彈性力學第八章課件

第八章空間問題的解答第五節(jié)等截面直桿的扭轉(zhuǎn)第四節(jié)按應(yīng)力求解空間問題第六節(jié)扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬第七節(jié)橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)第八節(jié)矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)§8－4按應(yīng)力求解空間問題按應(yīng)力求解空間問題的方法：按應(yīng)力求解2.

其他未知函數(shù)用應(yīng)力表示:1.

取σx…

τyz…為基本未知函數(shù)。

按應(yīng)力求解通常只能解全部為應(yīng)力邊界條件的問題3.

在V內(nèi)導(dǎo)出求應(yīng)力的方程

:從幾何方程消去位移，導(dǎo)出6個相容方程：（2）相容方程（6個）:（1）平衡微分方程（3個）。V內(nèi)方程利用物理方程，得用應(yīng)力表示的相容方程。應(yīng)力邊界條件當體力為常量時，即為應(yīng)力邊界條件（1）V內(nèi)的3個平衡微分方程；其中：(1),(3)是靜力平衡條件；(2),(4)是位移連續(xù)條件。按應(yīng)力求解歸納為,應(yīng)力分量應(yīng)滿足：按應(yīng)力求解歸納（4）對于多連體，還應(yīng)滿足位移單值條件。（3）上的3個應(yīng)力邊界條件（假設(shè)全部為應(yīng)力邊界條件）；（2）V內(nèi)的6個相容方程；（2）形變滿足相容方程,對應(yīng)的位移存在且連續(xù)物體保持連續(xù)；形變不滿足相容方程,對應(yīng)的位移不存在,物體不保持連續(xù)。（1）物體滿足連續(xù)性條件,導(dǎo)出形變和位移之間的幾何方程,導(dǎo)出相容方程。對于相容方程說明如下：相容方程說明所以相容方程是位移的連續(xù)性條件。（3）相容方程的導(dǎo)出及對(2)的證明，可參見有關(guān)書籍。例如：（4）相容方程必須為6個。相容方程和平衡微分方程的數(shù)目大于未知函數(shù)的數(shù)目，是由于微分方程提高階數(shù)所需要的。式是由方程提高階數(shù)得出的，但式增加的解不是原式的解。幾何方程中，形變?yōu)?階導(dǎo)數(shù)；但在相容方程中形變以2階導(dǎo)數(shù)出現(xiàn)。因為微分方程提高階數(shù)會增加解答，所以增加的方程數(shù)目正好用來消去增加的解答。在按應(yīng)力求解空間問題中，力學家提出了幾種應(yīng)力函數(shù)，用來表示應(yīng)力并簡化求解的方程。應(yīng)力函數(shù)應(yīng)用這些應(yīng)力函數(shù)，也已求出了一些空問題之解。但這些應(yīng)力函數(shù)不具有普遍性（不是普遍存在的）。

扭轉(zhuǎn)問題也是空間問題的一個特例?！?-5等截面直桿的扭轉(zhuǎn)根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的特性來簡化空間問題，就建立了扭轉(zhuǎn)問題的基本理論（1854-1856年，圣維南）。扭轉(zhuǎn)問題（1）等截面柱體；（2）無體力作用，（3）柱體側(cè)面無面力作用，柱體上,下端面的面力，合成一對力矩M。扭轉(zhuǎn)問題的提出:只有，采用半逆解法：由材料力學關(guān)于圓軸扭轉(zhuǎn)的結(jié)論，只有橫截面上有切應(yīng)力，故設(shè)解為1、滿足平衡微分方程由可知，一定存在一個函數(shù)，使得因此得到滿足平衡微分方程的解由此得出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)應(yīng)滿足的方程：2.滿足相容方程，前三式和第六式自然滿足，其余兩式成為即C為待定常數(shù)。相容方程而得3.滿足側(cè)面邊界條件前兩式自然滿足，第三式成為邊界條件因在S上為常數(shù)。又由于中的常數(shù)不影響應(yīng)力，所以得的側(cè)面邊界條件為4、滿足上端面（z=0）的邊界條件。在小邊界z=0上，應(yīng)用圣維南原理，有在z=0負面上，只有。其中

條件自然滿足，而其余3個條件為前兩式自然滿足，而由后一式得出關(guān)于的端面邊界條件為（1）A內(nèi)方程（2）側(cè)面S上邊界條件（3）端面上邊界條件

扭轉(zhuǎn)問題歸納為求一個扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，

應(yīng)滿足：歸納注解：（3）扭轉(zhuǎn)問題中的變量為x,y,仍屬于二維問題。（2）空間問題按應(yīng)力求解的全部條件均已考慮并滿足。（1）另一端面上的邊界條件自然滿足。求位移分量：根據(jù)上面的應(yīng)力，代入物理方程，可以求出對應(yīng)的形變；再代入幾何方程，并進行積分，求出對應(yīng)的位移為其中，為單位桿件長度的扭角。求位移并且還得出對比式（e），得出常數(shù)C的物理意義，§8－6扭轉(zhuǎn)問題的薄膜比擬對于物理現(xiàn)象不同，但數(shù)學描述相同的問題，可以應(yīng)用數(shù)學比擬方法來求解。薄膜問題—設(shè)有一薄膜，張在水平邊界上，并受到氣體的壓力q。薄膜斜率在面分別為薄膜斜率在面分別為薄膜只能承受均勻拉力，不能承受彎矩，扭矩，剪力和壓力。取出一個微小單元abcd,各邊上的作用力均為，但薄膜的斜率不同：薄膜問題平衡條件：得出薄膜垂度z的方程：薄膜在x，y向斜率為薄膜與邊界平面（xy面）之間的2倍體積是薄膜的邊界條件：薄膜比擬扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題未知函數(shù)A內(nèi)方程從數(shù)學上看，薄膜問題和扭轉(zhuǎn)問題的數(shù)學方程相同，比較如下：邊界條件邊界條件切應(yīng)力/斜率扭轉(zhuǎn)問題薄膜問題于是求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的問題，可以化為求薄膜垂度z的問題：只要使M對應(yīng)于2V，則薄膜比擬的應(yīng)用：（3）通過薄膜比擬,提出扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)的假設(shè)。（2）通過薄膜比擬,直接求解薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)問題。（1）通過薄膜比擬試驗,求解扭轉(zhuǎn)問題。扭轉(zhuǎn)問題已歸結(jié)為求扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，應(yīng)滿足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,§8－7橢圓截面桿的扭轉(zhuǎn)求φ的條件橢圓截面桿受M的扭轉(zhuǎn)，可以由式(a),(b),(c)求解。

1.為了滿足式(b)，可取在橢圓邊界上橢圓截面桿2.將式(d)代入(a)，解出3.再將式(d)及(e)代入式(c)，求出從而得出求出單位長度桿件的扭角：z向的位移為可見橫截面不保持為平面。只有當a=b的圓截面時，w=0，才保持為平面。對于的狹矩形截面，從薄膜比擬來看,在邊界條件中，長邊上應(yīng)嚴格滿足§8－8矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)而短邊(x=±a/2)是次要的，可忽略。狹矩形截面桿1.

狹矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

（2）在方程中，應(yīng)主要考慮y向的導(dǎo)數(shù)，而可忽略x向的導(dǎo)數(shù)，所以由式和，可得可簡化為（3）將代入求出所以狹矩形桿的解答為矩形截面桿2.一般矩形截面桿的扭轉(zhuǎn)

以狹矩形桿解答為基礎(chǔ)，再迭加一個修正解的方法,進行求解：應(yīng)滿足條件是由上式可導(dǎo)出F應(yīng)滿足的條件:書中列出了簡化的結(jié)果，見式（8-34）和（8-35）。3.

薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)（2）從薄膜比擬可見，當狹矩形的a,b相同時，直線形和曲線形截面的薄膜是相似的，它們的相同。（1）薄壁桿件截面都是狹矩形

可以直接引用式的解答。薄壁桿件（3）對于若干個狹矩形組成的構(gòu)件，b.總扭矩是各個截面的扭矩之和，由此解出a.各個截面的扭角相同，（4）閉口薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)設(shè)閉口薄壁桿的厚度為，中心線長為s，中心線包圍的面積為A.應(yīng)用薄膜比擬，取外邊界上，則內(nèi)邊界上的不能再任意選擇，應(yīng)取，如圖，相當于有一塊無重鋼板懸掛于邊界上。由薄膜比擬：扭矩解出切應(yīng)力yxozxzoyq

hs(b)開口薄壁桿件(a)閉口薄壁桿件由此得出切應(yīng)力其中，代入得為了求扭角K,可考慮內(nèi)邊界上無重鋼板的平衡條件：