高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)-第6章-第7講-數(shù)學(xué)歸納法課件-理-新人教A版

第7講數(shù)學(xué)歸納法第一頁，共50頁。不同尋常的一本書，不可不讀喲！

1.了解數(shù)學(xué)(shùxué)歸納法的原理．2.能用數(shù)學(xué)(shùxué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)(shùxué)命題.第二頁，共50頁。1個(gè)重要方法數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)的命題的常用方法，特別是數(shù)列中等式、不等式的證明，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)．2個(gè)必會(huì)步驟(bùzhòu)1.第一步是遞推的基礎(chǔ)，驗(yàn)證n＝n0時(shí)，n0不一定為1，要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值．2.第二步是遞推的依據(jù)，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在證明n＝k＋1時(shí)，命題也成立的過程中一定要用到它．第三頁，共50頁。3點(diǎn)必須(bìxū)注意1.初始值的驗(yàn)證是歸納的基礎(chǔ)，歸納遞推是證題的關(guān)鍵，兩個(gè)步驟缺一不可．2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的過程中，要注意從k到k＋1時(shí)命題中的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的變化，防止對(duì)項(xiàng)數(shù)估算錯(cuò)誤．3.解題中要注意步驟的完整性和規(guī)范性，過程中要體現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法證題的形式.第四頁，共50頁。課前自主導(dǎo)(zhǔdǎo)學(xué)第五頁，共50頁。1.數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)證明當(dāng)n取________時(shí)命題成立，這一步是歸納奠基．(2)假設(shè)(jiǎshè)n＝k(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)________時(shí)命題也成立，這一步是歸納遞推．完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)一切n∈N*，n≥n0，命題成立．第六頁，共50頁。第七頁，共50頁。2．?dāng)?shù)學(xué)(shùxué)歸納法的框圖表示第八頁，共50頁。第九頁，共50頁。第十頁，共50頁。第十一頁，共50頁。核心要點(diǎn)(yàodiǎn)研究第十二頁，共50頁。例1[2013·青島調(diào)研]用數(shù)學(xué)(shùxué)歸納法證明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n∈N＋)．[審題視點(diǎn)]從n＝k到n＝k＋1的過渡，左邊增加了因式(2k＋1)(2k＋2)減少了因式k＋1，右邊2k變成2k＋1增加了因式(2k＋1)．第十三頁，共50頁。[證明](1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝2＝右邊，等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時(shí)，等式成立，即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1)＝2k·2(2k＋1)·1·3·5…(2k－1)＝2k＋1·1·3·5…(2k－1)·[2(k＋1)－1]∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)等式也成立．由(1)、(2)可知(kězhī)，等式對(duì)任何n∈N＋都成立．第十四頁，共50頁。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是幾．2．由n＝k到n＝k＋1時(shí)，除考慮等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n＝k時(shí)的式子，即充分利用假設(shè)，正確(zhèngquè)寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明．第十五頁，共50頁。第十六頁，共50頁。第十七頁，共50頁。第十八頁，共50頁。第十九頁，共50頁。第二十頁，共50頁。第二十一頁，共50頁。1．用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)n有關(guān)的不等式，一般有三種具體形式：一是直接給出不等式，按要求進(jìn)行證明；二是比較兩個(gè)式子的大小，先利用n的幾個(gè)特殊值猜想大小再給出證明；三是已知不等式成立，尋求變量的取值范圍．2．在證明由n＝k到n＝k＋1成立時(shí)，一定要用歸納假設(shè)n＝k時(shí)得到的中間過渡式，由過渡式到目標(biāo)(mùbiāo)式的證明可以用放縮法、基本不等式、分析法等．第二十二頁，共50頁。第二十三頁，共50頁。第二十四頁，共50頁。例3[2013·保定質(zhì)檢]是否存在正整數(shù)m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9對(duì)任意自然數(shù)n都能被m整除，若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論(jiélùn)；若不存在，說明理由．[審題視點(diǎn)]考慮到該問題與正整數(shù)n有關(guān)，故可用數(shù)學(xué)歸納法證明，觀察所給函數(shù)式，湊出推理要證明所需的項(xiàng)．第二十五頁，共50頁。[解]由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立；(2)假設(shè)(jiǎshè)n＝k(k∈N*且k≥1)時(shí)，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍數(shù)，故18(3k－1－1)能被36整除，這就是說，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值為36.第二十六頁，共50頁。證明整除問題的關(guān)鍵“湊項(xiàng)”，而采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等手段(shǒuduàn)，湊出n＝k時(shí)的情形，從而利用歸納假設(shè)使問題獲證．第二十七頁，共50頁。[變式探究(tànjiū)]用數(shù)學(xué)歸納法證明42n＋1＋3n＋2能被13整除，其中n∈N*.證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，42×1＋1＋31＋2＝91能被13整除．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，42k＋1＋3k＋2能被13整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，42(k＋1)＋1＋3k＋3＝42k＋1·42＋3k＋2·3－42k＋1·3＋42k＋1·3＝42k＋1·13＋3·(42k＋1＋3k＋2)∵42k＋1·13能被13整除，42k＋1＋3k＋2能被13整除∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)也成立．由(1)(2)知，當(dāng)n∈N*時(shí)，42n＋1＋3n＋2能被13整除.第二十八頁，共50頁。例4[2013·陜西模擬]數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝2n－an(n∈N*)．(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4；(2)猜想通項(xiàng)公式an，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．[審題視點(diǎn)](1)利用前n項(xiàng)和的關(guān)系式，對(duì)于n令值，就可以得到數(shù)列的前幾項(xiàng)．(2)結(jié)合前幾項(xiàng)的規(guī)律，歸納猜想其通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用(yùnyòng)數(shù)學(xué)歸納法分為兩步驟求解得到結(jié)論．第二十九頁，共50頁。第三十頁，共50頁。第三十一頁，共50頁。(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納—猜想—證明(zhèngmíng)”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性．(2)“歸納—猜想—證明(zhèngmíng)”的基本步驟是“試驗(yàn)—?dú)w納—猜想—證明(zhèngmíng)”．高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題．第三十二頁，共50頁。[變式探究]已知數(shù)列(shùliè){an}的通項(xiàng)公式為an＝(－1)n＋1·n2，其前n項(xiàng)和為Sn，(1)求S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的值；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中所猜想的結(jié)論．第三十三頁，共50頁。第三十四頁，共50頁。第三十五頁，共50頁。課課精彩(jīnɡcǎi)無限第三十六頁，共50頁?！具x題·熱考秀】[2012·全國高考]函數(shù)f(x)＝x2－2x－3.定義數(shù)列{xn}如下(rúxià)：x1＝2，xn＋1是過兩點(diǎn)P(4,5)、Qn(xn，f(xn))的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．(1)證明：2≤xn<xn＋1<3；(2)求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式．第三十七頁，共50頁。第三十八頁，共50頁。第三十九頁，共50頁。第四十頁，共50頁?！緜淇肌そ嵌日f】No.1角度關(guān)鍵詞：易錯(cuò)分析(1)基礎(chǔ)不扎實(shí)，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解題的意識(shí)不強(qiáng)．不知用數(shù)學(xué)歸納法證明．(2)數(shù)學(xué)歸納法解題步驟掌握不好，易忽視對(duì)初始值的驗(yàn)證．(3)證明n＝k到n＝k＋1這一步時(shí)，忽略了假設(shè)條件去證明，造成不是純正的數(shù)學(xué)歸納法．(4)不等式證明過程中，不能正確(zhèngquè)合理地運(yùn)用分析法、綜合法來證明．第四十一頁，共50頁。No.2角度關(guān)鍵詞：備考建議(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法．(2)數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)步驟缺一不可．第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假設(shè)起著“已知條件”的作用，在n＝k＋1時(shí)一定要運(yùn)用它，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法．第二步的關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論(jiélùn)”．(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n＝k成立，推證n＝k＋1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.第四十二頁，共50頁。經(jīng)典(jīngdiǎn)演練提能第四十三頁，共50頁。答案(dáàn)：C第四十四頁，共50頁。答案(dáàn)：B第四十五頁，共50頁。3．用數(shù)學(xué)歸納法證明(zhèngmíng)“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是()A．假設(shè)n＝2k＋1時(shí)正確，再推n＝2