一元二次方程概念課件

2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華1一元二次方程2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華2教學目標：1、了解一元二次方程的概念。

2、會把一元二次方程化成一般形式。

3、會找一元二次方程二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，和常數(shù)項4、會列一元二次方程。2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華3方程整式方程分式方程一元一次方程2x+7=4二元一次方程3x-4y=6？一、復習引入一元二次方程

x2+3x+2=0

什么是一元二次方程？例1：

要將一塊長100cm寬50cm的長方形鐵塊的四個角分別剪去一相同大小的正方形，從而制成一面積為3600的鐵皮蓋盒，小王不知道怎么裁剪，你能不能用數(shù)學方程的思想幫小王合理策劃呢？A裁剪前裁剪后B2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華5怎樣解這道實際應(yīng)用題呢？

解：我們設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm，那么制成的蓋盒B的邊長分別為（100-2x)cm、（50-2x)cm，面積為3600,得到：（100-2x)(50-2x)=3600

化簡為：對于這樣的一元二次方程我們?nèi)绾稳デ蟮闷浣饽?？想一想？解?023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華65m8m18平方米8-2x5-2x有一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯，它的長8米，寬長5米，如果地毯中央長方形圖案的面積為18平方米，那么花邊有多寬？用什么模型解決該問題？數(shù)學化x◆例2：2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華75cm8cmx解:設(shè)花邊的寬為Xm，根據(jù)題意，可列方程（8-2x）（5-2x）=188-2x5-2x有一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯，它的長8米，寬長5米，如果地毯中央長方形圖案的面積為18平方米，那么花邊有多寬？例240-16x-10x+4x2=182023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華8觀察等式

102+112+122=132+142五個連續(xù)整數(shù)，前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和，你還能找到其他的五個連續(xù)整數(shù)，怎么找？

設(shè)：五個連續(xù)整數(shù)中的第一個數(shù)為x，那么后面四個數(shù)可表示為x+1，x+2，x+3，x+4根據(jù)題意，可得

例3：數(shù)字問題x2+（x+1）2+（x+2）2=（x+3）2+（x+4）2

要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據(jù)場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參加比賽?根據(jù)題意得:x(x-1)=2×28x2-x=56問題情景2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華10方法一：兩次勾股定理。引例4、一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距離地面的垂直距離為8m,如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少m??m8m10m7m6m10m數(shù)學化1m2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華11X+6方法二：設(shè)梯子底端滑動x米，由勾股定理得：

（x+6）2+72=102例3、一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距離地面的垂直距離為8m,如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端滑動多少m?xm8m10m7m6m10m數(shù)學化1m2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華12一元二次方程的概念上面三個問題得到的三個方程可化簡為：(8-2x)(５-２x)=18

2x2－

13x＋11=0.x２+（x+1)２+(x+2)２=(x+3)２+(x+４)２

x2－

8x－20＝0.（x＋６）２＋７２＝１０２

x2＋12

x－15＝0.共同特點？1、化簡后都是整式方程2、只含有一個未知數(shù)，3、未知數(shù)的最高次數(shù)是22023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華13經(jīng)過變形后，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程。什么叫做一元二次方程？2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華14基礎(chǔ)練習1：你能判斷下列等式哪些是一元二次方程，哪些不是嗎。

②x2＋3x+2=0

③2x2-9x=0

④x(x+2)=11+2(20x-5)⑤+x2-3=0

①2+3=5③2x2-9x=0④x(x+2)=11+2(20x-5)

②x2+3x+2=0

⑥x(x+1)=x(x+7)2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華15

下列方程中有（）是一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）（A）（1）（5）（6）（B）（1）（4）（5）

（C）（1）（3）（4）（D）（2）（4）（5）A基礎(chǔ)練習2：2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華16重新定義一元二次方程：把一個整式方程經(jīng)過變形后，只含有一個未知數(shù)x，且可以化為ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）形式的整式方程。

2x2－

13x＋11=0.

x2－

8x－20＝0.

x2＋12

x－15＝0.2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華17把ax2+bx+c=0（a≠0）稱為一元二次方程一般形式，一元二次方程定義：

其中ax2是二次項，a是二次項的系數(shù)。其中bx是一次項，b是一次項的系數(shù)。其中c是常數(shù)項。注意：一般形式的右邊必須是0，左邊按降冪排列：當然也可以沒有一次項、常數(shù)項。2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華18方程一般形式二次項系數(shù)一次項常數(shù)項x2-3x=-2

4x2+7x=0

3y2=6

x-7x2=1

請完成下表點撥：1按順序化成一般形式ax2+bx+c=0

，

2要認真區(qū)別是求方程的各項還是各項的系數(shù)。

3當系數(shù)為負數(shù)時，千萬不要丟負號。

4二次項為負時，也可以把他們都改變符號，使之成為正號。x2-3x+2=01-3X24x2+7x=04+7X03y2-6=030-6-7x2+x-1=0-7+X-1基礎(chǔ)練習3：2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華191、課本4頁練習第1題第2題2、課本4頁習題22.1第1題第2題基礎(chǔ)練習4：2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華20解2：９x2十12x＋４＝４x2－24x＋365x2十36x-32=0所以一般形式為5x2十36x-32=0二次項系數(shù)為：5一次項系數(shù)為：36常數(shù)項為：-32基礎(chǔ)練習4：2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華21方程一般形式二次項系數(shù)一次項系數(shù)常數(shù)項3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝0x2＋x－8＝0或－7x2＋0

x＋4＝03－5＋11＋1－8－70

43－5

111－8－70

4或7x2

－4＝070－4－7x2＋4＝0知識技能2基礎(chǔ)練習4：2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華22請寫出一個一元二次方程，要求二次項系數(shù)為負數(shù)，一次項系數(shù)是整數(shù)，常數(shù)項是分數(shù)-x2+8x+=0

鞏固提高1：（開放題）2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華232：若ax2-bx+6=0是一元二次方程應(yīng)滿足的條件是：是一元一次方程應(yīng)滿足的條件是：3.已知關(guān)于x的方程(k2-1)x2+2(k-1)x+2k+2=0當k_______時，它是一元二次方程，此時各項系數(shù)分別為__________________當k_______時，它是一元一次方程。鞏固提高：≠±1＝－1(k2-1)，2(k-1)2k+221.1.2一元二次方程教學目標1）理解方程的解的概念；2）會用方程的解求待定系數(shù)。

1、什么是一元二次方程？一元二次方程的一般形式是怎樣的？知識回顧2、什么叫方程的解？1、使方程中等式左右兩邊相等的未知數(shù)的值，這個值就是方程的解(一元方程的解也叫根)ax2+bx+c=0(a≠

0)

ax2是二次項，a是二次項系數(shù)bx是一次項，b是一次項系數(shù)c是常數(shù)項

認識了一元二次方程,接下來我們就要探究一元二次方程的解.

方程解的定義:

能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就叫方程的解(一元方程的解也叫根)探究新知

要組織一次排球邀請賽,參賽的每兩隊之間都要比賽一場,根據(jù)場地和時間等條件,賽程計劃安排7天,每天安排4場比賽,比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參加比賽?解:設(shè)邀請了x隊參加比賽,根據(jù)題意得:即:x(x-1)=56你能根據(jù)方程探索出方程的解嗎?關(guān)于x的一元二次方程x(x-1)=56將x=8代入一元二次方程x(x-1)=56左邊=x=8是方程的解將x=-7代入一元二次方程x(x-1)=56左邊=x=-7是方程的解檢驗：你能否說出下列方程的解?1)2)3)一元二次方程的根的情況與一元一次方程有什么不同嗎?根思考1)下面哪些數(shù)是方程

的根?-4-3-2-1012342)你能寫出方程的根嗎?即:平方后是它本身的數(shù)是哪些?x1=0或x2=1練習

例題講解A.1B.-1C.1或-1D.0B例題講解

例題講解

例題講解x=-1x=1

拓展提高x3.233.243.253.26-0.06-0.020.030.07A3＜x＜3.23C3.24＜x＜3.25D3.25＜x＜3.26B3.23＜x＜3.24Cx=2

拓展提高x00通過這節(jié)課的學習，談?wù)勀阏莆樟耸裁?？課時小結(jié):3、整體代入思想1、理解方程的解的概念；

2、會用方程的解求待定系數(shù)解的運用（代入）2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華40

已知關(guān)于x

的方程

當K時，方程為一元二次方程，當K

時，方程為一元一次方程?！?=3鞏固提高4：2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華41根據(jù)題意列方程：

從前有一天，一個醉漢拿者竹竿進屋，橫拿豎拿都進不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺，另一個醉漢教他沿著門的兩個對角斜著拿竿，這個醉漢一試，不多不少剛好進去了，你知道竹竿有多長嗎？請根據(jù)這一問題列出方程。鞏固提高5：課本49頁第3題）2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華422尺解:設(shè)竹竿有x尺,則門寬(x-4)尺,門高(x-2)尺4尺X-4X-2x(x-4)2+(x-2)2=x2解:設(shè)門寬x尺,則竹竿有(x+4)尺,門高(x+2)尺x2+(x+2)2=(x+4)22023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華43三個連續(xù)整數(shù)兩兩相乘，再求和是242，求這三個整數(shù)。設(shè)三個連續(xù)整數(shù)中間的為x，另兩個（x-1），（x+1）x（x-1）+x（x+1）+（x+1）（x-1）=242

鞏固提高6：課本48頁第1題）

x2

＋2x－80＝0.2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華441一元二次方程的定義：

2一元二次方程的一般形式：3方程ax2+bx+c=0的條件：經(jīng)過變形后，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是二次，這樣的整式方程叫一元二次方程ax2+bx+c=0

(a≠0，a，b，c為常數(shù))（1）當a≠0時，是一元二次方程。（2）當a=0并且b≠0時，是一元一次方程。小結(jié)2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華45鞏固訓練1

指出下列方程中哪些是一元二次方程

（1）（2）（3）（6）（5）(4)2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華462.方程

化成一般形式后，

a,b,c分別（）（A）3，－4，－2（B）3,2，－4

（C）3，－2，－4（D）2，－2，03.方程的二次項系數(shù)是

，常數(shù)項為

，

的值為

。

B解：因為a=?，b=-1，c=0

所以b2-4ac=02023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華474.一元二次方程

化成一般式后，二次項系數(shù)為1，一次項系數(shù)為－1，則a

的值為（）（A）－1（B）1（C）－2（D）22023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華485試問當m，n是什么實數(shù)時，關(guān)于x的方程（n+1）ｘ2－（２ｍ＋ｎ－３）ｘ－４＝０（１）是一元二次方程？（２）是一元一次方程？解：當ｎ＋１0,即ｎ-１時是一元二次方程當ｎ＋１=0,且2m+n-30是一元一次方程即:n=-1且m2時是一元一次方程.2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華496.方程(a2-1)x-6x+5=0,則當a_______時，b_______時是一元二次方程.

當a________時，b_______時,是一元一次方程2b+17若關(guān)于的方程（m2+1）x2+mｘ+2=０，是一元二次方程求出m的取值范圍。2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華508一元二次方程

有兩個解為1和－1,則有

，且有

.2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華51結(jié)束寄語運用方程（方程組）解答相關(guān)的實際問題是一種重要的數(shù)學思想——方程的思想.一元二次方程也是刻畫現(xiàn)實世界的有效數(shù)學模型.下課了!

再見2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華52作業(yè)：1、課本上剩余的：2、練習冊：3、預習估算法解一元二次方程。2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華532．若方程

是關(guān)于X

的一元二次方程，則m

的取值范圍是（）（A）

（B）

（C）

或

（D）

且

D2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華54補充訓練:8把下列關(guān)于x

的方程化成一元二次方程的一般式，并指出它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項。（1）（2）（3）（4）（

）（

）2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華55

剪一塊面積是150cm2的長方形鐵片，使它的長比寬多5cm、這塊鐵片應(yīng)該怎樣剪?

設(shè)長方形的為寬Xcm。列出方程

x（x十5）＝150

你能叫出這個方程的名字嗎？

X+5X化簡得x2十5x-150=02023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華56知識的升華獨立作業(yè)１．根據(jù)題意，列出方程：（１）有一面積為54m2的長方形，將它的一邊剪短5m，另一邊剪短2m，恰好變成一個正方形，這個正方形的邊長是多少？解：設(shè)正方形的邊長為xm，則原長方形的長為(x＋5)m,寬為(x＋2)m，依題意得方程：(x＋5)(x＋2)＝54即x2

＋7x－44＝025xxX＋5X＋254m2§1.2一元二次方程的解法進入學習2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華58◆課本案例導入◆一元二次方程的一般式◆學習目標分析◆一元二次方程的解法◆本節(jié)歸納總結(jié)2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華59◆學習目標：返回1、熟悉一元二次方程的一般式。2、理解配方法的概念，及配方法的原理，并能熟練配得任何一元二次方程的完全平方。3、掌握十字相乘分解法，對于整數(shù)范圍內(nèi)的數(shù)相乘的整式能很快分解出來。4、牢記用公式法解方程的公式，并能通過一般式推斷出來。5、通過本節(jié)的學習，可以由題目中方程的形式來找到解題的最優(yōu)方法。2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華60返回◆一元二次方程的一般式：一元二次方程，就是只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程，其一般形式為：想一想1、你能舉出幾個一元二次方程一般式的例子嗎？2、根據(jù)一元二次方程的定義及一般式能否推斷出一元三次方程的定義及一般式呢？2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華61例1:判斷下列方程是不是一元二次方程◆案例導入：小王要將一塊長100cm寬50cm的長方形鐵塊的四個角分別剪去一相同大小的正方形，從而制成一面積為3600的鐵皮蓋盒，小王不知道怎么裁剪，你能不能用數(shù)學方程的思想幫小王合理策劃呢？A裁剪前裁剪后B2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華63怎樣解這道實際應(yīng)用題呢？解：我們設(shè)剪去的正方形的邊長為xcm，那么制成的蓋盒B的邊長分別為（100-2x)cm、（50-2x)cm，面積為3600,得到：（100-2x)(50-2x)=3600

化簡為：對于這樣的一元二次方程我們?nèi)绾稳デ蟮闷浣饽?？想一想？解?023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華64◆一元二次方程的解法：解方程公式法因式分解法配方法2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華65※公式法：根據(jù)所提供的求根公式，把題中相關(guān)的值代入其中求出方程的解。根據(jù)公式：其中代入公式求得：因為，所以本題解2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華66※因式分解法：把一個整式通過變形化成幾個整式或因式的乘積的過程。因式分解得：得到：又因為所以，本題解得為原題的解。2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華67※配方法：將方程的左邊化成含未知數(shù)的完全平方，右邊是數(shù)值的過程。配方得到：解得：又因為，所以本題有2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華68一、公式法：一元二次方程的根的判別式我們通常用希臘字母Δ（讀作“德爾塔”）來表示。因此b2-4ac叫做一元二次方程的根的判別式用符號“Δ”表示是：

Δ=b2-4ac若是Δ＞0，則此一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；

若是Δ=0，則此一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；

若是Δ＜0，則此一元二次方程沒有實數(shù)根。2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華69反過來說ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有兩個不等實數(shù)根Δ＞0.ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有兩個相等實數(shù)根Δ＝0.

ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程沒有實數(shù)根Δ＜0.2023/7/26錦屏鎮(zhèn)中學陳林華70例1不解方程，判斷下列方程的根的情況：

知