第五時變電磁場課件

第五章時變電磁場

1、法拉第電磁感應(yīng)定律

2、位移電流

3、麥克斯韋方程組

4、時變電磁場的邊界條件

5、時變電磁場的能量與能流

6、諧變電磁場

7、波動方程

8、時變電磁場中的位函數(shù)

法拉第（MichaelFaraday,1791-1867），偉大的英國物理學(xué)家和化學(xué)家.他創(chuàng)造性地提出場的思想，磁場這一名稱是法拉第最早引入的.他是電磁理論的創(chuàng)始人之一，于1831年發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象，后又相繼發(fā)現(xiàn)電解定律，物質(zhì)的抗磁性和順磁性，以及光的偏振面在磁場中的旋轉(zhuǎn).麥克斯韋（1831-1879）英國物理學(xué)家,經(jīng)典電磁理論的奠基人,氣體動理論創(chuàng)始人之一.他提出了渦旋電場和位移電流的概念,建立了經(jīng)典電磁理論,預(yù)言了以光速傳播的電磁波的存在,它奠定了現(xiàn)代的電力工業(yè)、電子工業(yè)和無線電工業(yè)的基礎(chǔ).在氣體動理論方面,他還提出了氣體分子按速率分布的統(tǒng)計規(guī)律.

1865

年麥克斯韋在總結(jié)前人工作的基礎(chǔ)上，提出完整的電磁場理論，他的主要貢獻(xiàn)是提出了“渦旋電場”和“位移電流”兩個假設(shè)，從而預(yù)言了電磁波的存在，并計算出電磁波的速度（即光速）.

1888

年赫茲的實驗證實了他的預(yù)言,麥克斯韋理論奠定了經(jīng)典電磁學(xué)的基礎(chǔ)，為無線電技術(shù)和現(xiàn)代電子通訊技術(shù)發(fā)展開辟了廣闊前景.

(真空中)§

5.1~§

5.3麥克斯韋方程組1、法拉第電磁感應(yīng)定律英國科學(xué)家法拉第在實驗中觀察和發(fā)現(xiàn)：當(dāng)導(dǎo)線回路所交鏈的磁通量隨時間改變時,回路中將感應(yīng)一電動勢,該感應(yīng)電動勢正比于磁通（或磁鏈）的時間變化率。2、麥克斯韋的兩個假設(shè)1）、渦旋電場（或感生電場）隨時間變化的磁場將激發(fā)渦旋電場渦旋電場（或感生電場）的性質(zhì)：渦旋電場的場線自行閉合；渦旋電場是非保守場

若空間既存在由靜止電荷產(chǎn)生的保守電場，也存在渦旋電場，則總電場為兩者之和，即

2)、位移電流全電流安培環(huán)路定理考慮一含平行板電容器的電路，分析電容器充電過程中電流的連續(xù)性和安培環(huán)路定理的適用性。

閉合電鍵，導(dǎo)線中有電流，電容器充電。(1)問題的提出LI該傳導(dǎo)電流在電容器極板處中斷，不連續(xù)，電流I是非穩(wěn)恒的傳導(dǎo)電流；電容器充電，極板上電量增加，極板間存在時變的電場；選取一環(huán)路L，以L為共同邊界作兩個曲面S1、S2，對環(huán)路應(yīng)用適用于穩(wěn)恒電流的安培環(huán)路定理，得到兩種不同結(jié)論：原安培環(huán)路定理不適用于非穩(wěn)恒傳導(dǎo)電流情形！

能否把安培環(huán)路定理推廣到非穩(wěn)恒的情況呢？由電荷守恒定律知：由電場的高斯定理

LI上式表示回路中的傳導(dǎo)電流I等于穿過面S2的電位移通量對時間的變化率

麥克斯韋敏銳地意識到若將上式中也看作是“電流”，則非穩(wěn)恒傳導(dǎo)電流的不連續(xù)性、安培環(huán)路定理不能適用于非穩(wěn)恒傳導(dǎo)電流的兩個問題均可解決。麥克斯韋提出“位移電流”，建立“全電流”概念。2）位移電流ID

通過電場中某一截面的位移電流等于通過該截面電位移通量對時間的變化率.+++++-----電容器放電

麥克斯韋假設(shè)：電場中某一點位移電流密度等于該點電位移矢量對時間的變化率.位移電流密度位移電流的實質(zhì)是時變電場

“全電流”：既包括了電荷宏觀定向運(yùn)動所引起的傳導(dǎo)電流Ｉ，還包括了時變電場的位移電流。2）“全電流”概念

全電流全電流安培環(huán)路定理全電流密度微分形式3）全電流總是連續(xù)的.1）位移電流和傳導(dǎo)電流一樣要激發(fā)磁場；2）傳導(dǎo)電流產(chǎn)生焦耳熱，位移電流不產(chǎn)生焦耳熱;全電流對任意封閉曲面S有

穿過任意封閉面的各類電流之和恒為零，這就是全電流連續(xù)性原理。將其應(yīng)用于只有傳導(dǎo)電流的回路中，可知節(jié)點處傳導(dǎo)電流的代數(shù)和為零(流出的電流取正號，流入的電流取負(fù)號)。這就是基爾霍夫(G.R.Kirchhoff)電流定律：∑I=0。

例1、求證通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流的總量為零。證明：

根據(jù)麥克斯韋方程可知，通過任意封閉曲面的傳導(dǎo)電流和位移電流為例2有一圓形平行平板電容器,.現(xiàn)對其充電,使電路上的傳導(dǎo)電流,若略去邊緣效應(yīng),求:（1）兩極板間的位移電流;（2）兩極板間離開軸線的距離為的點處的磁感強(qiáng)度.*解:如圖作一半徑為平行于極板的圓形回路，通過此圓面積的電位移通量為計算得代入數(shù)據(jù)計算得*例3

計算銅中的位移電流密度和傳導(dǎo)電流密度的比值。設(shè)銅中的電場為E0sinωt，銅的電導(dǎo)率σ=5.8×107S/m,ε≈ε0。

解：銅中的傳導(dǎo)電流大小為3、麥克斯韋方程組積分形式微分形式麥克斯韋方程的輔助方程——本構(gòu)關(guān)系

表征媒質(zhì)宏觀電磁特性的本構(gòu)關(guān)系為

對于各向同性的線性媒質(zhì)，上式可以寫為例

4、

在無源的自由空間中，已知磁場強(qiáng)度求位移電流密度JD。解：無源的自由空間中J=0,由

例5、求證均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部，不會有永久的自由電荷分布。

解：

將J=σE

代入電流連續(xù)性方程，考慮到媒質(zhì)均勻，有

例6

已知在無源的自由空間中，其中E0、β為常數(shù)，求。解：無源即所研究區(qū)域內(nèi)沒有場源電流和電荷，J=0,ρ=0。由上式可以寫出：§

5.4時變電磁場的邊界條件

1、法向分量邊界條件

如果分界面的薄層內(nèi)有自由電荷，則圓柱面內(nèi)包圍的總電荷為得電位移矢量的法向分量邊界條件的矢量形式為若分界面上沒有自由面電荷，則有由

同理，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的法向分量的矢量形式的邊界條件為由

有

2、切向分量邊界條件

因為有限而h→0，所以

如果分界面的薄層內(nèi)有自由電流，則在回路所圍的面積上，

如果分界面處沒有自由面電流，則

即同理，電場強(qiáng)度矢量的切向分量的矢量形式的邊界條件為3、兩種特殊情況

1）兩種理想介質(zhì)分界面。理想介質(zhì)是指σ=0，所以在理想介質(zhì)分界面無自由電荷分布，不存在電流，則在分界面處的邊界條件為相應(yīng)的標(biāo)量形式為

2）理想導(dǎo)體是指σ→∞，所以在理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場。此外，在時變條件下，理想導(dǎo)體內(nèi)部也不存在磁場。故在時變條件下，理想導(dǎo)體內(nèi)部不存在電磁場，即所有場量為零。設(shè)n是理想導(dǎo)體的外法向矢量，E、H、D、B為理想導(dǎo)體外部附近的電磁場，那么理想導(dǎo)體表面的邊界條件為

例1、在兩導(dǎo)體平板（z=0和z=d）之間的空氣中傳播的電磁波，已知其電場強(qiáng)度為式中k為常數(shù)，求：（1）磁場強(qiáng)度；（2）兩導(dǎo)體表面的面電流密度。

解：（1）磁場強(qiáng)度可求得2）兩導(dǎo)體表面的面電流密度

§5.5時變電磁場的能量與能流利用矢量恒等式有

1、坡印廷定理、坡印廷矢量

上式是適合一般媒質(zhì)的坡印廷定理

上式兩邊對任一體積V積分有利用散度定理上式可寫為（為包圍體積的閉合曲面）對于各向同性的線性媒質(zhì)有由上式是坡印廷定理（微分形式）

可得坡印廷定理

說明上式中各項的物理意義：表示體積V中的熱損耗功率(單位時間內(nèi)以熱能形式損耗在體積V中的能量)；表示體積V中電磁能量在單位時間內(nèi)的增加值；根據(jù)能量守恒定理，它表示單位時間內(nèi)穿過體積V的表面流入體積V的電磁能量。坡印廷定理是能量守恒的表現(xiàn)

定義：坡印廷矢量坡印廷矢量表示某時刻單位時間垂直通過曲面上單位面積的電磁能量——電磁功率流密度。坡印廷矢量的方向代表波的傳播方向，也是電磁能量的傳播方向

（1）

在靜電場和靜磁場情況下，由于電流為零以及電磁場能量都不隨時間變化，上式右端為零。由坡印廷定理可知，上式左端表示在場中任何位置處，單位時間流出包圍體積V表面的總能量為零，即沒有電磁能量流動。所以，在靜電場和靜磁場情況下不存在電磁功率流密度。討論：

（2）對于恒定電流的電場和磁場。因此，在恒定電流場中坡印廷矢量可以代表通過單位面積的電磁功率流。它表示在無源區(qū)域中，通過面流入體積V內(nèi)的電磁功率等于體積V內(nèi)的損耗功率。

（3）在時變電磁場中，坡印廷矢量代表瞬時功率流密度，它通過任意截面積的面積分代表瞬時功率。

解：如圖，一段長度為l的長直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合，直流電流均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有在導(dǎo)線表面處，

導(dǎo)線表面的坡印廷矢量

例1、試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為σ，載有直流電流I的長直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并驗證坡印廷定理。它的方向處處由導(dǎo)線的表面指向里邊。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段表面積分，它表示載流時在單位時間內(nèi)由表向里傳輸?shù)哪芰?，為上式表示從?dǎo)線的表面流入的電磁能流等于導(dǎo)線內(nèi)焦耳熱損耗功率，驗證了坡印廷定理。

例2

、一同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，外導(dǎo)體半徑為b，內(nèi)、外導(dǎo)體間為空氣，內(nèi)、外導(dǎo)體均為理想導(dǎo)體，載有直流電流I，內(nèi)、外導(dǎo)體間的電壓為U。求同軸線的傳輸功率和能流密度矢量。解：分別根據(jù)高斯定理和安培環(huán)路定律，可以求出同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間的電場和磁場：

上式說明電磁能量沿z軸方向流動，由電源向負(fù)載傳輸。通過同軸線內(nèi)、外導(dǎo)體間任一橫截面的功率為這一結(jié)果與電路理論中熟知的結(jié)果一致。該結(jié)果說明功率全部是從內(nèi)、外導(dǎo)體之間的空間通過的，導(dǎo)體本身不傳遞能量，導(dǎo)體的作用是引導(dǎo)電磁能量。

時變電磁場的任一坐標(biāo)分量隨時間作諧變時，其振幅和初相也都是空間坐標(biāo)的函數(shù)。以電場強(qiáng)度為例，在直角坐標(biāo)系中，

§5.6諧變電磁場1、諧變電磁場的復(fù)數(shù)表示法

與電路理論中的處理相似，利用復(fù)數(shù)或相量來描述諧變電磁場場量復(fù)數(shù)形式瞬時形式電場強(qiáng)度矢量可用復(fù)數(shù)表示為

式中為電場強(qiáng)度的復(fù)矢量，它只是空間坐標(biāo)的函數(shù)，與時間t無關(guān)。

若要得出瞬時表示，只要將其復(fù)矢量乘以并取實部即可得到其相應(yīng)的瞬時表示。

同理可得諧變電磁場的其它場量的復(fù)數(shù)表示為

例1、將下列用復(fù)數(shù)形式表示的場矢量變換成瞬時表示。解：例2、

將下列場矢量的瞬時形式寫為復(fù)數(shù)形式。解：2、麥克斯韋方程的復(fù)數(shù)形式

采用復(fù)數(shù)表示時諧變量對時間t的偏導(dǎo)數(shù)等價于該諧變量的復(fù)數(shù)形式乘以jω，即

對時間t的偏導(dǎo)數(shù)等價地用jω代換即可

電流連續(xù)性方程為諧變電磁場的麥?zhǔn)戏匠虖?fù)數(shù)形式為對于各向同性的線性媒質(zhì)諧變電磁場的麥?zhǔn)戏匠虖?fù)數(shù)形式時變電磁場的麥?zhǔn)戏匠趟矔r式比較：麥?zhǔn)戏匠痰乃矔r式與復(fù)數(shù)形式比較，其形式的不同是明顯的，在以后的表述中場量復(fù)數(shù)形式上的“

.”去掉。諧變場量采用復(fù)數(shù)表示的好處是：使空間變量與時間變量分離；在場方程中去掉時間變量，使運(yùn)算簡單；便于相位的相關(guān)運(yùn)算。3、導(dǎo)電媒質(zhì)的復(fù)介電常數(shù)

媒質(zhì)在電磁場作用下呈現(xiàn)三種狀態(tài)：極化、磁化和傳導(dǎo)，它們可用一組宏觀電磁參數(shù)表征，即介電常數(shù)、磁導(dǎo)率和電導(dǎo)率。在靜態(tài)場中這些參數(shù)都是實常數(shù)；而在時變電磁場作用下，反映媒質(zhì)電磁特性的宏觀參數(shù)與場的時間變化有關(guān)，對于諧變電磁場與頻率有關(guān)。研究表明：一般情況下(特別在高頻場作用下)，描述媒質(zhì)電磁特性的宏觀參數(shù)為復(fù)數(shù)，其實部和虛部都是頻率的函數(shù)。但導(dǎo)體的電導(dǎo)率在相當(dāng)大的頻率范圍內(nèi)與頻率無關(guān)。在本課程中一般不考慮介電常數(shù)、磁導(dǎo)率隨頻率的變化問題。考慮導(dǎo)電媒質(zhì)，設(shè)它的介電常數(shù)為，電導(dǎo)率為

，在諧變場中有令，稱為等效介電常數(shù)，它是復(fù)數(shù)。上式可寫為

與理想介質(zhì)比較：，具有相似的表達(dá)式。坡印廷矢量瞬時表示可寫為

它在一個周期T=2π/ω內(nèi)的平均值為4、平均坡印廷矢量式中稱為復(fù)坡印廷矢量,它與時間t無關(guān)，表示復(fù)功率流密度，其實部為平均功率流密度(有功功率流密度)，虛部為無功功率流密度。是的共扼復(fù)數(shù)。

稱為平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。

類似地可得：平均電場能量密度平均磁場能量密度平均導(dǎo)電損耗功率密度平均電場能量密度平均磁場能量密度平均導(dǎo)電損耗功率密度5、復(fù)坡印廷定理利用矢量恒等式可得

上式兩端對任一體積V積分，并應(yīng)用散度定理可得上式是用復(fù)矢量表示的坡印廷定理，稱為復(fù)坡印廷定理。導(dǎo)電媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，不考慮介電常數(shù)、磁導(dǎo)率隨頻率的變化式中是單位體積內(nèi)的導(dǎo)電損耗功率的平均值，為有功功率；是電磁場單位體積內(nèi)的平均儲能，為無功功率。例、已知無源的自由空間中，時變電磁場的電場強(qiáng)度復(fù)矢量式中k、E0為常數(shù)。求：(1)磁場強(qiáng)度復(fù)矢量；(2)坡印廷矢量的瞬時值；(3)平均坡印廷矢量。解：

(1)由得

(2)電場、磁場的瞬時值為

坡印廷矢量的瞬時值為

(3)平均坡印廷矢量：§

5.7波動方程

介質(zhì)無耗、均勻且各向同性的無源區(qū)域(J=0,ρ=0，σ=0）對方程（2）兩邊取旋度有1、波動方程同理可得上兩式為關(guān)于場量、的矢量波動方程，表示時變電磁場以波的形式在空間存在和傳播，其波速為在真空中為在直角坐標(biāo)系中，對E的矢量波動方程可為三個標(biāo)量波動方程

對于諧變電磁場，可由復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程導(dǎo)出復(fù)數(shù)形式的波動方程式中，上兩式又稱為亥姆霍茲方程

2、諧變場的波動方程（亥姆霍茲方程）代換：

例1、在無源區(qū)求均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中電場強(qiáng)度和磁場強(qiáng)度滿足的波動方程。

解：導(dǎo)電媒質(zhì)為均勻、各向同性，涉及區(qū)域中無源，由麥克斯韋方程對上式兩端取旋度所以，電場強(qiáng)度滿足的波動方程為同理，可得磁場強(qiáng)度滿足的波動方程為對于諧變電磁場，其復(fù)數(shù)形式為同理§

5.8時變電磁場中的動態(tài)位函數(shù)

1、關(guān)于