向量與圓錐曲線

向量與圓錐曲線

圓錐曲線向量與圓錐曲線的關(guān)系可以用以下三種形式表示：1.當(dāng)AP=λPB時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B在橢圓上，且P在它們的連線上。2.當(dāng)PA=λPQ，PB=λPQ時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B在雙曲線上，且P和Q在它們的連線上。3.當(dāng)OM=λOA+μOB時(shí)，點(diǎn)M在圓上，且O、A、B、M四點(diǎn)共面。例如，對于已知的橢圓x^2/11+y^2/53=1，點(diǎn)N(-2,0)滿足NA=λNB，求斜率在什么范圍內(nèi)時(shí)，點(diǎn)A和點(diǎn)B在橢圓上。解法：將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入橢圓方程，得到NA和NB的關(guān)系式，進(jìn)而得到λ的表達(dá)式。然后利用橢圓的性質(zhì)，將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出橢圓的參數(shù)，進(jìn)而求出斜率的取值范圍。對于已知的拋物線y=4x，過拋物線的焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，交準(zhǔn)線l于點(diǎn)M，已知MA=λAF，MB=λBF，求λ1+λ2的值。解法：將直線方程代入拋物線方程，得到A和B的坐標(biāo)表達(dá)式，進(jìn)而得到λ1和λ2的表達(dá)式。然后利用拋物線的性質(zhì)，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出λ1+λ2的值。對于已知的橢圓x+3y=3b，斜率為1且過右焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)M為橢圓上任一點(diǎn)，且OM=λOA+μOB，求λ+μ的值。解法：將直線方程代入橢圓方程，得到A和B的坐標(biāo)表達(dá)式，進(jìn)而得到λ和μ的表達(dá)式。然后將M的坐標(biāo)表達(dá)式代入橢圓方程，得到關(guān)于λ和μ的方程，進(jìn)而求得λ+μ的值。方法總結(jié)：1.若能得到x1=λx2，則構(gòu)造出兩根之和與兩根之積，消去得λ的表達(dá)式，再利用韋達(dá)定理應(yīng)用。2.若PA=λ1PQ，PB=λ2PQ，則可以用A、B的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)來表示λ1和λ2，當(dāng)λ1和λ2滿足一定的關(guān)系時(shí)，進(jìn)一步用韋達(dá)定理作整體代換。3.直線與圓錐曲線相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M滿足OM=λOA+μOB，用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示M，如果M在曲線上，則將M的坐標(biāo)表達(dá)式代入曲線方程，如果M沒有在曲線上，則必須把M的坐標(biāo)表達(dá)式構(gòu)造成曲線方程的形式進(jìn)行處理。課后練習(xí)：1.已知定點(diǎn)M(2,3)，若過點(diǎn)M的直線l（斜率不為零）與橢圓x^2/9+y^2/4=1在點(diǎn)M、F之間交于點(diǎn)E（3，2），記λ=ΔOME，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍。2.橢圓x^2/4+y^2/2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-c,0)和F2(c,0)，過點(diǎn)E(3c,2)的直線與橢圓交于點(diǎn)A和點(diǎn)B兩點(diǎn)，且F1A//F2B，|F1A|=2|F2B|，求直線AB的斜率。3.已知拋物線y=4x，過點(diǎn)M(1,2)的直線l與拋物線交于點(diǎn)A和點(diǎn)B兩點(diǎn)，且直線l與x軸交于點(diǎn)C，設(shè)MA=αAC，MB=βBC，試問α+β是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請說明理由。轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，是否存在OP=OA+OB？如果存在，求出所有P的坐標(biāo)和直線l的方程；如果不存在，請說明理由。二.面積計(jì)算在求解圓錐曲線中三角形的面積時(shí)，關(guān)鍵在于選擇三角形面積公式。例1.如圖，點(diǎn)M(1,1)是拋物線C:y=x上的一點(diǎn)，點(diǎn)A、B是C上的兩點(diǎn)，線段AB被直線OM平分且P(1,2)，求△ABP面積的最大值。2.已知直線l與橢圓(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1交于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn)，已知m=(ax1,by1)、n=(ax2,by2)，且(e=√(3)/3)，若m⊥n且橢圓經(jīng)過點(diǎn)(3,1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請證明；如果不是，請說明理由。3.已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓x+3y=4上，對角線BD所在直線的斜率為1。(1)當(dāng)直線BD過點(diǎn)(2,1)時(shí)，求直線AC的方程；(2)當(dāng)∠ABC=60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值。4.如圖，點(diǎn)P(2,-1)是橢圓C1:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn)，橢圓C2:x^2+y^2=4的長軸是圓C2:x^2+y^2=4的長軸是圓C2:x^2+y^2=4。直線l1、l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于兩點(diǎn)D、O，(1)求橢圓C1的方程；(2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程。三．切線問題1.如圖，設(shè)橢圓C:(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)動(dòng)直線l與橢圓C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且點(diǎn)P在第一象限。(1)已知直線l的斜率為k，用a、b、k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b。2.如圖，已知拋物線C1:y=5x^2，圓C2:(x-1)^2+y^2=1，過點(diǎn)P(2,0)作不過原點(diǎn)O的直線PA、PB分別與拋物線C1和圓C2相切，A、B為切點(diǎn)。(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；(2)求△PAB的面積。3.已知橢圓C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為(5,0)，離心率為e。求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程。2.若動(dòng)點(diǎn)P(x,y)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程。解：設(shè)橢圓C的方程為$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，則點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線分別為$\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1$和$\frac{xx_2}{a^2}+\frac{yy_2}{b^2}=1$，其中$(x_1,y_1)$和$(x_2,y_2)$是橢圓上與點(diǎn)P相切的點(diǎn)。由于兩條切線相互垂直，因此它們的斜率之積為$-1$，即$\frac{y_1}{x_1}\cdot\frac{y_2}{x_2}=-\frac{b^2}{a^2}$。又因?yàn)辄c(diǎn)P在兩條切線上，因此有$\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1$和$\frac{xx_2}{a^2}+\frac{yy_2}{b^2}=1$，聯(lián)立這兩個(gè)方程并消去$x$，得到$y=\pm\frac{ab}{\sqrt{a^2y^2+b^2x^2}}$，即$x^2y^2=a^2b^2-a^2y^2-b^2x^2$，這就是點(diǎn)P的軌跡方程。4.如圖，設(shè)拋物線方程為$x^2=2py(p>0)$，M為直線$y=-2p$上任意一點(diǎn)，過M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B。(1)求證：A，M，B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列。解：設(shè)M的橫坐標(biāo)為$t$，則其縱坐標(biāo)為$-2p$。由于直線$y=-2p$與拋物線$x^2=2py(p>0)$相交于點(diǎn)$(2pt,-2p)$，因此點(diǎn)M在拋物線上的坐標(biāo)為$(t,t^2/2)$。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為$(a,a^2/2)$，則其切線方程為$y=ax-a^2/2$，聯(lián)立拋物線方程$x^2=2py(p>0)$，解得切點(diǎn)坐標(biāo)為$(a,a^2/2)$。同理，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為$(b,b^2/2)$，則其切線方程為$y=bx-b^2/2$，聯(lián)立拋物線方程$x^2=2py(p>0)$，解得切點(diǎn)坐標(biāo)為$(b,b^2/2)$。由于A，M，B三點(diǎn)在同一條直線上，因此它們的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，即$b-t=t-a$。(2)已知當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，AB=410，求此時(shí)拋物線的方程。解：當(dāng)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-2p）時(shí)，有$t=2$，因此根據(jù)題目中的結(jié)論，可得$a=2-4\sqrt{2}$，$b=2+4\sqrt{2}$。由于AB=410，因此有$\sqrt{(a-b)^2+(a^2-b^2)^2}=4p=16\sqrt{2}$，解得$p=2\sqrt{2}$。代入拋物線方程$x^2=2py(p>0)$，得到$x^2=16y$，即拋物線的方程為$y=x^2/16$。(3)是否存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)C關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)D在拋物線$x=2py(p>0)$上，其中，點(diǎn)C滿足$OC=OA+OB$（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）。若存在，求出所有適合題意的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解：設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為$(c,c^2/2)$，則根據(jù)題意有$OC=\sqrt{c^2+(c^2/2)^2}$，$OA=\sqrt{(a-c)^2+[(a^2/2)-(c^2/2)]^2}$，$OB=\sqrt{(b-c)^2+[(b^2/2)-(c^2/2)]^2}$。代入$OC=OA+OB$，整理得$c=\frac{a+b}{2}$，即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為$(a+b)/2$。由于AB=410，因此有$b-a=410$，代入$c=\frac{a+b}{2}$，得到$c=205$。設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為$(d,d^2/2)$，則點(diǎn)D關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為$(a+b-d,d^2/2)$。由于點(diǎn)D在拋物線$x=2py(p>0)$上，因此有$(a+b-d)^2=8pd$，即$d^2-(a+b+8p/3)d+(a+b)^2/9=0$。解得$d=a+b+8p/3\pm\frac{2p}{3}\sqrt{10}$。代入$a=2-4\sqrt{2}$，$b=2+4\sqrt{2}$，$p=2\sqrt{2}$，得到$d=-4\sqrt{2},\frac{16\sqrt{2}}{3}$。因此存在兩個(gè)點(diǎn)M，分別為$(2,-2p)$和$(16/3,16/3)$。7.如圖，已知拋物線$x=4y$的焦點(diǎn)為F，A，B是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且$AF=\lambdaFB(\lambda>1)$，過A，B兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M，證明$FM\cdotAB$為定值。解：設(shè)拋物線的方程為$x=4y$，則其焦點(diǎn)為$(0,1)$。設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為$(t,t/4)$，則其切線方程為$y=tx-t/4$，聯(lián)立拋物線方程$x=4y$，解得切點(diǎn)坐標(biāo)為$(4t,t)$。同理，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為$(s,s/4)$，則其切線方程為$y=sx-s/4$，聯(lián)立拋物線方程$x=4y$，解得切點(diǎn)坐標(biāo)為$(4s,s)$。設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為$(p,q)$，則有$q=tp-t/4$和$q=sp-s/4$，解得$p=(t+s)/2$，$q=(t+s)/8$。設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為$(0,f)$，則有$f=1/4$。由于$AF=\lambdaFB(\lambda>1)$，因此有$t=\lambdas$。設(shè)線段AB的長度為$l$，則有$l=\sqrt{(t-s)^2+(t/4-s/4)^2}=s\sqrt{17\lambda^2-16}$。設(shè)線段FM的長度為$d$，則有$d=\sqrt{(p-f)^2+(q-1)^2}=\sqrt{(t+s)^2/16+(1/8-1)^2}=\sqrt{(17\lambda^2-16)/16}$。因此有$FM\cdotAB=d\cdotl=s\sqrt{(17\lambda^2-16)/16}\cdots\sqrt{17\lambda^2-16}=s^2(17\lambda^2-16)/4$，是一個(gè)定值。1.例1：過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P,A兩點(diǎn)，其中P在第一象限。過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線的斜率為k，求證：對任意k>0，PA垂直于PB。2.例2：已知A,B分別為曲線C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(y≥0)與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，直線l過點(diǎn)B，且與x軸垂直，S為l上異于點(diǎn)B的一點(diǎn)，連結(jié)AS交曲線C于點(diǎn)T.點(diǎn)M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點(diǎn)，試問：是否存在a，使得O,M,S三點(diǎn)共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由。3.例3：已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1，過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H，是否存在m，使得對任意的k>0，都有PQ垂直于PH？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。4.例4：已知橢圓的方程為C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，A,B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，M為平面上一動(dòng)點(diǎn)且滿足OM=λOA+μOB，則有如下的框架圖（已知任意兩個(gè)，可以推出第三個(gè)）：OA·OB/b^2=-λ/2a^2，λ^2+μ^2=1，M在橢圓上。5.例1：已知橢圓的方程為C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)，A,B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，M為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)且OM=λOA+μOB且λ+μ=1，證明：OA·OB/b^2=-λ/2a^2。6.例2：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足OP=OM+2ON，其中M,N是橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-1，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。7.橢圓中的垂直問題：已知橢圓C：x^2/a^2+y^2/b^2=1，過點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓C分別交于A,B兩點(diǎn)，過O作直線AB的垂線，求點(diǎn)D的軌跡方程。8.例2：求t∈(0,b)使得下述命題成立：設(shè)圓x^2+y^2=t^2上任意點(diǎn)M(x,y)處的切線交橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1于Q1,Q2兩點(diǎn)，則OQ1⊥OQ2。1.給定圖形，要求判斷直線l是否存在使得AP·PB=1成立，若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由?？紤]利用點(diǎn)乘的性質(zhì)，即AP·PB=|AP||PB|cos∠APB，其中|OP|=1，因此∠APB=90°時(shí)，AP·PB=1，即要求直線l與n垂直。又因?yàn)閘與橢圓C相交于P點(diǎn)，且l與n垂直，因此可以利用橢圓C的性質(zhì)求出直線l的方程。2.給定橢圓中的兩點(diǎn)P,Q，滿足OP⊥OQ，問是否存在類似直角三角形的結(jié)論。可以利用向量數(shù)量積的性質(zhì)將夾角問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積問題，然后根據(jù)數(shù)量積的定義和三角函數(shù)的關(guān)系，得到類似的結(jié)論，即當(dāng)∠POQ≠90°時(shí)，不存在類似的直角三角形。3.給定拋物線上的兩點(diǎn)A,B，要求證明對任意非零實(shí)數(shù)m，拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)在以重心為直徑的圓外?？梢岳脪佄锞€的幾何性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為求證線段GH為直徑的圓與x軸的交點(diǎn)在準(zhǔn)線的外部。然后利用幾何分析和代數(shù)計(jì)算，證明該結(jié)論成立。4.給定拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)A,B，要求證明直線AB恒過定點(diǎn)(2p,)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。可以利用拋物線的性質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為求證OA·OB=-4時(shí)，直線AB過定點(diǎn)(2p,)。然后利用向量的性質(zhì)和代數(shù)計(jì)算，證明該結(jié)論成立，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。已知拋物線y=4x，過點(diǎn)M(1,2)作兩直線l1,l2分別與拋物線交于A,B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且l1,l2的斜率k1,k2滿足k1k2=2，證明直線AB過定點(diǎn)。首先，我們可以求出點(diǎn)M到拋物線的切線方程y=4x-2。由于l1與拋物線交于A點(diǎn)，所以l1的斜率為k1=4x1-2，同理可得k2=4x2-2。根據(jù)題目條件，k1k2=2，即(4x1-2)(4x2-2)=2，化簡得2x1x2-x1-x2+1=0，即(x1-1)(x2-1)=\frac{1}{2}。接下來，我們考慮證明直線AB過定點(diǎn)。設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，其中k為斜率，b為截距。由于A、B兩點(diǎn)在直線上，所以有y1=kx1+b，y2=kx2+b。將x1和x2表示