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2022-2023學(xué)年江蘇省揚(yáng)州市江都塘頭中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.(5分)(2015?南昌校級(jí)模擬)已知f(x)=sinxcosx﹣cos2x+,在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,且滿(mǎn)足2bcosA≤2c﹣a,則f(B)的取值范圍()A.(﹣1,]B.(﹣,]C.(﹣,1]D.(﹣,]參考答案:C【考點(diǎn)】:余弦定理;兩角和與差的正弦函數(shù).【專(zhuān)題】:三角函數(shù)的求值.【分析】:由已知及正弦定理可解得cosB,可得0<B≤,即有﹣<2B﹣,由三角函數(shù)的恒等變化化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f(x)=sin(2x﹣),從而可求f(B)的值.解:∵由于f(x)=sinxcosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin2x﹣cos2x=sin(2x﹣),又2bcosA≤2c﹣a,則由正弦定理得,2sinBcosA≤2sinC﹣sinA=2sin(A+B)﹣sinA=2sinAcosB+2cosAsinB﹣sinA,則可解得:cosB,由B為三角形的內(nèi)角,則解得:0<B≤,可得:﹣<2B﹣,故f(B)=sin(2B﹣)∈(﹣,1].故選:C.【點(diǎn)評(píng)】:本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值,考查三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性,考查解三角形的正弦定理,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.2.等差數(shù)列{an}中,已知a6+a11=0,且公差d>0,則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為(

)A.6

B.7

C.8

D.9參考答案:C3.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(0)=﹣1,其導(dǎo)函數(shù)f′(x)滿(mǎn)足f′(x)>k>1,則下列結(jié)論中一定正確的個(gè)數(shù)是()①②f(k)>k2③④.A.1 B.2 C.3 D.4參考答案:C【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念得出>k>1,用x=,k,,代入即可判斷①③④正確,②錯(cuò)誤.【解答】解:∵f′(x)=,且f′(x)>k>1,∴>k>1,即>k>1,對(duì)于①,令x=,即有f()+1>?k=1,即為f()>0,故①正確;對(duì)于②,令x=k,即有f(k)>k2﹣1,故②不一定正確;對(duì)于③,當(dāng)x=時(shí),f()+1>?k=,即f()>﹣1=,故f()>,故③正確;對(duì)于④,令x=<0,即有f()+1<?k=,即為f()<﹣1=,故④正確.故正確個(gè)數(shù)為3,故選;C.4.已知等于

A.B.C.D.

參考答案:D5.在同一直角坐標(biāo)系中,函數(shù)且的圖象可能是(

)A. B.C. D.參考答案:D【分析】本題通過(guò)討論的不同取值情況,分別討論本題指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和,結(jié)合選項(xiàng),判斷得出正確結(jié)論.題目不難,注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減,則函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增,函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減,D選項(xiàng)符合;當(dāng)時(shí),函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增,則函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞減,函數(shù)過(guò)定點(diǎn)且單調(diào)遞增,各選項(xiàng)均不符合.綜上,選D.【點(diǎn)睛】易出現(xiàn)的錯(cuò)誤有,一是指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)掌握不熟,導(dǎo)致判斷失誤;二是不能通過(guò)討論的不同取值范圍,認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性.

6.已知復(fù)數(shù),映射,則的原象是()A.

B.

C.

D.參考答案:A7.在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn),若=2,=,則λ=(

)A. B. C.﹣ D.﹣參考答案:A【考點(diǎn)】向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義.【分析】本題要求字母系數(shù),辦法是把表示出來(lái),表示時(shí)所用的基底要和題目中所給的一致,即用和表示,畫(huà)圖觀察,從要求向量的起點(diǎn)出發(fā),沿著三角形的邊走到終點(diǎn),把求出的結(jié)果和給的條件比較,寫(xiě)出λ.【解答】解:在△ABC中,已知D是AB邊上一點(diǎn)∵=2,=,∴=,∴λ=,故選A.【點(diǎn)評(píng)】經(jīng)歷平面向量分解定理的探求過(guò)程,培養(yǎng)觀察能力、抽象概括能力、體會(huì)化歸思想,基底給定時(shí),分解形式唯一,字母系數(shù)是被基底唯一確定的數(shù)量.8.已知關(guān)于的二元一次線性方程組的增廣矩陣為,記,則此線性方程組有無(wú)窮多組解的充要條件是

(A).

(B)兩兩平行.(C).

(D)方向都相同.參考答案:B9.已知為上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù),當(dāng)時(shí),,則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.

B.0

C. D.或

參考答案:B略10.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,則四棱錐P-ABCD外接球的表面積是(

)A.20π B. C.25π D.22π參考答案:B由三視圖得,幾何體是一個(gè)四棱錐A-BCDE,底面ABCD是矩形,側(cè)面ABE⊥底面BCDE.如圖所示,矩形ABCD中心為M,球心為O,F為BE中點(diǎn),OG⊥AF.設(shè)OM=x,由題得在直角△OME中,,又MF=OG=1,AF=,,解(1)(2)得故選B.點(diǎn)睛:本題的難點(diǎn)在于作圖找到關(guān)于R的方程,本題條件復(fù)雜,要通過(guò)兩個(gè)三角形得到關(guān)于R的兩個(gè)方程、(2),再解方程得到R的值.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=

.參考答案:{1,8}分析:根據(jù)交集定義求結(jié)果.詳解:由題設(shè)和交集的定義可知:.

12.已知數(shù)列{}的通項(xiàng)公式為,前項(xiàng)和為,則__________.參考答案:1011可得n為奇數(shù)時(shí),,n為偶數(shù)時(shí),所以,所以

13.在△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),若AB⊥AD,∠CAD=30°,BC=2,則△ABC的面積為.參考答案:2【考點(diǎn)】正弦定理.【專(zhuān)題】解三角形.【分析】由題意畫(huà)出圖形并求出角A的值,根據(jù)正弦、余弦定理分別列出方程,化簡(jiǎn)后求出邊AC、AB,由三角形的面積公式即可求出△ABC的面積.【解答】解:如圖:設(shè)AB=c、AC=b,且BD=DC=,∵AD⊥AB,∠CAD=30°,∴AD2=7﹣c2,∠BAC=120°,在△ABC中,由正弦定理得,∴sinB===,在RT△ABD中,sinB===,∴AC=b=,在△ADC中,由余弦定理得,CD2=AD2+AC2﹣2?AD?AC?cos∠DAC,則7=7﹣c2+﹣2×××,化簡(jiǎn)得,c2=4,則c=2,代入b=得,b=4,∴△ABC的面積S===2,故答案為:2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦、余弦定理,三角形的面積公式,考查了方程思想,以及化簡(jiǎn)、計(jì)算能力,屬于中檔題.14.已知圓錐底面半徑與球的半徑都是1cm,如果圓錐的體積恰好也與球的體積相等,那么這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為cm.參考答案:考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體(圓柱、圓錐、圓臺(tái));球的體積和表面積.專(zhuān)題:計(jì)算題.分析:求出球的體積,利用圓錐的體積與球的體積相等,求出圓錐的高,然后求出圓錐的母線長(zhǎng)即可.解答:解:由題意可知球的體積為:=,圓錐的體積為:=,因?yàn)閳A錐的體積恰好也與球的體積相等,所以,所以h=4,圓錐的母線:=.故答案為:.點(diǎn)評(píng):本題考查球的體積與圓錐的體積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力.15.若,則的最小值是_____________。參考答案:

解析:16.橢圓若直線則該橢圓的離心率等于

.參考答案:-117.數(shù)列{an}滿(mǎn)足(an+1﹣1)(1﹣an)=an,a8=2,則S2017=.參考答案:【考點(diǎn)】數(shù)列的求和.【分析】(an+1﹣1)(1﹣an)=an,a8=2,∴(2﹣1)(1﹣a7)=a7,解得a7=,同理可得a6=﹣1,a5=2,…,a1=.可得an+3=an.S2017=a1+672(a6+a7+a8).【解答】解:∵(an+1﹣1)(1﹣an)=an,a8=2,∴(2﹣1)(1﹣a7)=a7,解得a7=,同理可得a6=﹣1,a5=2,…,a1=.∴an+3=an.則S2017=a1+672(a6+a7+a8)=+672×=.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性、數(shù)列求和,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿(mǎn)分8分)已知復(fù)數(shù),其中,,,是虛數(shù)單位,且,.(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求和:①;②.

參考答案:(1),,.由得,數(shù)列是以1為首項(xiàng)公比為3的等比數(shù)列,數(shù)列是以1為首項(xiàng)公差為2的等差數(shù)列,,.(2)①由(1)知,,數(shù)列是以為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列..②當(dāng),時(shí),當(dāng),時(shí),又也滿(mǎn)足上式19.(2017?貴州模擬)如圖1,在等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,將△ABC沿中位線DE翻折得到如圖2所示的空間圖形,使二面角A﹣DE﹣C的大小為θ(0<θ<).(1)求證:平面ABD⊥平面ABC;(2)若θ=,求直線AE與平面ABC所成角的正弦值.參考答案:【考點(diǎn)】直線與平面所成的角;平面與平面垂直的判定.【分析】(1)證明:DE⊥平面ADB,DE∥BC,可證BC⊥平面ABD,即可證明平面ABD⊥平面ABC.(2)取DB中點(diǎn)O,AO⊥DB,由(1)得平面ABD⊥平面EDBC,AO⊥面EDBC,所以以O(shè)為原點(diǎn),建立如圖坐標(biāo)系,則A(0,0,),B(1,0,0),C(1,4,0),E(﹣1,2,0),利用平面ABC的法向量求解.【解答】(1)證明:由題意,DE∥BC,∵DE⊥AD,DE⊥BD,AD∩BD=D,∴DE⊥平面ADB,∴BC⊥平面ABD;∵面ABC,∴平面ABD⊥平面ABC;(2)由已知可得二面角A﹣DE﹣C的平面角就是∠ADB設(shè)等腰直角三角形ABC的直角邊AB=4,則在△ADB中,AD=DB=AB=2,取DB中點(diǎn)O,AO⊥DB,由(1)得平面ABD⊥平面EDBC,∴AO⊥面EDBC,所以以O(shè)為原點(diǎn),建立如圖坐標(biāo)系,則A(0,0,),B(1,0,0),C(1,4,0),E(﹣1,2,0)設(shè)平面ABC的法向量為,,.由,取,},∴直線AE與平面ABC所成角的θ,sinθ=|cos<>|=||=.即直線AE與平面ABC所成角的正弦值為:【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直,考查向量法求二面角,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.20.(12分)如圖,四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥底面ABC

D.(1)證明:PA⊥BD;(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.參考答案:(1)因?yàn)?2,由余弦定理得=從而B(niǎo)D2+AD2=AB2,故BDAD

又PD底面ABCD,可得BDPD

所以BD平面PA

D.故PABD-----6分

(2)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-,則,,,.,,設(shè)平面PAB的法向量為=(x,y,z),則

因此可取=

設(shè)平面PBC的法向量為,則,

可取=(0,-1,),

故二面角A-PB-C的余弦值為

.----

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