第六章-機器人動力學課件

第六章機器人動力學2023/7/261本章主要內容

（1）機器人動力學研究概述；（2）拉格朗日動力學方法；（3）操作機的動力學分析；（4）二連桿機構的動力學分析；（5）倒立擺系統(tǒng)的動力學分析；（6）機器人動力學方程一般形式；（7）考慮非剛體效應的動力學方程。2023/7/262023/7/266.1

機器人動力學研究概述

6.1

機器人動力學研究概述

本章將在機器人運動學的基礎上考慮到力對具有一定質量或慣量的物體運動的影響，從而引入機器人動力學問題；機器人動力學研究機器人動態(tài)方程的建立，它是一組描述機器人動態(tài)特性的數(shù)學方程；目前主要采用兩種理論來建立數(shù)學模型：（1）動力學基本理論，包括牛頓－歐拉方程（2）拉格朗日力學，特別是二階拉格朗日方程如同運動學，動力學也有兩個相反問題（1）正問題（2）逆問題2023/7/264動力學的兩個相反問題動力學正問題：已知機械手各關節(jié)的作用力或力矩，求各關節(jié)的位移、速度和加速度（即運動軌跡），主要用于機器人仿真。動力學逆問題：已知機械手的運動軌跡，即幾個關節(jié)的位移、速度和加速度，求各關節(jié)所需要的驅動力或力矩，用于機器人實時控制。求解動力學方程的目的，通常是為了得到機器人的運動方程，即一旦給定輸入的力或力矩，就確定了系統(tǒng)地運動結果。動力學方程的一般形式：式中分別表示力矩、力、角位移和線位移2023/7/265牛頓－歐拉方程牛頓方程……面向平動歐拉方程……面向轉動

式中Jc物體轉動慣量

ω物體角速度

τ

力矩2023/7/2666.2

拉格朗日動力學方法

6.2.1

用于保守系統(tǒng)的拉格朗日方程

在《分析力學》一書中Lagrange是用s個獨立變量來描述力學體系的運動，這是一組二階微分方程。通常把這一方程叫做Lagrange方程，其基本形式為

其中，是所研究力學體系的廣義坐標；是作用在此力學體系上的廣義力；

T

是系統(tǒng)總動能。分析力學注重的不是力和加速度，而是具有更廣泛意義的能量，擴大了坐標的概念。2023/7/2676.2.2

用于非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程

對于同時受到保守力和耗散力作用的、由n個關節(jié)部件組成的機械系統(tǒng)，其Lagrange方程應為

其中，為廣義坐標，表示為系統(tǒng)中的線位移或角位移的變量；為作用在系統(tǒng)上的廣義力；是系統(tǒng)總的動能、勢能和耗散能，分別為2023/7/2686.2.3

拉格朗日函數(shù)方法

對于具有外力作用的非保守機械系統(tǒng)，其拉格朗日動力學函數(shù)L可定義為式中T——系統(tǒng)總的動能；V——系統(tǒng)總的勢能

若操作機的執(zhí)行元件控制某個轉動變量θ時，則執(zhí)行元件的總力矩應為

若操作機的執(zhí)行元件控制某個移動變量r時，則施加在運動方向r上的力應為

2023/7/2696.2.4

拉格朗日方程的特點

它是以廣義坐標表達的任意完整系統(tǒng)的運動方程式，方程式的數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)是一致的；理想約束反力不出現(xiàn)在方程組中，因此建立運動方程式時只需分析已知的主動力，而不必分析未知的約束反力；Lagrange方程是以能量觀點建立起來的運動方程式，為了列出系統(tǒng)的運動方程式，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運動的動力學量—系統(tǒng)的動能和勢能，另一個是表征主動力作用的動力學量—廣義力。因此用Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動力學方程可以大大簡化建模過程。

2023/7/26102023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/26例6.3

操作機的動力學分析

6.3.1

操作機的動力學模型操作機的物理學模型

加上負載的操作機

2023/7/26186.3.2

建立拉格朗日函數(shù)

（1）求動能T

先對求

顯然

而于是由于根據(jù)動能的公式

2023/7/2619再對求由于

且有則得總動能

2023/7/2620（2）求勢能V

根據(jù)勢能的公式式中為垂直高度，則對于有

對于有

得總勢能

（3）求得拉格朗日函數(shù)L

2023/7/26216.3.3

廣義力的計算

（1）求力矩

繞轉動執(zhí)行元件施加的力矩

則式中第一項為慣性項，第二項為哥氏項，第三項為重力項。2023/7/2622（2）求移動力

則式中第一項為慣性項，第二項為向心項，第三項為重力項。

通過線運動執(zhí)行元件施加的直線力

2023/7/26236.3.4

應用實例分析

例6-1已知：對于操作機

對于下面的三種工作情況，試估算力矩。（1）手臂水平，并伸至全長，靜止，（2）手臂水平，并伸至全長，以最大速率運動，（3）手臂水平，并伸至全長，承受最大轉動加速度，2023/7/2624解：（1）手臂水平，并伸至全長，靜止，由已知條件可得則有2023/7/2625則解：（2）手臂水平，并伸至全長，以最大速率運動，由已知條件可得則有2023/7/2626則解：（3）手臂水平，并伸至全長，承受最大轉動加速度，由已知條件可得則有2023/7/2627則結果分析：

(1)為重力項，通常它遠大于其它項；

(2)當時，即當手臂垂直時，，可見重力負載的變化很大；

(3)當很小時，包含的項趨于零；

(4)通常采用只包括重力項和慣性項的公式就可得到比較滿意的結果，即采用如下簡化公式

2023/7/26282023/7/26例6-4：2023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/26把前面公式進行概況，有：2023/7/266.5

倒立擺系統(tǒng)的動力學分析

rθ○○導軌小車

擺體驅動放大器計算機位角檢測倒立擺系統(tǒng)結構圖

2023/7/2647二級倒立擺系統(tǒng)平衡控制2023/7/2648除皮帶外，全部對象（擺體、小車、導軌等）均視為剛體；各部分的摩擦力（力矩）與相對速度（角速度）成正比；施加在小車上的驅動力與加在功率放大器上的輸入電壓u成正比，比例系數(shù)設為G0；皮帶輪與傳送帶之間無滑動，傳送帶無伸長現(xiàn)象；信號與力的傳遞無延時。

6.5.1

倒立擺系統(tǒng)與基本假設

2023/7/2649

首先介紹一下均勻桿（長度為2L，質量為m）轉動慣量的計算。

當均勻桿繞一端轉動時，其轉動慣量為：

由得通常給出桿相對質心的轉動慣量：

所以2023/7/26506.5.2

用牛頓力學的方法來建立動力學模型

（1）小車部分

小車質量

小車滑動摩擦系數(shù)擺體對小車作用力的水平分量

擺體對小車作用力的垂直分量N

軌道反力m0rF&0or(X)uG02023/7/2651考慮到小車只有水平方向（X）的運動，故可列寫小車運動方程m0rF&0or(X)uG02023/7/2652（2）擺體部分

L2

m1

擺體質量

L

擺體質心c到支點距離

F1

擺體轉動摩擦系數(shù)

J1c擺體繞質心轉動慣量

J1擺體繞支點的轉動慣量小車對擺體作用力的水平分量小車對擺體作用力的垂直分量

考慮到擺體為一平面運動體，則其運動可以分解為平動和繞質心轉動兩部分。于是有質心加速度＝質心平動加速度＋繞質心轉動加速度2023/7/2653計算質心加速度水平分量為：

垂直分量為：

列寫擺體動力學方程式（平動部分）

L22023/7/2654列寫擺體動力學方程式

（轉動部分）代入，整理可得L22023/7/2655考慮到

將代入小車方程（1），可得列寫擺體動力學方程式

（轉動部分）2023/7/2656二方程聯(lián)立，可得矩陣形式對應于機器人動力學一般形式慣性項向心項哥氏項重力項廣義力2023/7/26576.5.3

用拉格朗日方程法建立動力學模型

應用非保守系統(tǒng)的拉格朗日方程，則小車和擺體的動能、勢能和耗散能分別為：

2023/7/2658L2當時，當時，于是有應用非保守機械系統(tǒng)的拉格朗日方程公式

2023/7/2659當時，即對小車而言2023/7/2660當時，即對擺體而言2023/7/2661于是可以得到與6.4.2相同的結果。

得到單級倒立擺的動力學方程為當考慮在不穩(wěn)定平衡點附近的線性化時，可令于是可得簡化動力學方程2023/7/26626.5.4

用拉格朗日函數(shù)法建立動力學模型

本節(jié)應用拉格朗日函數(shù)，也可以求解這一問題。

建立Lagrange函數(shù)

L=T–V

小車部分擺體部分則2023/7/2663對于小車（r）而言（見6.2.3節(jié)）右式：左式：得第一個方程2023/7/2664對于擺（θ）而言

得第二個方程寫成矩陣形式，便得到與前兩種方法基本一樣的結果。右式：左式＝2023/7/2665平衡點附近簡化形式三種算法結果對比6.4.2

應用牛頓方程推導，寫成矢量形式得

6.4.3應用非保守機械系統(tǒng)的拉格朗日方程公式

6.4.4應用拉格朗日函數(shù)法求解2023/7/2666差異來自以下兩點1轉動慣量參考點的差異當均勻桿繞一端轉動時，其轉動慣量為：通常給出桿相對質心的轉動慣量：所以2近似線性化過程（當很小時）2023/7/26672023/7/266.6機器人動力學方程的一般形式2023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/262023/7/266.7考慮非剛體效應的動力學方程需要指出的是，前面推導的動力學方程不能包含全部作用于操作臂上的力，只是包含了剛體力學中的那些力，而沒有包含摩擦力。然而，摩擦力也是一種非常重要的力，所有機構都必然受到摩擦力的影響。在目前機器人的傳動機構中，例如被普遍采用的齒輪傳動機構中，由于摩擦力產(chǎn)生的力是相當大的，即在典型工況下大約為操作臂驅動力矩的25％左右。2023/7/2676

為了使動力學方程能夠反映實際的工況，建立機器人的摩擦力模型是非常必要的。其中，最簡單的摩擦力模型就是粘性摩擦，摩擦力矩與關節(jié)運動速度成正比，因此有：

式中，v是粘性摩擦系數(shù)。另一個摩擦力模型是庫侖摩擦，它是一個常數(shù)，符號取決于關節(jié)速度，即：

式中，c是庫侖摩擦系數(shù)。當=0時，c值一般取為1，通常稱為靜摩擦系數(shù)；當不等于0時，c值小于1，稱為動摩擦系數(shù)。2023/7/2677

對某個操作臂來說，采用粘性摩擦模型還是庫侖摩擦模型是一個比較復雜的問題，這與潤滑情況及其它影響因素有關。比較合理的模型是二者兼顧，即：在許多操作臂關節(jié)中，