2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市周涇中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年江蘇省無錫市周涇中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.O為平面上的定點，A、B、C是平面上不共線的三點，若，則△ABC是（）A．以AB為底邊的等腰三角形 B．以BC為底邊的等腰三角形C．以AB為斜邊的直角三角形 D．以BC為斜邊的直角三角形參考答案：B【考點】三角形的形狀判斷．【分析】設(shè)BC的中點為D，由條件可得?2=0，故⊥，故△ABC的BC邊上的中線也是高線，△ABC是以BC為底邊的等腰三角形．【解答】解：設(shè)BC的中點為D，∵，∴?（2﹣2）=0，∴?2=0，∴⊥，故△ABC的BC邊上的中線也是高線．故△ABC是以BC為底邊的等腰三角形，故選B．2.設(shè)復(fù)數(shù)，且為純虛數(shù)，則（

）A．-1

B．

1

C．

2

D．-2參考答案：D3.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為S，且，，則△ABC外接圓的面積為（

）A．

B． C.

D．參考答案：D在中，由余弦定理，得，既有，又由面積公式，得，即有，又，所以，所以.因為，所以，又由正弦定理，得，其中為外接圓的半徑，由及，得，所以外接圓的面積.故選D.4.等差數(shù)列中，如果，，則數(shù)列前9項的和為等(

)A.297

B.144

C.99

D.66參考答案：C略5.各項都是正數(shù)的等比數(shù)列中，且成等差數(shù)列，則的值為A. B. C. D.參考答案：B6.設(shè)、、為坐標平面上三點，O為坐標原點，若、上的投影相等，則a與b滿足的關(guān)系式為

（

）A． B．

C． D．參考答案：A7.在中，，，則的最大值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D有正弦定理可得，故當時，的最大值為.故選D.8.已知兩個不同的平面、和兩條不重合的直線，m、n，有下列四個命題：

①若，則

②若；

③若；

④若

其中不正確的命題的個數(shù)是

（

）

A．0個

B．1個

C．2個

D．3個參考答案：Ｂ，真命題有①，②，③．假命題是④，這可以舉出反例。9.若向量，且，則銳角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C10.已知是偶函數(shù)，且，則（

）A．2

B．3

C.4

D．5參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知曲線時y=xlnx的一條切線為y=2x+b，則實數(shù)b的值是．參考答案：﹣e【考點】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】設(shè)切點為（x0，x0lnx0），對y=xlnx求導(dǎo)數(shù)得y′=lnx+1，從而得到切線的斜率k=lnx0+1，結(jié)合直線方程的點斜式化簡得切線方程為y=（lnx0+1）x﹣x0，對照已知直線列出關(guān)于x0、b的方程組，解之即可得到實數(shù)b的值．【解答】解：設(shè)切點為（x0，x0lnx0），對y=xlnx求導(dǎo)數(shù)，得y′=lnx+1，∴切線的斜率k=lnx0+1，故切線方程為y﹣x0lnx0=（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y=（lnx0+1）x﹣x0，與y=2x+b比較得lnx0+1=2且﹣x0=b，解得x0=e，故b=﹣e．故答案為：﹣e．12.若函數(shù)y=f(x)的值域為[,3]，則F(x)=f(x)+的值域為(

).A.[,3]

B.[2,]

C.[,]

D.[3,]參考答案：B13.設(shè)隨機變量ξ～N（2，4），若P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），則實數(shù)a的值為．參考答案：【考點】正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義．【分析】直接利用正態(tài)分布的對稱性，列出方程求解即可．【解答】解：由題意可知隨機變量ξ～N（2，4），滿足正態(tài)分布，對稱軸為μ=2，P（ξ＞a+2）=P（ξ＜2a﹣3），則：a+2+2a﹣3=4，解得a=．故答案為．【點評】本題考查正態(tài)分布的基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力．14.在邊長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)部有一小球，該小球與正方體的對角線段AC1相切，則小球半徑的最大值=

．參考答案：15.設(shè)變量滿足約束條件：則的最小值為

參考答案：略16.為了均衡教育資源，加大對偏遠地區(qū)的教育投入，調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年教育支出y（單位：萬元），調(diào)查顯示年收入x與年教育支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：y=0.15x+0.2．由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年教育支出平均增加萬元．參考答案：0.15【考點】線性回歸方程．

【專題】應(yīng)用題．【分析】寫出當自變量增加1時的預(yù)報值，用這個預(yù)報值去減去自變量x對應(yīng)的值，得到家庭年收入每增加1萬元，年教育支出平均增加的數(shù)字，得到結(jié)果．【解答】解：∵對x的回歸直線方程y=0.15x+0.2．∴y1=0.15（x+1）+0.2，∴y1﹣y=0.15（x+1）+0.2﹣0.15x﹣0.2=0.15，故答案為：0.15．【點評】本題考查線性回歸方程，考查線性回歸方程的應(yīng)用，用來預(yù)報當自變量取某一個數(shù)值時對應(yīng)的y的值，注意本題所說的是平均增，注意敘述正確．17.如圖4，圓的直徑，為圓周上一點，，過作圓的切線，過作直線的垂線，為垂足，與圓交于點，則線段的長為

參考答案：4略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣（a＞0，ω＞0）的最大值為2，且最小正周期為π．（I）求函數(shù)f（x）的解析式及其對稱軸方程；（II）若f（α）=，求sin（4α+）的值．參考答案：【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】（Ⅰ）根據(jù)條件函數(shù)最值和周期，利用三角函數(shù)的公式進行化簡即可求a和ω的值，即可求出函數(shù)的解析式和對稱軸方程；（Ⅱ）根據(jù)f（a）=，利用余弦函數(shù)的倍角公式進行化簡即可求sin（4α+）的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2asinωxcosωx+2cos2ωx﹣=asin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+φ）∵f（x）的最小正周期為T=π∴，ω=1，∵f（x）的最大值為2，∴=2，即a=±1，∵a＞0，∴a=1．即f（x）=2sin（2x+）．由2x+=+kπ，即x=+，（k∈Z）．（Ⅱ）由f（α）=，得2sin（2α+）=，即sin（2α+）=，則sin（4α+）=sin[2（2α+）]=﹣cos2（2α+）=﹣1+2sin2（2α+）=﹣1+2×（）2=﹣．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用條件求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．同時也考查三角函數(shù)倍角公式的應(yīng)用．19.（本題12分）已知函數(shù)。（1）當時，求的極值；（2）設(shè)，若對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍。參考答案：【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．B12【答案解析】（1）當時，有極大值，且極大值=；當時，有極小值，且極小值=。（2）。解析：（1）當時，有極大值，且極大值=；當時，有極小值，且極小值=。

（2）其在上遞減，在上遞增，所以對于任意的，不等式恒成立，則有即可。即不等式對于任意的恒成立。①當時，，由得；由得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，所以符合題意。②當時，，由得；由得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，所以符合題意。③當時，，由得；當時，，由得或；由得，所以在上是增函數(shù)，易知可取到正值，這與對于任意的時矛盾。同理當時也不成立。綜上，的取值范圍為。【思路點撥】（Ⅰ）當a=1時，函數(shù)f（x）=x2﹣3x+lnx，．令f'（x）=0得：．列出表格即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值；（II）對于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，則有f（x）max≤g（x）min．利用導(dǎo)數(shù)分別在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性極值與最值即可．20.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足acosB+b=c．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若b，a，c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形．參考答案：考點：正弦定理；等差數(shù)列的性質(zhì)；余弦定理．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列；解三角形．分析：（Ⅰ）由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得cosAsinB=sinB，由sinB≠0，解得cosA，結(jié)合A的范圍即可得解．（Ⅱ）由（Ⅰ）及余弦定理，可得a2=b2+c2﹣bc，由b、a、c成等比數(shù)列得a2=bc，可得b2+c2﹣bc=bc，從而解得b=c，得證．解答： （本小題滿分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，得sinAcosB+sinB=sinC．…而sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，…故cosAsinB=sinB．在△ABC中，sinB≠0，故cosA=…因為0＜A＜π，所以A=．…（Ⅱ）由（Ⅰ）A=，在△ABC中，由余弦定理，得a2=b2+c2﹣bc，…由b、a、c成等比數(shù)列得a2=bc，所以b2+c2﹣bc=bc即（b﹣c）2=0，從而b=c，…故△ABC是等邊三角形．…點評：本題主要考查了正弦定理，余弦定理，等比數(shù)列的性質(zhì)等知識的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．21.(本題滿分14分)二階矩陣A,B對應(yīng)的變換對圓的區(qū)域作用結(jié)果如圖所示.(Ⅰ)請寫出一個滿足條件的矩陣A,B;(Ⅱ)利用(Ⅰ)的結(jié)果,計算C=BA,并求出曲線在矩陣C對應(yīng)的變換作用下的曲線方程.參考答案：(Ⅰ)由題意,二階矩陣A對應(yīng)的變換是橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉硪话氲淖儞Q,故二階矩陣B對應(yīng)的變換是逆時針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換,故

…………4分(Ⅱ)C=BA=,設(shè)曲線上任意一點為,變換后的點坐標為,，故所求的曲線方程為

…………7分22.在平面直角坐標系中，曲線C1的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1經(jīng)過點，曲線C2的極坐標方程為．（1）求曲線C1的極坐