浙江省寧波市余姚第四高中高三數學理知識點試題含解析

浙江省寧波市余姚第四高中高三數學理知識點試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.實數x，y滿足不等式組的取值范圍是（）A.[一1，1） B.[一1，2） C.（-1，2） D.[一1，1]參考答案：A試題分析：這是一道線性規(guī)劃題，先畫出可行域，如下：表示的是到陰影部分上的點的斜率，故由圖可知斜率的范圍是[一1，1），則的取值范圍是[一1，1）.考點：線性規(guī)劃問題.2.集合A=，集合B=，則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.設是空間兩條直線，，是空間兩個平面，則下列選項中不正確的是（

）A．當時，“”是“∥”成立的充要條件B．當時，“”是“”的充分不必要條件C．當時，“”是“”的必要不充分條件D．當時，“”是“”的充分不必要條件參考答案：C4.若直線上存在點(x，y)滿足則實數m的最大值為A.－2 B.－1 C.1 D.3參考答案：B【分析】首先畫出可行域，然后結合交點坐標平移直線即可確定實數m的最大值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示，由，得：，即C點坐標為（－1，－2），平移直線x＝m，移到C點或C點的左邊時，直線上存在點在平面區(qū)域內，所以，m≤－1，即實數的最大值為－1.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃及其應用，屬于中等題.5.已知函數，則的值為

(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.已知實數滿足，則的最小值是A.5

B.

C.

D.參考答案：D7.平面向量與的夾角為60°，則（

）（A）

（B）

（C）4

（D）12參考答案：B8.已知集合A={0，1，2，3}，集合B={（x,y）|},則B中所含元素的個數為 A．3 B．6 C．8 D．10參考答案：C略9.設曲線上任一點處切線斜率為，則函數的部分圖象可以為．參考答案：C略10.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，則下列關于說法正確的是（

）A.最大值為1，圖象關于直線對稱B.在上單調遞減，為奇函數C.在上單調遞增，為偶函數D.周期是π，圖象關于點對稱參考答案：A【分析】首先求出，求出函數的值域與對稱軸即可選出正確答案.【詳解】函數的圖象向左平移個單位長度得到，的值域為，令，則，所以直線是的一條對稱軸，故A正確.為偶函數，周期為,故B錯誤；當時，，令，則在上顯然不單調，故C錯誤；，故D錯誤，故選：A【點睛】本題考查余弦型函數的性質，包括單調性、周期性、對稱性與奇偶性，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是

．參考答案：【考點】由三視圖求面積、體積．【專題】數形結合；分割補形法；立體幾何．【分析】根據幾何體的三視圖，得出該幾何體是三棱柱與四棱錐的組合體，結合圖中數據，求出它的體積．【解答】解：根據幾何體的三視圖，得；該幾何體是三棱柱ABF﹣DCE與四棱錐P﹣ABCD的組合體，如圖所示；則該幾何體的體積為V=×22×2+×2×2×2=．故答案為：．【點評】本題考查了幾何體三視圖的應用問題，也考查了空間想象能力的應用問題，是基礎題目．12.若不等式的解集不為，則實數的取值范圍是______．參考答案：【知識點】絕對值不等式的解法．N4

解析：∵|x﹣1|﹣|x﹣2|=|x﹣1|﹣|2﹣x|≤|x﹣1﹣x+2|=1若不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集不為空集，即a2+a+1≥1，解得x≤﹣1或x≥0∴實數a的取值范圍是故答案為：【思路點撥】根據絕對值的性質，我們可以求出|x﹣1|﹣|x﹣2|的最大值，結合不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥a2+a+1（x∈R）的解集不為空集，即a2+a+1≥1，解不等式可得實數a的取值范圍．13.已知且則的最大值是（

）。參考答案：14.設等比數列{an}的前n項和為Sn，若27a3﹣a6=0，則=

．參考答案：28【考點】88：等比數列的通項公式．【分析】設出等比數列的首項和公比，由已知求出公比，代入等比數列的前n項和得答案．【解答】解：設等比數列{an}的首項為a1，公比為q，由27a3﹣a6=0，得27a3﹣a3q3=0，即q=3，∴=．故答案為：28．15.某廠在生產某產品的過程中，產量x（噸）與生產能耗y（噸）的對應數據如表所示．根據最小二乘法求得回歸直線方程為=0.7x+a．當產量為80噸時，預計需要生產能耗為噸．x30405060y25304045

參考答案：59.5【考點】線性回歸方程．【分析】求出x，y的平均數，代入y關于x的線性回歸方程，求出a，把x=80代入，能求出當產量為80噸時，預計需要生成的能耗．【解答】解：由題意，=45，=35，代入=0.7x+a，可得a=3.5，∴當產量為80噸時，預計需要生成能耗為0.7×80+3.5=59.5，故答案為：59.5．【點評】本題考查了最小二乘法，考查了線性回歸方程，解答的關鍵是知道回歸直線一定經過樣本中心點，是基礎題．16.已知函數f（2x﹣1）的定義域是[﹣2，3]，則函數f（x+1）的定義域是t．參考答案：[﹣6，4]考點：函數的定義域及其求法．專題：函數的性質及應用．分析：根據函數成立的條件，即可求出函數的定義域．解答：解：∵f（2x﹣1）的定義域是[﹣2，3]，∴﹣2≤x≤3，﹣4≤2x≤6，﹣5≤2x﹣1≤5，由﹣5≤x+1≤5，得﹣6≤x≤4，即函數f（x+1）的定義域為[﹣6，4]，故答案為：[﹣6，4]點評：本題主要考查函數定義域的求法，要求熟練掌握復合函數定義域之間的關系，比較基礎．17.在直角坐標系中，曲線的參數方程為為參數)；以原點為極點，以軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線的極坐標方程為 .參考答案：,或略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，直三棱柱中，，，為的中點，為上的一點，．（Ⅰ）證明：為異面直線與的公垂線；（Ⅱ）設異面直線與的夾角為45°，求二面角的余弦值．參考答案：（本小題滿分12分）解：（I）連接A1B，記A1B與AB1的交點為F.因為面AA1BB1為正方形，故A1B⊥AB1，且AF=FB1，又AE=3EB1，所以FE=EB1，又D為BB1的中點，故DE∥BF，DE⊥AB1.

………………3分作CG⊥AB，G為垂足，由AC=BC知，G為AB中點.又由底面ABC⊥面AA1B1B.連接DG，則DG∥AB1，故DE⊥DG，由三垂線定理，得DE⊥CD.所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線.（II）因為DG∥AB-1，故∠CDG為異面直線AB-1與CD的夾角，∠CDG=45°設AB=2，則AB1=，DG=，CG=，AC=.作B1H⊥A1C1，H為垂足，因為底面A1B1C1⊥面AA1CC1，故B1H⊥面AA1C1C.又作HK⊥AC1，K為垂足，連接B1K，由三垂線定理，得B1K⊥AC1，因此∠B1KH為二面角A1-AC1-B1的平面角.略19.（本小題滿分13分）已知是等差數列，其前n項和為Sn，是等比數列，且，.（Ⅰ）求數列與的通項公式；（Ⅱ）記，，證明（）.

參考答案：20.設函數f（x）=ex（ax2+x+1），且a＞0，求函數f（x）的單調區(qū)間及其極大值．參考答案：考點：利用導數研究函數的單調性；利用導數研究函數的極值．專題：計算題；導數的概念及應用．分析：求導數，分類討論，利用導數的正負，即可求函數f（x）的單調區(qū)間及其極大值．解答：解：∵f（x）=ex（ax2+x+1），∴f′（x）=aex（x+）（x+2）（3分）當a=時，f′（x）≥0，f（x）在R上單增，此時無極大值；

（5分）當0＜a＜時，f′（x）＞0，則x＞﹣2或x＜﹣，f′（x）＜0，則﹣＜x＜﹣2∴f（x）在（﹣∞，﹣）和（2，+∞）上單調遞增，在（﹣，﹣2）上單調遞減．…（8分）此時極大值為f（﹣）=

（9分）當a＞時，f′（x）＞0，則x＜﹣2或x＞﹣，f′（x）＜0，則﹣2＜x＜﹣∴f（x）在（﹣∞，﹣2）和（﹣，+∞）上單調遞增，在（﹣2，﹣）上單調遞減．…（11分）此時極大值為f（﹣2）=e﹣2（4a﹣1）（12分）點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查利用導數研究函數的極值，屬于中檔題．21.《九章算術》是我國古代數學名著，它在幾何學中的研究比西方早1千多年．在《九章算術》中，將底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，陽馬指底面為矩形，一側棱垂直于底面的四棱錐，鱉臑指四個面均為直角三角形的四面體．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC．（Ⅰ）求證：四棱錐B﹣A1ACC1為陽馬；并判斷四面體B﹣A1CC1是否為鱉臑，若是，請寫出各個面的直角（只要求寫出結論）．（Ⅱ）若A1A=AB=2，當陽馬B﹣A1ACC1體積最大時，求二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．參考答案：【考點】MT：二面角的平面角及求法；L3：棱錐的結構特征；LX：直線與平面垂直的性質．【分析】（Ⅰ）由塹堵ABC﹣A1B1C1的性質得：四邊形A1ACC1是矩形，推導出BC⊥A1A，BC⊥AC，從而BC⊥平面A1ACC1，由此能證明四棱錐B﹣A1ACC1為陽馬，四面體B﹣A1CC1是否為鱉臑，四個面的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B．（Ⅱ）陽馬B﹣A1ACC1的體積：≤，當且僅當AC=BC=時，，以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出當陽馬B﹣A1ACC1體積最大時，二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值．【解答】證明：（Ⅰ）由塹堵ABC﹣A1B1C1的性質得：四邊形A1ACC1是矩形，∵A1A⊥底面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥A1A，又BC⊥AC，A1A∩AC=A，A1A，AC?平面A1ACC1，∴BC⊥平面A1ACC1，∴四棱錐B﹣A1ACC1為陽馬，四面體B﹣A1CC1是否為鱉臑，四個面的直角分別是∠A1CB，∠A1C1C，∠BCC1，∠A1C1B．解：（Ⅱ）∵A1A=AB=2，由（Ⅰ）知陽馬B﹣A1ACC1的體積：==≤，當且僅當AC=BC=時，，以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，則A1（0，，2），B（，0，0），C1（0，0，2），∴=（0，，2），=（，0，0），=（0，，0），=（，0，﹣2），設平面CA1B的法向量=（x，y，z），則，取y=，得=（0，，﹣1），設平面C1A1B的法向量=（a，b，c），則，取a=，得=（，0，1），設當陽馬B﹣A1ACC1體積最大時，二面角C﹣A1B﹣C1的平面角為θ，則cosθ===，∴當陽馬B﹣A1ACC1體積最大時，二面角C﹣A1B﹣C1的余弦值為．22.（13分）已知函數f（x）=sin（2x+）+cos（2x+）．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函數f（x）的最小正周期和單調遞增區(qū)間．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用．【專題】計算題；轉化思想；三角函數的求值；三角函數的圖像與性質．【分析】（I）利用和差角（輔助角）公式，將函數化為正弦型函數的形式，再由誘導公式可得f（x）=2cos2x，將x=代入可得答案；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=2cos