冀教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《2251-菱形及其性質(zhì)》課件

第二十二章四邊形22.5菱形第1課時(shí)

菱形及其性質(zhì)1課堂講解菱形及其對(duì)稱性菱形邊的性質(zhì)菱形對(duì)角線的性質(zhì)2課時(shí)流程逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升我們已經(jīng)知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質(zhì)外，還有它的特殊性質(zhì)，同樣對(duì)于平行四邊形來(lái)說(shuō)有特殊情況即特殊的平行四邊形，我們已經(jīng)研究了一種特殊的平行四邊形——矩形；這堂課還要研究另一種特殊的平行四邊形——菱形.兩組對(duì)邊分別平行平行四邊形矩形菱形有一個(gè)角是直角有一組鄰邊相等1知識(shí)點(diǎn)菱形及其對(duì)稱性1.在平行四邊形中，如果內(nèi)角大小保持不變，僅改變邊的長(zhǎng)度，請(qǐng)仔細(xì)觀察和思考，在這變化過(guò)程中，

哪些關(guān)系沒(méi)變？哪些關(guān)系變了？知1－講

平行四邊形鄰邊相等菱形如果改變了邊的長(zhǎng)度，使兩鄰邊相等，那么這個(gè)平行四邊形成為怎樣的四邊形？歸納知1－講定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.AB=BC平行四邊形ABCD四邊形ABCD是菱形知1－講1.如圖，將一個(gè)菱形紙片ABCD按圖示方法折疊后，再展開(kāi)：(1)說(shuō)明兩條折痕的交點(diǎn)O恰為菱形的中心.(2)菱形ABCD是軸對(duì)稱圖形嗎？如果它是軸對(duì)稱圖形，

那么它有幾條對(duì)稱軸，都是那些直線？歸納知1－講菱形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.（來(lái)自教材）知1－講例1

已知：如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE∥AC交BC于點(diǎn)E，DF∥BC交AC于點(diǎn)F.四邊形DECF是菱形嗎？為什么？因?yàn)镈E∥FC，DF∥EC，所以四邊形DECF為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形求證即可．導(dǎo)引：知1－講四邊形DECF是菱形．理由如下：∵DE∥FC，DF∥EC，∴四邊形DECF為平行四邊形．

由AC∥DE，知∠2＝∠3.∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴DE＝EC，∴平行四邊形DECF為菱形(有一組鄰邊相等的平

行四邊形是菱形)．解：總

結(jié)知1－講

本題考查了菱形的定義，菱形的定義也可以作為菱形的判定方法．知1－練如圖，若要使?ABCD成為菱形，則需要添加的條件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝AC

C．AB＝BC

D．AC＝BD1C知1－練2如圖，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一點(diǎn)，DE∥AC交AB于點(diǎn)E，DF∥AB交AC于點(diǎn)F，要使四邊形AEDF是菱形，只需添加的條件是(

)A．AD⊥BC

B．∠BAD＝∠CADC．BD＝DC

D．AD＝BDB知1－練3菱形是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸的條數(shù)為(

)A．2條B．4條C．6條D．8條A知1－練4如圖，O是菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是OA，OC的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①S△ADE＝S△EOD；②四邊形BFDE是軸對(duì)稱圖形；③△DEF是軸對(duì)稱圖形；④∠ADE＝∠EDO.其中正確的有(

)A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)C2知識(shí)點(diǎn)菱形邊的性質(zhì)知2－導(dǎo)菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì)．此外，菱形還具有哪些特殊性質(zhì)呢?觀察圖所示，根據(jù)菱形的軸對(duì)稱性，你發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊具有什么大小關(guān)系?歸納知2－導(dǎo)菱形的四條邊都相等.知2－講例2如圖所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連接AE、EF、AF，則△AEF的周長(zhǎng)為()

A．B．C．D．3

在菱形ABCD中，因?yàn)椤螧＝60°，連接AC，則△ABC是等邊三角形，又因?yàn)镋分別是BC的中點(diǎn)，所以AE垂直于BC，因此AE＝，所以△AEF的周長(zhǎng)為，故選B.分析：B總

結(jié)知2－講

在菱形中作輔助線經(jīng)常連接對(duì)角線，構(gòu)造三角形來(lái)做題，能夠迎刃而解.1菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，∠AOC=45°，OC=求點(diǎn)B的坐標(biāo).知2－練（來(lái)自教材）過(guò)點(diǎn)B作BD⊥OA，垂足為D.由題意可知∠BAD＝∠AOC＝45°，AB＝OA＝OC＝，所以AD＝BD＝1.所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(＋1，1)．解：知2－練如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，E為AB的中點(diǎn)，且DE⊥AB.求菱形ABCD的面積.2連接BD，∵AB＝2cm，E為AB的中點(diǎn)，∴AE＝

AB＝1cm.在Rt△AED中，DE＝(cm)．∴S菱形ABCD＝2S△ABD＝2××2×

＝2(cm2)．解：知2－練邊長(zhǎng)為3cm的菱形的周長(zhǎng)是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm3C知2－練4【中考·蘭州】如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△AEF的面積是(

)A．4B．3C．2D.B知2－練5【中考·重慶】如圖，在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以點(diǎn)D為圓心，菱形的高DF為半徑畫(huà)弧，交AD于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)G，則圖中陰影部分的面積是(

)A．18－9πB．18－3πC．9－D．18－3πA知2－練6【中考·鄂州】如圖，菱形ABCD的邊AB＝8，∠B＝60°，P是AB上一點(diǎn)，BP＝3，Q是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′.當(dāng)CA′的長(zhǎng)度最小時(shí)，CQ的長(zhǎng)為(

)A．5B．7C．8D.B3知識(shí)點(diǎn)菱形對(duì)角線的性質(zhì)知3－導(dǎo)

因?yàn)榱庑问瞧叫兴倪呅危运哂衅叫兴倪呅蔚乃行再|(zhì).由于它的一組鄰邊相等，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？思考菱形的兩條對(duì)角線AC與BD之間具有什么位置關(guān)系?歸納知3－導(dǎo)

對(duì)于菱形，我們?nèi)匀粡乃膶?duì)角線等方面進(jìn)行研究.可以發(fā)現(xiàn)并證明(請(qǐng)你自己完成證明)，菱形還有以下性質(zhì)：

菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.知3－導(dǎo)問(wèn)題菱形的面積如何計(jì)算呢？菱形的面積有兩種計(jì)算方法：一種是底乘以高的積；另一種是對(duì)角線乘積的一半.所以在求菱形的面積時(shí)，要靈活運(yùn)用使計(jì)算簡(jiǎn)單.知3－講例3如圖，菱形ABCD的周長(zhǎng)為16cm，∠ABC=120°.求對(duì)角線BD和AC的長(zhǎng).（來(lái)自教材）∵AB+BC+CD+AD=16cm，∴AB=BC=CD=AD==4(cm).∵BD平分∠ABC，∠ABC=120°，∴∠ABD=60°.∴△ABD是等邊三角形.∴BD=AB=4cm.在Rt△AOB中，OB=2cm，解：總

結(jié)知3－講

菱形的對(duì)角線將菱形分成四個(gè)全等的直角三角形，我們通常將菱形問(wèn)題中求相關(guān)線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為求直角三角形中相關(guān)線段的長(zhǎng)，再利用勾股定理來(lái)計(jì)算．如圖，在菱形ABCD中，AC，BD為對(duì)角線，∠BAC=50°.求菱形ABCD各內(nèi)角的度數(shù).知3－練1（來(lái)自教材）在菱形ABCD中，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD＝2∠BAC＝100°.∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∴∠ABC＝80°.∴∠ADC＝80°，∠BCD＝100°.解：在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=8，BD=6.求菱形的周長(zhǎng).知3－練2（來(lái)自教材）解：由題意易知菱形的邊長(zhǎng)為＝5，所以周長(zhǎng)為4×5＝20.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且AC=6cm，BD=8cm，AE⊥BC，垂足為E.求AE的長(zhǎng).知3－練3（來(lái)自教材）知3－練（來(lái)自教材）在菱形ABCD中，∵AC＝6cm，BD＝8cm，∴OA＝

AC＝3cm，OB＝

BD＝4cm.∴在Rt△AOB中，AB＝

＝5cm.∴BC＝5cm.∵S△ABC＝

AC·OB＝

BC·AE，∴AE＝(cm)．解：知3－練（來(lái)自教材）如圖，四邊形ABCD是菱形，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，4)，(-3，0).求點(diǎn)D，C的坐標(biāo).4∵A(0，4)，B(－3，0)，∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5.∴AD＝BC＝AB＝5.∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－1)，

C點(diǎn)的坐標(biāo)為(－3，－5)．解：知3－講如圖，菱形花壇ABCD的邊長(zhǎng)為20m，∠ABC=60°，沿著菱形的對(duì)角線修建了兩條小路AC和BD.求兩條小路的長(zhǎng)(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)和花壇的面積(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位).例4∵花壇ABCD的形狀是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°.

在Rt△OAB中，AO

=AB=×20=10，∴花壇的兩條小路長(zhǎng)AC=2AO=20(m)，BD=2BO=20≈34.64(m).

花壇的面積S四邊形ABCD=4×S△OAB

=AC·BD=200≈346.4(m2).知3－講解：總

結(jié)知3－講菱形的面積有三種計(jì)算方法：(1)將其看成平行四邊形，用底與高的積來(lái)求；(2)對(duì)角線分得的四個(gè)全等直角三角形面積之和；(3)兩條對(duì)角線乘積的一半．說(shuō)明：讀者可利用(1)(2)兩種方法試一試；注意應(yīng)

用(3)這種方法時(shí)不要忽視“一半”．已知菱形的邊長(zhǎng)和一條對(duì)角線的長(zhǎng)均為2cm.求這個(gè)菱形的面積.知3－練1（來(lái)自教材）解：由題意易知菱形的另一條對(duì)角線的長(zhǎng)為cm，所以該菱形的面積為(cm2)．知3－練（來(lái)自教材）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=BC，連接CE.(1)求證：BD=EC.(2)求證：S菱形ABCD=S△AEC2知3－練（來(lái)自教材）(1)在菱形ABCD中，AB∥CD，

即BE∥CD，BC＝CD，∵BE＝BC，∴BE＝CD，∴四邊形BECD為平行四邊形．∴BD＝EC.(2)由題意易知S△ADC＝S△ABC＝S△BEC.∵S菱形ABCD＝S△ADC＋S△ABC，S△AEC＝S△ABC＋S△BEC，∴S菱