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2022年湖北省十堰市第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.通過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)A(a,0),A1(a,a),且在y軸上截得的弦長(zhǎng)等于2|a|的圓的方程是(
)(A)2x2+2y2+ax–2ay–3a2=0
(B)2x2+2y2–ax–2ay–3a2=0(C)4x2+4y2+ax–4ay–3a2=0
(D)4x2+4y2–ax–4ay–3a2=0參考答案:D2.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)與的位置關(guān)系是(
)A.關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱 B.關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C.重合 D.關(guān)于直線對(duì)稱參考答案:A【分析】結(jié)合坐標(biāo)系確定兩點(diǎn)位置關(guān)系.【詳解】在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)與如圖,則點(diǎn)與的位置關(guān)系是關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查極坐標(biāo)中點(diǎn)的位置關(guān)系,考查基本分析判斷能力,屬基礎(chǔ)題.3.已知斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn),若這兩點(diǎn)在x軸的射影恰好是橢圓的焦點(diǎn),則e為(
)A. B. C. D.參考答案:D4.用“輾轉(zhuǎn)相除法”求得456和357的最大公約數(shù)是(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D5.從20名男同學(xué),10名女同學(xué)中任選3名參加體能測(cè)試,則選到的3名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率為
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D略6.已知函數(shù)在處可導(dǎo),則等于()A.B.C.
D.0參考答案:C7.設(shè)為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時(shí),(為常數(shù)),則(A)-3
(B)-1
(C)1
(D)3參考答案:A8.已知向量與反向,下列等式中恒成立的是(
) A. B. C.
D.參考答案:C9.橢圓+=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B,F(xiàn)為其右焦點(diǎn),若AF⊥BF,設(shè)∠ABF=a,且a∈[,],則該橢圓離心率的取值范圍為()A.[,1] B.[,] C.[,1) D.[,]參考答案:B【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為F′,根據(jù)橢圓定義:|AF|+|AF′|=2a,根據(jù)B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知|BF|=|AF′|,推知|AF|+|BF|=2a,又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)可知|AB|=2c,在Rt△ABF中用α和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即離心率e,進(jìn)而根據(jù)α的范圍確定e的范圍.【解答】解:∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱∴B也在橢圓上設(shè)左焦點(diǎn)為F′根據(jù)橢圓定義:|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a
…①O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn),∴|AB|=2c又|AF|=2csinα
…②|BF|=2ccosα
…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴=即e==∵a∈[,],∴≤α+π/4≤∴≤sin(α+)≤1∴≤e≤故選B10.設(shè)變量、滿足約束條件則的最小值為(
) A.2
B.3
C.4
D.9參考答案:B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.
.參考答案:因?yàn)楸硎疽詾閳A心,以為半徑的圓的四分之一,所以,所以.
12.如圖,在透明材料制成的長(zhǎng)方體容器ABCD—A1B1C1D1內(nèi)灌注一些水,固定容器底面一邊BC于桌面上,再將容器傾斜根據(jù)傾斜度的不同,有下列命題:(1)水的部分始終呈棱柱形;(2)水面四邊形EFGH的面積不會(huì)改變;(3)棱A1D1始終
與水面EFGH平行;(4)當(dāng)容器傾斜如圖所示時(shí),BExBF是定值,其中所有正確命題的序號(hào)是
參考答案:.(1),(3),(4)略13.直線l:被圓x2+y2=4截得的弦長(zhǎng)為
▲
.參考答案:414.
;若
.參考答案:0
4
15.在中,,以點(diǎn)為一個(gè)焦點(diǎn)作一個(gè)橢圓,使這個(gè)橢圓的另一焦點(diǎn)在邊上,且這個(gè)橢圓過(guò)兩點(diǎn),則這個(gè)橢圓的焦距長(zhǎng)為
.參考答案:16.已知集合,,則A∩B=__________.參考答案:{-1,2}分析:直接利用交集的定義求解即可.詳解:因?yàn)榧?,,所以由交集的定義可得,故答案為點(diǎn)睛:本題考查集合的交集的定義,意在考查對(duì)基本運(yùn)算的掌握情況,屬于簡(jiǎn)單題.17.若復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則z=
.參考答案:1-i;三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.已知內(nèi)接于圓:+=1(為坐標(biāo)原點(diǎn)),且3+4+5=。(I)求的面積;(Ⅱ)若,設(shè)以射線Ox為始邊,射線OC為終邊所形成的角為,判斷的取值范圍。(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求點(diǎn)的坐標(biāo)。參考答案:(1)由3+4+5=0得3+5=,平方化簡(jiǎn),得·=,所以=,而所以=。
的面積是==。(2)由(1)可知=,得為鈍角,
又或=,
所以或,(3)由題意,C點(diǎn)的坐標(biāo)為,進(jìn)而,又,可得,于是有當(dāng)時(shí),,所以從而。
當(dāng)時(shí),,所以從而。
綜上,點(diǎn)的坐標(biāo)為或。
19.(本小題14分)如圖,在直三棱柱中,,分別為的中點(diǎn).
(1)證明:平面;
(2)設(shè),求二面角的大?。畢⒖即鸢福悍椒?:(綜合法)(1)設(shè)為中點(diǎn),連結(jié),則,且,………1分又,且,∴,且,即四邊形為平行四邊形,∴,………3分∵底面,底面,∴,………4分∵,為中點(diǎn),∴,又,………5分∴平面,故平面.………6分(2)連結(jié),過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連結(jié).……7分由可知為正方形,則,
∵平面,又平面,∴,又,∴平面,又平面,
……………9分∴,又,,∴平面,又平面,∴,
……………11分∴為二面角的平面角.
……………12分不妨設(shè),則,,,,∴,所以二面角的大小為.
……………14分方法2:(坐標(biāo)法)(1)設(shè)為中點(diǎn),由知,以為正交基底建立如圖的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),,,則,,∴,,,∴,,∴,,又,故平面.(2)由不妨設(shè),則,,,,,∴,,,∴,,即,,又,∴平面,故平面的法向量可取.又,,,∴,,即,,又,∴平面,故平面的法向量可?。撸嗨远娼堑拇笮椋?4分20.已知函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)的最小值為2,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案:(1)或.(2)[-1,2]【分析】(1)利用絕對(duì)值不等式可得.(2)不等式在上恒成立等價(jià)于在上恒成立,故的解集是的子集,據(jù)此可求的取值范圍.【詳解】解:(1)因?yàn)?,所?令,得或,解得或.(2)當(dāng)時(shí),.由,得,即,即.據(jù)題意,,則,解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】(1)絕對(duì)值不等式指:及,我們常利用它們求含絕對(duì)值符號(hào)的函數(shù)的最值.(2)解絕對(duì)值不等式的基本方法有公式法、零點(diǎn)分段討論法、圖像法、平方法等,利用公式法時(shí)注意不等號(hào)的方向,利用零點(diǎn)分段討論法時(shí)注意分類點(diǎn)的合理選擇,利用平方去掉絕對(duì)值符號(hào)時(shí)注意代數(shù)式的正負(fù),而利用圖像法求解時(shí)注意圖像的正確刻畫(huà).21.(12分)已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別是a,b,c,tanA+tanB=-tanAtanB,a=2,c=.(1)求tan(A+B)的值;(2)求△ABC的面積.參考答案:(1)∵tanA+tanB=-tanAtanB=(1-tanAtanB),∴tan(A+B)==.(2)由(1)知A+B=60°,∴C=120°.∵c2=a2+b2-2abcosC.∴19=4+b
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