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本次課內(nèi)容隨機(jī)變量函數(shù)
單變量的函數(shù)多變量的函數(shù)隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)字特征多維正態(tài)隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量變換后概率密度的確定例:設(shè)Y=aX+b(AffineTransformation),求Y的概率密度。如果X服從正態(tài)分布,AlinearfunctionofaGaussianrandomvariableisalsoaGaussianrandomvariable.如果不是單調(diào)函數(shù),假定有n個反函數(shù)則Example:Square-Lawdeviceb>0IfXisaGaussianrandomvariablewithmeanzeroandvariance2,Example:ThisPDFiscalledthelog-normalPDF2.FunctionofaDiscreteRandomVariableHowtodeterminethePMFofatransformedrandomvariable?Forexample,tossadieandtransformasfollowIngeneral,wehavethatCheckYourselfWhichoffollowingiscorrect?One-to-One:ABCDENoneofaboveCheckYourselfWhichoffollowingiscorrect?One-to-One:ABCDENoneofaboveCheckYourselfSupposeY=2X,Whichoffollowingarecorrect?NoneofaboveABCDECheckYourselfSupposeY=2X,Whichoffollowingarecorrect?NoneofaboveABCDE對于一對一的變換,Example:Many-to-OneTransformationExample:x0
x1g(x)xA3.Continuous-to-DiscreteExample:PDFforamplitude-limitedRayleighRV.4.MixedrandomvariableAssume一般說來,如果g(x)在區(qū)間(x0,x1]上為一常數(shù)A,則FY(y)在y=A處不連續(xù),跳變點(diǎn)跳變高度為fY(y)在y=A處有一函數(shù),函數(shù)的強(qiáng)度為例-cc當(dāng)y<0時當(dāng)y=0時當(dāng)y>0時FY(y)在y=0處有一個跳變,跳變的高度為P{-c<Xc}=FX(c)-FX(-c)Example:HardLimiterY為離散型隨機(jī)變量,FY(y)為階梯型1-1-111y5.多維隨機(jī)變量的函數(shù)Jacco
比行列式例令則當(dāng)X1,X2相互獨(dú)立時,如果Xi服從相同分布,多個函數(shù)卷積的結(jié)果逐漸趨近一個高斯函數(shù),所以大量獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量之和服從正態(tài)分布(中心極限定理)。6.Expectedvalueforafunctionofarandomvariable均值:
方差:
均值:
方差:
對于離散型隨機(jī)變量,也有類似的結(jié)果:Example:Square-LawLetXbeanoisevoltagethatisuniformlydistributedinSx={-3,-1,1,3}withpX(k)=1/4.FindE(Y)whereY=X2.TheFirstApproach:findthePMFofYTheSecondApproach:Example:
Expectedvalueofasinusoidalwithrandomphase隨機(jī)變量的函數(shù)概率分布和概率密度的確定離散隨機(jī)變量的函數(shù)
One-to-OneTransformationMany-to-OneTransformation連續(xù)-離散的變換混合型隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量的函數(shù)學(xué)習(xí)內(nèi)容:正態(tài)隨機(jī)變量二維正態(tài)隨機(jī)變量多維正態(tài)隨機(jī)變量正態(tài)隨機(jī)變量的線性變換教學(xué)目的:掌握多維正態(tài)隨機(jī)變量的理論,為學(xué)習(xí)正態(tài)隨機(jī)過程打下基礎(chǔ)。多維正態(tài)隨機(jī)變量1.NormalRandomVariable(GaussianRV)ThesumoflargenumberofiidrandomvariablesisdistributedtonormalPDF.CDF標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布IfXhasaRayleighdensity2.JointNormalrandomvariable如果r=0不相關(guān)X1與X2是獨(dú)立的對于正態(tài)隨機(jī)變量而言,不相關(guān)與獨(dú)立是等價的。特征函數(shù):
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