垂直圓環(huán)轉軸通過環(huán)心與環(huán)面垂直M，Rlr圓柱體轉軸沿幾何軸2r球體轉軸沿直徑m例1：質量為m1和m2兩個物體，跨在定滑輪上，m2放在光滑的桌面上，滑輪半徑為R，質量為M，求：m1下落的加速度，和繩子的拉力T1、T2。（繩與滑輪間無相對滑動，繩子不能伸長）T1T22.5轉動定律的應用舉例解：受力分析以為研究對象（1）以為研究對象（2）以為研究對象（3）T1T2補充方程：（4）聯(lián)立方程（1）---（4）求解得討論：當M=0時(1)飛輪的角加速度(2)如以重量P=98N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速解(1)(2)例2求一輕繩繞在半徑r=20cm的飛輪邊緣，在繩端施以F=98N的拉力，飛輪的轉動慣量J=0.5kg·m2，飛輪與轉軸間的摩擦不計，(見圖)一定滑輪的質量為m，半徑為r，不能伸長的輕繩兩邊分別系m1和m2的物體掛于滑輪上，繩與滑輪間無相對滑動。（設輪軸光滑無摩擦，滑輪的初角速度為零）例3求滑輪轉動角速度隨時間變化的規(guī)律。解以m1

，

m2，

m為研究對象,受力分析滑輪m：物體m1：物體m2：3繞定軸轉動剛體的動能動能定理3.1繞定軸轉動剛體的動能的動能為剛體的總動能繞定軸轉動剛體的動能等于剛體對轉軸的轉動慣量與其角速度平方乘積的一半.質點的平動動能3.2力矩的功O根據(jù)功的定義（力矩做功的微分形式）對一有限過程若

M=恒量力的累積過程——力矩的空間累積效應P3.3轉動動能定理——合力矩功的效果對于一有限過程(2)內力矩作功之和為零。(3)力矩的功就是力的功。討論(1)合力矩的功等于各力矩做功之和.剛體轉動動能定理：合外力矩對繞定軸轉動的剛體作功的代數(shù)和等于剛體轉動動能的增量。應用轉動動能定理解題方法1.確定研究對象。2.受力分析，確定作功的力矩。3.確定始末兩態(tài)的動能，Ek2、Ek1。4.列方程求解。例1一根長為l，質量為m的均勻細直棒，可繞軸O在豎直平面內轉動，初始時它靜止在水平位置解由動能定理求它由此下擺

角時的此題也可用機械能守恒定律方便求解下擺到

角時直棒受到的力矩為：例2：質量為m、半徑為R的圓盤，以初角速度0在摩擦系數(shù)為的水平面上繞質心軸轉動，解：以圓盤為研究對象，只有摩擦力矩作功。始末兩態(tài)動能：摩擦力矩的功：將圓盤分割成無限多個圓環(huán)問：圓盤轉動幾圈后靜止。每個圓環(huán)產生的摩擦力矩，圓盤的面密度為：圓環(huán)的質量為：整個圓盤產生的摩擦力矩，摩擦力矩的功：由動能定理：則轉過的角度：則轉過的圈數(shù)：其中物體系的機械能守恒定律當系統(tǒng)中既有平動的物體又有轉動的剛體，且系統(tǒng)中只有保守力作功，其它力與力矩不作功時，物體系的機械能守恒。例3：如圖所示的物體系中，勁度系數(shù)為k的彈簧開始時處在原長，定滑輪的半徑為R、轉動慣量為J，質量為m的物體從靜止開始下落,求下落h時物體的速度v。解：在物體m下落過程中只有重力和彈力保守力作功，物體系機械能守恒。選擇彈簧原長為彈性0勢點，物體下落h時為重力0勢點。

在質點平動中介紹了沖量的概念----力對時間的累積效應。在剛體轉動中引入沖量矩的概念----力矩對時間的累積效應。沖量：沖量矩：力矩對時間的積累效應。單位：牛頓·米·秒，N·m·s4.1沖量矩4動量矩和動量矩守恒定律4.2質點動量矩(角動量)定理和動量矩守恒定律1.質點的動量矩(對O點)其大小質點的動量矩與質點的動量及位矢(取決于固定點的選擇)有關特例：質點作圓周運動OS慣性參照系質點作平面運動時，對參考點的動量矩只有兩個方向（向上或向下），常寫為代數(shù)量；此時動量矩也稱為質點對過該點且垂直于運動平面的軸的動量矩。例一質點m，速度為v，如圖所示，A、B、C分別為三個參考點,此時m相對三個點的距離分別為d1、d2、d3求此時刻質點對三個參考點的動量矩md1d2

d3ABC解方向：垂直向里方向：垂直向里(質點動量矩定理的積分形式)(質點動量矩定理的微分形式)2.質點的動量矩定理動量矩定理：某段時間內質點所受合力矩的沖量矩等于同時間內質點的動量矩的增量說明質點動量矩的變化是力矩對時間的積累結果對于一有限過程3.質點動量矩守恒定律──質點動量矩守恒(1)

守恒條件(2)有心力的動量矩守恒。討論mv2MOmv1F例2：彗星繞太陽作橢圓軌道運動，太陽位于橢圓軌道的一個焦點上，問系統(tǒng)的角動量是否守恒？近日點與遠日點的速度誰大？解：在彗星繞太陽軌道運轉過程中，只受萬有引力作用，萬有引力不產生力矩，系統(tǒng)角動量守恒。近日點遠日點即即近日點r小v大，遠日點r大v小，4.2剛體繞定軸轉動的動量矩定理和動量矩守恒定律1.剛體定軸轉動的動量矩質點對Z軸的動量矩…剛體上任一質點對Z軸的動量矩為且剛體上任一質點對Z軸的動量矩具有相同的方向(所有質元對Z軸的動量矩之和)Z2.剛體定軸轉動的動量矩定理對定軸轉動剛體，Jz為常量。（動量矩定理積分形式）定軸轉動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動量矩的增量3.剛體定軸轉動的動量矩守恒定律對定軸轉動剛體（動量矩定理微分形式）注意幾點1.動量矩與動量是兩個不同的物理量，動量矩方向為角速度的方向，動量的方向為速度的方向。3.2.恒力矩情況：時，若J也為一常量，則剛體的角速度ω不變，剛體作慣性轉動。4.動量矩守恒定律，轉動慣量發(fā)生變化的物體，由于J

=C，

例如：花樣滑冰運動員的“旋”動作，當運動員旋轉時伸臂時轉動慣量較大，轉速較慢；收臂時轉動慣量減小，轉速加快。再如：跳水運動員的“團身--展體”動作，當運動員跳水時團身，轉動慣量較小，轉速較快；在入水前展體，轉動慣量增大，轉速降低，垂直入水。角動量守恒定律也適用于微觀、高速領域。解：在力F沖擊的瞬間，認為細桿還未擺起，重力不產生力矩，只有力F

產生力矩，視為恒力矩。由角動量定理：例1：一沖擊力F，沖擊一質量為m、長為l、豎直懸掛細桿的未端，作用時間為t,求在豎直位置時桿的角速度。例2：在摩擦系數(shù)為桌面上有細桿，質量為m、長度為l，以初始角