2023年湖北省襄陽市?？悼h中考數(shù)學模擬試卷(含解析)

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一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其序號在答題卡上涂黑作答.

1．（3分）4的平方根是（）

A．2B．±2C．D．﹣2

2．（3分）如圖所示的幾何體是由一些相同的正方體組合而成的立體圖形，則這個幾何體的主視圖是（）

A．B．C．D．

3．（3分）彩民李大叔購買1張彩票，中獎．這個事件是（）

A．必然事件B．確定性事件C．不可能事件D．隨機事件

4．（3分）下列計算正確的是（）

A．a(chǎn)5+a5＝a10B．﹣3（a﹣b）＝b﹣3a

C．（mn）﹣3＝mn﹣3D．a(chǎn)6÷a2＝a4

5．（3分）如圖，將一塊三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，當∠2＝37°時，∠1的度數(shù)為（）

A．37°B．43°C．53°D．54°

6．（3分）將四個數(shù)字看作一個圖形，則下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）

A．B．

C．D．

7．（3分）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（）

A．B．C．D．

8．（3分）函數(shù)和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（）

A．B．

C．D．

9．（3分）隨著5G網(wǎng)絡技術的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術前多生產(chǎn)30萬件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相同．設更新技術前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，依題意得（）

A．＝B．＝

C．＝D．＝

10．（3分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：

①a+b+c＝0；

②b＞2a；

③ax2+bx+c＝0的兩根分別為﹣3和1；

④c＝﹣3a，

其中正確的命題是（）

A．①②B．②③C．①③D．①③④

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）把答案填在答題卡的相應位置上.

11．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是．

12．（3分）截止2022年底，中國經(jīng)濟總量已經(jīng)突破120萬億元，其中120萬億用科學記數(shù)法表示為元．

13．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D＝50°，則∠CAB的度數(shù)為．

14．（3分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，若EF＝5，則菱形ABCD的周長為．

15．（3分）如圖，矩形OABC的面積為，對角線OB與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）相交于點D，且OB：OD＝5：3，則k的值為．

16．（3分）如圖，平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO，CO分別在x軸，y軸上，A點的坐標為（﹣8，6），點P在矩形ABOC的內(nèi)部，點E在BO邊上，滿足△PBE∽△CBO，當△APC是等腰三角形時，P點坐標為．

三、解答題（本大題共9個小題，共72分）解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對應的答題區(qū)域內(nèi).

17．（6分）先化簡，再求值：，其中．

18．（6分）如圖，某數(shù)學興趣小組想測量一棵樹CD的高度，他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達B點，在B處測得樹頂C的仰角高度為60°（A、B、D三點在同一直線上）．請你根據(jù)他們測量數(shù)據(jù)計算這棵樹CD的高度（結果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）

19．（6分）為了響應市政府創(chuàng)建文明城市的號召，某校調(diào)查學生對市“文明公約十二條”的內(nèi)容了解情況，隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，問卷共設置“非常了解”、“比較了解”、“一般了解”、“不了解”四個選項，分別記為A、B、C、D，根據(jù)調(diào)查結果繪制了如圖尚不完整的統(tǒng)計圖．

請解答下列問題：

（1）本次問卷共隨機調(diào)查了名學生，扇形統(tǒng)計圖中C選項對應的圓心角為度；

（2）請補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若該校有1200名學生，試估計該校選擇“不了解”的學生有多少人？

20．（7分）關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．

（1）求實數(shù)k的取值范圍．

（2）若方程兩實根x1，x2滿足|x1|+|x2|＝x1x2，求k的值．

21．（6分）如圖，△ABC為銳角三角形．

（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖（尺規(guī)作圖）：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥DA；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．

22．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D點，連接CD．

（1）求證：∠A＝∠BCD；

（2）若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．

23．（10分）為拓展學生視野，促進書本知識與生活實踐的深度融合，荊州市某中學組織八年級全體學生前往松滋洈水研學基地開展研學活動．在此次活動中，若每位老師帶隊14名學生，則還剩10名學生沒老師帶；若每位老師帶隊15名學生，就有一位老師少帶6名學生，現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如表所示：

甲型客車乙型客車

載客量（人/輛）3530

租金（元/輛）400320

學校計劃此次研學活動的租金總費用不超過3000元，為安全起見，每輛客車上至少要有2名老師．

（1）參加此次研學活動的老師和學生各有多少人？

（2）既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少要有2名老師，可知租車總輛數(shù)為輛；

（3）學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？

24．（11分）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE+DF，試說明理由；

（2）類比引申：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足怎樣等量關系時，仍有EF＝BE+DF？說明理由．

（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，猜想BD，DE，EC滿足的等量關系，并寫出推理過程．

25．（12分）如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（，﹣）兩點，直線AB與x軸相交于點C，P是直線AB上方的拋物線上的一個動點，PD⊥x軸交AB于點D．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）若PE∥x軸交AB于點E，求PD+PE的最大值；

（3）若以A，P，D為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標．

2023年湖北省襄陽市?？悼h中考數(shù)學模擬試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將其序號在答題卡上涂黑作答.

1．（3分）4的平方根是（）

A．2B．±2C．D．﹣2

【分析】根據(jù)平方根的定義求出4的平方根即可．

【解答】解：4的平方根是±2；

故選：B．

【點評】此題考查了平方根，注意一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根．

2．（3分）如圖所示的幾何體是由一些相同的正方體組合而成的立體圖形，則這個幾何體的主視圖是（）

A．B．C．D．

【分析】找到從幾何體的正面看所得到的圖形即可．

【解答】解：這個幾何體的主視圖有2列，從左到右小正方形的個數(shù)為2，1，右邊的小正方形在右下角，

故選：D．

【點評】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，關鍵是掌握主視圖所看的位置．

3．（3分）彩民李大叔購買1張彩票，中獎．這個事件是（）

A．必然事件B．確定性事件C．不可能事件D．隨機事件

【分析】根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的定義，即可判斷．

【解答】解：彩民李大叔購買1張彩票，中獎．這個事件是隨機事件，

故選：D．

【點評】本題考查了隨機事件，熟練掌握隨機事件，必然事件，不可能事件的定義是解題的關鍵．

4．（3分）下列計算正確的是（）

A．a(chǎn)5+a5＝a10B．﹣3（a﹣b）＝b﹣3a

C．（mn）﹣3＝mn﹣3D．a(chǎn)6÷a2＝a4

【分析】利用合并同類項的法則，同底數(shù)冪的乘除法的法則，冪的乘方和積的乘方的法則對各項進行運算即可．

【解答】解：A，a5+a5＝2a5.故A不符合題意．

B，﹣3（a﹣b）＝3b﹣3a，不符合題意．

C，（mn）﹣3＝，不符合題意．

D，a6÷a2＝a4，符合題意．

故選：D．

【點評】本題主要考查冪的乘方和積的乘方，同底數(shù)冪的乘除法，合并同類項，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．

5．（3分）如圖，將一塊三角板的直角頂點放在直尺的一邊上，當∠2＝37°時，∠1的度數(shù)為（）

A．37°B．43°C．53°D．54°

【分析】根據(jù)平行線的性質，可以得到∠2和∠3的關系，從而可以得到∠3的度數(shù)，然后根據(jù)∠1+∠3＝90°，即可得到∠1的度數(shù)．

【解答】解：∵AB∥CD，∠2＝37°，

∴∠2＝∠3＝37°，

∵∠1+∠3＝90°，

∴∠1＝53°，

故選：C．

【點評】本題考查平行線的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用平行線的性質解答．

6．（3分）將四個數(shù)字看作一個圖形，則下列四個圖形中，是中心對稱圖形的是（）

A．B．

C．D．

【分析】根據(jù)中心對稱的概念和各圖形的特點即可求解．把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．

【解答】解：中心對稱圖形，即把一個圖形繞一個點旋轉180°后能和原來的圖形重合，所以D選項符合題意，

故選：D．

【點評】本題考查中心對稱圖形的概念：在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉180度，旋轉后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形．

7．（3分）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（）

A．B．C．D．

【分析】畫樹狀圖，共有20種等可能的結果，這兩名工人恰好都是男工人的結果有6種，再由概率公式求解即可．

【解答】解：畫樹狀圖如圖：

共有20種等可能的結果，這兩名工人恰好都是男工人的結果有6種，

∴這兩名工人恰好都是男工人的概率為＝，

故選：C．

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．

8．（3分）函數(shù)和y＝﹣kx+2（k≠0）在同一平面直角坐標系中的大致圖象可能是（）

A．B．

C．D．

【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式，利用一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的特點解答本題．

【解答】解：在函數(shù)（k≠0）和y＝﹣kx+2（k≠0）中，

當k＞0時，函數(shù)（k≠0）的圖象位于第一、三象限，函數(shù)y＝﹣kx+2的圖象位于第一、二、四象限，故選項A、B錯誤，選項D正確，

當k＜0時，函數(shù)（k≠0）的圖象位于第二、四象限，函數(shù)y＝﹣kx+2的圖象位于第一、二、三象限，故選項C錯誤，

故選：D．

【點評】本題考查反比例函數(shù)的圖象、一次函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，利用分類討論的數(shù)學思想解答．

9．（3分）隨著5G網(wǎng)絡技術的發(fā)展，市場對5G產(chǎn)品的需求越來越大，為滿足市場需求，某大型5G產(chǎn)品生產(chǎn)廠家更新技術后，加快了生產(chǎn)速度，現(xiàn)在平均每天比更新技術前多生產(chǎn)30萬件產(chǎn)品，現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相同．設更新技術前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，依題意得（）

A．＝B．＝

C．＝D．＝

【分析】設更新技術前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，則更新技術后每天生產(chǎn)（x+30）萬件產(chǎn)品，根據(jù)工作時間＝工作總量÷工作效率結合現(xiàn)在生產(chǎn)500萬件產(chǎn)品所需時間與更新技術前生產(chǎn)400萬件產(chǎn)品所需時間相同，即可得出關于x的分式方程，此題得解．

【解答】解：設更新技術前每天生產(chǎn)x萬件產(chǎn)品，則更新技術后每天生產(chǎn)（x+30）萬件產(chǎn)品，

依題意，得：＝．

故選：B．

【點評】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．

10．（3分）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的一部分，給出下列命題：

①a+b+c＝0；

②b＞2a；

③ax2+bx+c＝0的兩根分別為﹣3和1；

④c＝﹣3a，

其中正確的命題是（）

A．①②B．②③C．①③D．①③④

【分析】①觀察圖象可得，當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0；

②對稱軸x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a；

③拋物線與x軸的一個交點為（1，0），對稱軸為x＝﹣1，即可得ax2+bx+c＝0的兩根分別為﹣3和1；

④當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0，對稱軸x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，即可得c＝﹣3a．

【解答】解：觀察圖象可知：

①當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0，

所以①正確；

②對稱軸x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，

∴②錯誤；

③∵拋物線與x軸的一個交點為（1，0），對稱軸為x＝﹣1，

∴拋物線與x軸的另一個交點為（﹣3，0）

∴ax2+bx+c＝0的兩根分別為﹣3和1，

∴③正確；

④∵當x＝1時，y＝0，即a+b+c＝0，

對稱軸x＝﹣1，即﹣＝﹣1，b＝2a，

∴c＝﹣3a，

∴④正確．

所以正確的命題是①③④．

故選：D．

【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關系，解決本題的關鍵是觀察圖象所給信息與二次函數(shù)性質結合．

二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）把答案填在答題卡的相應位置上.

11．（3分）若分式有意義，則x的取值范圍是x≠1．

【分析】分式有意義的條件為x﹣1≠0，即可求得x的范圍．

【解答】解：根據(jù)題意得：x﹣1≠0，解得：x≠1．

故答案為：x≠1．

【點評】此題主要考查了分式的意義，要求掌握．意義：對于任意一個分式，分母都不能為0，否則分式無意義．

解此類問題，只要令分式中分母不等于0，求得x的取值范圍即可．

12．（3分）截止2022年底，中國經(jīng)濟總量已經(jīng)突破120萬億元，其中120萬億用科學記數(shù)法表示為1.2×1014元．

【分析】將一個數(shù)表示為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法，據(jù)此即可得出答案．

【解答】解：120萬億＝120000000000000＝1.2×1014，

故答案為：1.2×1014．

【點評】本題考查科學記數(shù)法表示較大的數(shù)，科學記數(shù)法是基礎且重要知識點，必須熟練掌握．

13．（3分）如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠D＝50°，則∠CAB的度數(shù)為40°．

【分析】先根據(jù)圓周角定理求出∠B及∠ACB的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結論．

【解答】解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵∠D＝50°，

∴∠B＝∠D＝50°，

∴∠CAB＝90°﹣50°＝40°．

故答案為：40°．

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等是解答此題的關鍵．

14．（3分）如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，若EF＝5，則菱形ABCD的周長為40．

【分析】由三角形中位線定理可求AB＝10，由菱形的性質即可求解．

【解答】解：∵E，F(xiàn)分別是AD，BD的中點，

∴EF是△ABD的中位線，

∴EF＝AB＝5，

∴AB＝10，

∵四邊形ABD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD＝10，

∴菱形ABCD的周長＝4AB＝40；

故答案為：40．

【點評】本題考查了菱形的性質，三角形中位線定理，靈活應用三角形中位線性質是解決問題的關鍵．

15．（3分）如圖，矩形OABC的面積為，對角線OB與雙曲線y＝（k＞0，x＞0）相交于點D，且OB：OD＝5：3，則k的值為12．

【分析】設D的坐標是（3m，3n），則B的坐標是（5m，5n），根據(jù)矩形OABC的面積即可求得mn的值，把D的坐標代入函數(shù)解析式y(tǒng)＝即可求得k的值．

【解答】解：設D的坐標是（3m，3n），則B的坐標是（5m，5n）．

∵矩形OABC的面積為，

∴5m5n＝，

∴mn＝．

把D的坐標代入函數(shù)解析式得：3n＝，

∴k＝9mn＝9×＝12．

故答案為：12．

【點評】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，理解矩形的面積與反比例函數(shù)的解析式之間的關系是解決本題的關鍵．

16．（3分）如圖，平面直角坐標系中，矩形ABOC的邊BO，CO分別在x軸，y軸上，A點的坐標為（﹣8，6），點P在矩形ABOC的內(nèi)部，點E在BO邊上，滿足△PBE∽△CBO，當△APC是等腰三角形時，P點坐標為（﹣，）或（﹣4，3）．

【分析】由題意得出P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當P點在AC的垂直平分線上時，點P同時在BC上，AC的垂直平分線與BO的交點即是E，證出PE∥CO，則△PBE∽△CBO，由已知得出點P橫坐標為﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，由相似對應邊成比例得出PE＝3即可得出結果；

②P點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為P，過點P作PE⊥BO于E，證出PE∥CO，則△PBE∽△CBO，由已知得出AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，由勾股定理得出BC＝＝10，則BP＝2，由相似對應邊成比例得出PE＝，BE＝，則OE＝即可得出結果．

【解答】解：∵點P在矩形ABOC的內(nèi)部，且△APC是等腰三角形，

∴P點在AC的垂直平分線上或在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上；

①當P點在AC的垂直平分線上時，點P同時在BC上，AC的垂直平分線與BO的交點即是E，如圖1所示：

∵PE⊥BO，CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為（﹣8，6），

∴點P橫坐標為﹣4，OC＝6，BO＝8，BE＝4，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝，即＝，

解得：PE＝3，

∴點P（﹣4，3）；

②P點在以點C為圓心AC為半徑的圓弧上，圓弧與BC的交點為P，

過點P作PE⊥BO于E，如圖2所示：

∵CO⊥BO，

∴PE∥CO，

∴△PBE∽△CBO，

∵四邊形ABOC是矩形，A點的坐標為（﹣8，6），

∴AC＝BO＝8，CP＝8，AB＝OC＝6，

∴BC＝＝＝10，

∴BP＝2，

∵△PBE∽△CBO，

∴＝＝，即：＝＝，

解得：PE＝，BE＝，

∴OE＝8﹣＝，

∴點P（﹣，）；

綜上所述：點P的坐標為：（﹣，）或（﹣4，3）；

故答案為：（﹣，）或（﹣4，3）．

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質、矩形的性質、等腰三角形的判定與性質、坐標與圖形的性質、平行線的判定、勾股定理、分類討論等知識，熟練掌握相似三角形與等腰三角形的判定與性質是解題的關鍵．

三、解答題（本大題共9個小題，共72分）解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟，并且寫在答題卡上每題對應的答題區(qū)域內(nèi).

17．（6分）先化簡，再求值：，其中．

【分析】根據(jù)分式的乘法法則、完全平方公式把原式化簡，把x的值代入計算得到答案．

【解答】解：原式＝（x﹣2）+2（x﹣2）+x2﹣2x+1

＝1+2x﹣4+x2﹣2x+1

＝x2﹣2，

當x＝時，原式＝（）2﹣2＝1．

【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．

18．（6分）如圖，某數(shù)學興趣小組想測量一棵樹CD的高度，他們先在點A處測得樹頂C的仰角為30°，然后沿AD方向前行10m，到達B點，在B處測得樹頂C的仰角高度為60°（A、B、D三點在同一直線上）．請你根據(jù)他們測量數(shù)據(jù)計算這棵樹CD的高度（結果精確到0.1m）．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）

【分析】首先利用三角形的外角的性質求得∠ACB的度數(shù)，得到BC的長度，然后在直角△BDC中，利用三角函數(shù)即可求解．

【解答】解：∵∠CBD＝∠A+∠ACB，

∴∠ACB＝∠CBD﹣∠A＝60°﹣30°＝30°，

∴∠A＝∠ACB，

∴BC＝AB＝10（米）．

在直角△BCD中，CD＝BCsin∠CBD＝10×＝5≈5×1.732＝8.7（米）．

答：這棵樹CD的高度為8.7米．

【點評】本題考查仰角的定義，要求學生能借助仰角構造直角三角形并解直角三角形．

19．（6分）為了響應市政府創(chuàng)建文明城市的號召，某校調(diào)查學生對市“文明公約十二條”的內(nèi)容了解情況，隨機抽取部分學生進行問卷調(diào)查，問卷共設置“非常了解”、“比較了解”、“一般了解”、“不了解”四個選項，分別記為A、B、C、D，根據(jù)調(diào)查結果繪制了如圖尚不完整的統(tǒng)計圖．

請解答下列問題：

（1）本次問卷共隨機調(diào)查了60名學生，扇形統(tǒng)計圖中C選項對應的圓心角為108度；

（2）請補全條形統(tǒng)計圖；

（3）若該校有1200名學生，試估計該校選擇“不了解”的學生有多少人？

【分析】（1）“B比較了解”的有24人，占調(diào)查人數(shù)的40%，可求出調(diào)查人數(shù)，進而求出“C一般了解”所占的百分比，進而計算其相應的圓心角的度數(shù)，

（2）求出“A非常了解”的人數(shù)，即可補全條形統(tǒng)計圖；

（3）樣本估計總體，樣本中“D不了解”的占，因此估計總體1200名學生的是“不了解”的人數(shù)．

【解答】解：（1）24÷40%＝60（名），360°×＝108°，

故答案為：60，108；

（2）60×25%＝15（人），

補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：

（3）1200×＝60（人），

答：估計該校1200名學生中選擇“不了解”的大約有60人．

【點評】本題考查扇形統(tǒng)計圖、條形統(tǒng)計圖的意義和制作方法，從兩個統(tǒng)計圖中獲取數(shù)量和數(shù)量關系是正確解答的關鍵．

20．（7分）關于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2．

（1）求實數(shù)k的取值范圍．

（2）若方程兩實根x1，x2滿足|x1|+|x2|＝x1x2，求k的值．

【分析】（1）根據(jù)方程有兩個不相等的實數(shù)根可得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，求出k的取值范圍；

（2）首先判斷出兩根均小于0，然后去掉絕對值，進而得到2k+1＝k2+1，結合k的取值范圍解方程即可．

【解答】解：（1）∵原方程有兩個不相等的實數(shù)根，

∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，

解得：k＞；

（2）∵k＞，

∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，

又∵x1x2＝k2+1＞0，

∴x1＜0，x2＜0，

∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1，

∵|x1|+|x2|＝x1x2，

∴2k+1＝k2+1，

∴k1＝0，k2＝2，

又∵k＞，

∴k＝2．

【點評】此題考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判別式和根與系數(shù)的關系的應用，（1）Δ＞0方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）Δ＝0方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）Δ＜0方程沒有實數(shù)根；（4）x1+x2＝﹣；（5）x1x2＝．

21．（6分）如圖，△ABC為銳角三角形．

（1）請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖（尺規(guī)作圖）：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥DA；（不寫作法，保留作圖痕跡）

（2）在（1）的條件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，求四邊形ABCD的面積．

【分析】（1）先利用基本作圖，作∠DAC＝∠ACB，然后過C點作CD⊥AD于D點；

（2）過A點作AE⊥BC于E點，如圖，先利用含30度角的直角三角形三邊的關系計算出BE＝1，AE＝，則CE＝2，再證明四邊形AECD為矩形得到AD＝CE＝2，然后根據(jù)梯形的面積公式計算．

【解答】解：（1）如圖，點D為所作；

（2）過A點作AE⊥BC于E點，如圖，

在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，

∴BE＝AB＝×2＝1，

∴AE＝BE＝，CE＝BC﹣BE＝3﹣1＝2，

∵∠DAC＝∠ACB，

∴AD∥BC，

∵AE⊥BC，CD⊥AD，

∴四邊形AECD為矩形，

∴AD＝CE＝2，

∴四邊形ABCD的面積＝×（2+3）×＝．

【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了平行線的判定與性質．

22．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O交AB于點D點，連接CD．

（1）求證：∠A＝∠BCD；

（2）若M為線段BC上一點，試問當點M在什么位置時，直線DM與⊙O相切？并說明理由．

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理可得∠ADC＝90°，再根據(jù)直角三角形的性質可得∠A+∠DCA＝90°，再由∠DCB+∠ACD＝90°，可得∠DCB＝∠A；

（2）當MC＝MD時，直線DM與⊙O相切，連接DO，根據(jù)等等邊對等角可得∠1＝∠2，∠4＝∠3，再根據(jù)∠ACB＝90°可得∠1+∠3＝90°，進而證得直線DM與⊙O相切．

【解答】（1）證明：∵AC為直徑，

∴∠ADC＝90°，

∴∠A+∠DCA＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠DCB+∠ACD＝90°，

∴∠DCB＝∠A；

（2）當MC＝MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切；

解：連接DO，

∵DO＝CO，

∴∠1＝∠2，

∵DM＝CM，

∴∠4＝∠3，

∵∠2+∠4＝90°，

∴∠1+∠3＝90°，

∴直線DM與⊙O相切，

故當MC＝MD（或點M是BC的中點）時，直線DM與⊙O相切．

【點評】此題主要考查了切線的判定，以及圓周角定理，關鍵是掌握切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．

23．（10分）為拓展學生視野，促進書本知識與生活實踐的深度融合，荊州市某中學組織八年級全體學生前往松滋洈水研學基地開展研學活動．在此次活動中，若每位老師帶隊14名學生，則還剩10名學生沒老師帶；若每位老師帶隊15名學生，就有一位老師少帶6名學生，現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如表所示：

甲型客車乙型客車

載客量（人/輛）3530

租金（元/輛）400320

學校計劃此次研學活動的租金總費用不超過3000元，為安全起見，每輛客車上至少要有2名老師．

（1）參加此次研學活動的老師和學生各有多少人？

（2）既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少要有2名老師，可知租車總輛數(shù)為8輛；

（3）學校共有幾種租車方案？最少租車費用是多少？

【分析】（1）設參加此次研學活動的老師有x人，學生有y人，根據(jù)“若每位老師帶隊14名學生，則還剩10名學生沒老師帶；若每位老師帶隊15名學生，就有一位老師少帶6名學生”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結論；

（2）利用租車總輛數(shù)＝師生人數(shù)÷35結合每輛客車上至少要有2名老師，即可得出租車總輛數(shù)為8輛；

（3）設租35座客車m輛，則需租30座的客車（8﹣m）輛，根據(jù)8輛車的座位數(shù)不少于師生人數(shù)及租車總費用不超過3000元，即可得出關于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結合m為正整數(shù)即可得出租車方案數(shù)，設租車總費用為w元，根據(jù)租車總費用＝400×租用35座客車的數(shù)量+320×租用30座客車的數(shù)量，即可得出w關于m的函數(shù)關系式，再利用一次函數(shù)的性質即可解決最值問題．

【解答】解：（1）設參加此次研學活動的老師有x人，學生有y人，

依題意，得：，

解得：．

答：參加此次研學活動的老師有16人，學生有234人．

（2）∵（234+16）÷35＝7（輛）……5（人），16÷2＝8（輛），

∴租車總輛數(shù)為8輛．

故答案為：8．

（3）設租35座客車m輛，則需租30座的客車（8﹣m）輛，

依題意，得：，

解得：2≤m≤5．

∵m為正整數(shù)，

∴m＝2，3，4，5，

∴共有4種租車方案．

設租車總費用為w元，則w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560，

∵80＞0，

∴w的值隨m值的增大而增大，

∴當m＝2時，w取得最小值，最小值為2720．

∴學校共有4種租車方案，最少租車費用是2720元．

【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及一次函數(shù)的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)師生人數(shù)，確定租車輛數(shù)；（3）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式組．

24．（11分）（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE+DF，試說明理由；

（2）類比引申：如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，∠EAF＝45°，若∠B，∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足怎樣等量關系時，仍有EF＝BE+DF？說明理由．

（3）聯(lián)想拓展：如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D，E均在邊BC上，且∠DAE＝45°，猜想BD，DE，EC滿足的等量關系，并寫出推理過程．

【分析】（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFG≌△AFE，根據(jù)全等三角形的性質得出EF＝FG，即可得出答案；

（2）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，證出△AFE≌△AFG，根據(jù)全等三角形的性質得出EF＝FG，即可得出答案；

（3）把△ACE旋轉到ABF的位置，連接DF，證明△AFE≌△AFG（SAS），則EF＝FG，∠C＝∠ABF＝45°，△BDF是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可作出判斷．

【解答】（1）證明：∵AB＝AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖1，

∵∠ADC＝∠B＝90°，

∴∠FDG＝180°，點F、D、G共線，

則∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，

∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，

即∠EAF＝∠FAG，

在△EAF和△GAF中，

，

∴△AFG≌△AFE（SAS），

∴EF＝FG＝BE+DF；

（2）解：結論：∠B+∠D＝180°時，EF＝BE+DF．

理由：∵AB＝AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，如圖2，

∴∠BAE＝∠DAG，

∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，

∴∠BAE+∠DAF＝45°，

∴∠EAF＝∠FAG，

∵∠ADC+∠B＝180°，

∴