試驗誤差與數(shù)據(jù)處理

試驗誤差與數(shù)據(jù)處理第1頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1隨機誤差

隨機誤差產(chǎn)生的原因

隨機誤差的特性

隨機誤差是由眾多的，變化微小的因素所造成的。1、隨機性。

3、隨機誤差服從統(tǒng)計規(guī)律，增加測量次數(shù)可減小隨機誤差對測量結(jié)果的影響。

2、隨機誤差產(chǎn)生在測量過程中。例如，壓力、溫度、磁場、儀器裝置及測量人員等因素的影響。隨機誤差處理的基本原則

隨機誤差處理的理論依據(jù)是概率論與數(shù)理統(tǒng)計。具體參量可用隨機變量的數(shù)學期望、方差和置信概率等特征量來表示。第2頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月實驗測量的目的是通過實驗數(shù)據(jù)的分析以及借助于數(shù)學工具對數(shù)據(jù)進行整理，從而獲得研究過程的數(shù)學模型或者求得某一被測量的真值。

一切由不確定的隨機因素所造成的隨機誤差，它的大小及正負，在其出現(xiàn)之前是不可預估的。隨著測量次數(shù)的增加，各數(shù)據(jù)隨機誤差的大小及正負符合統(tǒng)計規(guī)律。實驗數(shù)據(jù)處理的任務(wù)就是要在測量的隨機數(shù)據(jù)中尋找有關(guān)的規(guī)律。通過大量的實驗研究發(fā)現(xiàn)，盡管隨機誤差的分布規(guī)律多種多樣，但多數(shù)服從或近似服從正態(tài)分布。

§2.1.1隨機誤差的分布第3頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月一、正態(tài)分布（Normaldistribution）1、正態(tài)分布的特性正態(tài)分布又稱高斯分布，因為德國數(shù)學家高斯（Gauss）在研究誤差理論時，較早地引入了這種分布。根據(jù)概率論的中心極限定理，幾種非正態(tài)誤差共同作用的結(jié)果也將使總誤差趨向正態(tài)分布。假定在某一相同條件下的測量列為x1、x2、…、xn，x0為真值，其它誤差（主要指系統(tǒng)誤差和粗大誤差）可以忽略，該測量值的隨機誤差為第4頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月則服從正態(tài)分布的隨機誤差和測量值的概率密度函數(shù)分別為

正態(tài)概率密度函數(shù)的是一條鐘形曲線，稱為正態(tài)（高斯）曲線。正態(tài)曲線（服從正態(tài)分布的隨機誤差）具有如下性質(zhì)：

（1）單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。（2）對稱性（抵償性）：

絕對值相等且符號相反的誤差出現(xiàn)的概率相同。（3）有界性：在一定測量條件下，不可能出現(xiàn)無限大的隨機誤差。第5頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月這與隨機誤差具有抵償性是一致的。2、正態(tài)分布隨機誤差的數(shù)字特征

能準確描述服從正態(tài)分布隨機變量（測量值）及其誤差的統(tǒng)計規(guī)律通常用兩個參數(shù)——數(shù)學期望和方差（或標準差）。（1）數(shù)學期望數(shù)學期望的本質(zhì)含義是：隨機變量（誤差）分布的中心位置，也就是隨機變量（誤差）概率密度分布曲線的重心位置。說明了隨機變量（誤差）分布的集中情況，是對概率分布的一種估計。服從正態(tài)分布的測量值和隨機誤差的數(shù)學期望為第6頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月證明當實驗次數(shù)增大時，隨機變量X觀測值的算術(shù)平均值將在x的數(shù)學期望附近擺動，因此在實際工作中往往用算術(shù)平均值代替隨機變量的數(shù)學期望。（2）方差及標準差

第7頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

由數(shù)學期望與方差可以看出：當隨機誤差服從正態(tài)分布時，測量值的數(shù)學期望等于真值，隨機誤差的數(shù)學數(shù)學期望等于零這與隨機誤差具有抵償性是一致的；另外從方差（標準差）的定義可知，它們反映測量值與真值之間的偏離程度，數(shù)值越小，偏離程度越小，彼此之間的離散程度越小，反之，離散程度越大。第8頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月標準差（均方根誤差）σ和方差σ2描述正態(tài)分布曲線的形狀，是恒正值。

σ、σ2越大，分布曲線的峰值就越低，圖形的形狀就越“胖”，分布曲線越平緩，離散程度越大；反之σ、σ2越小，分布曲線的峰值越高，圖形的形狀越“瘦”，分布曲線越陡峭，離散程度越小。標準差（均方根誤差）σ和方差σ2描述分布曲線的寬窄。第9頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月3、隨機誤差正態(tài)分布的實驗驗證隨機誤差是否符合正態(tài)分布，可通過以下方法來驗證。統(tǒng)計直方圖

例：用單擺測周期。已知單擺周期的約定真值為T=3.01s，用秒表對該擺的周期進行150次測量，數(shù)據(jù)如下：第10頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月可按如下步驟對樣本觀測值進行處理（1）數(shù)據(jù)整理：先將樣本值x1,x2,…,xn按照由小到大的順序排列統(tǒng)計；（2）分組：確定分組數(shù)k和組距h。分組數(shù)不宜過大也不宜過小，通常樣本容量的大小選擇在7至15之間。n大時可適當增大樣本容量；（3）列分組頻率分布表：以ni表示觀測值落入第i組的頻數(shù)，則fi=ni/n稱為該組的頻率，將分組整理的數(shù)據(jù)列成上頁的表格；（4）作頻率直方圖：在oxy坐標平面上，分別以x軸上各區(qū)間（δi-1,δi]為底，以ni或fi為高畫出一排豎立的矩形，即頻數(shù)（率）直方圖；（5）作概率密度曲線：將頻數(shù)（率）直方圖中各矩形上的中點連接起來得到一條折線。第11頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月若該曲線與正態(tài)分布概率密度曲線形式相符，則證明被研究的誤差符合正態(tài)分布。根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制出隨機誤差統(tǒng)計直方圖如下：

統(tǒng)計直方圖可以很直觀的顯示誤差分布概率密度的形式，但是誤差的分布是否嚴格的符合正態(tài)分布，還需要用正態(tài)概率紙作圖來證明。第12頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

二、隨機誤差的幾種非正態(tài)分布

當影響測量結(jié)果的眾多因素中有一個或幾個因素影響較大時，構(gòu)成中心極限定理的條件得不到充分滿足，此時產(chǎn)生非正態(tài)分布的隨機誤差。

1、均勻分布

均勻分布又稱矩形分布或等概率分布。在誤差分布范圍[-a,+a]內(nèi)，隨機誤差取任意一值的概率相等。概率密度函數(shù)為第14頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

例如，數(shù)字化測量儀器誤差服從均勻誤差數(shù)學期望證明：第15頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月方差及標準差

證明：誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率：

例：求由數(shù)據(jù)舍入所引起的誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率。第16頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

2、三角形分布

兩個相互獨立的具有相同分布范圍的均勻分布的隨機變量之和仍為隨機變量，該隨機變量服從三角形分布，又稱辛普生（Simpson）分布，即若兩隨機變量皆在[-0.5a，+0.5a]上均勻分布且獨立，其和在[-a，+a]上服從三角形分布。概率密度函數(shù)為第17頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學期望

方差及標準差

例：已知誤差服從三角形分布，求誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率。第18頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月服從三角形分布的隨機誤差特征：（1）單峰性（2）對稱性（3）有界性（4）抵償性

在實際測量中，若整個測量過程必須進行兩次才能完成，而每次測量的隨機誤差服從相同的的均勻分布，則總的測量誤差為三角形分布誤差。例如：進行兩次測量過程時數(shù)據(jù)湊整的誤差；用替代法檢定標準砝碼、標準電阻時，兩次調(diào)零不準所引起的誤差等均為三角形分布。注意：如果對兩個隨機誤差誤差限定為不相等的均勻分布求和時，其和的分布規(guī)律不再是三角形分布而是梯形分布。第19頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月3、反正弦分布若隨機變量δ是φ的正弦函數(shù)，即，a為常數(shù)，φ在區(qū)間[0，2π]上服從均勻分布，則δ服從反正弦分布。

概率密度函數(shù)為

數(shù)學期望

方差及標準差

例如：儀器度盤偏心引起的角度讀數(shù)誤差。誤差限：

第20頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月服從反正弦分布的隨機誤差特征：（1）單峰性（2）對稱性（3）有界性（4）抵償性只不過其峰型成凹型，即小的誤差比大的誤差出現(xiàn)的幾率小。

例：求服從反正弦分布的隨機誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率。誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率：第21頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月4、分布

設(shè)隨機變量

相互獨立，且都服從標準正態(tài)分布，隨機變量

的概率密度函數(shù)為則稱隨機變量服從自由度為的分布。分布的主要特征量為：分布是t分布和F分布的基礎(chǔ)。其中可理解為隨機變量的個數(shù)。由圖線可看出，隨著自由度的增大曲線接近對稱，充分大時，曲線近似正態(tài)分布曲線。第22頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月自由度指在數(shù)學中能夠自由取值的變量個數(shù)，如有3個變量x、y、z，但x+y+z=18，因此其自由度等于2。在統(tǒng)計學中，自由度指的是計算某一統(tǒng)計量時，取值不受限制的變量個數(shù)。首先，在估計總體的平均數(shù)時，由于樣本中的n個數(shù)都是相互獨立的，從其中抽出任何一個數(shù)都不影響其他數(shù)據(jù)，所以其自由度為n。在估計總體的方差時，使用的是離差平方和。只要n-1個數(shù)的離差平方和確定了，方差也就確定了；因為在均值確定后，如果知道了其中n-1個數(shù)的值，第n個數(shù)的值也就確定了。這里，均值就相當于一個限制條件，由于加了這個限制條件，估計總體方差的自由度為n-1。例如，有一個有4個數(shù)據(jù)(n=4)的樣本,其平均值m等于5,即受到m=5的條件限制,在自由確定4、2、5三個數(shù)據(jù)后,第四個數(shù)據(jù)只能是9,否則m≠5。因而這里的自由度υ=n-1=4-1=3。推而廣之,任何統(tǒng)計量的自由度υ=n-限制條件的個數(shù)。第23頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月5、t分布

設(shè)隨機變量X與Y相互獨立，X服從標準正態(tài)分布，Y服從自由度為的分布，則定義新的隨機變量t為

當測量列的測量次數(shù)較少時，其誤差分布通常認為服從t分布。

分布的主要特征量為：概率密度函數(shù)為稱隨機變量t服從自由度為的t分布。

第24頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

證明：由誤差定義，可得根據(jù)正態(tài)分布隨機誤差的抵償性，當n→∞時，有因此§2.1.2等精度測量的算術(shù)平均值及標準差

一、算術(shù)平均值(arithmeticaverage)原理若變量x服從正態(tài)分布，且數(shù)學期望（或真值）為。當測量次數(shù)n足夠大時，算數(shù)平均值必然趨近于真值。因此對于等精度測量列來講，全部測量值的算術(shù)平均值可以作為待測量的最佳估計值。第25頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見：如果對某一量進行無限多次測量，就可得到不受隨機誤差影響的測量值，或其影響甚微，可予忽略。這就是當測量次數(shù)無限增大時，算術(shù)平均值被認為是最接近于真值的理論依據(jù)。由于實際上都是有限次測量，那么算術(shù)平均值還是不是被測量的最佳值呢？第26頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例說明：設(shè)重復測量某量值5次，5個測得值分別是1，2，3，4，5。求得算術(shù)平均值為以為準，求各測得值偏離的誤差得平方和QQ＝注意：算術(shù)平均值原理僅適用于對同一量的等精度測量數(shù)據(jù)的處理。隨便用任何一個不同于的數(shù)，代替3作上面同樣的計算，所得的必定大于Q，即用算術(shù)平均值代入計算得到的Q是最小值。第27頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

2.殘差的性質(zhì)：a計算過程中不存在舍入誤差時：b計算過程中存在舍入誤差時：

1.殘差(residualerror)：測量值與算術(shù)平均值之差。

二、殘余誤差（殘差）當n為奇數(shù)時當n為偶數(shù)時

式中Δ為的舍入誤差，A為修約間隔，即為實際求得算術(shù)平均值末位數(shù)的一個單位。

(1)關(guān)于殘差代數(shù)和第28頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月利用殘差的上述性質(zhì)，可以校核算術(shù)平均值及其殘差計算的正確性。

例1：測量某物理量10次，測量結(jié)果如下表示，求算術(shù)平均值，并對計算結(jié)果進行校核。

序號測量值Xi（m)Δxi(m)Vi(m)123456789101879.641879.691879.601879.691879.571879.621879.641879.651879.641879.65-0.01+0.04-0.05+0.04-0.07-0.03-0.010-0.01+0.010+0.05-0.04+0.05-0.07-0.020+0.010+0.01=1879.639＝1879.64第29頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

說明：當測量列中的測量次數(shù)和每個測量數(shù)據(jù)的位數(shù)皆較多時，可用簡便方法計算算術(shù)平均值。

方法是：任選一個接近測得值的數(shù)x0作為參考值，計算每個測得值xi與x0差值

Δxi=xi－xoi=1,2,…,n因為所以有第30頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月解：任取參考值x0=1879.65(m)，計算差值和

列于表中，很容易求得

因為n為偶數(shù)，

由表可知

故計算結(jié)果正確。

第31頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例：已知測量列求其殘余誤差。殘余誤差分別為：計算過程無誤。

(2)殘差的平方和具有最小值。

它構(gòu)成了最小二乘法的理論依據(jù)，也是組合測量和曲線擬合的理論基礎(chǔ)。第32頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月測量的標準偏差簡稱標準差，也稱之為均方根誤差。由于隨機誤差的存在，等精度測量列中各個測得值一般皆不相同，它們圍繞著該測量列的平均值有一定分散，此分散度說明了測量列中單次測得值的不可靠性，必須用一個數(shù)值作為其不可靠性的評定標準。

三、測量的標準差(standarddeviation)σ而標準差σ決定正態(tài)分布曲線的形狀。σ越小，曲線越高而陡；σ越大，曲線越低而平坦。這說明標準差表征被測量的測量值圍繞真值的離散性。因此，標準差可作為測量列中單次測量不可靠性的評定標準。第33頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

（一）測量列單次測量的標準差

在等精度測量列中，單次測量列的標準差可按公式計算：證明：

測量列中每個測量值都可以看作隨機變量X的取值，根據(jù)離散性隨機變量方差的定義：

Pi為每個測量值出現(xiàn)的概率，對于等精度測量，每個測量值出現(xiàn)的概率相同，即：第34頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

代入上式得：

注意：

①σ不是測量列中任何一個具體測得值的誤差，只是用來表示一定條件下等精度測量列隨機誤差的概率分布情況。在該條件下，任一單次測得值的隨機誤差都不等于σ，但是我們可以認為這一系列測量中所有測得值都屬同樣的一個標準差σ的概率分布。

②σ和測量條件（儀器、環(huán)境、方法、人員等）有關(guān)。

第35頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

（二）標準差的計算（估算）法

1.貝塞爾公式(BesselFormula)

證明：兩邊平方求和得對于一測量列可用算術(shù)平均值來代替真值計算殘差：第36頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月又因為若各誤差之間相互獨立，根據(jù)誤差的抵償性，在n→∞時，可認為所以故即貝塞爾公式第37頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

例：用一游標卡尺測量一長度L10次。數(shù)據(jù)為：22.62，22.66，22.67，22.62，22.63，22.69，22.66，22.61，22.64，22.70，假設(shè)已排除了系統(tǒng)誤差和粗大誤差。

求：算術(shù)平均值及單次測量的標準差。

解：

①求算術(shù)平均值：②計算殘差并校核：-0.03，+0.01，+0.02，-0.03，-0.02，+0.04，+0.01，-0.04，-0.01，+0.05③求標準差：經(jīng)校核：，計算過程正確。

第38頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2.極差法(extremedifference)

主要思路：找出各測量值的最大值和最小值，計算它們的差（即極差）。

根據(jù)統(tǒng)計方法，極差與標準差之間的關(guān)系為dn是與測量次數(shù)有關(guān)的量，可查表得到。n234567891011dn1.131.692.062.332.532.702.852.973.083.17n121314151617181920dn3.263.343.413.473.533.593.643.693.74dn取值表第39頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例：用一游標卡尺測量一長度L10次。數(shù)據(jù)為22.62，22.66，22.67，22.62，22.63，22.69，22.66，22.61，22.64，22.70，若已排除了系統(tǒng)誤差和粗大誤差。用極差法計算標準差。

解：極差查表得

特點：極差法迅速、簡便，在n小于10時具有一定的精度，當大于10時不宜采用。

第40頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月n1234567891011121314151/kn1.250.880.750.680.640.610.580.560.550.530.520.510.500.500.49n1617181920212223242526272829301/kn0.480.480.470.470.460.460.450.450.450.440.440.440.440.430.43n23456789101520251/k’n1.771.020.830.740.680.640.610.590.570.480.460.441/Kn和1/K’n數(shù)值表

3.最大誤差法當被測量的真值可以預測時，當被測量的真值不可以預測時，及其中可查表得到。第41頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月解：查表得

特點：最大誤差法簡單、方便，容易掌握，并且當n小于10時，具有一定的精度，在進行一次測量時，特別適用。例：

用一游標卡尺測量一長度L10次。數(shù)據(jù)為：

22.62，22.66，22.67，22.62，22.63，22.69，22.66，22.61，22.64，22.70，假設(shè)已排除了系統(tǒng)誤差和粗大誤差。

按最大誤差法求標準差。

三種方法比較；

最大誤差法和極差法簡便易行，特別是當n小于10時，具有一定的精度，但其可靠性比貝塞爾公式要低，當幾種計算方法的結(jié)果出現(xiàn)矛盾時，應(yīng)以貝塞爾公式為準。第42頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）算術(shù)平均值的標準差

算術(shù)平均值的標準差是表征同一被測量的各個獨立測量列算術(shù)平均值分散性的參數(shù)，可作為算術(shù)平均值不可靠性的評定標準?；蜃C明：因各次測量值之間相互獨立，根據(jù)方差性質(zhì)

因等精度測量，所以第43頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

用殘差表示，算術(shù)平均值的標準差的估算公式為：可簡化為：

增加測量次數(shù)．可以提高測量精度，當n＞10以后，已減少得非常緩慢，要提高測量精度，應(yīng)采用適當精度的儀器，選取合適的測量方法。第44頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

例：測量溫度得到11個測量值（單位：℃），數(shù)據(jù)如下：528，531，529，527，531，533，529，530，532，530，531

求：算術(shù)平均值及其標準差。解：

①算術(shù)平均值②方差

③標準差

由數(shù)據(jù)可得：

第45頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.1.3概率積分與極限誤差

一、概率積分

定義：概率積分就是在給定誤差區(qū)間[δ1,δ2]上對已知概率密度函數(shù)積分并求出概率。若誤差服從正態(tài)分布，且誤差區(qū)間對稱，則

引入新變量則：第46頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月為拉普拉斯函數(shù)。其中P為置信概率，t為置信系數(shù)。超出范圍的誤差概率α=1-P為顯著度。

例：求正態(tài)分布的隨機誤差δ在置信區(qū)間[-tσ，+tσ]內(nèi)的概率，其中t分別為1，2，3。解:

，查附表1可得置信區(qū)間置信系數(shù)置信概率，查附表1可得，查附表1可得第47頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月二、極限誤差

當測量結(jié)果的誤差超出某一誤差的概率很小時，此誤差為極限誤差，極限誤差又稱極端誤差。正態(tài)分布幾種典型t值及其概率積分表tδ不超出δ的概率2Ф(t)超出δ的概率1-2Ф(t)測量次數(shù)n超出δ的次數(shù)

12341σ2σ3σ4σ0.

68260.

95440.

99730.99990.

31740.

04560.00270.0001322370156261111正態(tài)分布的隨機誤差，單次測量的極限誤差一般為如果測量列算術(shù)平均值的誤差滿足正態(tài)分布，則

第48頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月實際測量中，根據(jù)不同的要求也可取其它t值來表示極限誤差。如取t=2.58，P=99%；t=1.96，P=95%等。因此，一般情況下，測量列單次測量的極限誤差表示為算術(shù)平均值的極限誤差表示為例：已知某測量的標準差σ=0.2，求極限誤差為0.4時所對應(yīng)的置信概率和置信系數(shù)。

解：

查Φ(t)數(shù)值表得Φ(2)=0.4772

置信系數(shù)：置信概率：P=2Φ(2)=0.47722=0.9544第49頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例：已知某測量的標準差σ=0.2，求置信概率99%的置信系數(shù)及極限誤差。解：

由置信概率P=99%，可得Φ(t)=0.495

查表可得Φ(2.58)=0.495，即置信系數(shù)為t=2.58

極限誤差為δlim=±2.58σ=±2.58×0.2≈±0.52

需要指出，上面公式是在測量次數(shù)比較多，分布滿足正態(tài)分布，且標準差σ已知的前提下導出的結(jié)果。通常情況下標準差是未知的，只能根據(jù)有限次測量的n個測得值得到估計值，當n<20時，測量值不再服從正態(tài)分布，而是服從t分布，這時置信系數(shù)t應(yīng)按t分布計算。按t分布計算單次測量的極限誤差應(yīng)為：第50頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月按t分布計算測量列算術(shù)平均值的極限誤差應(yīng)為：一般情況下，當測量次數(shù)n<20時按t分布來處理；當

n>20時按正態(tài)分布來處理。

置信系數(shù)可由給定的置信概率P=1-α(α為置信度）和自由度ν=n-1查表確定。

例：對某工件進行5次測量，測量列的標準誤差估算值為5μm，求置信概率P=95%時的極限誤差。解：

由已知得自由度=4，顯著度α=1-p=0.05

查t分布表得tα=2.78

極限誤差為第51頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月習題

1、比較誤差與殘余誤差的概念。

2、比較貝塞爾公式、極差法及最大誤差法的優(yōu)缺點。

3、對某量進行6次等精度測量，結(jié)果如下：33.3，32.7，32.4，33.5，33.1，33.0。（1）用三種方法計算單次測量的標準偏差。（2）求算術(shù)平均值的標準差。

4、對某量等精度測量12次，得算術(shù)平均值，其單次測量的標準差為，取和時，用t分布求算術(shù)平均值的標準差及其極限誤差。

第52頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2系統(tǒng)誤差

研究系統(tǒng)誤差的重要性：

①研究系統(tǒng)誤差是研究隨機誤差基本前提。即我們認為誤差的出現(xiàn)是隨機的，完全排除了系統(tǒng)誤差的影響。

②系統(tǒng)誤差具有確定的變化規(guī)律，但沒有一種通用的處理方法，處理起來要比隨機誤差困難的多，必須認真研究。

③對于系統(tǒng)誤差的研究，可以發(fā)現(xiàn)一些新事物。例如惰性氣體的發(fā)現(xiàn)。

第53頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2.2.1系統(tǒng)誤差的來源

①測量裝置。原因：儀器設(shè)計、制造、安裝缺陷。

②測量環(huán)境。原因：實際環(huán)境條件偏離規(guī)定的測量條件。

③測量方法。原因：采用了近似的測量方法或近似計算。

④測量人員。原因：測量者自身的生理特點。系統(tǒng)誤差的特征：

系統(tǒng)誤差產(chǎn)生在測量之前，存在于測量過程中；

系統(tǒng)誤差呈現(xiàn)一定的規(guī)律性，總可歸結(jié)為一個或幾個因素的函數(shù)。如時間，溫度等的函數(shù)；只要測量條件相同，系統(tǒng)誤差是可以重現(xiàn)的，同時決定了它具有可修正的特點。

第54頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2.2系統(tǒng)誤差的分類

從變化規(guī)律方面來進行分：一、定值系統(tǒng)誤差（fixedsystematicerror)測量過程中誤差的大小和符號始終保持不變。例如，零點不準、視差及標準儀器誤差等所帶來的誤差。

二、變值系統(tǒng)誤差(variablesystematicerror)

在測量過程中，誤差的大小和符號隨著測量位置、時間、溫度等條件的變化而發(fā)生有規(guī)律的變化。

第55頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月1.線性變化的系統(tǒng)誤差（linearsystematicerror)

測量過程中，誤差隨時間、溫度、質(zhì)量等的變化而呈線性變化。如測量某一電阻，電阻誤差與溫度變化之間的關(guān)系為為電阻溫度系數(shù)，為溫度變化值）。和呈線性關(guān)系。溫度變化引起鋼尺刻度的變化，等等。2.周期性變化的系統(tǒng)誤差（periodicsystematicerror）

測量過程中，誤差的大小和符號隨時間或有關(guān)因素呈周期性規(guī)律變化。最常見的有正弦（余弦）變化規(guī)律。

例如，儀表回轉(zhuǎn)中心與刻度盤中心有偏心差e，則指針在任意角度時，所引起的示值誤差即為周期性誤差，即。（如圖所示）第56頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

指針在0或180時，誤差為0，指針在90或270時，誤差絕對值最大，為e。

第57頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月3.復雜規(guī)律變化的系統(tǒng)誤差（complicatedsystematicerror)

誤差的變化規(guī)律非常復雜，很難用數(shù)學表示式來表示，一般只用經(jīng)驗公式或?qū)嶒炃€表示。

例如，導軌的直線度誤差，直流電表指針偏轉(zhuǎn)角與偏轉(zhuǎn)力矩不能保持嚴格的線性關(guān)系，而表盤仍采用均勻刻度所造成的誤差。第58頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2.3系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響及其發(fā)現(xiàn)

一、系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響（一）定值系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響

1.對算術(shù)平均值的影響

設(shè)對真值為的某物理量等精度測量n次，得到測量列，若測量值同時含有定值系統(tǒng)誤差和隨機誤差，則有當測量次數(shù)足夠多，即第59頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

結(jié)論：定值系統(tǒng)誤差只影響測量值的算術(shù)平均值，使算術(shù)平均值增加或減小，但對誤差的分布沒有影響。即：只影響誤差分布曲線在X軸上的位置，而不影響分布曲線的形狀。當測量次數(shù)足夠多，即因此2.對殘差的影響

第60頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）變值系統(tǒng)誤差對測量結(jié)果的影響

1.對算術(shù)平均值的影響

設(shè)對真值為的某物理量等精度測量n次，得到測量列，若測量值同時含有變值系統(tǒng)誤差和隨機誤差，則有第61頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2.對殘差的影響

結(jié)論：變值系統(tǒng)誤差不僅對測量結(jié)果的算術(shù)平均值有影響，而且還影響誤差的分布規(guī)律和分布范圍。第62頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月二、系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

（一）定值系統(tǒng)誤差

1.實驗對比檢定法

在確信沒有明顯的變值系統(tǒng)誤差的前提下，通過改變產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的條件（通常是改用更高準確度的儀器和基準），在不同的條件下進行檢定性測量，通過比較來發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)誤差。例，用千分尺重復測量名義值的軸n次，得的算術(shù)平均值為，另用準確度更高的標準量塊在測微儀上測量該軸n次，得的算術(shù)平均值為，則用千分尺測量存在的定值系統(tǒng)誤差為第63頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2、計算數(shù)據(jù)比較法

即若，則可認為有定值系統(tǒng)誤差存在。

的極限誤差

任取兩組測量數(shù)據(jù)，

當P選取99.73%時，

t=3，公式可變?yōu)椋?/p>

該方法常用來驗證理論計算公式、鑒定測量方法和新設(shè)計的測量儀器。

第64頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例

：在不同條件下測量某一長度量，第一組測得值=7.0247mm，=0.1m；第二組測得值=7.0259mm，=0.2m。試判斷測量量中有無定值系統(tǒng)誤差。（已知無變值系統(tǒng)誤差存在）解：

按正態(tài)分布，取置信概率為99.73%，則t=3，則

說明兩組測量中含有定值系統(tǒng)誤差。第65頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例：化學家雷萊（Rayleigh）曾利用不同方法制取氮氣，由化學方法制取的氮，其平均密度和標準差為2.29971和0.00041；從大氣中提取的氮，其平均密度和標準差為2.31022和0.00019。

解：

取置信概率P=99.73%來判斷，有

故可判斷其中一定有系統(tǒng)誤差，經(jīng)檢查排除了由于操作技術(shù)等原因產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差的可能性后，強調(diào)了兩種方法存在的差別。后經(jīng)進一步分析，發(fā)現(xiàn)了惰性氣體的存在。第66頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）變值系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)

1、殘差觀察法

殘差觀察法是利用測量列的各個殘余誤差的大小和符號的變化規(guī)律，直接由誤差數(shù)據(jù)表或誤差曲線圖形來判斷有無系統(tǒng)誤差，一般適用于有規(guī)律變化的變值系統(tǒng)誤差。具體如下（1）若殘差的正負大體相同，且無顯著的變化規(guī)律，則無系統(tǒng)誤差。如下頁圖a（1）將測量序列依次排隊，如果殘差的大小有規(guī)律地向一個方向變化，且符號為（＋＋＋＋－－－－）或（－－－－＋＋＋＋），說明測量中存在線性系統(tǒng)誤差。（如下頁圖b）（2）將測量序列依次排隊，如果殘差符號做有規(guī)律地周期性的交替變換，則測量中存在周期性系統(tǒng)誤差。如果有微小波動，說明在周期性系統(tǒng)誤差出現(xiàn)的同時還有隨機誤差的影響。（如下頁圖c）第67頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

判斷復雜規(guī)律的系統(tǒng)誤差是否存在變值系統(tǒng)誤差時，測量的數(shù)據(jù)不多時用殘差觀察法難以確定。應(yīng)加大測量次數(shù)（n>200)，繪制統(tǒng)計直方圖，觀察是否符合預期的隨機誤差分布規(guī)律，如符合，則表明沒有變值系統(tǒng)誤差。（c）周期性系統(tǒng)誤差（a）無系統(tǒng)誤差（b）線性系統(tǒng)誤差第68頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2、殘差校核法—馬利科夫準則

假設(shè)測量列中存在線性變化的系統(tǒng)誤差，將測量值按先后順序排列，并將前后各半分成兩組，然后將兩組的殘差求和再相減。已知則當測量次數(shù)較多時，由隨機誤差性質(zhì)得

第69頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月所以因此，當顯著不為零時，則說明測量結(jié)果中存在線性系統(tǒng)誤差。

測量結(jié)果中存在變值系統(tǒng)誤差時，。而例：測量一電阻10次，數(shù)據(jù)如表，試判斷有無系統(tǒng)誤差。

第70頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月電阻測量數(shù)據(jù)表第71頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月解：①殘差觀察法從表中數(shù)據(jù)看出，殘差的值由小到大，符號由負變正，初步判斷有線性變化系統(tǒng)誤差存在。②馬利科夫準則

由于差值顯著不為零，故測量中存在線性變化的系統(tǒng)誤差。

第72頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月3、阿貝—赫梅特（Abbe---Helmert）準則

阿貝準則：設(shè)按測量的先后順序得測量誤差列，定義三個量：阿貝—赫梅特準則是在阿貝準則的基礎(chǔ)上完善的，適合檢驗周期性系統(tǒng)誤差的存在。其中，令第73頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月置信系數(shù)t取1，得到阿貝準則的限差

若則懷疑有周期性系統(tǒng)誤差。此為阿貝準則。假定測量列服從正態(tài)分布，且各測量誤差之間相互獨立，則變量C的數(shù)學期望、方差和標準差為：由此，得到變量C的極限誤差為：第74頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月注意：

在實際測量中誤差δi未知，σ2也未知，故通常用殘差代替δi，用S2代替σ2進行判斷。則相應(yīng)的有如下關(guān)系式阿貝—赫梅特準則：阿貝-赫梅特準則的限差

若則懷疑有周期性系統(tǒng)誤差。第75頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例：測量一電感10次，結(jié)果（單位：mH）分別為30.42，30.44，30.50，30.53，30.51，30.42，30.43，30.49，30.49。試判斷系統(tǒng)有無系統(tǒng)誤差。解:算術(shù)平均值殘差-0.06，-0.04，+0.02，+0.05，+0.03，-0.06，-0.05，+0.01，+0.05，+0.05

①殘差觀察法作圖第76頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月②阿貝—赫梅特準則

因為，故可以判斷有系統(tǒng)誤差存在。由于產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因很復雜，影響系統(tǒng)誤差的因素也是多方面的，因此系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法除了上面介紹的幾種外，還有其它的方法，如秩和檢驗法、t檢驗法等，可參考有關(guān)文獻。上述方法各具有不同的特點，但都有一定的局限性。

第77頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.2.4系統(tǒng)誤差的減小和消除

一、消除誤差源法（實驗前）

從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差是最理想的方法。主要從以下幾方面考慮：

標準器件的可靠性；儀器的工作狀態(tài)；儀器安裝、調(diào)整、接線；測量方法和計算方法；環(huán)境條件和被測對象；測量人員等。第78頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月二、引入修正值法（實驗后）前提：大小和方向可確定的已定系統(tǒng)誤差。關(guān)鍵：確定修正值。方法：檢定法。

例：采用高一等的標準砝碼對標稱值為1kg的標準砝碼進行檢定，經(jīng)多次測量其平均值（即相對真值）為1.002kg。則其修正值為：

第79頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月三、改進測量方法（實驗中）

（一）定值系統(tǒng)誤差

1、替代法（又稱置換法）實質(zhì)：在一定條件下，對某一被測量進行測量后，不改變測量條件，再以一個同性質(zhì)的已知標準量代替被測量，并使儀器呈現(xiàn)與以前相同的狀態(tài)，此時的標準量即等于被測量值。例2：欲測量某檢流計內(nèi)阻Rg，可采用如下線路圖。第80頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2、零示法實質(zhì)：在測量過程中，使被測量的作用效應(yīng)與已知量的作用效應(yīng)相當（即達到平衡），減小定值系統(tǒng)誤差。例1：利用平衡電橋測電阻。電橋測量電阻Rx第81頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月電位差計測電動勢例2：利用電位差計測電動勢。注意：測量結(jié)果中的誤差主要取決于標準器的誤差，因此零示器必須有足夠高的靈敏度。第82頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月3、導號法實質(zhì)：改變測量中的某些條件（如改變測量方向、電壓的極性等），保證其他條件不變，使兩次測量結(jié)果中的系統(tǒng)誤差的符號相反，數(shù)值相等，取平均值作為最后的測量結(jié)果，可以消除系統(tǒng)誤差。例：靈敏電流計（光點反射式）測微弱電流。若起始零點不準（指針指在△處）△第83頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月4、交換法實質(zhì)：它是將被測量與標準量的位置互換，進行兩次測量，使產(chǎn)生定值系統(tǒng)誤差的因素對測量結(jié)果的影響起相反作用，從而消除系統(tǒng)誤差。mMmM1例1：采用高斯雙重稱量法測重物m，如圖所示：第84頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月5、差值法實質(zhì)：利用測量量的差值求未知量以消除定值系統(tǒng)誤差。例1：通過測x、y求y=ax中的a時，若測y的過程存在定值系統(tǒng)誤差△y，測1次得x測，y測=y+△y

，顯然用式

得到的a存在誤差。若改變x測兩次，得x測1，y測1=y1+△y

x測2，y測2=y2+△y則由式

所得a與△y無關(guān)，結(jié)果正確。

第85頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：拉伸法測鋼絲的倔強系數(shù)。

改變力測兩次：

加力測一次：由得：

當原長存在誤差時，倔強系數(shù)有誤差。兩式相減得：

倔強系數(shù)與原長無關(guān)。第86頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）變值系統(tǒng)誤差1、線性系統(tǒng)誤差—對稱測量法

實質(zhì)：測量產(chǎn)生的系統(tǒng)誤差大小隨時間或者其他因素呈線性規(guī)律變化。因此，可以選定某時刻為參考中心，則與該時刻對稱的任何兩個時刻的系統(tǒng)誤差的平均值等于中間時刻的系統(tǒng)誤差值，即這樣就將線性變化的系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)變?yōu)榭尚拚亩ㄖ迪到y(tǒng)誤差。例如，用電位差計測電池的電動勢，工作電源隨時間線性下降，產(chǎn)生線性變化的系統(tǒng)誤差，可采用對稱測量法進行消除。第87頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2、周期性系統(tǒng)誤差—半周期讀數(shù)法

實質(zhì)：對于周期性系統(tǒng)誤差，相隔半個周期進行測量，取兩次讀數(shù)的平均值作為測量結(jié)果。周期性系統(tǒng)誤差一般可表示為當φ=φ1時，誤差為當φ=φ1+π時，誤差為取平均值

第88頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

例：通常在測角儀刻度盤的對徑的兩個刻度上（即相隔180度）各裝一個游標。例如分光計儀器，目的就是為了消除由于偏心差所引起的周期性系統(tǒng)誤差。在可能的條件下，引導系統(tǒng)誤差的符號、絕對值發(fā)生隨機變化，以便在多次測量求平均值時，可把系統(tǒng)誤差抵消或部分消除。例：米尺測某一長度時，用不同的刻度位置去測量該長度的值。（三）引導系統(tǒng)誤差隨機化第89頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月四、系統(tǒng)誤差的消除準則

假設(shè)最后殘余的系統(tǒng)誤差為，根據(jù)保留有效數(shù)字的舍入原則，只要當不超過總的系統(tǒng)誤差絕對值的有效數(shù)字末位的1/2個單位，即可忽略不計。例：思考：當總的系統(tǒng)誤差為下列值時，殘余誤差的最大值。第90頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.3粗大誤差

2.3.1粗大誤差的來源粗大誤差又稱疏失誤差或過失誤差，它的絕對值與其它測量值的誤差分量相比明顯偏大，即明顯歪曲測量結(jié)果，又稱壞值，在數(shù)據(jù)處理時應(yīng)予以剔出。2、客觀外界條件的因素1、測量人員的主觀因素

測量過程中，由于測量條件突然改變引起儀器示值跳動。如，測量過程機械沖擊振動、電壓不穩(wěn)、電磁干擾及溫度的驟升和驟降等，此時的測量值均含有異常值。

由于測量者在測量時的疏忽所造成的讀數(shù)誤差、記數(shù)誤差、錯誤計算、錯誤操作以及使用有缺陷的計量器具等。

粗大誤差是由測量過程中某些突變因素所造成的。第91頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.2可疑值的處理原則

1、直觀判斷，及時剔出2、增加測量次數(shù)，繼續(xù)觀察3、用統(tǒng)計方法進行判別4、保留不刪，確保安全第92頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2.3.3粗大誤差的統(tǒng)計判別方法

基本思想：根據(jù)誤差出現(xiàn)的統(tǒng)計規(guī)律，給定顯著水平(或置信概率)，確定其隨機誤差的分布范圍，凡是超過這個范圍的誤差，就認為不屬于隨機誤差范疇，而是粗大誤差，相應(yīng)的測量值為異常值，應(yīng)予以剔除。（一）萊以達（3σ）準則

對某一物理量等精度測量n次，得一測量列xi（i～n），如果測量值僅含有隨機誤差，前提條件：測量值不含有系統(tǒng)誤差，隨機誤差服從正態(tài)分布。

認為該測量值含有粗大誤差，為異常值，可以剔除。若

或第93頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

特點：萊以達準則簡便、保險但非常保守，無須查表，適合于大樣本n

>30。樣本容量n<30時，異常值難以檢出，只能做粗略的判別；當n＜10時，即使存在粗大誤差也判別不出來。證明如下：證明：取n＝10，則第94頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例：

對恒溫室標準溫度測量15次，測量值Ti如表，試判斷有無壞值。

殘

殘

第95頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月解：3S=0.099℃由表中知，|v8|=0.104>3S所以T8=20.30℃中含有粗大誤差，應(yīng)該剔除。

剔除T8以后，進一步檢驗數(shù)據(jù)的合理性。所有余下的14個殘差都小于3S’，即剔除T8后，測量值中不再有粗大誤差。第96頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）格拉布斯準則

為了檢驗xi（i=1，2，…，n）是否含有粗大誤差，可將xi值按其值的大小排成順序統(tǒng)計量x（i），即x（1）≤x（2）≤…≤x（n-1）≤x（n）建立順序統(tǒng)計量

格拉布斯導出了順序統(tǒng)計量確切分布。因此，給定顯著水平α（一般取0.05或0.01）和n后，通過查表就可以找出格拉布斯統(tǒng)計量的臨界值g0（n，α）。

對某一物理量等精度測量n次，得一測量列xi（i～n），如果測量值僅含有隨機誤差，且測量值服從正態(tài)分布。分別計算算術(shù)平均值、殘差及標準差的估計值。第97頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月選擇g（1）、g（n）數(shù)值較大的，當滿足

可認為小概率事件出現(xiàn)，說明x（i）含有粗大誤差，應(yīng)予剔除。

格拉布斯準則臨界值g0（n，α）表注意：格拉布斯準則每次只能剔除一個可疑值，剔掉一個可疑值后，應(yīng)再重新進行計算判斷，直到判定無可疑值為止。第98頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例：試用格拉布斯準則判斷上例測量值中有無異常值。

解:

測量值按大小排列順序T（1）=20.30，T（15）=20.43

顯然x（1）最可疑，計算其統(tǒng)計量

選定顯著水平α=0.05，查表得

所以第八個數(shù)據(jù)T8含有粗大誤差，應(yīng)舍去。

T8剔除后，重復上述檢驗步驟，可以發(fā)現(xiàn)，新測量列已無粗大誤差。第99頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）羅曼諾夫斯基準則—t檢驗準則在測量次數(shù)較少時，按t分布的數(shù)據(jù)分布范圍來確定粗大誤差的界限較合理。

t檢驗準則思路：

在n次重復測量中，先將某個可能存在粗大誤差的可疑測量值剔除，然后按t分布對該值進行檢驗。檢驗過程：等精度獨立測量值為x1,x2,…xn，若其中某個數(shù)據(jù)xm被懷疑含有粗大誤差，可首先將該數(shù)據(jù)剔除，然后按余下的n-1個數(shù)據(jù)計算平均值及標準差的估計值，即第100頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月

根據(jù)選定的顯著水平α和測量次數(shù)n，在表中找出t檢驗系數(shù)k(n-1,α)。

若

說明將xm剔除是合理的、正確的，否則不能認為該測量值含有粗大誤差，應(yīng)重新將其收入測量列。

羅曼諾夫斯基準則檢驗系數(shù)k(n-1,α)表第101頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例：試用羅曼諾夫斯基準則判斷上例測量值中有無異常值。

解：將最可疑的第8個數(shù)據(jù)剔除。由余下的測量值可得選取顯著水平α=0.05，剔除一測量值后，測量次數(shù)為14，查表得k(14,0.05)=2.26

故測量值T8含有粗大誤差，應(yīng)予以剔除。

剔除T8以后，重復上述步驟進行判斷，測量值不再含有粗大誤差。

第102頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月一般性檢驗過程：

①選擇檢驗規(guī)則，計算統(tǒng)計量。②指定異常值檢出的顯著水平。③確定統(tǒng)計量的臨界值。一般用顯著水平和子樣容量（或自由度）來確定。④作出判斷。即某測量值的統(tǒng)計量大于臨界值，則為異常值。⑤剔除異常值后，重新建立測量值的統(tǒng)計量，繼續(xù)判斷，直至沒有異常值。注意：若判斷出的異常值過多，應(yīng)對樣本的代表性進行檢驗，確認假設(shè)分布是否合理，所采用的方法是否得當。第103頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月1、算術(shù)平均值

2、測量列（單次測量）的標準差為

3、標準差的估算方法：

貝塞爾公式

極差法

最大誤差法真值已知

真值未知

當測量次數(shù)n趨于無窮時，算術(shù)平均值趨于真值。描述隨機誤差分散性的指標。一、隨機誤差

小結(jié)第104頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月4、算術(shù)平均值標準差的估計值5、置信概率6、單次測量的極限誤差

二、系統(tǒng)誤差

（一）定值系統(tǒng)誤差

1、實驗對比檢定法：采用更好的測量條件進行檢定性測量。

2、計算數(shù)據(jù)比較法：定值系統(tǒng)誤差只影響測量結(jié)果算術(shù)平均值，不影響隨機誤差的分布規(guī)律。

定值系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法：置信系數(shù)認為有定值系統(tǒng)誤差存在第105頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）變值系統(tǒng)誤差

1、殘差觀察法2、馬里科夫準則：判定線性系統(tǒng)誤差3、阿貝-郝梅特準則：判定周期性系統(tǒng)誤差取變量當取置信系數(shù)為1時，則懷疑存在系統(tǒng)誤差。如果變值系統(tǒng)誤差不僅影響測量結(jié)果算術(shù)平均值，而且還影響隨機誤差的分布規(guī)律。

當顯著不為零時，則說明測量結(jié)果中存在線性系統(tǒng)誤差。

第106頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月4、系統(tǒng)誤差的消除與減小方法定值系統(tǒng)誤差：零示法、導號法、交換法、替代法、差值法變值系統(tǒng)誤差：對稱測量法、半周期法另外還可以引導系統(tǒng)誤差隨機化。

第107頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月三、粗大誤差

（一）物理判別方法

（二）統(tǒng)計判別方法

1、萊以達準則2、格拉布斯準則其中3、羅曼諾夫斯基準則

其中

k(n-1,α)其中第108頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月2.4等精度直接測量的數(shù)據(jù)處理步驟4.判斷有無系統(tǒng)誤差，并盡量減小其影響

5.判斷粗大誤差，檢驗數(shù)據(jù)的合理性

6.算術(shù)平均值的標準差7.算術(shù)平均值的極限誤差1.求算術(shù)平均值

2.求殘差

3.測量列（單次）測量的標準差

8.測量結(jié)果或第109頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月例：對某一長度測量9次，假定無定值系統(tǒng)誤差存在，得到下列數(shù)據(jù)，求測量結(jié)果。長度測量數(shù)據(jù)表第110頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月解:

算術(shù)平均值殘差（表中）單次測量標準差（一）判斷有無系統(tǒng)誤差[方法一]殘差觀察法各殘差符號大體上正負個數(shù)相同，交叉排列，且無明顯變化規(guī)律，可判斷該測量列無變值系統(tǒng)誤差存在。[方法二]利用馬利科夫準則

按測量順序?qū)埐罘譃榍昂髢山M，分別求和后差值因差值很小，可判斷數(shù)據(jù)中無系統(tǒng)誤差存在。第111頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）判別粗大誤差測量次數(shù)較少（少于10），故不宜采用萊以達準則，選用格拉布斯準則判斷。將測量數(shù)據(jù)按大小排列有x(1)=x3=24.771cmx(9)=x4=24.780cm-x(1)=0.004cmx(9)-=0.005cm先判斷x（9）的合理性取顯著水平α=0.05，已知n=9，查表得g0(9,0.05)=2.11g(1)<g(9)<g0(9,0.05)測量列中不存在粗大誤差。第112頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）算術(shù)平均值的標準差（四）求算術(shù)平均值的極限誤差測量次數(shù)較少，求算術(shù)平均值的極限誤差時，可按t分布。由v=n-1=8，取α=0.05，查表得t0.05(8)=2.31（五）測量結(jié)果表示第113頁，課件共131頁，創(chuàng)作于2023年2月§2.5非等精度測量的數(shù)據(jù)處理

非等精度測量是指在測量的過程中，參與測量的五個要素（裝置、方法、環(huán)境、人員和被測對象）除被測對象不能改變外，其它四個要素發(fā)生改變所進行的測量，又稱復現(xiàn)性測量。常見的非等精度測量有以下兩種情況：

1、在相同的條件下，對同一被測量進行m組等精度測量，每組的測量次數(shù)不相同，為一非等精度測量列。