2023年中考人教版數學一輪復習 第4章 三角形

第四章三角形第一節(jié)幾何初步、相交線與平行線考點易錯自糾易錯點1因不理解點到直線的距離的定義而致錯1.點P為直線l外一點,點A,B,C為直線l上三點,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點P到直線l的距離是(D)A.2cm B.4cm C.5cm D.不超過2cm易錯點2未給出圖形求線段長或角度大小時忽略分類討論致錯2.已知線段AB=8cm.在直線AB上畫線段AC=5cm,則BC的長是3cm或13cm.

3.已知∠AOB=35°,以O為頂點作射線OC,若∠AOC=2∠AOB,則∠BOC=35°或105°.

易錯點3誤認為同位角(或內錯角)一定相等4.如圖,與∠2一定相等的角是(C)A.∠1B.∠3C.∠4D.∠5真題考法速覽考法1角的度量(10年1考)考法2垂線(10年1考)考法3角及角平分線(10年2考)考法4平行線的判定與性質(10年4考)考法1角的度量1.[河北,3]用量角器測量∠MON的度數,下列操作正確的是(C)考法2垂線2.[2020河北,1]如圖,在平面內作已知直線m的垂線,可作垂線的條數有(D)A.0條 B.1條 C.2條 D.無數條考法3角及角平分線3.[河北,2]如圖,∠1+∠2等于(B)A.60° B.90°C.110° D.180°考法4平行線的判定與性質4.[河北,8]如圖,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,則∠ACD=(C)A.120° B.130°C.140° D.150°5.[河北,7]下面是投影屏上出示的搶答題,需要回答橫線上符號代表的內容.則回答正確的是(C)A.◎代表∠FEC B.@代表同位角C.▲代表∠EFC D.※代表AB第二節(jié)三角形及其性質考點易錯自糾易錯點1誤認為三角形的高一定在三角形內部1.已知AD是△ABC中BC邊上的高,AD=5,CD=4,BD=2,則△ABC的面積等于5或15.

易錯點2忽略三角形的三邊關系致錯2.[2020貴州黔南州]已知等腰三角形的一邊長等于4,一邊長等于9,則它的周長為(D)A.9 B.17或22 C.17 D.223.在△ABC中,AC=2BC,BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分,則AC=48.

方法命題角度1三角形的三邊關系提分特訓1.[石家莊42中一模]如圖,長度為10m的木條,從兩邊各截取長度為xm的木條,若得到的三根木條能組成三角形,則x可以取的值為(C)A.2m B.52C.3m D.6m2.[2020浙江紹興]長度分別為2,3,3,4的四根細木棒首尾相連,圍成一個三角形(木棒允許連接,但不允許折斷),得到的三角形的最長邊長為(B)A.4 B.5 C.6 D.7命題角度2三角形的內角和外角提分特訓3.[2020遼寧錦州]如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,則∠ADC的度數是(C)A.80° B.90° C.100° D.110°4.[內蒙古赤峰]如圖,在△ABC中,點D在BC的延長線上,過點D作DE⊥AB于點E,交AC于點F.若∠A=35°,∠D=15°,則∠ACB的度數為(B)A.65° B.70°C.75° D.85°命題角度3三角形中的重要線段提分特訓5.[2020四川宜賓]如圖,點M,N分別是△ABC的邊AB,AC的中點,若∠A=65°,∠ANM=45°,則∠B=(D)A.20° B.45° C.65° D.70°6.[2020陜西]如圖,在3×3的網格中,每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上.若BD是△ABC的高,則BD的長為(D)A.101313 B.91313 C.真題考法速覽考法1三角形的穩(wěn)定性(10年1考)考法2三角形的三邊關系(10年2考)考法3三角形的內角與外角(10年2考)考法4三角形的中位線(10年3考)考法1三角形的穩(wěn)定性1.[河北,1]下列圖形具有穩(wěn)定性的是(A)ABCD考法2三角形的三邊關系2.[河北,15]如圖(1),M是鐵絲AD的中點,將該鐵絲首尾相接折成△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如圖(2).則下列說法正確的是(C)圖(1)圖(2)A.點M在AB上B.點M在BC的中點處C.點M在BC上,且距點B較近,距點C較遠D.點M在BC上,且距點C較近,距點B較遠3.[河北,10]已知三角形三邊長分別為2,x,13,若x為正整數,則這樣的三角形個數為(B)A.2個 B.3個 C.5個 D.13個考法3三角形的內角與外角4.[河北,4]平面上直線a,b分別過線段OK兩端點(數據如圖),則a,b相交所成的銳角是(B)A.20° B.30°C.70° D.80°考法4三角形的中位線5.[河北,15]如圖,點A,B為定點,定直線l∥AB,P是l上一動點,點M,N分別為PA,PB的中點,對于下列各值:①線段MN的長;②△PAB的周長;③△PMN的面積;④直線MN,AB之間的距離;⑤∠APB的大小.其中會隨點P的移動而變化的是(B)A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤6.[河北,2]如圖,△ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點.若DE=2,則BC=(C)A.2 B.3 C.4 D.57.[河北,17]如圖,A,B兩點被池塘隔開,不能直接測量其距離.于是,小明在岸邊選一點C,連接CA,CB,并分別延長到點M,N,使AM=AC,BN=BC,測得MN=200m,則A,B間的距離為100m.

高分突破·微專項5與角平分線相關的三大模型強化訓練1.[湖南張家界]如圖,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AC=8,DC=13AD,則點D到AB的距離等于(C)A.4 B.3 C.2 D.12.[2020貴州貴陽]如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺規(guī)在BC,BA上分別截取BE,BD,使BE=BD;分別以點D,E為圓心、以大于12DE的長為半徑作弧,∠CBA內交于點F;作射線BF交AC于點G.若CG=1,P為AB上一動點,則GP的最小值為(C)A.無法確定 B.1C.1 D.23.[唐山開平區(qū)一模]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∠BAC的平分線交BC于點D,過點D作DE⊥AB,垂足為E,連接CE交AD于點F.有以下結論:①AB=2CE;②AC=4CD;③CE⊥AD;④△DBE與△ABC的面積比是1∶(7+43).其中正確結論是(A)A.③④ B.②③ C.①② D.①④4.[湖南永州]如圖,∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分線,點D為OC上一點,過點D作直線DE⊥OA,垂足為點E,且直線DE交OB于點F.若DE=2,則DF=4.

5.[石家莊42中三模]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3.將Rt△ABC平移到Rt△A'B'C'的位置,使得點C'與△ABC的內心重合,則圖中陰影部分的面積為(D)A.25 B.2425 C.526.如圖,直線MN∥PQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點A,B.小宇同學利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點A為圓心,以任意長為半徑作弧,交AN于點C,交AB于點D;②分別以點C,D為圓心、大于12CD的長為半徑作弧,兩弧在∠NAB內交于點E;③作射線AE,交PQ于點F.若AB=2,∠ABP=60°,則線段AF的長為237.[湖北荊州]如圖,矩形ABCD的頂點A,B,C分別落在∠MON的邊OM,ON上,若OA=OC,要求只用無刻度的直尺作∠MON的平分線,小明的作法如下:連接AC,BD交于點E,作射線OE,則射線OE平分∠MON.有以下幾條幾何性質:①矩形的四個角都是直角,②矩形的對角線互相平分,③等腰三角形的“三線合一”.小明的作法依據是(C)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.如圖所示,M是△ABC的邊BC的中點,AN平分∠BAC,BN⊥AN于點N,連接MN,若AB=8,MN=2,則AC的長是12.

9.如圖,ED是∠BEA的平分線,∠B=∠EAC,ED⊥AD.求證:AD平分∠BAC.證明:如圖,延長AD交BC于點F,∵ED是∠BEA的平分線,∴∠AED=∠FED.又∠FDE=180°-∠ADE=90°=∠ADE,DE=DE,∴△EFD≌△EAD,∴∠DAE=∠DFE,∴∠FAC+∠CAE=∠BAF+∠B.又∠B=∠EAC,∴∠FAC=∠BAF,∴AD平分∠BAC.10.如圖,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠BAC的平分線AD交BC于點D,BE⊥AD于點E.求證:AC-AB=2BE.證明:如圖,延長BE交AC于點F,易證△ABE≌△AFE,∴AF=AB,BE=EF,∠AFB=∠ABF,∴∠FBC+∠C=∠ABC-∠FBC.又∠ABC=3∠C,∴∠FBC+∠C=3∠C-∠FBC,∴∠FBC=∠C,∴FC=FB=2BE,∴AC-AB=AC-AF=CF=2BE.第三節(jié)等腰三角形和直角三角形考點易錯自糾易錯點1已知等腰三角形一個角的度數,求頂角(或底角)的度數時忽略分類討論1.若等腰三角形的一個內角為50°,則該三角形頂角的度數是50°或80°.

易錯點2解決特殊三角形的存在性問題時忽略分類討論2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,點D在BC邊上,連接AD,若△ABD為直角三角形,則∠ADC的度數為90°或130°.

方法命題角度1等腰三角形的性質與判定提分特訓1.[2020湖北黃岡]已知:如圖,在△ABC中,點D在邊BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,則∠BAD=40度.

2.[重慶A卷]如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊上的中點,連接AD,BE平分∠ABC交AC于點E,過點E作EF∥BC交AB于點F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度數;(2)求證:FB=FE.(1)解:∵AB=AC,點D為BC的中點,∴∠ABC=∠C=36°,AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-36°=54°.(2)證明:∵BE平分∠ABC,EF∥BC,∴∠ABE=∠EBC,∠FEB=∠EBC,∴∠FEB=∠ABE,∴FB=FE.命題角度2等邊三角形的性質與判定提分特訓3.如圖,△ABC是等邊三角形,P是三角形內任意一點,D,E,F分別是AC,AB,BC邊上的三點,且PF∥AB,PD∥BC,PE∥AC.若PF+PD+PE=a,則△ABC的邊長為(D)A.2a B.3aC.32a 4.[2020江蘇常州]如圖,在△ABC中,BC的垂直平分線分別交BC,AB于點E,F.若△AFC是等邊三角形,則∠B=30°.

命題角度3直角三角形的性質與判定提分特訓5.[2020浙江寧波]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為中線,延長CB至點E,使BE=BC,連接DE,F為DE的中點,連接BF.若AC=8,BC=6,則BF的長為(B)A.2 B.2.5 C.3 D.46.[陜西]如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于點D,DE⊥AB,垂足為E.若DE=1,則BC的長為(A)A.2+2B.2+3C.2+3D.3真題考法速覽考法1等腰三角形的性質與判定(10年3考)考法2等邊三角形的性質與判定(10年2考)考法3直角三角形的性質與判定(10年3考)考法1等腰三角形的性質與判定1.[河北,8]已知:如圖,點P在線段AB外,且PA=PB.求證:點P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結論時,需添加輔助線,則下列作法不正確的是(B)A.作∠APB的平分線PC,交AB于點CB.過點P作PC⊥AB于點C,且AC=BCC.取AB中點C,連接PCD.過點P作PC⊥AB,垂足為點C考法2等邊三角形的性質與判定2.[河北,16]如圖,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點M,N分別在OA,OB上,且△PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有(D)A.1個 B.2個C.3個 D.3個以上3.[河北,13]一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示,若∠3=50°,則∠1+∠2=(B)A.90°B.100°C.130°D.180°考法3直角三角形的性質與判定4.[2020河北,16]如圖是用三塊正方形紙片以頂點相連的方式設計的“畢達哥拉斯”圖案.現有五種正方形紙片,面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊(可重復選取)按如圖所示的方式組成圖案,使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形,則選取的三塊紙片的面積分別是(B)A.1,4,5 B.2,3,5C.3,4,5 D.2,2,45.[河北,14]如圖,AB,CD相交于點O,AC⊥CD于點C,若∠BOD=38°,則∠A等于52°.

6.[河北,19]勘測隊按實際需要構建了平面直角坐標系,并標示了A,B,C三地的坐標,數據如圖(單位:km).筆直鐵路經過A,B兩地.(1)A,B間的距離為20km;

(2)計劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l,并在l上建一個維修站D,使D到A,C的距離相等,則C,D間的距離為13km.

高分突破·微專項6與中點相關的五大模型強化訓練1.如圖,已知在△ABC中,∠B=25°,點D在邊CB上,且∠DAB=90°,AC=12BD.則∠BAC的度數為105°2.[山東臨沂]如圖,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,點D為AB的中點,DC⊥BC,則△ABC的面積是83.

3.如圖,在△ABC中,BC=18,BD,CE是高,點F,G分別為BC,DE的中點,若ED=10,則FG的長為214.

4.[2020山東德州中考節(jié)選]問題探究:小紅遇到這樣一個問題:如圖(1),△ABC中,AB=6,AC=4,AD是中線,求AD的取值范圍.她的做法是:延長AD到E,使DE=AD,連接BE,證明△BED≌△CAD,經過推理和計算使問題得到解決.請回答:(1)小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是SAS.

(2)AD的取值范圍是1<AD<5.

方法運用:(3)如圖(2),AD是△ABC的中線,在AD上取一點F,連接BF并延長交AC于點E,使AE=EF,求證:BF=AC.圖(1)圖(2)(1)SAS(2)1<AD<5解法提示:∵△BED≌△CAD,∴BE=AC=4.在△ABE中,根據三角形的三邊關系得AB-BE<AE<AB+BE,∴2<2AD<10,∴1<AD<5.(3)證明:如圖,延長AD至A',使DA'=AD,連接BA',∵AD是△ABC的中線,∴BD=CD.又∵∠ADC=∠BDA',AD=DA',∴△ADC≌△A'DB,∴AC=BA',∠CAD=∠A'.∵AE=EF,∴∠EAF=∠AFE,又∠AFE=∠BFA',∴∠A'=∠BFA',∴BF=BA',∴BF=AC.5.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是BC的中點,DE⊥AB于點E,若DE=2,則點D到AC的距離為2.

6.[2020貴州黔西南州中考改編]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,點D為AB的中點,以點D為圓心作扇形DEF,且∠EDF=90°,EF經過點C.將扇形DEF繞點D旋轉,使點C始終在EF上(不與點E,F重合),DE,AC交于點G,DF,BC交于點H,求四邊形DGCH周長的最小值.解:如圖,連接CD.∵∠ACB=90°,點D為AB的中點,AC=BC,∴∠A=∠DCH=45°,AD=CD,CD⊥AB.又∠EDF=90°,∴∠ADG=∠CDH,∴△ADG≌△CDH,∴DG=DH,AG=CH,∴CG+CH=CG+AG=AC=4.故當DH+DG取最小值,即DH⊥BC時,四邊形DGCH的周長最小.又此時DH+DG=2DH=2×12AC=4,7.如圖,在△ABC中,點D,E,F分別是AB,AC,BC的中點,已知∠ADE=45°,則∠CFE的度數為(B)A.40° B.45° C.50° D.55°8.如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,點E,F,G分別是AB,CD,AC的中點,連接EF,EG,若∠DAC=15°,∠ACB=87°,則∠FEG的度數為36°.

9.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=25,BC=3,E是AC的中點,延長BC至點F,使CF=12BC,連接EF,解:如圖,取AB的中點D,連接DE,CD,則DE∥BC,DE=12BC又∵CF=12BC,∴DE=CF,∴四邊形DCFE是平行四邊形∴EF=CD.在Rt△BCD中,∵∠B=90°,BD=12AB=5,BC=3∴CD=BD2+BC2=10.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,邊AB的垂直平分線交BC于點M,交AB于點N,若AC=6,MB=2MC,則AB的長度為26.

11.如圖,在菱形ABCD中,按以下步驟作圖:以點A,D為圓心、大于12AD的長為半徑作弧,兩弧交于點P,Q,作直線PQ.已知直線PQ恰好經過點B,若AB=4,則點B到CD的距離為23第四節(jié)全等三角形考點易錯自糾易錯點1不能靈活運用全等三角形的判定定理解決問題致錯1.小明不慎將一塊三角形玻璃摔碎成如圖所示的四塊(分別標有①②③④),若帶著其中一塊去配與原來一樣大小的三角形玻璃,應該帶(D)A.①B.②C.③D.④易錯點2誤用“SSA”判定三角形全等2.如圖,∠BDA=∠BDC,現添加以下條件不能判定△ABD≌△CBD的是(C)A.∠A=∠CB.∠ABD=∠CBDC.AB=CBD.AD=CD易錯點3忽略“△1與△2全等”和“△1≌△2”的區(qū)別3.如圖,在△ABC中,AB=AC=12cm,BC=8cm,點D為AB的中點.點P在線段BC上以2cm/s的速度由B點向C點運動,同時,點Q在線段CA上由C點向A點運動.若點Q的運動速度為vcm/s,則當△BPD與△CQP全等時,v的值為2或3.

方法命題角度全等三角形的判定與性質提分特訓1.[貴州安順]如圖,點B,F,C,E在一條直線上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一個條件后,仍無法判定△ABC≌△DEF的是(A)A.∠A=∠D B.AC=DFC.AB=ED D.BF=EC2.[2020遼寧遼陽]如圖,在△ABC中,M,N分別是AB和AC的中點,連接MN,點E是CN的中點,連接ME并延長,交BC的延長線于點D,若BC=4,則CD的長為2.

3.[2020江蘇常州]已知:如圖,點A,B,C,D在一條直線上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD.(1)求證:∠E=∠F;(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度數.(1)證明:∵EA∥FB,∴∠A=∠FBD.∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.在△EAC與△FBD中,EA=FB,∴△EAC≌△FBD,∴∠E=∠F.(2)∵△EAC≌△FBD,∴∠ECA=∠D=80°.又∵∠A=40°,∴∠E=180°-40°-80°=60°.真題考法全等三角形的性質與判定(必考)1.[河北,23(1)]如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,邊AD與邊BC交于點P(不與點B,C重合),點B,E在AD異側,I為△APC的內心.求證:∠BAD=∠CAE.證明:∵AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,∴△ABC≌△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.2.[河北,21]如圖,點B,F,C,E在直線l上(F,C之間不能直接測量),點A,D在l異側,測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求證:△ABC≌△DEF;(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.(1)證明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.又AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.(2)AB∥DE,AC∥DF.理由:∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE,AC∥DF.3.[河北,23]如圖,∠A=∠B=50°,P為AB中點,點M為射線AC上(不與點A重合)的任意一點,連接MP,并使MP的延長線交射線BD于點N,設∠BPN=α.(1)求證:△APM≌△BPN;(2)當MN=2BN時,求α的值;(3)若△BPN的外心在該三角形的內部,請直接寫出α的取值范圍.(1)證明:∵P為AB中點,∴PA=PB=12在△APM和△BPN中,∠A=∠B,∴△APM≌△BPN.(2)由(1)得,△APM≌△BPN,∴PM=PN=12∵MN=2BN,∴BN=12MN=PN∴α=∠B=50°.(3)40°<α<90°.解法提示:∵銳角三角形的外心在三角形的內部,∴△BPN是銳角三角形,∴0解得40°<α<90°.高分突破·微專項7構造全等三角形中的兩大輔助線技巧技巧一利用旋轉構造全等三角形強化訓練1.如圖,點P為等邊三角形ABC內的一點,且點P到△ABC三個頂點A,B,C的距離分別為1,2,3,則△ABC的面積為

32+32.如圖,在正方形ABCD中,點E為BC上一點,點F為CD上一點,BE+DF=EF,則∠EAF的度數為45°.

3.如圖,在△ABC中,∠C=90°,點D,E,F分別在邊CA,AB,BC上,且四邊形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,則△BFE和△AED的面積之和為4.51.

4.如圖,OA=OD,OA⊥OD,OB=OC,OB⊥OC,經過點O的直線l分別交AB,CD于點E,F.(1)求證:S△OAB=S△OCD;(2)若直線l平分CD,求證:OF=12(1)證明:∵OA=OD,∴可將△AOB以點O為旋轉中心旋轉至△DOG的位置,如圖所示,則△AOB≌△DOG,∴S△OAB=S△ODG,∠AOB=∠DOG,OB=OG.∵OA⊥OD,OB=OC,OB⊥OC,∴∠COD+∠AOB=∠COD+∠DOG=180°,OC=OG,∴C,O,G三點共線,OD為△CDG中CG邊上的中線,∴S△ODG=S△OCD,∴S△OAB=S△OCD.(2)證明:∵直線l平分CD,∴CF=DF.由(1)可知,OC=OG,∴OF為△CDG的中位線,∴OF=12DG由旋轉性質可得DG=AB,∴OF=12技巧二利用截長補短法構造全等三角形強化訓練5.如圖,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=45°,點E為BC的中點,CN⊥AE.(1)求證:∠1=∠2;(2)求證:AE=CN+EN.(1)證明:∵∠CAB=∠CBA=45°,∴∠ACB=90°,∴∠ACN+∠1=90°.∵AE⊥CN,∴∠2+∠ACN=90°,∴∠1=∠2.(2)證明:方法一(截長法):如圖(1),在線段AE上截取AM=CN,連接CM.圖(1)易知AC=BC,又∠1=∠2,AM=CN,∴△ACM≌△CBN,∴CM=BN,∠ACM=∠B=45°,∴∠MCE=45°,∴∠B=∠MCE.在△MCE和△NBE中,CM=BN,∴△MCE≌△NBE,∴EM=EN,∴AE=AM+EM=CN+EN.方法二(補短法):如圖(2),延長CN到點M,使CM=AE,連接BM.圖(2)易知CB=CA,又∠1=∠2,CM=AE,∴△ACE≌△CBM,∴CE=BM=BE,∠CBM=∠ACE=90°,∴∠MBN=45°=∠NBE.在△NBM和△NBE中,BN=BN,∴△NBM≌△NBE,∴NM=EN,∴AE=CM=CN+NM=CN+EN.6.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是邊BC下方一點.(1)如圖(1),若∠BAC=60°,∠BDC=120°,求證:AD=BD+CD;(2)如圖(2),若∠BAC=90°,∠BDC=90°,求證:AD=22(BD+CD)圖(1)圖(2)(1)證明:如圖(1),延長DC到點E,使CE=BD,連接AE.圖(1)∵∠BAC=60°,∠BDC=120°,∴∠ABD+∠ACD=180°.又∵∠ACE+∠ACD=180°,∴∠ABD=∠ACE.又∵AB=AC,CE=BD,∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=60°,∴△ADE是等邊三角形,∴AD=DE=CE+CD=BD+CD.(2)證明:如圖(2),延長DC到點E,使CE=BD,連接AE.圖(2)∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∴∠ABD+∠ACD=180°,又∵∠ACE+∠ACD=180°,∴∠ABD=∠ACE.又∵AB=AC,CE=BD,∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=90°,∴AD=22DE=22(CE+CD)=22(第五節(jié)相似三角形(含位似)考點易錯自糾易錯點1求兩條線段的比時因長度單位不統(tǒng)一而致錯1.一幅地圖中甲、乙兩地的圖上距離3cm表示實際距離150km,這幅地圖的比例尺是1∶5000000.

易錯點2弄錯相似三角形的面積比與相似比的關系2.[2020四川內江]如圖,在△ABC中,D,E分別是AB和AC的中點,S四邊形BCED=15,則S△ABC=(D)A.30 B.25 C.22.5 D.20易錯點3未找準對應線段3.如圖,在△ABC中,DE∥BC,DE分別與AB,AC相交于點D,E,若AD=4,DB=2,則DE∶BC的值為

23易錯點4忽略“△1與△2相似”和“△1∽△2”的區(qū)別4.在△ABC中,AB=4,AC=5,點D是AB的中點,點E在AC上,連接DE,若△ADE和△ABC相似,則AE的長為

52或85易錯點5求位似變換后點的坐標時易漏解5.在平面直角坐標系中,已知點A(-4,2),B(-6,-4),以原點O為位似中心,相似比為12,把△ABO縮小,則點A的對應點A'的坐標是(D)A.(-2,1) B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)方法命題角度1相似三角形的判定與性質提分特訓1.[2020貴州銅仁]已知△FHB∽△EAD,它們的周長分別為30和15,且FH=6,則EA的長為(A)A.3 B.2 C.4 D.52.[2020石家莊新華區(qū)一模]如圖,在△ABC中,點D在AB上,AD=5,CE是△BCD的角平分線,且CE=6.當∠BCD=2∠A時,DE的長為(B)A.3 B.4 C.5 D.63.[2020石家莊一模]如圖,Rt△ABC是一塊鐵板余料,已知∠A=90°,AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成一個形狀為平行四邊形(?DEFG)的工件,使GF在邊BC上,D,E兩點分別在邊AB,AC上,且DE=5cm,則?DEFG的面積為(B)A.24cm2 B.12cm2 C.9cm2 D.6cm24.[2020四川遂寧]如圖,在平行四邊形ABCD中,∠ABC的平分線交AC于點E,交AD于點F,交CD的延長線于點G,若AF=2FD,則BEEG的值為(C)A.12 B.13 C.235.[2020江蘇蘇州]如圖,在矩形ABCD中,E是BC的中點,DF⊥AE,垂足為F.(1)求證:△ABE∽△DFA;(2)若AB=6,BC=4,求DF的長.(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴∠AEB=∠DAF,∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°,∴∠B=∠DFA,∴△ABE∽△DFA.(2)解:∵△ABE∽△DFA,∴ABDF=AE∵BC=4,E是BC的中點,∴BE=12BC=12∴在Rt△ABE中,AE=AB2+BE2又∵AD=BC=4,∴6DF=2∴DF=610命題角度2圖形的位似提分特訓6.[2020唐山路北區(qū)二模]如圖,以點O為位似中心,把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C',以下說法中錯誤的是(C)A.△ABC∽△A'B'C'B.點C,O,C'三點在同一直線上C.AO∶AA'=1∶2D.AB∥A'B'7.方格紙中每個小正方形的邊長都是單位1,△OAB在平面直角坐標系中的位置如圖所示.(1)請按要求對△OAB作變換:以點O為位似中心,位似比為2∶1,將△OAB在位似中心的異側進行放大得到△OA'B'(點A,B的對應點分別為點A',B').(2)寫出點A'的坐標.(3)求△OA'B'的面積.解:(1)如圖所示,△OA'B'即為所求.(2)點A'的坐標為(-6,-2).(3)△OA'B'的面積為6×4-12×2×4-12×2×4-真題考法速覽考法1相似三角形的性質與判定(10年4考)考法2圖形的位似(10年3考)考法1相似三角形的性質與判定1.[河北,7]若△ABC的每條邊長增加各自的10%得△A'B'C',則∠B'的度數與其對應角∠B的度數相比(D)A.增加了10% B.減少了10%C.增加了(1+10%) D.沒有改變2.[河北,15]如圖,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(C)A BC D3.[河北,13]在研究相似問題時,甲、乙同學的觀點如下:對于兩人的觀點,下列說法正確的是(A)A.兩人都對 B.兩人都不對C.甲對,乙不對 D.甲不對,乙對4.[河北,9]如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分別在AB,AC上,將△ABC沿DE折疊,使點A落在點A'處,若A'為CE的中點,則折痕DE的長為(B)A.12 B.2 C.3 考法2圖形的位似5.[2020河北,8]在如圖所示的網格中,以點O為位似中心,四邊形ABCD的位似圖形是(A)A.四邊形NPMQ B.四邊形NPMRC.四邊形NHMQ D.四邊形NHMR6.[河北,20]如圖,在6×8的網格圖中,每個小正方形的邊長均為1,點O和△ABC的頂點均為小正方形的頂點.(1)以O為位似中心,在網格圖中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似比為1∶2;(2)連接(1)中的AA',求四邊形AA'C'C的周長(結果保留根號).解:(1)如圖:(2)由(1)可知,AA'=CC'=2.在Rt△OA'C'中,OA'=OC'=2,得A'C'=22,故AC=2A'C'=42,∴四邊形AA'C'C的周長=AA'+A'C'+C'C+AC=2+22+2+42=4+62.7.[河北,23]如圖(1),點E是線段BC的中點,分別以B,C為直角頂點的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同側.(1)AE和ED的數量關系為AE=ED;

AE和ED的位置關系為AE⊥ED.

(2)在圖(1)中,以點E為位似中心,作△EGF與△EAB位似,點H是BC所在直線上的一點,連接GH,HD,分別得到了圖(2)和圖(3).①在圖(2)中,點F在BE上,△EGF與△EAB的相似比是1∶2,H是EC的中點.求證:GH=HD,GH⊥HD.②在圖(3)中,點F在BE的延長線上,△EGF與△EAB的相似比是k∶1,若BC=2,請直接寫出CH的長為多少時,恰好使得GH=HD且GH⊥HD(用含k的代數式表示).圖(1)圖(2)圖(3)(1)AE=EDAE⊥ED(2)①證明:由題意,知∠B=∠C=90°,AB=BE=EC=DC.∵△EGF與△EAB位似且相似比是1∶2,∴∠GFE=∠B=90°,GF=12AB,EF=1又H是EC的中點,∴EH=HC=12EC∴GF=HC,∠GFH=∠HCD,FH=CD,∴△HGF≌△DHC,∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.又∵∠HDC+∠DHC=90°,∴∠GHF+∠DHC=90°,∴∠GHD=90°,∴GH⊥HD.②CH的長為k.高分突破·微專項8“一線三等角”模型、“手拉手”模型、

“半角”模型和“對角互補”模型模型一“一線三等角”模型強化訓練1.如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,若CD的長為5,則四邊形ABCD的面積為10.

2.如圖,在平面直角坐標系中,等腰直角三角形OAB的一個頂點在原點處,∠ABO=90°,OB=AB,已知點A(2,4),則點B的坐標為(3,1).

3.(1)探索發(fā)現如圖(1),在△ABC中,點D在邊BC上,△ABD與△ADC的面積分別記為S1與S2,試判斷S1S2與BDCD(2)閱讀分析小東遇到這樣一個問題:如圖(2),在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,射線AM交BC于點D,點E,F在AM上,且∠CEM=∠BFM=90°,試判斷BF,CE,EF三條線段之間的數量關系.小東利用一對全等三角形,經過推理使問題得以解決.填空:①圖(2)中的一對全等三角形為△AEC≌△BFA;

②BF,CE,EF三條線段之間的數量關系為CE=EF+BF.

(3)類比探究如圖(3),在四邊形ABCD中,AB=AD,AC與BD交于點O,點E,F在射線AC上,且∠BCF=∠DEF=∠BAD.①判斷BC,DE,CE三條線段之間的數量關系,并說明理由;②若OD=3OB,△AED的面積為2,直接寫出四邊形ABCD的面積.解:(1)S1S2理由如下:過點A作AE⊥BC于點E.∵S1=12BD·AE,S2=12CD·AE,∴S1(2)①△AEC≌△BFA②CE=EF+BF(3)①DE=BC+CE.理由如下:∵∠BCF=∠DEF=∠BAD,∴∠ACB=180°-∠BCF=180°-∠DEF=∠AED,∠BAC+∠DAE=∠ADE+∠DAE,∴∠BAC=∠ADE.又∵AB=AD,∴△BAC≌△ADE,∴BC=AE,AC=DE,∴DE=AC=AE+CE=BC+CE.②四邊形ABCD的面積為8.模型二“手拉手”模型強化訓練4.[湖北荊州]如圖(1),等腰直角三角形OEF的直角頂點O為正方形ABCD的中心,點C,D分別在OE,OF上,現將△OEF繞點O逆時針旋轉α(0°<α<90°),連接AF,DE(如圖(2)).(1)在圖(2)中,∠AOF=90°-α;(用含α的式子表示)

(2)在圖(2)中,猜想AF與DE的數量關系,并證明你的結論.圖(1)圖(2)(1)90°-α解法提示:由旋轉的性質可知∠DOF=∠COE=α,∴∠AOF=90°-α.(2)AF=DE.證明:∵△OEF是等腰直角三角形,∴OE=OF.∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OD,∠COD=90°.∵∠AOF=90°-α,∠DOE=90°-α,∴∠AOF=∠DOE.又∵OA=OD,∴△AOF≌△DOE,∴AF=DE.5.[2020山東威海]發(fā)現規(guī)律(1)如圖(1),△ABC與△ADE都是等邊三角形,直線BD,CE交于點F.直線BD,AC交于點H,求∠BFC的度數.(2)△ABC與△ADE的位置如圖(2)所示,直線BD,CE交于點F.直線BD,AC交于點H.若∠ABC=∠ADE=α,∠ACB=∠AED=β,求∠BFC的度數.應用結論(3)如圖(3),在平面直角坐標系中,點O的坐標為(0,0),點M的坐標為(3,0),點N為y軸上一動點,連接MN.將線段MN繞點M逆時針旋轉60°得到線段MK,連接NK,OK.求線段OK長度的最小值.圖(1)圖(2)圖(3)解:(1)∵△ABC,△ADE都是等邊三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE.又∵∠AHB=∠FHC,∴∠BFC=∠BAC=60°.(2)∵∠ABC=∠ADE=α,∠ACB=∠AED=β,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,ABAD=ACAE,∴∠BAD=∠CAE,ABAC∴△ABD∽△ACE,∴∠ABD=∠ACE.又∵∠BHA=∠CHF,∴∠BFC=∠BAC=180°-α-β.(3)易知△MNK是等邊三角形,∴MK=MN=NK,∠NMK=∠NKM=∠KNM=60°.如圖,將△MOK繞點M順時針旋轉60°,得到△MQN,連接OQ,則OK=NQ,MO=MQ,∠OMQ=60°,∴△MOQ是等邊三角形,∴∠QOM=60°,OQ=OM=3,∴∠NOQ=30°.∵OK=NQ,∴當NQ最小時,OK有最小值.由“垂線段最短”可知,當QN⊥y軸時,NQ有最小值,此時NQ=12OQ=32,∴線段OK長度的最小值為模型三“半角”模型強化訓練6.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E,F為邊AB上兩動點(點E在點F下側),連接EC,FC,∠ECF=45°,過點E作BC的垂線,過點F作AC的垂線,兩線交于點M,垂足分別為點H,G.現有以下結論:①AB=2;②當點E與點B重合時,MH=12;③AF+BE=EF;④MG·MH=12.其中結論正確的為(CA.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④7.如圖,四邊形ABCD是正方形,∠EAF的兩邊分別與CB,DC的延長線交于點E,F,連接EF,若∠FAE=45°,試探究線段EF,BE,DF之間的數量關系,并加以證明.BE+EF=DF.證明:如圖所示,將△ABE繞點A逆時針旋轉90°,使AB與AD重合,得到△ADE',則DE'=BE,AE'=AE,∠E'AD=∠EAB.又∵∠FAE=45°,∴∠E'AD+∠BAF=∠EAB+∠BAF=45°,∴∠FAE'=45°,∴∠FAE=∠FAE'.又∵AF=AF,∴△FAE≌△FAE',∴FE'=FE.又∵DE'+E'F=DF,∴BE+EF=DF.8.如圖,在△PAB中,等邊三角形PCD的頂點C,D在線段AB上.(1)當AC,CD,DB滿足怎樣的關系時,△ACP∽△PDB?(2)當△ACP∽△PDB時,求∠APB的度數.解:(1)∵△ACP∽△PDB,∴PCBD=AC∴PC·PD=AC·BD.∵△PCD是等邊三角形,∴PC=CD=PD,∴CD2=AC·BD.故當CD2=AC·BD時,△ACP∽△PDB.(2)∵△ACP∽△PDB,∴∠APC=∠B,∠A=∠DPB.又∵∠PCD=∠APC+∠A=60°,∴∠APC+∠DPB=60°,∴∠APB=∠APC+∠DPB+∠CPD=120°.9.如圖,拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點,連接AD,點P為第一象限的拋物線上一點,且∠DAP=45°,求點P的坐標.解:拋物線的解析式可化為y=-(x-1)2+4,∴D(1,4).令-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3,∴AB=4.過點A作x軸的垂線,過點D作y軸的垂線,兩線交于點E,過點B作ED的垂線,交ED的延長線于點F,交射線AP于點N,連接DN,如圖,則四邊形ABFE為正方形,故根據半角模型的結論,可知DN=DE+NB.易得DE=2,DF=2.設點N的坐標為(3,n),則BN=n,FN=4-n,∴DN=DE+NB=2+n.在Rt△DFN中,DF2+FN2=DN2,即22+(4-n)2=(2+n)2,解得n=43∴點N的坐標為(3,43)設直線AN的解析式為y=kx+b,將A(-1,0),N(3,43)分別代入得-k+b=0,故直線AN的解析式為y=13x+1令13x+13=-x2解得x1=83,x2=-1(不合題意,舍去把x=83代入y=13x+13,∴P(83,11910.問題背景:如圖(1),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點D,E為BC邊上的點,且∠DAE=60°,若BD=1,EC=2,求DE的長.(1)觀察發(fā)現:注意到條件中有AB=AC,∠BAC=120°,不妨把△ACE繞點A順時針旋轉120°,得到△ABF,連接DF,易證△ADF≌△ADE,從而將線段BD,DE,EC集中在△FBD中,因為∠FBD的度數是60°,BF=EC=2,BD=1,所以DE的長為

3.

(2)類比探究:如圖(2),在△ABC中,∠CAB=60°,AB=AC,點D,E為BC邊上的點,且∠DAE=30°,BD=2,EC=32,(3)拓展應用:如圖(3),點E是正方形ABCD內一點,∠AEB=90°,點F是BC邊上一點,且∠EDF=45°.若AB=2,請直接寫出當DE取最小值時CF的長.圖(1)圖(2)圖(3)解:(1)60°3(2)由題意,得△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.如圖(1),將△ACE繞點A順時針旋轉60°,得到△ABF,過點F作FG⊥BC,交CB的延長線于點G,連接DF,則AF=AE,BF=EC=32,∠FBA=∠C,∠FAB=∠EAC圖(1)∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠EAC+∠BAD=60°-∠DAE=30°=∠DAE.又AD=AD,∴△ADF≌△ADE,∴DF=DE.∵∠FBD=∠FBA+∠ABD=∠C+∠ABD=120°,∴∠FBG=60°,∴FG=32FB=334,BG=12FB=34,∴DE=DF=(114)(3)當DE取最小值時,CF的長為23解法提示:∵∠AEB=90°,∴點E在以AB為直徑的圓上,設圓心為O,連接OD,交☉O于點E,此時DE取最小值,如圖(2).將△DCF繞點D順時針旋轉90°,得到△DAG,連接OF,則DG=DF,∠GDA=∠FDC,GA=FC,∠GAD=∠C=90°,∴點G,A,B三點共線.圖(2)∵∠GDO=∠GDA+∠ADO=∠CDF+∠ADO=90°-45°=45°=∠ODF,OD=OD,∴△DGO≌△DFO,∴OG=OF.設CF=x,則BF=2-x,OF=OG=x+1.根據勾股定理可得OB2+BF2=OF2,即12+(2-x)2=(x+1)2,解得x=23故當DE取最小值時,CF的長為23模型四“對角互補”模型強化訓練11.如圖,在等邊三角形ABC中,點D是線段BC的中點,點E在AB上,點F在AC上,且∠EDF=120°.求證:DE=DF.證明:如圖,連接AD,過點D作DG⊥AB于點G,DH⊥AC于點H.∵△ABC是等邊三角形,點D為BC的中點,∴∠BAD=∠CAD,∴DG=DH.∵∠GDH=360°-∠BAC-90°×2=120°,∠EDF=120°,∴∠EDG=∠HDF.又∠EGD=∠FHD,DG=DH,∴△DGE≌△DHF,∴DE=DF.12.【發(fā)現】(1)如圖(1),OA⊥OB,OA=OB,點P是線段AB的中點,且OP=4.點M在線段OA上運動(不與點O,A重合),連接PM,過點P作PN⊥PM交線段OB于點N,連接MN,則線段PM與PN的數量關系是PM=PN,線段MN的最小值是4.

【探究】(2)如圖(2),射線OA與OB的夾角是120°,點P在∠AOB的平分線上,且OP=4.點M在射線OA上運動,在射線OB上取一點N,使得∠MPN+∠AOB=180°,試探究線段PM與PN的數量關系,并求出線段MN的最小值.【拓展】(3)如圖(3),射線OA與OB的夾角為α(0°<α<180°),點P在∠AOB的平分線上,且OP=a.點M在射線OA上運動,在射線OB上取一點N,使得∠MPN+∠AOB=180°,請直接寫出△PMN周長的最小值(用含a和α的式子表示).圖(1)圖(2)圖(3)解:(1)PM=PN4解法提示:如圖(1),過點P作PC⊥OB于點C,PD⊥OA于點D.圖(1)易證四邊形OCPD是正方形,∴PC=PD,∠CPD=90°.∵PM⊥PN,∴∠MPN=90°,∴∠MPN-∠DPN=∠CPD-∠DPN,即∠DPM=∠CPN.又PD=PC,∠PDM=∠PCN=90°,∴△DPM≌△CPN,∴PM=PN,∴△PMN是等腰直角三角形,∴MN=2PM.易知當PM⊥OA時,PM取得最小值,為22,故MN的最小值為2×22=4.(2)如圖(2),過點P作PE⊥OA于點E,PF⊥OB于點F,圖(2)∵OP平分∠AOB,∴PE=PF.∵∠MPN+∠AOB=180°,∴∠PMO+∠PNO=180°.∵∠PNO+∠PNF=180°,∴∠PMO=∠PNF,∴△EPM≌△FPN,∴PM=PN.∵∠AOB=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等邊三角形,∴MN=PM=PN.當PM⊥OA,即PM與PE重合時,PM取得最小值,也即MN取得最小值.在Rt△PEO中,∵∠POE=12∠AOB=60°∴PE=OP·sin∠POE=4×32=23故MN的最小值為23.(3)△PMN的周長的最小值為2asinα2+2asinα2cos圖(3)解法提示:如圖(3),過點P作PG⊥OB于點G,PH⊥OA于點H,PK⊥MN于點K,則PG=PH.易證△HPM≌△GPN,∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.在△PMN中,∠MPN+2∠PMN=180°.∵∠MPN+∠AOB=180°,OP平分∠AOB,∴∠MPN+2∠POH=180°,∴∠PMN=∠POH=12∠AOB=α∵PM=PN,PK⊥MN,∴MK=NK=12在Rt△PKM中,MK=PM·cos∠PMK=PM·cosα2∴MN=2PM·cosα2當PM⊥OA,即PM與PH重合時,PM取得最小值.在Rt△POH中,PH=OP·sin∠POH=asinα2即PMmin=asinα2∴MN的最小值為2asinα2cosα∴△PMN周長的最小值為2asinα2+2asinα2cos第六節(jié)銳角三角函數及其應用考點易錯自糾易錯點1根據定義求銳角三角函數時忽略“直角三角形”這個前提1.[2020山東聊城]如圖,在4×5的正方形網格中,每個小正方形的邊長都是1,△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上,那么sin∠ACB的值為(D)A.3B.17C.3D.4易錯點2誤認為坡度是“坡面的水平寬度與鉛直高度的比”2.如圖所示的斜坡AB的坡度為3∶4,若坡面AB長為10m,則BC=6m.

易錯點3直角三角形的直角頂點不明確,求銳角三角函數值時忽略分類討論3.[浙江杭州]在直角三角形ABC中,若2AB=AC,則cosC=

32或25方法命題角度1解直角三角形提分特訓1.[2020四川南充]如圖,點A,B,C在正方形網格的格點上,則sin∠BAC=(B)A.26 B.C.2613 D.2.如圖,在△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=34(1)求邊AC的長;(2)設邊BC的垂直平分線與邊AB的交點為D,求ADBD解:(1)如圖,過點A作AE⊥BC于點E,在Rt△ABE中,tan∠ABC=AEBE=34,∴AE=3,BE=4,∴CE=BC-BE=5-4=1.在Rt△AEC中,根據勾股定理,得AC=32+1(2)如圖,過點D作DF⊥BC于點F,連接DC.∵直線DF垂直平分BC,∴BD=CD,BF=CF=52又∵tan∠DBF=DFBF=34,∴DF=在Rt△BFD中,根據勾股定理,得BD=(52)2+(158∴ADBD=3命題角度2解直角三角形的實際應用提分特訓3.[2020山東濟寧]如圖,小明在距離地面30米的點P處測得斜坡點A處的俯角為15°,測得斜坡點B處的俯角為60°.若斜坡AB的斜面坡度為1∶3,則斜坡AB的長是203米.

4.[2020河南]位于河南省登封市境內的元代觀星臺,是中國現存最早的天文臺,也是世界文化遺產之一.某校數學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度,如圖所示,他們在地面一條水平步道MP上架設測角儀,先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°,然后沿MP方向前進16m到達點N處,測得點A的仰角為45°.測角儀的高度為1.6m.(1)求觀星臺最高點A距離地面的高度(結果精確到0.1m.參考數據:sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,2≈1.41).(2)“景點簡介”顯示,觀星臺的高度為12.6m.請計算本次測量結果的誤差,并提出一條減小誤差的合理化建議.解:(1)如圖,過點A作AF⊥MP,垂足為點F,交BC的延長線于點E.由題意知,四邊形MBCN和四邊形NCEF均為矩形.設AE=xm,在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=45°,∴CE=AE=xm.在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠ABE=22°.∵tan22°=AEBE∴BE=AEtan22°≈x0.40=5∵BE-CE=BC,∴52x-x=16解得x≈10.67.∵EF=BM=1.6m,∴AF=AE+EF=10.67+1.6≈12.3(m).即觀星臺最高點A距離地面的高度約為12.3m.(2)誤差為12.6-12.3=0.3(m).可多次測量,取測量數據的平均值(答案不唯一,合理即可).真題考法速覽考法1仰角、俯角(10年1考)考法2方向角(10年5考)考法3解直角三角形(必考)考法1仰角、俯角1.[河北,3]如圖,從點C觀測點D的仰角是(B)A.∠DABB.∠DCEC.∠DCA D.∠ADC考法2方向角2.[2020河北,12]如圖,從筆直的公路l旁一點P出發(fā),向西走6km到達l;從點P出發(fā)向北走6km也到達l.下列說法錯誤的是(A)A.從點P向北偏西45°走3km到達lB.公路l的走向是南偏西45°C.公路l的走向是北偏東45°D.從點P向北走3km后,再向西走3km到達l3.[河北,11]如圖,快艇從P處向正北航行到A處時,向左轉50°航行到B處,再向右轉80°繼續(xù)航行,則此時快艇的航行方向為(A)A.北偏東30° B.北偏東80°C.北偏西30° D.北偏西50°4.[河北,10]如圖,碼頭A在碼頭B的正西方向,甲、乙兩船分別從A,B同時出發(fā),并以等速駛向某海域,甲的航向是北偏東35°,為避免行進中甲、乙相撞,則乙的航向不能是(D)A.北偏東55° B.北偏西55°C.北偏東35° D.北偏西35°5.[河北,9]已知:島P位于島Q的正西方,由島P,Q分別測得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上,符合條件的示意圖是(D)6.[河北,8]如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處,它以每小時40海里的速度向正北方向航行,2小時后到達位于燈塔P的北偏東40°方向的N處,則N處與燈塔P的距離為(D)A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里考法3解直角三角形7.[河北,26]如圖(1)和圖(2),在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=513探究如圖(1),AH⊥BC于點H,則AH=12,AC=15,S△ABC=84.

拓展如圖(2),點D在AC上(可與點A,C重合),分別過點A,C作直線BD的垂線,垂足為E,F.設BD=x,AE=m,CF=n.(當點D與點A重合時,我們認為S△ABD=0)(1)用含x,m或n的代數式表示S△ABD及S△CBD;(2)求(m+n)與x的函數關系式,并求(m+n)的最大值和最小值;(3)對給定的一個x值,有時只能確定唯一的點D,指出這樣的x的取值范圍.發(fā)現請你確定一條直線,使得A,B,C三點到這條直線的距離之和最小(不必寫出過程),并寫出這個最小值.圖(1)圖(2)解:探究121584拓展(1)由三角形面積公式,得S△ABD=12mx,S△CBD=1(2)由(1)得m=2S△ABDx,∴m+n=2S△ABDx+2由于AC邊上的高為2S△ABC15=2×84∴x的取值范圍是565≤x≤∵(m+n)隨x的增大而減小,∴當x=565時,(m+n)有最大值,最大值為15當x=14時,(m+n)有最小值,最小值為12.(3)x的取值范圍是x=565或13<x≤發(fā)現AC所在的直線,使得A,B,C三點到這條直線的距離之和最小.最小值為565參考答案第一節(jié)幾何初步、相交線與平行線考點【易錯自糾】1.D2.3cm或13cm當點C在線段AB上時,BC=AB-AC=8-5=3(cm);當點C在線段BA的延長線上時,BC=AB+AC=8+5=13(cm).3.35°或105°當OC與OB在OA異側時,∠BOC=∠AOB+∠AOC=3∠AOB=105°.當OC與OB在OA同側時,∠BOC=∠AOC-∠AOB=35°.故∠BOC=35°或105°.4.C根據對頂角相等,可知∠2=∠4,故選C.真題1.C用量角器測量∠MON的度數時,量角器的中心點應與頂點O重合,零刻度線與∠MON的一條邊OM重合,另一條邊ON所對的量角器上的刻度就是這個角的度數.2.D在平面內,過任意一點都能作出直線m的一條垂線,故直線m的垂線有無數條.3.B∠1+∠2=180°-90°=90°.4.C如圖,延長AC交EF于點G.∵AB∥EF,∠BAC=50°,∴∠AGE=50°.∵CD⊥EF,∴∠CDG=90°.∵∠ACD是△CDG的外角,∴∠ACD=∠CDG+∠CGD=90°+50°=140°.C延長BE交CD于點F,則∠BEC=∠EFC+∠C(三角形的外角等于與它不相鄰兩個內角之和).又∠BEC=∠B+∠C,∴∠B=∠EFC,故AB∥CD(內錯角相等,兩直線平行).故選C.第二節(jié)三角形及其性質考點【易錯自糾】1.5或15如圖(1),當△ABC為銳角三角形時,BC=BD+CD=6,AD=5,則△ABC的面積=12×6×5=15;如圖(2),當△ABC為鈍角三角形時,BC=CD-BD=2,則△ABC的面積=12×2×5=5,故圖(1)圖(2)2.D分兩種情況討論:①當腰長為4時,4+4<9,所以不能構成三角形;②當腰長為9時,9+9>4,9-9<4,所以能構成三角形.故此三角形的周長是9+9+4=22.3.48∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD.設BD=CD=x,AB=y,則AC=4x.分兩種情況討論.①當AC+CD=60,AB+BD=40時,4x+x=60,x+y=40,解得x=12,y=28,此時AC=4x=48,AB=28,BC=24,符合三角形的三邊關系.②當AC+CD=40,AB+BD=60時,4x+x=40,x+y=60,方法例14(答案不唯一,正確即可)設第三邊長為x,由三角形三邊關系,得6-3<x<6+3,所以3<x<9.例240°如圖,∵∠DCB=65°,∠B=30°,∴∠DFB=65°+30°=95°,∴∠α=180°-∠D-∠DFB=180°-45°-95°=40°.C∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴∠DCB=90°-∠B=40°.∵點F為AC的中點,∴CF=12AC.∵CD=CF∴CD=12AC,∴∠A=30°,∠ACD=60°.∵CE平分∠BCD,∴∠DCE=12∠BCD=20°.∵DE平分∠BDC,∴∠CDE=12∠BDC=45°,∴∠CED=180°-20°-45°=115°,∴∠提分特訓1.C根據三角形的三邊關系,得2x>10-2x,解得x>2.5,又x<5,∴2.5<x<5,故選C.2.B三角形有三條邊,故有兩根細木棒連接成一根新的細木棒.①若長度為2,3的兩根細木棒連接,則三邊長分別為5,3,4,符合三角形三邊關系,圍成的三角形的最長邊為5;②若長度為2,4的兩根細木棒連接,則三邊長分別為3,3,6,不符合三角形的三邊關系,不能圍成三角形;③若長度為3,3的兩根細木棒連接,三邊長分別為2,4,6,不符合三角形三邊關系,不能圍成三角形;④若長度為3,4的兩根細木棒連接,三邊長分別為2,3,7,不符合三角形三邊關系,不能圍成三角形.綜上所述,得到的三角形的最長邊長為5.故選B.3.C∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-30°-50°=100°.∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=12∠ACB=12×100°=50°,∴∠ADC=∠BCD+4.B∵DE⊥AB,∠A=35°,∴∠CFD=∠AFE=90°-35°=55°,∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=70°.故選B.5.D∵∠A=65°,∠ANM=45°,∴∠AMN=180°-∠A-∠ANM=70°.∵點M,N分別是AB,AC的中點,∴MN是△ABC的中位線,∴MN∥BC,∴∠B=∠AMN=70°.故選D.6.D由題意可知AC=22+32=13,S△ABC=12BD×AC=3×3-12×1×2-12×1×3-真題1.A三角形具有穩(wěn)定性,故選A.2.C∵∠C=100°,∠B=30°,∴∠A=50°,∴∠C>∠A>∠B,∴AB是最長邊,AC是最短邊.由“三角形兩邊之和大于第三邊”可知AC+BC>AB,故點M在BC上,且距點C較遠.3.B根據“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”,可知13-2<x<13+2,即11<x<15.又因為x為正整數,所以x=12,13,14,故這樣的三角形個數為3個.4.B如圖,設直線a,b交于點A.∵∠BOK是△OAK的外角,∴∠A+∠OKA=∠BOK,∴∠A=∠BOK-∠OKA=100°-70°=30°.5.B在△PAB中,∵點M,N分別為PA,PB的中點,∴MN=12AB,MN∥AB.∵點A,B為定點,即線段AB的長為定值,∴線段MN的長為定值,故①不會隨點P的移動而變化.∵MN為△PAB的中位線,∴MN,AB之間的距離等于l與AB之間距離的一半,∴直線MN,AB之間的距離為定值,∴直線l與MN之間的距離也是定值,∴△PMN的面積也是定值,故③,6.C∵D,E分別是邊AB,AC的中點,∴DE是△ABC的中位線,∴BC=2DE=2×2=4.7.100在△CMN中,∵AM=AC,BN=BC,∴AB是△CMN的中位線,∴AB=12MN=12×200=100(m高分突破·微專項5B如圖,過點D作DH⊥AB交BA的延長線于點H.∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB·DH+12BC·CD=12×6×4+1A設AC與y軸交于點P,∵四邊形AOBC是平行四邊形,∴AC∥OB,∴∠AGO=∠GOB.由題意可知,∠AOG=∠GOB,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO.∵A(-1,2),∴OA=12+22=5,∴AG=5,∴PG=AG-AP=5-1,∴G(5-1C在△ABC中,∠ABC=35°,∠C=50°,∴∠BAC=180°-35°-50°=95°.由BD是△ABC的角平分線,AE⊥BD,得AF=EF,∠BAE=∠BEA=180°-35°2=72.5°,∴AD=ED,∴∠DEA=∠DAE=95°-72.5°=22.5°22.5°×2=45°.強化訓練1.C過點D作DE⊥AB于點E.∵AC=8,DC=13AD,∴CD=2.∵∠C=90°,BD平分∠ABC,∴DE=CD=2,2.C根據題中的作圖步驟可知,BG平分∠ABC,易知當GP⊥AB時,GP的值最小.∵BG平分∠ABC,GP⊥AB,GC⊥BC,∴GP=GC=1,故選C.3.A設BE=a,則BD=2a,DE=3a.∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE=3a,∴AB=2BC=4a+23a.∵∠BEC是鈍角,∴BC>CE,∴AB>2CE,故結論①錯誤.易證△DAC≌△DAE,∴AE=AC=3BC=3(2a+3a)=23a+3a,顯然AC≠4CD,故結論②錯誤.∵DE=DC,AC=AE,∴AD垂直平分線段EC,故結論③正確.易證△BDE∽△BAC,∴S△BDES△BAC=(BEBC)2=(a2a+3a)4.4過點D作DM⊥OB于點M.∵OC是∠AOB的平分線,∴DM=DE=2.在Rt△OEF中,∠EOF=60°,∴∠OFE=30°,∴DF=2DM=4.5.D由勾股定理可得AB=5,∴△ABC的周長為AC+BC+AB=12.如圖,連接AC',BC'.∵點C'為△ABC的內心,∴AC'平分∠CAB,∴∠CAC'=∠BAC'.由平移的性質可得AC∥DC',∴∠CAC'=∠AC'D,∴∠BAC'=∠AC'D,∴AD=DC'.同理可得BE=EC',∴△DC'E的周長為DE+DC'+EC'=DE+AD+BE=AB=5.由平移的性質可得△DC'E∽△ACB,∵兩三角形的周長比為5∶12,∴面積比為25∶144,又S△ABC=12BC·AC=6,∴S△DC'E=25246.23如圖,過點B作BH⊥AF于點H.由作圖過程可知AF平分∠BAN.∵∠ABP=60°,MN∥PQ,∴∠BAN=60°,∴∠NAF=∠BAH=30°,∴∠AFB=30°,∴AB=BF.在Rt△ABH中,AB=2,∴AH=AB·cos30°=2×32=3,∴AF=2AH=237.C∵四邊形ABCD是矩形,∴AE=CE,即OE是△AOC中AC邊上的中線.∵OA=OC,∴△AOC是等腰三角形,根據等腰三角形“三線合一”即可得出OE是∠AOC的平分線.綜上所述,小明的作法依據是②③.8.12如圖,延長BN交AC于點D.在△ANB和△AND中,∠NAB=∠NAD,AN=AN,∠ANB=∠AND=90°,∴△ANB≌△AND,∴AD=AB=8,BN=ND.∵M是△ABC的邊BC的中點,∴DC=2MN=4,∴AC=AD+CD=12.9.略10.略第三節(jié)等腰三角形和直角三角形考點【易錯自糾】1.50°或80°分兩種情況討論:①頂角為50°;②當底角為50°時,頂角為180°-2×50°=80°.2.90°或130°∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°.分兩種情況討論:①當∠BAD=90°時,∠ADB=90°-40°=50°,∴∠ADC=180°-50°=130°;②當∠ADB=90°時,∠ADC=90°.故∠ADC=90°或130°.方法例1130°180°7(1)根據題意,得DA=DB,∴∠ABD=∠A=25°,∴∠BDA=180°-25°×2=130°.(2)分兩種情況討論.①如圖(1),AB=AC,AD=BD,BC=CD.∵AD=BD,∴∠ABD=∠A.∵BC=CD,∴∠CBD=∠CDB=2∠A,∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3∠A.∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=3∠A.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,即7∠A=180°,∴∠A=180°7.②當AD=BD,BC=BD時,如圖(2),易得∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A,∴∠A+2∠A+2∠A=180°,∴∠A=36°.故圖(1)圖(2)例22或27連接AD,由作圖知,點D在AC的垂直平分線上.∵△ABC是等邊三角形,∴AB=CB,∴直線BD垂直平分AC,設垂足為E.∵AC=AB=2,∴AE=1,BE=3.如圖(1),當點D,B在AC的兩側時,∵BD=23,∴DE=3,∴AD=2,∴m=2.如圖(2),當點D,B在AC的同側時,∵BD=23,∴DE=DB+BE=33.在Rt△ADE中,AD=DE2+AE2=(33)2+1圖(1)圖(2)例3A方法一:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=22,由勾股定理得AB=AC2+BC2=22+(22)2=23.∵D是AB的中點,∴BD=CD=3.設DE=x,由勾股定理得(3)2-x2=(22)2-(3+x)2,解得x=33.在Rt△BED中,BE=BD2-DE2=(3)2-(33)2=263.方法二:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=22,由勾股定理得AB=AC2+BC2=22+(22)2=23.∵D是AB的中點,∴BD=CD=例42,23或27分三種情況討論.①當∠APB=90°時,△APB是直角三角形,如圖(1)(有兩種情況,點P記為P1,P2).∵點O為AB的中點,∴OP1=OP2=AO=OB=12AB=2.又∵∠P2OA=∠P1OB=60°,∴△OBP1,△OAP2均為等邊三角形,∴BP1=OB=