理論力學(xué)-第十三章達朗貝爾原理課件

第十三章達朗貝爾原理1§13–1達朗貝爾原理§13–2剛體慣性力系的簡化§13–3繞定軸轉(zhuǎn)動剛體的動約束力靜平衡和動平衡的概念第十三章達朗貝爾原理2第十三章達朗貝爾原理

法國科學(xué)家達朗貝爾（J.leRondd’Alembert)將適用于自由質(zhì)點的牛頓定律（第二定律）推廣至受約束質(zhì)點，并于1743年提出了受約束質(zhì)點動力學(xué)問題的一個原理—達朗貝爾原理。達朗貝爾原理為非自由質(zhì)點系動力學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。該原理提出一百多年后，后人引入了慣性力的概念，并應(yīng)用達朗貝爾原理中包含的用靜力學(xué)中研究平衡的方法研究動力學(xué)中不平衡問題的思想，將這一原理發(fā)展成求解非自由質(zhì)點系動力學(xué)問題的普遍而有效的方法，稱為動靜法。由于動靜法簡單有效，易于掌握，因此在工程技術(shù)中得到了廣泛應(yīng)用。3§13–1

達朗貝爾原理一、質(zhì)點的達朗貝爾原理

非自由質(zhì)點M，質(zhì)量m，受主動力，約束反力作用，加速度為根據(jù)牛頓第二定律：將上式移項定義：稱為慣性力得：質(zhì)點的慣性力的大小等于質(zhì)點的質(zhì)量與其加速度的乘積，方向與加速度的分向相反。4§13–1

達朗貝爾原理質(zhì)點的達朗貝爾原理：在質(zhì)點運動的任一瞬時，作用在質(zhì)點上的主動力、約束力和虛加的慣性力在形式上組成平衡力系。投影形式：注意：1、慣性力是虛加的，質(zhì)點并未受到慣性力作用。2、平衡力系只是形式上的平衡。5解：以小球為研究對象受力分析，Tmgα根據(jù)達朗伯原理這三個力在形式上組成平衡力系.有一圓錐擺,如圖所示，例1重9.8N的小球系于=30cm的繩上，繩的另一端系于固定點O并與鉛直線成=60，如小球在水平面內(nèi)作勻速圓周運動,求小球速度與繩的張力。6Tmgα解出：取上式在自然軸上的投影，有：7§13–1

達朗貝爾原理二、質(zhì)點系的達朗貝爾原理設(shè)有一質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成,對每一個質(zhì)點，有：

第i個質(zhì)點Mi，質(zhì)量mi，受主動力，約束反力作用，加速度為表示為力系形式：質(zhì)點系的達朗貝爾原理：在質(zhì)點系運動的任一瞬時，每個質(zhì)點所受的主動力、約束力和虛加的慣性力在形式上組成一平衡力系。8§13–1

達朗貝爾原理由于 ,將質(zhì)點系受力按內(nèi)力、外力劃分：（空間平衡力系：）（力系的主矢和對任意點的主矩分別為零）（內(nèi)力是大小相等，方向相反成對出現(xiàn)，所以內(nèi)力主矢和對任意點的主矩分別恒為零）9空間力系有六個獨立的平衡方程，§13–1

達朗貝爾原理平面力系，有三個獨立的平衡方程10§13–1

達朗貝爾原理例2、飛球調(diào)速器的主軸O1y1以勻角速度w轉(zhuǎn)動。試求調(diào)速器兩臂的張角a。設(shè)重錘C的質(zhì)量為m1，飛球A，B的質(zhì)量各為m2，各桿長均為l，桿重可以忽略不計。11§13–1

達朗貝爾原理圖12§13–1

達朗貝爾原理

當調(diào)速器穩(wěn)定運轉(zhuǎn)時，慣性力FG通過主軸且垂直于主軸，其大小為解：1、選小球為研究對象方向如圖示。應(yīng)用質(zhì)點動靜法，列出兩投影方程：2、選重錘C為研究對象，可簡化為一質(zhì)點，它在桿AC，BC的拉力和重力作用下平衡，由此求出13§13–1

達朗貝爾原理由此式可知，調(diào)速器兩臂的張角α與主軸轉(zhuǎn)動角速度ω有關(guān)。利用這個結(jié)果可以選擇m1，m2，l等參數(shù)量，使在某一轉(zhuǎn)速ω下，角α為某一值，從而可以求得重錘C的相應(yīng)位置，帶動調(diào)節(jié)裝置進行調(diào)速。

以F1值代入前兩式，可解出14§13–2

剛體慣性力系的簡化剛體內(nèi)各質(zhì)點的慣性力形成了一個連續(xù)分布的慣性力系，可利用力系簡化的方法進行簡化。一、回顧力系簡化的方法F1F2FnM1M2Mn1、選定簡化中心，利用力的平移定理將力系中各力移至簡化中心15§13–2

剛體慣性力系的簡化FMO合力：過匯交點，合力偶2、空間任意力系F1F2FnM1M2Mn16§13–2

剛體慣性力系的簡化將虛加在剛體上的慣性力系視作力系向剛體上任一點O簡化而得到一個慣性力系的主矢和一個慣性力偶

即主矩

無論剛體作什么運動，慣性力系主矢都等于剛體質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積，方向與質(zhì)心加速度方向相反。主矩隨剛體作不同形式的運動而不同。17§13–2

剛體慣性力系的簡化二、剛體作平動向質(zhì)心C簡化：主矢：結(jié)論：剛體平動時慣性力系簡化為通過質(zhì)心C的一合力。1、每一瞬時剛體內(nèi)各質(zhì)點加速度相同，都等于質(zhì)心的加速度，故每個質(zhì)點的慣性力都向重力一樣平行。18§13–2

剛體慣性力系的簡化2、主矩：剛體上有一質(zhì)點，質(zhì)量為m,它相對與質(zhì)心C的矢徑，則慣性力系對質(zhì)心的主矩為結(jié)論：剛體作平動時，慣性力系對質(zhì)心C的主矩為零。19§13–2

剛體慣性力系的簡化三、剛體作定軸轉(zhuǎn)動討論具有質(zhì)量對稱平面且轉(zhuǎn)軸垂直于質(zhì)量對稱平面的情況。（剛體的空間慣性力系投影在對稱平面內(nèi)的平面力系，再將此平面力系向O點簡化，O點為質(zhì)量對稱平面與轉(zhuǎn)軸Z的交點。）直線i

:平動，過Mi點，慣性力系為空間慣性力系平面慣性力系（質(zhì)量對稱面）20§13–2

剛體慣性力系的簡化向轉(zhuǎn)軸O點簡化：主矢：平面上任一點法向力對O點取矩均為零（力過O點），主矩：21§13–2

剛體慣性力系的簡化剛體定軸轉(zhuǎn)動時慣性力系可合成為一個力和一個力偶，該力通過簡化中心O，其大小等于慣性力系的主矢，

方向和質(zhì)心加速度方向相反。該力偶的力偶矩等于慣性力系對軸O的主矩，大小為，方向與角加速度轉(zhuǎn)向相反。

慣性力系對轉(zhuǎn)軸O的主矩等于剛體對軸O的轉(zhuǎn)動慣量與角加速度的乘積，方向與角加速度的方向相反。22§13–2

剛體慣性力系的簡化四、剛體作平面運動假設(shè)剛體具有質(zhì)量對稱平面，并且平行于該平面作平面運動。此時，剛體的慣性力系可先簡化為對稱平面內(nèi)的平面力系。剛體平面運動可分解為隨基點（質(zhì)點C）的平動：繞通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動：

作用于質(zhì)心23§13–2

剛體慣性力系的簡化例3、圖為一電動卷揚機構(gòu)的示意圖。已知起動時電動機的平均驅(qū)動力矩為M，被提升重物的質(zhì)量為m1，鼓輪質(zhì)量為m2，半徑為r，它對中心的回轉(zhuǎn)半徑為ρO。試求起動時重物的平均加速度a和此時軸承O的動約束力。xyαMrm1gaOm2g24§13–2

剛體慣性力系的簡化圖25§13–2

剛體慣性力系的簡化解：一、選整體為研究對象二、受力分析三、運動分析xyαMrm1gaOm2gFOxFOy四、虛加慣性力FGMGC五、由動靜法，列平衡方程26§13–2

剛體慣性力系的簡化解得：xyαMrm1gaOm2gFOxFOyFGMGC27§13–2

剛體慣性力系的簡化例4、車輛的主動輪如圖所示。設(shè)輪的半徑為r，重為W1(W1=mg)，在水平直線軌道上運動。車身對輪子的作用力可分解為W和F，驅(qū)動力偶矩為M。車輪對通過其質(zhì)心并垂直于車輪對稱面的軸的回轉(zhuǎn)半徑為ρC，輪與軌道間的滑動摩擦系數(shù)為fs，不計滾動摩阻的影響。求在不滑動條件下，驅(qū)動力偶矩M的最大值。

xyOCAaMW1FW28§13–2

剛體慣性力系的簡化xyOCAaMW1FW一、選車輪為研究對象二、受力分析三、運動分析四、虛加慣性力五、由動靜法，列平衡方程FNFsMGCFG29§13–2

剛體慣性力系的簡化xyOCAaMW1FWFNFsMGCFG再利用Fs≤fsFN的條件，可得可解得:≤30§13–2

剛體慣性力系的簡化例5、均質(zhì)圓盤質(zhì)量為mA，半徑為r。細長桿長l=2r，質(zhì)量為m。桿端A點與輪心為光滑鉸接，如圖所示。如在A處加一水平拉力F，使輪沿水平面滾動。問F力多大能使桿的B端剛剛離開地面？又為保證純滾動，輪與地面間的靜滑動摩擦系數(shù)應(yīng)為多大？

mAgmgFABC圖31§13–2

剛體慣性力系的簡化細桿剛離地面時仍為平動，而地面約束力為零，設(shè)其加速度為a。以桿為研究對象，桿承受的力并加上慣性力如圖所示，其中FGC=ma。整個系統(tǒng)承受的力并加上慣性力如圖，其中FGA=mAa,由系統(tǒng)得解出ABCFGCmgFAxFAya解：按動靜法列出方程(AB桿件）mAgmgFABCFGCFGAMGFNFs圓盤A32§13–2

剛體慣性力系的簡化mAgmgFABCFGCFGAMGFNFs由方程，得地面摩擦力解得≤mAgFAFNFGAMGFs再以整個系統(tǒng)為研究對象，由方程，得由此，地面摩擦系數(shù)≥33例6、半徑為R，重量為W1的大圓輪，由繩索牽引，在重量為W2的重物A的作用下，在水平地面上作純滾動，系統(tǒng)中的小圓輪重量忽略不計。求大圓輪與地面之間的滑動摩擦力。AOCW1W2R§13–2

剛體慣性力系的簡化34解：考察整個系統(tǒng)，有4個未知約束力。如果直接采用動靜法，需將系統(tǒng)拆開。因為系統(tǒng)為一個自由度，所以考慮先應(yīng)用動能定理，求出加速度，再對大圓輪應(yīng)用動靜法。1.應(yīng)用動能定理。AOCW1W2RFFNFOxFOy§13–2

剛體慣性力系的簡化35兩邊對時間t求導(dǎo)，且得AOCW1W2RFFNFOxFOy§13–2

剛體慣性力系的簡化362.應(yīng)用動靜法。取輪子為研究對象。CFFNJCαW1a將帶入上式得FOxAOCW1W2RFFNFOy§13–2

剛體慣性力系的簡化37§13–2

剛體慣性力系的簡化例6、用長l

的兩根繩子AO

和BO把長l，質(zhì)量是m的勻質(zhì)細桿懸在點O(圖a

)。當桿靜止時，突然剪斷繩子BO

，試求剛剪斷瞬時另一繩子AO

的拉力。OlllBAC圖38

繩子BO剪斷后，桿AB將開始在鉛直面內(nèi)作平面運動。由于受到繩OA的約束，點A將在鉛直平面內(nèi)作圓周運動。在繩子BO剛剪斷的瞬時，桿AB上的實際力只有繩子AO的拉力F和桿的重力mg。解：在引入桿的慣性力之前，須對桿作加速度分析。取坐標系A(chǔ)xyz如圖(c)所示。aA

=anA

+atA=aCx+aCy+atAC

+anACOllBACmgFθ（b）OxyαBACθ（c）利用剛體作平面運動的加速度合成定理，以質(zhì)心C作基點，則點A的加速度為§13–2

剛體慣性力系的簡化39在繩BO剛剪斷的瞬時，桿的角速度ω

=0，角加速度α

≠0。因此又anA=0，加速度各分量的方向如圖(c)所示。把aA投影到點A軌跡的法線AO上，就得到anAC

=AC·ω2=0atAC=lα／2這個關(guān)系就是該瞬時桿的運動要素所滿足的條件。即（1）（b）（c）OxyαBACθOllBACmgFθ（b）（c）§13–2

剛體慣性力系的簡化40桿的慣性力合成為一個作用在質(zhì)心的力F*C

和一個力偶M*C

，兩者都在運動平面內(nèi)，F(xiàn)*C的兩個分量大小分別是F*Cx=maCx,F*Cy=maCy力偶矩M*C的大小是M*C=JCz′α旋向與α相反(如圖b)。OxyαBACθOllBACmgFθxy（b）（c）§13–2

剛體慣性力系的簡化41由動靜法寫出桿的動態(tài)平衡方程，有且對于細桿,JCz′=ml2／12。聯(lián)立求解方程(1)～(4)，就可求出（2）（3）（4）OxyαBACθOllBACmgFθxy§13–2

剛體慣性力系的簡化42例7、如圖所示，設(shè)已知飛輪輪緣速度為v，飛輪單位體積的質(zhì)量為ρ，飛輪平均半徑為R，輪緣截面積為A。試求輪緣中由于轉(zhuǎn)動引起的動應(yīng)力。vω(a)§13–2

剛體慣性力系的簡化43應(yīng)用質(zhì)點系動靜法，由平衡方程作為初步分析，只考慮由于輪緣轉(zhuǎn)動所引起的動應(yīng)力，不考慮輪輻的影響，把飛輪初步簡化為一半徑為R的園環(huán)。在計算由于飛輪轉(zhuǎn)動而引起的內(nèi)力時，截取半個飛輪。半園環(huán)的慣性力分布情況如圖所示。其中dθ表示輪緣單元體積所對應(yīng)的輻角，A為輪緣的截面面積。vω(a)解：對應(yīng)于微小單元質(zhì)量dm的慣性力可表示為xyFFRθdθdFx*dFy*dF*(b)O§13–2

剛體慣性力系的簡化44得式中dFy*表示微元的慣性力dF*在y軸上的投影，代入dF*表達式得vω(a)xyFFRθdθdFx*dFy*dF*(b)O§13–2

剛體慣性力系的簡化45則可解出輪緣極限速度。其中v為飛輪輪緣的線速度。設(shè)輪緣厚度遠小于半徑R，截面拉應(yīng)力可視為均勻分布，故輪緣的拉應(yīng)力σt為在設(shè)計時，拉應(yīng)力σt不應(yīng)超過材料的許用應(yīng)力。令vω(a)xyFFRθdθdFx*dFy*dF*(b)O§13–2

剛體慣性力系的簡化46例8、飛輪質(zhì)量為m，半徑為R，以勻角速度ω轉(zhuǎn)動。設(shè)輪緣較薄，質(zhì)量均勻分布，輪輻質(zhì)量不計。若不靠考慮重力的影響，求輪緣橫截面的張力?！?3–2

剛體慣性力系的簡化47取四分之一輪緣為研究對象，如圖所示。將輪緣分成無數(shù)微小的弧段，每段加慣性力建立平衡方程令，有xyθ?θRABOFAFB解：§13–2

剛體慣性力系的簡化48由于輪緣質(zhì)量均分布，任一截面張力都相同。再建立平衡方程同樣解得xyθ?θRABOFAFB§13–2

剛體慣性力系的簡化49例9、質(zhì)量為m，長l

的勻質(zhì)細直桿AB

，其A

端鉸接在鉛直軸Az上，并以勻角速度ω繞該軸轉(zhuǎn)動。求當AB

與轉(zhuǎn)軸間