2023年中考人教版數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 三角形

第四章三角形第一節(jié)幾何初步、相交線與平行線考點(diǎn)易錯(cuò)自糾易錯(cuò)點(diǎn)1因不理解點(diǎn)到直線的距離的定義而致錯(cuò)1.點(diǎn)P為直線l外一點(diǎn),點(diǎn)A,B,C為直線l上三點(diǎn),PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,則點(diǎn)P到直線l的距離是(D)A.2cm B.4cm C.5cm D.不超過2cm易錯(cuò)點(diǎn)2未給出圖形求線段長或角度大小時(shí)忽略分類討論致錯(cuò)2.已知線段AB=8cm.在直線AB上畫線段AC=5cm,則BC的長是3cm或13cm.

3.已知∠AOB=35°,以O(shè)為頂點(diǎn)作射線OC,若∠AOC=2∠AOB,則∠BOC=35°或105°.

易錯(cuò)點(diǎn)3誤認(rèn)為同位角(或內(nèi)錯(cuò)角)一定相等4.如圖,與∠2一定相等的角是(C)A.∠1B.∠3C.∠4D.∠5真題考法速覽考法1角的度量(10年1考)考法2垂線(10年1考)考法3角及角平分線(10年2考)考法4平行線的判定與性質(zhì)(10年4考)考法1角的度量1.[河北,3]用量角器測量∠MON的度數(shù),下列操作正確的是(C)考法2垂線2.[2020河北,1]如圖,在平面內(nèi)作已知直線m的垂線,可作垂線的條數(shù)有(D)A.0條 B.1條 C.2條 D.無數(shù)條考法3角及角平分線3.[河北,2]如圖,∠1+∠2等于(B)A.60° B.90°C.110° D.180°考法4平行線的判定與性質(zhì)4.[河北,8]如圖,AB∥EF,CD⊥EF,∠BAC=50°,則∠ACD=(C)A.120° B.130°C.140° D.150°5.[河北,7]下面是投影屏上出示的搶答題,需要回答橫線上符號(hào)代表的內(nèi)容.則回答正確的是(C)A.◎代表∠FEC B.@代表同位角C.▲代表∠EFC D.※代表AB第二節(jié)三角形及其性質(zhì)考點(diǎn)易錯(cuò)自糾易錯(cuò)點(diǎn)1誤認(rèn)為三角形的高一定在三角形內(nèi)部1.已知AD是△ABC中BC邊上的高,AD=5,CD=4,BD=2,則△ABC的面積等于5或15.

易錯(cuò)點(diǎn)2忽略三角形的三邊關(guān)系致錯(cuò)2.[2020貴州黔南州]已知等腰三角形的一邊長等于4,一邊長等于9,則它的周長為(D)A.9 B.17或22 C.17 D.223.在△ABC中,AC=2BC,BC邊上的中線AD把△ABC的周長分成60和40兩部分,則AC=48.

方法命題角度1三角形的三邊關(guān)系提分特訓(xùn)1.[石家莊42中一模]如圖,長度為10m的木條,從兩邊各截取長度為xm的木條,若得到的三根木條能組成三角形,則x可以取的值為(C)A.2m B.52C.3m D.6m2.[2020浙江紹興]長度分別為2,3,3,4的四根細(xì)木棒首尾相連,圍成一個(gè)三角形(木棒允許連接,但不允許折斷),得到的三角形的最長邊長為(B)A.4 B.5 C.6 D.7命題角度2三角形的內(nèi)角和外角提分特訓(xùn)3.[2020遼寧錦州]如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠B=50°,CD平分∠ACB,則∠ADC的度數(shù)是(C)A.80° B.90° C.100° D.110°4.[內(nèi)蒙古赤峰]如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC的延長線上,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.若∠A=35°,∠D=15°,則∠ACB的度數(shù)為(B)A.65° B.70°C.75° D.85°命題角度3三角形中的重要線段提分特訓(xùn)5.[2020四川宜賓]如圖,點(diǎn)M,N分別是△ABC的邊AB,AC的中點(diǎn),若∠A=65°,∠ANM=45°,則∠B=(D)A.20° B.45° C.65° D.70°6.[2020陜西]如圖,在3×3的網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上.若BD是△ABC的高,則BD的長為(D)A.101313 B.91313 C.真題考法速覽考法1三角形的穩(wěn)定性(10年1考)考法2三角形的三邊關(guān)系(10年2考)考法3三角形的內(nèi)角與外角(10年2考)考法4三角形的中位線(10年3考)考法1三角形的穩(wěn)定性1.[河北,1]下列圖形具有穩(wěn)定性的是(A)ABCD考法2三角形的三邊關(guān)系2.[河北,15]如圖(1),M是鐵絲AD的中點(diǎn),將該鐵絲首尾相接折成△ABC,且∠B=30°,∠C=100°,如圖(2).則下列說法正確的是(C)圖(1)圖(2)A.點(diǎn)M在AB上B.點(diǎn)M在BC的中點(diǎn)處C.點(diǎn)M在BC上,且距點(diǎn)B較近,距點(diǎn)C較遠(yuǎn)D.點(diǎn)M在BC上,且距點(diǎn)C較近,距點(diǎn)B較遠(yuǎn)3.[河北,10]已知三角形三邊長分別為2,x,13,若x為正整數(shù),則這樣的三角形個(gè)數(shù)為(B)A.2個(gè) B.3個(gè) C.5個(gè) D.13個(gè)考法3三角形的內(nèi)角與外角4.[河北,4]平面上直線a,b分別過線段OK兩端點(diǎn)(數(shù)據(jù)如圖),則a,b相交所成的銳角是(B)A.20° B.30°C.70° D.80°考法4三角形的中位線5.[河北,15]如圖,點(diǎn)A,B為定點(diǎn),定直線l∥AB,P是l上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),對(duì)于下列各值:①線段MN的長;②△PAB的周長;③△PMN的面積;④直線MN,AB之間的距離;⑤∠APB的大小.其中會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化的是(B)A.②③ B.②⑤ C.①③④ D.④⑤6.[河北,2]如圖,△ABC中,D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn).若DE=2,則BC=(C)A.2 B.3 C.4 D.57.[河北,17]如圖,A,B兩點(diǎn)被池塘隔開,不能直接測量其距離.于是,小明在岸邊選一點(diǎn)C,連接CA,CB,并分別延長到點(diǎn)M,N,使AM=AC,BN=BC,測得MN=200m,則A,B間的距離為100m.

高分突破·微專項(xiàng)5與角平分線相關(guān)的三大模型強(qiáng)化訓(xùn)練1.[湖南張家界]如圖,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AC=8,DC=13AD,則點(diǎn)D到AB的距離等于(C)A.4 B.3 C.2 D.12.[2020貴州貴陽]如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,利用尺規(guī)在BC,BA上分別截取BE,BD,使BE=BD;分別以點(diǎn)D,E為圓心、以大于12DE的長為半徑作弧,∠CBA內(nèi)交于點(diǎn)F;作射線BF交AC于點(diǎn)G.若CG=1,P為AB上一動(dòng)點(diǎn),則GP的最小值為(C)A.無法確定 B.1C.1 D.23.[唐山開平區(qū)一模]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,連接CE交AD于點(diǎn)F.有以下結(jié)論:①AB=2CE;②AC=4CD;③CE⊥AD;④△DBE與△ABC的面積比是1∶(7+43).其中正確結(jié)論是(A)A.③④ B.②③ C.①② D.①④4.[湖南永州]如圖,∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)D為OC上一點(diǎn),過點(diǎn)D作直線DE⊥OA,垂足為點(diǎn)E,且直線DE交OB于點(diǎn)F.若DE=2,則DF=4.

5.[石家莊42中三模]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3.將Rt△ABC平移到Rt△A'B'C'的位置,使得點(diǎn)C'與△ABC的內(nèi)心重合,則圖中陰影部分的面積為(D)A.25 B.2425 C.526.如圖,直線MN∥PQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點(diǎn)A,B.小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點(diǎn)A為圓心,以任意長為半徑作弧,交AN于點(diǎn)C,交AB于點(diǎn)D;②分別以點(diǎn)C,D為圓心、大于12CD的長為半徑作弧,兩弧在∠NAB內(nèi)交于點(diǎn)E;③作射線AE,交PQ于點(diǎn)F.若AB=2,∠ABP=60°,則線段AF的長為237.[湖北荊州]如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)A,B,C分別落在∠MON的邊OM,ON上,若OA=OC,要求只用無刻度的直尺作∠MON的平分線,小明的作法如下:連接AC,BD交于點(diǎn)E,作射線OE,則射線OE平分∠MON.有以下幾條幾何性質(zhì):①矩形的四個(gè)角都是直角,②矩形的對(duì)角線互相平分,③等腰三角形的“三線合一”.小明的作法依據(jù)是(C)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③8.如圖所示,M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),AN平分∠BAC,BN⊥AN于點(diǎn)N,連接MN,若AB=8,MN=2,則AC的長是12.

9.如圖,ED是∠BEA的平分線,∠B=∠EAC,ED⊥AD.求證:AD平分∠BAC.證明:如圖,延長AD交BC于點(diǎn)F,∵ED是∠BEA的平分線,∴∠AED=∠FED.又∠FDE=180°-∠ADE=90°=∠ADE,DE=DE,∴△EFD≌△EAD,∴∠DAE=∠DFE,∴∠FAC+∠CAE=∠BAF+∠B.又∠B=∠EAC,∴∠FAC=∠BAF,∴AD平分∠BAC.10.如圖,在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠BAC的平分線AD交BC于點(diǎn)D,BE⊥AD于點(diǎn)E.求證:AC-AB=2BE.證明:如圖,延長BE交AC于點(diǎn)F,易證△ABE≌△AFE,∴AF=AB,BE=EF,∠AFB=∠ABF,∴∠FBC+∠C=∠ABC-∠FBC.又∠ABC=3∠C,∴∠FBC+∠C=3∠C-∠FBC,∴∠FBC=∠C,∴FC=FB=2BE,∴AC-AB=AC-AF=CF=2BE.第三節(jié)等腰三角形和直角三角形考點(diǎn)易錯(cuò)自糾易錯(cuò)點(diǎn)1已知等腰三角形一個(gè)角的度數(shù),求頂角(或底角)的度數(shù)時(shí)忽略分類討論1.若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50°,則該三角形頂角的度數(shù)是50°或80°.

易錯(cuò)點(diǎn)2解決特殊三角形的存在性問題時(shí)忽略分類討論2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,若△ABD為直角三角形,則∠ADC的度數(shù)為90°或130°.

方法命題角度1等腰三角形的性質(zhì)與判定提分特訓(xùn)1.[2020湖北黃岡]已知:如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,AB=AD=DC,∠C=35°,則∠BAD=40度.

2.[重慶A卷]如圖,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊上的中點(diǎn),連接AD,BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F.(1)若∠C=36°,求∠BAD的度數(shù);(2)求證:FB=FE.(1)解:∵AB=AC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),∴∠ABC=∠C=36°,AD⊥BC,∴∠BAD=90°-∠ABC=90°-36°=54°.(2)證明:∵BE平分∠ABC,EF∥BC,∴∠ABE=∠EBC,∠FEB=∠EBC,∴∠FEB=∠ABE,∴FB=FE.命題角度2等邊三角形的性質(zhì)與判定提分特訓(xùn)3.如圖,△ABC是等邊三角形,P是三角形內(nèi)任意一點(diǎn),D,E,F分別是AC,AB,BC邊上的三點(diǎn),且PF∥AB,PD∥BC,PE∥AC.若PF+PD+PE=a,則△ABC的邊長為(D)A.2a B.3aC.32a 4.[2020江蘇常州]如圖,在△ABC中,BC的垂直平分線分別交BC,AB于點(diǎn)E,F.若△AFC是等邊三角形,則∠B=30°.

命題角度3直角三角形的性質(zhì)與判定提分特訓(xùn)5.[2020浙江寧波]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD為中線,延長CB至點(diǎn)E,使BE=BC,連接DE,F為DE的中點(diǎn),連接BF.若AC=8,BC=6,則BF的長為(B)A.2 B.2.5 C.3 D.46.[陜西]如圖,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D,DE⊥AB,垂足為E.若DE=1,則BC的長為(A)A.2+2B.2+3C.2+3D.3真題考法速覽考法1等腰三角形的性質(zhì)與判定(10年3考)考法2等邊三角形的性質(zhì)與判定(10年2考)考法3直角三角形的性質(zhì)與判定(10年3考)考法1等腰三角形的性質(zhì)與判定1.[河北,8]已知:如圖,點(diǎn)P在線段AB外,且PA=PB.求證:點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.在證明該結(jié)論時(shí),需添加輔助線,則下列作法不正確的是(B)A.作∠APB的平分線PC,交AB于點(diǎn)CB.過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C,且AC=BCC.取AB中點(diǎn)C,連接PCD.過點(diǎn)P作PC⊥AB,垂足為點(diǎn)C考法2等邊三角形的性質(zhì)與判定2.[河北,16]如圖,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點(diǎn)M,N分別在OA,OB上,且△PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有(D)A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.3個(gè)以上3.[河北,13]一個(gè)正方形和兩個(gè)等邊三角形的位置如圖所示,若∠3=50°,則∠1+∠2=(B)A.90°B.100°C.130°D.180°考法3直角三角形的性質(zhì)與判定4.[2020河北,16]如圖是用三塊正方形紙片以頂點(diǎn)相連的方式設(shè)計(jì)的“畢達(dá)哥拉斯”圖案.現(xiàn)有五種正方形紙片,面積分別是1,2,3,4,5,選取其中三塊(可重復(fù)選取)按如圖所示的方式組成圖案,使所圍成的三角形是面積最大的直角三角形,則選取的三塊紙片的面積分別是(B)A.1,4,5 B.2,3,5C.3,4,5 D.2,2,45.[河北,14]如圖,AB,CD相交于點(diǎn)O,AC⊥CD于點(diǎn)C,若∠BOD=38°,則∠A等于52°.

6.[河北,19]勘測隊(duì)按實(shí)際需要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系,并標(biāo)示了A,B,C三地的坐標(biāo),數(shù)據(jù)如圖(單位:km).筆直鐵路經(jīng)過A,B兩地.(1)A,B間的距離為20km;

(2)計(jì)劃修一條從C到鐵路AB的最短公路l,并在l上建一個(gè)維修站D,使D到A,C的距離相等,則C,D間的距離為13km.

高分突破·微專項(xiàng)6與中點(diǎn)相關(guān)的五大模型強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖,已知在△ABC中,∠B=25°,點(diǎn)D在邊CB上,且∠DAB=90°,AC=12BD.則∠BAC的度數(shù)為105°2.[山東臨沂]如圖,在△ABC中,∠ACB=120°,BC=4,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),DC⊥BC,則△ABC的面積是83.

3.如圖,在△ABC中,BC=18,BD,CE是高,點(diǎn)F,G分別為BC,DE的中點(diǎn),若ED=10,則FG的長為214.

4.[2020山東德州中考節(jié)選]問題探究:小紅遇到這樣一個(gè)問題:如圖(1),△ABC中,AB=6,AC=4,AD是中線,求AD的取值范圍.她的做法是:延長AD到E,使DE=AD,連接BE,證明△BED≌△CAD,經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決.請(qǐng)回答:(1)小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是SAS.

(2)AD的取值范圍是1<AD<5.

方法運(yùn)用:(3)如圖(2),AD是△ABC的中線,在AD上取一點(diǎn)F,連接BF并延長交AC于點(diǎn)E,使AE=EF,求證:BF=AC.圖(1)圖(2)(1)SAS(2)1<AD<5解法提示:∵△BED≌△CAD,∴BE=AC=4.在△ABE中,根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得AB-BE<AE<AB+BE,∴2<2AD<10,∴1<AD<5.(3)證明:如圖,延長AD至A',使DA'=AD,連接BA',∵AD是△ABC的中線,∴BD=CD.又∵∠ADC=∠BDA',AD=DA',∴△ADC≌△A'DB,∴AC=BA',∠CAD=∠A'.∵AE=EF,∴∠EAF=∠AFE,又∠AFE=∠BFA',∴∠A'=∠BFA',∴BF=BA',∴BF=AC.5.如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,若DE=2,則點(diǎn)D到AC的距離為2.

6.[2020貴州黔西南州中考改編]如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),以點(diǎn)D為圓心作扇形DEF,且∠EDF=90°,EF經(jīng)過點(diǎn)C.將扇形DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C始終在EF上(不與點(diǎn)E,F重合),DE,AC交于點(diǎn)G,DF,BC交于點(diǎn)H,求四邊形DGCH周長的最小值.解:如圖,連接CD.∵∠ACB=90°,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn),AC=BC,∴∠A=∠DCH=45°,AD=CD,CD⊥AB.又∠EDF=90°,∴∠ADG=∠CDH,∴△ADG≌△CDH,∴DG=DH,AG=CH,∴CG+CH=CG+AG=AC=4.故當(dāng)DH+DG取最小值,即DH⊥BC時(shí),四邊形DGCH的周長最小.又此時(shí)DH+DG=2DH=2×12AC=4,7.如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E,F分別是AB,AC,BC的中點(diǎn),已知∠ADE=45°,則∠CFE的度數(shù)為(B)A.40° B.45° C.50° D.55°8.如圖,在四邊形ABCD中,AD=BC,點(diǎn)E,F,G分別是AB,CD,AC的中點(diǎn),連接EF,EG,若∠DAC=15°,∠ACB=87°,則∠FEG的度數(shù)為36°.

9.如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=25,BC=3,E是AC的中點(diǎn),延長BC至點(diǎn)F,使CF=12BC,連接EF,解:如圖,取AB的中點(diǎn)D,連接DE,CD,則DE∥BC,DE=12BC又∵CF=12BC,∴DE=CF,∴四邊形DCFE是平行四邊形∴EF=CD.在Rt△BCD中,∵∠B=90°,BD=12AB=5,BC=3∴CD=BD2+BC2=10.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,邊AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)M,交AB于點(diǎn)N,若AC=6,MB=2MC,則AB的長度為26.

11.如圖,在菱形ABCD中,按以下步驟作圖:以點(diǎn)A,D為圓心、大于12AD的長為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)P,Q,作直線PQ.已知直線PQ恰好經(jīng)過點(diǎn)B,若AB=4,則點(diǎn)B到CD的距離為23第四節(jié)全等三角形考點(diǎn)易錯(cuò)自糾易錯(cuò)點(diǎn)1不能靈活運(yùn)用全等三角形的判定定理解決問題致錯(cuò)1.小明不慎將一塊三角形玻璃摔碎成如圖所示的四塊(分別標(biāo)有①②③④),若帶著其中一塊去配與原來一樣大小的三角形玻璃,應(yīng)該帶(D)A.①B.②C.③D.④易錯(cuò)點(diǎn)2誤用“SSA”判定三角形全等2.如圖,∠BDA=∠BDC,現(xiàn)添加以下條件不能判定△ABD≌△CBD的是(C)A.∠A=∠CB.∠ABD=∠CBDC.AB=CBD.AD=CD易錯(cuò)點(diǎn)3忽略“△1與△2全等”和“△1≌△2”的區(qū)別3.如圖,在△ABC中,AB=AC=12cm,BC=8cm,點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).點(diǎn)P在線段BC上以2cm/s的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為vcm/s,則當(dāng)△BPD與△CQP全等時(shí),v的值為2或3.

方法命題角度全等三角形的判定與性質(zhì)提分特訓(xùn)1.[貴州安順]如圖,點(diǎn)B,F,C,E在一條直線上,AB∥ED,AC∥FD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無法判定△ABC≌△DEF的是(A)A.∠A=∠D B.AC=DFC.AB=ED D.BF=EC2.[2020遼寧遼陽]如圖,在△ABC中,M,N分別是AB和AC的中點(diǎn),連接MN,點(diǎn)E是CN的中點(diǎn),連接ME并延長,交BC的延長線于點(diǎn)D,若BC=4,則CD的長為2.

3.[2020江蘇常州]已知:如圖,點(diǎn)A,B,C,D在一條直線上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD.(1)求證:∠E=∠F;(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度數(shù).(1)證明:∵EA∥FB,∴∠A=∠FBD.∵AB=CD,∴AB+BC=CD+BC,即AC=BD.在△EAC與△FBD中,EA=FB,∴△EAC≌△FBD,∴∠E=∠F.(2)∵△EAC≌△FBD,∴∠ECA=∠D=80°.又∵∠A=40°,∴∠E=180°-40°-80°=60°.真題考法全等三角形的性質(zhì)與判定(必考)1.[河北,23(1)]如圖,在△ABC和△ADE中,AB=AD=6,BC=DE,∠B=∠D=30°,邊AD與邊BC交于點(diǎn)P(不與點(diǎn)B,C重合),點(diǎn)B,E在AD異側(cè),I為△APC的內(nèi)心.求證:∠BAD=∠CAE.證明:∵AB=AD,∠B=∠D,BC=DE,∴△ABC≌△ADE,∴∠BAC=∠DAE,∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,∴∠BAD=∠CAE.2.[河北,21]如圖,點(diǎn)B,F,C,E在直線l上(F,C之間不能直接測量),點(diǎn)A,D在l異側(cè),測得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求證:△ABC≌△DEF;(2)指出圖中所有平行的線段,并說明理由.(1)證明:∵BF=EC,∴BF+FC=EC+CF,即BC=EF.又AB=DE,AC=DF,∴△ABC≌△DEF.(2)AB∥DE,AC∥DF.理由:∵△ABC≌△DEF,∴∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE,AC∥DF.3.[河北,23]如圖,∠A=∠B=50°,P為AB中點(diǎn),點(diǎn)M為射線AC上(不與點(diǎn)A重合)的任意一點(diǎn),連接MP,并使MP的延長線交射線BD于點(diǎn)N,設(shè)∠BPN=α.(1)求證:△APM≌△BPN;(2)當(dāng)MN=2BN時(shí),求α的值;(3)若△BPN的外心在該三角形的內(nèi)部,請(qǐng)直接寫出α的取值范圍.(1)證明:∵P為AB中點(diǎn),∴PA=PB=12在△APM和△BPN中,∠A=∠B,∴△APM≌△BPN.(2)由(1)得,△APM≌△BPN,∴PM=PN=12∵M(jìn)N=2BN,∴BN=12MN=PN∴α=∠B=50°.(3)40°<α<90°.解法提示:∵銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部,∴△BPN是銳角三角形,∴0解得40°<α<90°.高分突破·微專項(xiàng)7構(gòu)造全等三角形中的兩大輔助線技巧技巧一利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造全等三角形強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖,點(diǎn)P為等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn),且點(diǎn)P到△ABC三個(gè)頂點(diǎn)A,B,C的距離分別為1,2,3,則△ABC的面積為

32+32.如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E為BC上一點(diǎn),點(diǎn)F為CD上一點(diǎn),BE+DF=EF,則∠EAF的度數(shù)為45°.

3.如圖,在△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D,E,F分別在邊CA,AB,BC上,且四邊形CDEF是正方形,已知BE=2.2,EA=4.1,則△BFE和△AED的面積之和為4.51.

4.如圖,OA=OD,OA⊥OD,OB=OC,OB⊥OC,經(jīng)過點(diǎn)O的直線l分別交AB,CD于點(diǎn)E,F.(1)求證:S△OAB=S△OCD;(2)若直線l平分CD,求證:OF=12(1)證明:∵OA=OD,∴可將△AOB以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)至△DOG的位置,如圖所示,則△AOB≌△DOG,∴S△OAB=S△ODG,∠AOB=∠DOG,OB=OG.∵OA⊥OD,OB=OC,OB⊥OC,∴∠COD+∠AOB=∠COD+∠DOG=180°,OC=OG,∴C,O,G三點(diǎn)共線,OD為△CDG中CG邊上的中線,∴S△ODG=S△OCD,∴S△OAB=S△OCD.(2)證明:∵直線l平分CD,∴CF=DF.由(1)可知,OC=OG,∴OF為△CDG的中位線,∴OF=12DG由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得DG=AB,∴OF=12技巧二利用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形強(qiáng)化訓(xùn)練5.如圖,在△ABC中,∠CAB=∠CBA=45°,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),CN⊥AE.(1)求證:∠1=∠2;(2)求證:AE=CN+EN.(1)證明:∵∠CAB=∠CBA=45°,∴∠ACB=90°,∴∠ACN+∠1=90°.∵AE⊥CN,∴∠2+∠ACN=90°,∴∠1=∠2.(2)證明:方法一(截長法):如圖(1),在線段AE上截取AM=CN,連接CM.圖(1)易知AC=BC,又∠1=∠2,AM=CN,∴△ACM≌△CBN,∴CM=BN,∠ACM=∠B=45°,∴∠MCE=45°,∴∠B=∠MCE.在△MCE和△NBE中,CM=BN,∴△MCE≌△NBE,∴EM=EN,∴AE=AM+EM=CN+EN.方法二(補(bǔ)短法):如圖(2),延長CN到點(diǎn)M,使CM=AE,連接BM.圖(2)易知CB=CA,又∠1=∠2,CM=AE,∴△ACE≌△CBM,∴CE=BM=BE,∠CBM=∠ACE=90°,∴∠MBN=45°=∠NBE.在△NBM和△NBE中,BN=BN,∴△NBM≌△NBE,∴NM=EN,∴AE=CM=CN+NM=CN+EN.6.如圖,在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)D是邊BC下方一點(diǎn).(1)如圖(1),若∠BAC=60°,∠BDC=120°,求證:AD=BD+CD;(2)如圖(2),若∠BAC=90°,∠BDC=90°,求證:AD=22(BD+CD)圖(1)圖(2)(1)證明:如圖(1),延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE.圖(1)∵∠BAC=60°,∠BDC=120°,∴∠ABD+∠ACD=180°.又∵∠ACE+∠ACD=180°,∴∠ABD=∠ACE.又∵AB=AC,CE=BD,∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=60°,∴△ADE是等邊三角形,∴AD=DE=CE+CD=BD+CD.(2)證明:如圖(2),延長DC到點(diǎn)E,使CE=BD,連接AE.圖(2)∵∠BAC=90°,∠BDC=90°,∴∠ABD+∠ACD=180°,又∵∠ACE+∠ACD=180°,∴∠ABD=∠ACE.又∵AB=AC,CE=BD,∴△ABD≌△ACE,∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,∴∠DAE=∠BAC=90°,∴AD=22DE=22(CE+CD)=22(第五節(jié)相似三角形(含位似)考點(diǎn)易錯(cuò)自糾易錯(cuò)點(diǎn)1求兩條線段的比時(shí)因長度單位不統(tǒng)一而致錯(cuò)1.一幅地圖中甲、乙兩地的圖上距離3cm表示實(shí)際距離150km,這幅地圖的比例尺是1∶5000000.

易錯(cuò)點(diǎn)2弄錯(cuò)相似三角形的面積比與相似比的關(guān)系2.[2020四川內(nèi)江]如圖,在△ABC中,D,E分別是AB和AC的中點(diǎn),S四邊形BCED=15,則S△ABC=(D)A.30 B.25 C.22.5 D.20易錯(cuò)點(diǎn)3未找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)線段3.如圖,在△ABC中,DE∥BC,DE分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若AD=4,DB=2,則DE∶BC的值為

23易錯(cuò)點(diǎn)4忽略“△1與△2相似”和“△1∽△2”的區(qū)別4.在△ABC中,AB=4,AC=5,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E在AC上,連接DE,若△ADE和△ABC相似,則AE的長為

52或85易錯(cuò)點(diǎn)5求位似變換后點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)易漏解5.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(-4,2),B(-6,-4),以原點(diǎn)O為位似中心,相似比為12,把△ABO縮小,則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A'的坐標(biāo)是(D)A.(-2,1) B.(-8,4)C.(-8,4)或(8,-4) D.(-2,1)或(2,-1)方法命題角度1相似三角形的判定與性質(zhì)提分特訓(xùn)1.[2020貴州銅仁]已知△FHB∽△EAD,它們的周長分別為30和15,且FH=6,則EA的長為(A)A.3 B.2 C.4 D.52.[2020石家莊新華區(qū)一模]如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB上,AD=5,CE是△BCD的角平分線,且CE=6.當(dāng)∠BCD=2∠A時(shí),DE的長為(B)A.3 B.4 C.5 D.63.[2020石家莊一模]如圖,Rt△ABC是一塊鐵板余料,已知∠A=90°,AB=6cm,AC=8cm,要把它加工成一個(gè)形狀為平行四邊形(?DEFG)的工件,使GF在邊BC上,D,E兩點(diǎn)分別在邊AB,AC上,且DE=5cm,則?DEFG的面積為(B)A.24cm2 B.12cm2 C.9cm2 D.6cm24.[2020四川遂寧]如圖,在平行四邊形ABCD中,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,交CD的延長線于點(diǎn)G,若AF=2FD,則BEEG的值為(C)A.12 B.13 C.235.[2020江蘇蘇州]如圖,在矩形ABCD中,E是BC的中點(diǎn),DF⊥AE,垂足為F.(1)求證:△ABE∽△DFA;(2)若AB=6,BC=4,求DF的長.(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴∠AEB=∠DAF,∵DF⊥AE,∴∠DFA=90°,∴∠B=∠DFA,∴△ABE∽△DFA.(2)解:∵△ABE∽△DFA,∴ABDF=AE∵BC=4,E是BC的中點(diǎn),∴BE=12BC=12∴在Rt△ABE中,AE=AB2+BE2又∵AD=BC=4,∴6DF=2∴DF=610命題角度2圖形的位似提分特訓(xùn)6.[2020唐山路北區(qū)二模]如圖,以點(diǎn)O為位似中心,把△ABC放大為原圖形的2倍得到△A'B'C',以下說法中錯(cuò)誤的是(C)A.△ABC∽△A'B'C'B.點(diǎn)C,O,C'三點(diǎn)在同一直線上C.AO∶AA'=1∶2D.AB∥A'B'7.方格紙中每個(gè)小正方形的邊長都是單位1,△OAB在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示.(1)請(qǐng)按要求對(duì)△OAB作變換:以點(diǎn)O為位似中心,位似比為2∶1,將△OAB在位似中心的異側(cè)進(jìn)行放大得到△OA'B'(點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A',B').(2)寫出點(diǎn)A'的坐標(biāo).(3)求△OA'B'的面積.解:(1)如圖所示,△OA'B'即為所求.(2)點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(-6,-2).(3)△OA'B'的面積為6×4-12×2×4-12×2×4-真題考法速覽考法1相似三角形的性質(zhì)與判定(10年4考)考法2圖形的位似(10年3考)考法1相似三角形的性質(zhì)與判定1.[河北,7]若△ABC的每條邊長增加各自的10%得△A'B'C',則∠B'的度數(shù)與其對(duì)應(yīng)角∠B的度數(shù)相比(D)A.增加了10% B.減少了10%C.增加了(1+10%) D.沒有改變2.[河北,15]如圖,△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6.將△ABC沿圖示中的虛線剪開,剪下的陰影三角形與原三角形不相似的是(C)A BC D3.[河北,13]在研究相似問題時(shí),甲、乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下:對(duì)于兩人的觀點(diǎn),下列說法正確的是(A)A.兩人都對(duì) B.兩人都不對(duì)C.甲對(duì),乙不對(duì) D.甲不對(duì),乙對(duì)4.[河北,9]如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=6,D,E分別在AB,AC上,將△ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處,若A'為CE的中點(diǎn),則折痕DE的長為(B)A.12 B.2 C.3 考法2圖形的位似5.[2020河北,8]在如圖所示的網(wǎng)格中,以點(diǎn)O為位似中心,四邊形ABCD的位似圖形是(A)A.四邊形NPMQ B.四邊形NPMRC.四邊形NHMQ D.四邊形NHMR6.[河北,20]如圖,在6×8的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均為小正方形的頂點(diǎn).(1)以O(shè)為位似中心,在網(wǎng)格圖中作△A'B'C',使△A'B'C'和△ABC位似,且位似比為1∶2;(2)連接(1)中的AA',求四邊形AA'C'C的周長(結(jié)果保留根號(hào)).解:(1)如圖:(2)由(1)可知,AA'=CC'=2.在Rt△OA'C'中,OA'=OC'=2,得A'C'=22,故AC=2A'C'=42,∴四邊形AA'C'C的周長=AA'+A'C'+C'C+AC=2+22+2+42=4+62.7.[河北,23]如圖(1),點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn),分別以B,C為直角頂點(diǎn)的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形,且在BC的同側(cè).(1)AE和ED的數(shù)量關(guān)系為AE=ED;

AE和ED的位置關(guān)系為AE⊥ED.

(2)在圖(1)中,以點(diǎn)E為位似中心,作△EGF與△EAB位似,點(diǎn)H是BC所在直線上的一點(diǎn),連接GH,HD,分別得到了圖(2)和圖(3).①在圖(2)中,點(diǎn)F在BE上,△EGF與△EAB的相似比是1∶2,H是EC的中點(diǎn).求證:GH=HD,GH⊥HD.②在圖(3)中,點(diǎn)F在BE的延長線上,△EGF與△EAB的相似比是k∶1,若BC=2,請(qǐng)直接寫出CH的長為多少時(shí),恰好使得GH=HD且GH⊥HD(用含k的代數(shù)式表示).圖(1)圖(2)圖(3)(1)AE=EDAE⊥ED(2)①證明:由題意,知∠B=∠C=90°,AB=BE=EC=DC.∵△EGF與△EAB位似且相似比是1∶2,∴∠GFE=∠B=90°,GF=12AB,EF=1又H是EC的中點(diǎn),∴EH=HC=12EC∴GF=HC,∠GFH=∠HCD,FH=CD,∴△HGF≌△DHC,∴GH=HD,∠GHF=∠HDC.又∵∠HDC+∠DHC=90°,∴∠GHF+∠DHC=90°,∴∠GHD=90°,∴GH⊥HD.②CH的長為k.高分突破·微專項(xiàng)8“一線三等角”模型、“手拉手”模型、

“半角”模型和“對(duì)角互補(bǔ)”模型模型一“一線三等角”模型強(qiáng)化訓(xùn)練1.如圖,在四邊形ABCD中,∠BAD=∠ACB=90°,AB=AD,AC=4BC,若CD的長為5,則四邊形ABCD的面積為10.

2.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角三角形OAB的一個(gè)頂點(diǎn)在原點(diǎn)處,∠ABO=90°,OB=AB,已知點(diǎn)A(2,4),則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,1).

3.(1)探索發(fā)現(xiàn)如圖(1),在△ABC中,點(diǎn)D在邊BC上,△ABD與△ADC的面積分別記為S1與S2,試判斷S1S2與BDCD(2)閱讀分析小東遇到這樣一個(gè)問題:如圖(2),在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,射線AM交BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E,F在AM上,且∠CEM=∠BFM=90°,試判斷BF,CE,EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系.小東利用一對(duì)全等三角形,經(jīng)過推理使問題得以解決.填空:①圖(2)中的一對(duì)全等三角形為△AEC≌△BFA;

②BF,CE,EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為CE=EF+BF.

(3)類比探究如圖(3),在四邊形ABCD中,AB=AD,AC與BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)E,F在射線AC上,且∠BCF=∠DEF=∠BAD.①判斷BC,DE,CE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;②若OD=3OB,△AED的面積為2,直接寫出四邊形ABCD的面積.解:(1)S1S2理由如下:過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E.∵S1=12BD·AE,S2=12CD·AE,∴S1(2)①△AEC≌△BFA②CE=EF+BF(3)①DE=BC+CE.理由如下:∵∠BCF=∠DEF=∠BAD,∴∠ACB=180°-∠BCF=180°-∠DEF=∠AED,∠BAC+∠DAE=∠ADE+∠DAE,∴∠BAC=∠ADE.又∵AB=AD,∴△BAC≌△ADE,∴BC=AE,AC=DE,∴DE=AC=AE+CE=BC+CE.②四邊形ABCD的面積為8.模型二“手拉手”模型強(qiáng)化訓(xùn)練4.[湖北荊州]如圖(1),等腰直角三角形OEF的直角頂點(diǎn)O為正方形ABCD的中心,點(diǎn)C,D分別在OE,OF上,現(xiàn)將△OEF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<90°),連接AF,DE(如圖(2)).(1)在圖(2)中,∠AOF=90°-α;(用含α的式子表示)

(2)在圖(2)中,猜想AF與DE的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.圖(1)圖(2)(1)90°-α解法提示:由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠DOF=∠COE=α,∴∠AOF=90°-α.(2)AF=DE.證明:∵△OEF是等腰直角三角形,∴OE=OF.∵四邊形ABCD是正方形,∴OA=OD,∠COD=90°.∵∠AOF=90°-α,∠DOE=90°-α,∴∠AOF=∠DOE.又∵OA=OD,∴△AOF≌△DOE,∴AF=DE.5.[2020山東威海]發(fā)現(xiàn)規(guī)律(1)如圖(1),△ABC與△ADE都是等邊三角形,直線BD,CE交于點(diǎn)F.直線BD,AC交于點(diǎn)H,求∠BFC的度數(shù).(2)△ABC與△ADE的位置如圖(2)所示,直線BD,CE交于點(diǎn)F.直線BD,AC交于點(diǎn)H.若∠ABC=∠ADE=α,∠ACB=∠AED=β,求∠BFC的度數(shù).應(yīng)用結(jié)論(3)如圖(3),在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O的坐標(biāo)為(0,0),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)N為y軸上一動(dòng)點(diǎn),連接MN.將線段MN繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段MK,連接NK,OK.求線段OK長度的最小值.圖(1)圖(2)圖(3)解:(1)∵△ABC,△ADE都是等邊三角形,∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAD=∠CAE,∴△BAD≌△CAE,∴∠ABD=∠ACE.又∵∠AHB=∠FHC,∴∠BFC=∠BAC=60°.(2)∵∠ABC=∠ADE=α,∠ACB=∠AED=β,∴△ABC∽△ADE,∴∠BAC=∠DAE,ABAD=ACAE,∴∠BAD=∠CAE,ABAC∴△ABD∽△ACE,∴∠ABD=∠ACE.又∵∠BHA=∠CHF,∴∠BFC=∠BAC=180°-α-β.(3)易知△MNK是等邊三角形,∴MK=MN=NK,∠NMK=∠NKM=∠KNM=60°.如圖,將△MOK繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△MQN,連接OQ,則OK=NQ,MO=MQ,∠OMQ=60°,∴△MOQ是等邊三角形,∴∠QOM=60°,OQ=OM=3,∴∠NOQ=30°.∵OK=NQ,∴當(dāng)NQ最小時(shí),OK有最小值.由“垂線段最短”可知,當(dāng)QN⊥y軸時(shí),NQ有最小值,此時(shí)NQ=12OQ=32,∴線段OK長度的最小值為模型三“半角”模型強(qiáng)化訓(xùn)練6.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=1,E,F為邊AB上兩動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)F下側(cè)),連接EC,FC,∠ECF=45°,過點(diǎn)E作BC的垂線,過點(diǎn)F作AC的垂線,兩線交于點(diǎn)M,垂足分別為點(diǎn)H,G.現(xiàn)有以下結(jié)論:①AB=2;②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),MH=12;③AF+BE=EF;④MG·MH=12.其中結(jié)論正確的為(CA.①②③ B.①③④ C.①②④ D.①②③④7.如圖,四邊形ABCD是正方形,∠EAF的兩邊分別與CB,DC的延長線交于點(diǎn)E,F,連接EF,若∠FAE=45°,試探究線段EF,BE,DF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.BE+EF=DF.證明:如圖所示,將△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,使AB與AD重合,得到△ADE',則DE'=BE,AE'=AE,∠E'AD=∠EAB.又∵∠FAE=45°,∴∠E'AD+∠BAF=∠EAB+∠BAF=45°,∴∠FAE'=45°,∴∠FAE=∠FAE'.又∵AF=AF,∴△FAE≌△FAE',∴FE'=FE.又∵DE'+E'F=DF,∴BE+EF=DF.8.如圖,在△PAB中,等邊三角形PCD的頂點(diǎn)C,D在線段AB上.(1)當(dāng)AC,CD,DB滿足怎樣的關(guān)系時(shí),△ACP∽△PDB?(2)當(dāng)△ACP∽△PDB時(shí),求∠APB的度數(shù).解:(1)∵△ACP∽△PDB,∴PCBD=AC∴PC·PD=AC·BD.∵△PCD是等邊三角形,∴PC=CD=PD,∴CD2=AC·BD.故當(dāng)CD2=AC·BD時(shí),△ACP∽△PDB.(2)∵△ACP∽△PDB,∴∠APC=∠B,∠A=∠DPB.又∵∠PCD=∠APC+∠A=60°,∴∠APC+∠DPB=60°,∴∠APB=∠APC+∠DPB+∠CPD=120°.9.如圖,拋物線y=-x2+2x+3與x軸交于A,B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn),連接AD,點(diǎn)P為第一象限的拋物線上一點(diǎn),且∠DAP=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo).解:拋物線的解析式可化為y=-(x-1)2+4,∴D(1,4).令-x2+2x+3=0,解得x1=-1,x2=3,∴A(-1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3,∴AB=4.過點(diǎn)A作x軸的垂線,過點(diǎn)D作y軸的垂線,兩線交于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作ED的垂線,交ED的延長線于點(diǎn)F,交射線AP于點(diǎn)N,連接DN,如圖,則四邊形ABFE為正方形,故根據(jù)半角模型的結(jié)論,可知DN=DE+NB.易得DE=2,DF=2.設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,n),則BN=n,FN=4-n,∴DN=DE+NB=2+n.在Rt△DFN中,DF2+FN2=DN2,即22+(4-n)2=(2+n)2,解得n=43∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,43)設(shè)直線AN的解析式為y=kx+b,將A(-1,0),N(3,43)分別代入得-k+b=0,故直線AN的解析式為y=13x+1令13x+13=-x2解得x1=83,x2=-1(不合題意,舍去把x=83代入y=13x+13,∴P(83,11910.問題背景:如圖(1),在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,點(diǎn)D,E為BC邊上的點(diǎn),且∠DAE=60°,若BD=1,EC=2,求DE的長.(1)觀察發(fā)現(xiàn):注意到條件中有AB=AC,∠BAC=120°,不妨把△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°,得到△ABF,連接DF,易證△ADF≌△ADE,從而將線段BD,DE,EC集中在△FBD中,因?yàn)椤螰BD的度數(shù)是60°,BF=EC=2,BD=1,所以DE的長為

3.

(2)類比探究:如圖(2),在△ABC中,∠CAB=60°,AB=AC,點(diǎn)D,E為BC邊上的點(diǎn),且∠DAE=30°,BD=2,EC=32,(3)拓展應(yīng)用:如圖(3),點(diǎn)E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),∠AEB=90°,點(diǎn)F是BC邊上一點(diǎn),且∠EDF=45°.若AB=2,請(qǐng)直接寫出當(dāng)DE取最小值時(shí)CF的長.圖(1)圖(2)圖(3)解:(1)60°3(2)由題意,得△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.如圖(1),將△ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到△ABF,過點(diǎn)F作FG⊥BC,交CB的延長線于點(diǎn)G,連接DF,則AF=AE,BF=EC=32,∠FBA=∠C,∠FAB=∠EAC圖(1)∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠EAC+∠BAD=60°-∠DAE=30°=∠DAE.又AD=AD,∴△ADF≌△ADE,∴DF=DE.∵∠FBD=∠FBA+∠ABD=∠C+∠ABD=120°,∴∠FBG=60°,∴FG=32FB=334,BG=12FB=34,∴DE=DF=(114)(3)當(dāng)DE取最小值時(shí),CF的長為23解法提示:∵∠AEB=90°,∴點(diǎn)E在以AB為直徑的圓上,設(shè)圓心為O,連接OD,交☉O于點(diǎn)E,此時(shí)DE取最小值,如圖(2).將△DCF繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到△DAG,連接OF,則DG=DF,∠GDA=∠FDC,GA=FC,∠GAD=∠C=90°,∴點(diǎn)G,A,B三點(diǎn)共線.圖(2)∵∠GDO=∠GDA+∠ADO=∠CDF+∠ADO=90°-45°=45°=∠ODF,OD=OD,∴△DGO≌△DFO,∴OG=OF.設(shè)CF=x,則BF=2-x,OF=OG=x+1.根據(jù)勾股定理可得OB2+BF2=OF2,即12+(2-x)2=(x+1)2,解得x=23故當(dāng)DE取最小值時(shí),CF的長為23模型四“對(duì)角互補(bǔ)”模型強(qiáng)化訓(xùn)練11.如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)D是線段BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在AB上,點(diǎn)F在AC上,且∠EDF=120°.求證:DE=DF.證明:如圖,連接AD,過點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G,DH⊥AC于點(diǎn)H.∵△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),∴∠BAD=∠CAD,∴DG=DH.∵∠GDH=360°-∠BAC-90°×2=120°,∠EDF=120°,∴∠EDG=∠HDF.又∠EGD=∠FHD,DG=DH,∴△DGE≌△DHF,∴DE=DF.12.【發(fā)現(xiàn)】(1)如圖(1),OA⊥OB,OA=OB,點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn),且OP=4.點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)O,A重合),連接PM,過點(diǎn)P作PN⊥PM交線段OB于點(diǎn)N,連接MN,則線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是PM=PN,線段MN的最小值是4.

【探究】(2)如圖(2),射線OA與OB的夾角是120°,點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,且OP=4.點(diǎn)M在射線OA上運(yùn)動(dòng),在射線OB上取一點(diǎn)N,使得∠MPN+∠AOB=180°,試探究線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并求出線段MN的最小值.【拓展】(3)如圖(3),射線OA與OB的夾角為α(0°<α<180°),點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,且OP=a.點(diǎn)M在射線OA上運(yùn)動(dòng),在射線OB上取一點(diǎn)N,使得∠MPN+∠AOB=180°,請(qǐng)直接寫出△PMN周長的最小值(用含a和α的式子表示).圖(1)圖(2)圖(3)解:(1)PM=PN4解法提示:如圖(1),過點(diǎn)P作PC⊥OB于點(diǎn)C,PD⊥OA于點(diǎn)D.圖(1)易證四邊形OCPD是正方形,∴PC=PD,∠CPD=90°.∵PM⊥PN,∴∠MPN=90°,∴∠MPN-∠DPN=∠CPD-∠DPN,即∠DPM=∠CPN.又PD=PC,∠PDM=∠PCN=90°,∴△DPM≌△CPN,∴PM=PN,∴△PMN是等腰直角三角形,∴MN=2PM.易知當(dāng)PM⊥OA時(shí),PM取得最小值,為22,故MN的最小值為2×22=4.(2)如圖(2),過點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E,PF⊥OB于點(diǎn)F,圖(2)∵OP平分∠AOB,∴PE=PF.∵∠MPN+∠AOB=180°,∴∠PMO+∠PNO=180°.∵∠PNO+∠PNF=180°,∴∠PMO=∠PNF,∴△EPM≌△FPN,∴PM=PN.∵∠AOB=120°,∴∠MPN=60°,∴△PMN是等邊三角形,∴MN=PM=PN.當(dāng)PM⊥OA,即PM與PE重合時(shí),PM取得最小值,也即MN取得最小值.在Rt△PEO中,∵∠POE=12∠AOB=60°∴PE=OP·sin∠POE=4×32=23故MN的最小值為23.(3)△PMN的周長的最小值為2asinα2+2asinα2cos圖(3)解法提示:如圖(3),過點(diǎn)P作PG⊥OB于點(diǎn)G,PH⊥OA于點(diǎn)H,PK⊥MN于點(diǎn)K,則PG=PH.易證△HPM≌△GPN,∴PM=PN,∴∠PMN=∠PNM.在△PMN中,∠MPN+2∠PMN=180°.∵∠MPN+∠AOB=180°,OP平分∠AOB,∴∠MPN+2∠POH=180°,∴∠PMN=∠POH=12∠AOB=α∵PM=PN,PK⊥MN,∴MK=NK=12在Rt△PKM中,MK=PM·cos∠PMK=PM·cosα2∴MN=2PM·cosα2當(dāng)PM⊥OA,即PM與PH重合時(shí),PM取得最小值.在Rt△POH中,PH=OP·sin∠POH=asinα2即PMmin=asinα2∴MN的最小值為2asinα2cosα∴△PMN周長的最小值為2asinα2+2asinα2cos第六節(jié)銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用考點(diǎn)易錯(cuò)自糾易錯(cuò)點(diǎn)1根據(jù)定義求銳角三角函數(shù)時(shí)忽略“直角三角形”這個(gè)前提1.[2020山東聊城]如圖,在4×5的正方形網(wǎng)格中,每個(gè)小正方形的邊長都是1,△ABC的頂點(diǎn)都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,那么sin∠ACB的值為(D)A.3B.17C.3D.4易錯(cuò)點(diǎn)2誤認(rèn)為坡度是“坡面的水平寬度與鉛直高度的比”2.如圖所示的斜坡AB的坡度為3∶4,若坡面AB長為10m,則BC=6m.

易錯(cuò)點(diǎn)3直角三角形的直角頂點(diǎn)不明確,求銳角三角函數(shù)值時(shí)忽略分類討論3.[浙江杭州]在直角三角形ABC中,若2AB=AC,則cosC=

32或25方法命題角度1解直角三角形提分特訓(xùn)1.[2020四川南充]如圖,點(diǎn)A,B,C在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,則sin∠BAC=(B)A.26 B.C.2613 D.2.如圖,在△ABC中,AB=BC=5,tan∠ABC=34(1)求邊AC的長;(2)設(shè)邊BC的垂直平分線與邊AB的交點(diǎn)為D,求ADBD解:(1)如圖,過點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E,在Rt△ABE中,tan∠ABC=AEBE=34,∴AE=3,BE=4,∴CE=BC-BE=5-4=1.在Rt△AEC中,根據(jù)勾股定理,得AC=32+1(2)如圖,過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,連接DC.∵直線DF垂直平分BC,∴BD=CD,BF=CF=52又∵tan∠DBF=DFBF=34,∴DF=在Rt△BFD中,根據(jù)勾股定理,得BD=(52)2+(158∴ADBD=3命題角度2解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用提分特訓(xùn)3.[2020山東濟(jì)寧]如圖,小明在距離地面30米的點(diǎn)P處測得斜坡點(diǎn)A處的俯角為15°,測得斜坡點(diǎn)B處的俯角為60°.若斜坡AB的斜面坡度為1∶3,則斜坡AB的長是203米.

4.[2020河南]位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺(tái),是中國現(xiàn)存最早的天文臺(tái),也是世界文化遺產(chǎn)之一.某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺(tái)的高度,如圖所示,他們?cè)诘孛嬉粭l水平步道MP上架設(shè)測角儀,先在點(diǎn)M處測得觀星臺(tái)最高點(diǎn)A的仰角為22°,然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處,測得點(diǎn)A的仰角為45°.測角儀的高度為1.6m.(1)求觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tan22°≈0.40,2≈1.41).(2)“景點(diǎn)簡介”顯示,觀星臺(tái)的高度為12.6m.請(qǐng)計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差,并提出一條減小誤差的合理化建議.解:(1)如圖,過點(diǎn)A作AF⊥MP,垂足為點(diǎn)F,交BC的延長線于點(diǎn)E.由題意知,四邊形MBCN和四邊形NCEF均為矩形.設(shè)AE=xm,在Rt△ACE中,∠AEC=90°,∠ACE=45°,∴CE=AE=xm.在Rt△ABE中,∠AEB=90°,∠ABE=22°.∵tan22°=AEBE∴BE=AEtan22°≈x0.40=5∵BE-CE=BC,∴52x-x=16解得x≈10.67.∵EF=BM=1.6m,∴AF=AE+EF=10.67+1.6≈12.3(m).即觀星臺(tái)最高點(diǎn)A距離地面的高度約為12.3m.(2)誤差為12.6-12.3=0.3(m).可多次測量,取測量數(shù)據(jù)的平均值(答案不唯一,合理即可).真題考法速覽考法1仰角、俯角(10年1考)考法2方向角(10年5考)考法3解直角三角形(必考)考法1仰角、俯角1.[河北,3]如圖,從點(diǎn)C觀測點(diǎn)D的仰角是(B)A.∠DABB.∠DCEC.∠DCA D.∠ADC考法2方向角2.[2020河北,12]如圖,從筆直的公路l旁一點(diǎn)P出發(fā),向西走6km到達(dá)l;從點(diǎn)P出發(fā)向北走6km也到達(dá)l.下列說法錯(cuò)誤的是(A)A.從點(diǎn)P向北偏西45°走3km到達(dá)lB.公路l的走向是南偏西45°C.公路l的走向是北偏東45°D.從點(diǎn)P向北走3km后,再向西走3km到達(dá)l3.[河北,11]如圖,快艇從P處向正北航行到A處時(shí),向左轉(zhuǎn)50°航行到B處,再向右轉(zhuǎn)80°繼續(xù)航行,則此時(shí)快艇的航行方向?yàn)?A)A.北偏東30° B.北偏東80°C.北偏西30° D.北偏西50°4.[河北,10]如圖,碼頭A在碼頭B的正西方向,甲、乙兩船分別從A,B同時(shí)出發(fā),并以等速駛向某海域,甲的航向是北偏東35°,為避免行進(jìn)中甲、乙相撞,則乙的航向不能是(D)A.北偏東55° B.北偏西55°C.北偏東35° D.北偏西35°5.[河北,9]已知:島P位于島Q的正西方,由島P,Q分別測得船R位于南偏東30°和南偏西45°方向上,符合條件的示意圖是(D)6.[河北,8]如圖,一艘海輪位于燈塔P的南偏東70°方向的M處,它以每小時(shí)40海里的速度向正北方向航行,2小時(shí)后到達(dá)位于燈塔P的北偏東40°方向的N處,則N處與燈塔P的距離為(D)A.40海里B.60海里C.70海里D.80海里考法3解直角三角形7.[河北,26]如圖(1)和圖(2),在△ABC中,AB=13,BC=14,cos∠ABC=513探究如圖(1),AH⊥BC于點(diǎn)H,則AH=12,AC=15,S△ABC=84.

拓展如圖(2),點(diǎn)D在AC上(可與點(diǎn)A,C重合),分別過點(diǎn)A,C作直線BD的垂線,垂足為E,F.設(shè)BD=x,AE=m,CF=n.(當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí),我們認(rèn)為S△ABD=0)(1)用含x,m或n的代數(shù)式表示S△ABD及S△CBD;(2)求(m+n)與x的函數(shù)關(guān)系式,并求(m+n)的最大值和最小值;(3)對(duì)給定的一個(gè)x值,有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D,指出這樣的x的取值范圍.發(fā)現(xiàn)請(qǐng)你確定一條直線,使得A,B,C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小(不必寫出過程),并寫出這個(gè)最小值.圖(1)圖(2)解:探究121584拓展(1)由三角形面積公式,得S△ABD=12mx,S△CBD=1(2)由(1)得m=2S△ABDx,∴m+n=2S△ABDx+2由于AC邊上的高為2S△ABC15=2×84∴x的取值范圍是565≤x≤∵(m+n)隨x的增大而減小,∴當(dāng)x=565時(shí),(m+n)有最大值,最大值為15當(dāng)x=14時(shí),(m+n)有最小值,最小值為12.(3)x的取值范圍是x=565或13<x≤發(fā)現(xiàn)AC所在的直線,使得A,B,C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小.最小值為565參考答案第一節(jié)幾何初步、相交線與平行線考點(diǎn)【易錯(cuò)自糾】1.D2.3cm或13cm當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí),BC=AB-AC=8-5=3(cm);當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線上時(shí),BC=AB+AC=8+5=13(cm).3.35°或105°當(dāng)OC與OB在OA異側(cè)時(shí),∠BOC=∠AOB+∠AOC=3∠AOB=105°.當(dāng)OC與OB在OA同側(cè)時(shí),∠BOC=∠AOC-∠AOB=35°.故∠BOC=35°或105°.4.C根據(jù)對(duì)頂角相等,可知∠2=∠4,故選C.真題1.C用量角器測量∠MON的度數(shù)時(shí),量角器的中心點(diǎn)應(yīng)與頂點(diǎn)O重合,零刻度線與∠MON的一條邊OM重合,另一條邊ON所對(duì)的量角器上的刻度就是這個(gè)角的度數(shù).2.D在平面內(nèi),過任意一點(diǎn)都能作出直線m的一條垂線,故直線m的垂線有無數(shù)條.3.B∠1+∠2=180°-90°=90°.4.C如圖,延長AC交EF于點(diǎn)G.∵AB∥EF,∠BAC=50°,∴∠AGE=50°.∵CD⊥EF,∴∠CDG=90°.∵∠ACD是△CDG的外角,∴∠ACD=∠CDG+∠CGD=90°+50°=140°.C延長BE交CD于點(diǎn)F,則∠BEC=∠EFC+∠C(三角形的外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角之和).又∠BEC=∠B+∠C,∴∠B=∠EFC,故AB∥CD(內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行).故選C.第二節(jié)三角形及其性質(zhì)考點(diǎn)【易錯(cuò)自糾】1.5或15如圖(1),當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí),BC=BD+CD=6,AD=5,則△ABC的面積=12×6×5=15;如圖(2),當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí),BC=CD-BD=2,則△ABC的面積=12×2×5=5,故圖(1)圖(2)2.D分兩種情況討論:①當(dāng)腰長為4時(shí),4+4<9,所以不能構(gòu)成三角形;②當(dāng)腰長為9時(shí),9+9>4,9-9<4,所以能構(gòu)成三角形.故此三角形的周長是9+9+4=22.3.48∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD.設(shè)BD=CD=x,AB=y,則AC=4x.分兩種情況討論.①當(dāng)AC+CD=60,AB+BD=40時(shí),4x+x=60,x+y=40,解得x=12,y=28,此時(shí)AC=4x=48,AB=28,BC=24,符合三角形的三邊關(guān)系.②當(dāng)AC+CD=40,AB+BD=60時(shí),4x+x=40,x+y=60,方法例14(答案不唯一,正確即可)設(shè)第三邊長為x,由三角形三邊關(guān)系,得6-3<x<6+3,所以3<x<9.例240°如圖,∵∠DCB=65°,∠B=30°,∴∠DFB=65°+30°=95°,∴∠α=180°-∠D-∠DFB=180°-45°-95°=40°.C∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,∴∠DCB=90°-∠B=40°.∵點(diǎn)F為AC的中點(diǎn),∴CF=12AC.∵CD=CF∴CD=12AC,∴∠A=30°,∠ACD=60°.∵CE平分∠BCD,∴∠DCE=12∠BCD=20°.∵DE平分∠BDC,∴∠CDE=12∠BDC=45°,∴∠CED=180°-20°-45°=115°,∴∠提分特訓(xùn)1.C根據(jù)三角形的三邊關(guān)系,得2x>10-2x,解得x>2.5,又x<5,∴2.5<x<5,故選C.2.B三角形有三條邊,故有兩根細(xì)木棒連接成一根新的細(xì)木棒.①若長度為2,3的兩根細(xì)木棒連接,則三邊長分別為5,3,4,符合三角形三邊關(guān)系,圍成的三角形的最長邊為5;②若長度為2,4的兩根細(xì)木棒連接,則三邊長分別為3,3,6,不符合三角形的三邊關(guān)系,不能圍成三角形;③若長度為3,3的兩根細(xì)木棒連接,三邊長分別為2,4,6,不符合三角形三邊關(guān)系,不能圍成三角形;④若長度為3,4的兩根細(xì)木棒連接,三邊長分別為2,3,7,不符合三角形三邊關(guān)系,不能圍成三角形.綜上所述,得到的三角形的最長邊長為5.故選B.3.C∵∠A=30°,∠B=50°,∴∠ACB=180°-30°-50°=100°.∵CD平分∠ACB,∴∠BCD=12∠ACB=12×100°=50°,∴∠ADC=∠BCD+4.B∵DE⊥AB,∠A=35°,∴∠CFD=∠AFE=90°-35°=55°,∴∠ACB=∠D+∠CFD=15°+55°=70°.故選B.5.D∵∠A=65°,∠ANM=45°,∴∠AMN=180°-∠A-∠ANM=70°.∵點(diǎn)M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),∴MN是△ABC的中位線,∴MN∥BC,∴∠B=∠AMN=70°.故選D.6.D由題意可知AC=22+32=13,S△ABC=12BD×AC=3×3-12×1×2-12×1×3-真題1.A三角形具有穩(wěn)定性,故選A.2.C∵∠C=100°,∠B=30°,∴∠A=50°,∴∠C>∠A>∠B,∴AB是最長邊,AC是最短邊.由“三角形兩邊之和大于第三邊”可知AC+BC>AB,故點(diǎn)M在BC上,且距點(diǎn)C較遠(yuǎn).3.B根據(jù)“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”,可知13-2<x<13+2,即11<x<15.又因?yàn)閤為正整數(shù),所以x=12,13,14,故這樣的三角形個(gè)數(shù)為3個(gè).4.B如圖,設(shè)直線a,b交于點(diǎn)A.∵∠BOK是△OAK的外角,∴∠A+∠OKA=∠BOK,∴∠A=∠BOK-∠OKA=100°-70°=30°.5.B在△PAB中,∵點(diǎn)M,N分別為PA,PB的中點(diǎn),∴MN=12AB,MN∥AB.∵點(diǎn)A,B為定點(diǎn),即線段AB的長為定值,∴線段MN的長為定值,故①不會(huì)隨點(diǎn)P的移動(dòng)而變化.∵M(jìn)N為△PAB的中位線,∴MN,AB之間的距離等于l與AB之間距離的一半,∴直線MN,AB之間的距離為定值,∴直線l與MN之間的距離也是定值,∴△PMN的面積也是定值,故③,6.C∵D,E分別是邊AB,AC的中點(diǎn),∴DE是△ABC的中位線,∴BC=2DE=2×2=4.7.100在△CMN中,∵AM=AC,BN=BC,∴AB是△CMN的中位線,∴AB=12MN=12×200=100(m高分突破·微專項(xiàng)5B如圖,過點(diǎn)D作DH⊥AB交BA的延長線于點(diǎn)H.∵BD平分∠ABC,∠BCD=90°,∴DH=CD=4,∴S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB·DH+12BC·CD=12×6×4+1A設(shè)AC與y軸交于點(diǎn)P,∵四邊形AOBC是平行四邊形,∴AC∥OB,∴∠AGO=∠GOB.由題意可知,∠AOG=∠GOB,∴∠AGO=∠AOG,∴AG=AO.∵A(-1,2),∴OA=12+22=5,∴AG=5,∴PG=AG-AP=5-1,∴G(5-1C在△ABC中,∠ABC=35°,∠C=50°,∴∠BAC=180°-35°-50°=95°.由BD是△ABC的角平分線,AE⊥BD,得AF=EF,∠BAE=∠BEA=180°-35°2=72.5°,∴AD=ED,∴∠DEA=∠DAE=95°-72.5°=22.5°22.5°×2=45°.強(qiáng)化訓(xùn)練1.C過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.∵AC=8,DC=13AD,∴CD=2.∵∠C=90°,BD平分∠ABC,∴DE=CD=2,2.C根據(jù)題中的作圖步驟可知,BG平分∠ABC,易知當(dāng)GP⊥AB時(shí),GP的值最小.∵BG平分∠ABC,GP⊥AB,GC⊥BC,∴GP=GC=1,故選C.3.A設(shè)BE=a,則BD=2a,DE=3a.∵AD平分∠CAB,DC⊥AC,DE⊥AB,∴DC=DE=3a,∴AB=2BC=4a+23a.∵∠BEC是鈍角,∴BC>CE,∴AB>2CE,故結(jié)論①錯(cuò)誤.易證△DAC≌△DAE,∴AE=AC=3BC=3(2a+3a)=23a+3a,顯然AC≠4CD,故結(jié)論②錯(cuò)誤.∵DE=DC,AC=AE,∴AD垂直平分線段EC,故結(jié)論③正確.易證△BDE∽△BAC,∴S△BDES△BAC=(BEBC)2=(a2a+3a)4.4過點(diǎn)D作DM⊥OB于點(diǎn)M.∵OC是∠AOB的平分線,∴DM=DE=2.在Rt△OEF中,∠EOF=60°,∴∠OFE=30°,∴DF=2DM=4.5.D由勾股定理可得AB=5,∴△ABC的周長為AC+BC+AB=12.如圖,連接AC',BC'.∵點(diǎn)C'為△ABC的內(nèi)心,∴AC'平分∠CAB,∴∠CAC'=∠BAC'.由平移的性質(zhì)可得AC∥DC',∴∠CAC'=∠AC'D,∴∠BAC'=∠AC'D,∴AD=DC'.同理可得BE=EC',∴△DC'E的周長為DE+DC'+EC'=DE+AD+BE=AB=5.由平移的性質(zhì)可得△DC'E∽△ACB,∵兩三角形的周長比為5∶12,∴面積比為25∶144,又S△ABC=12BC·AC=6,∴S△DC'E=25246.23如圖,過點(diǎn)B作BH⊥AF于點(diǎn)H.由作圖過程可知AF平分∠BAN.∵∠ABP=60°,MN∥PQ,∴∠BAN=60°,∴∠NAF=∠BAH=30°,∴∠AFB=30°,∴AB=BF.在Rt△ABH中,AB=2,∴AH=AB·cos30°=2×32=3,∴AF=2AH=237.C∵四邊形ABCD是矩形,∴AE=CE,即OE是△AOC中AC邊上的中線.∵OA=OC,∴△AOC是等腰三角形,根據(jù)等腰三角形“三線合一”即可得出OE是∠AOC的平分線.綜上所述,小明的作法依據(jù)是②③.8.12如圖,延長BN交AC于點(diǎn)D.在△ANB和△AND中,∠NAB=∠NAD,AN=AN,∠ANB=∠AND=90°,∴△ANB≌△AND,∴AD=AB=8,BN=ND.∵M(jìn)是△ABC的邊BC的中點(diǎn),∴DC=2MN=4,∴AC=AD+CD=12.9.略10.略第三節(jié)等腰三角形和直角三角形考點(diǎn)【易錯(cuò)自糾】1.50°或80°分兩種情況討論:①頂角為50°;②當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí),頂角為180°-2×50°=80°.2.90°或130°∵AB=AC,∠BAC=100°,∴∠B=∠C=40°.分兩種情況討論:①當(dāng)∠BAD=90°時(shí),∠ADB=90°-40°=50°,∴∠ADC=180°-50°=130°;②當(dāng)∠ADB=90°時(shí),∠ADC=90°.故∠ADC=90°或130°.方法例1130°180°7(1)根據(jù)題意,得DA=DB,∴∠ABD=∠A=25°,∴∠BDA=180°-25°×2=130°.(2)分兩種情況討論.①如圖(1),AB=AC,AD=BD,BC=CD.∵AD=BD,∴∠ABD=∠A.∵BC=CD,∴∠CBD=∠CDB=2∠A,∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=3∠A.∵AB=AC,∴∠C=∠ABC=3∠A.∵∠A+∠ABC+∠C=180°,即7∠A=180°,∴∠A=180°7.②當(dāng)AD=BD,BC=BD時(shí),如圖(2),易得∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A,∴∠A+2∠A+2∠A=180°,∴∠A=36°.故圖(1)圖(2)例22或27連接AD,由作圖知,點(diǎn)D在AC的垂直平分線上.∵△ABC是等邊三角形,∴AB=CB,∴直線BD垂直平分AC,設(shè)垂足為E.∵AC=AB=2,∴AE=1,BE=3.如圖(1),當(dāng)點(diǎn)D,B在AC的兩側(cè)時(shí),∵BD=23,∴DE=3,∴AD=2,∴m=2.如圖(2),當(dāng)點(diǎn)D,B在AC的同側(cè)時(shí),∵BD=23,∴DE=DB+BE=33.在Rt△ADE中,AD=DE2+AE2=(33)2+1圖(1)圖(2)例3A方法一:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=22,由勾股定理得AB=AC2+BC2=22+(22)2=23.∵D是AB的中點(diǎn),∴BD=CD=3.設(shè)DE=x,由勾股定理得(3)2-x2=(22)2-(3+x)2,解得x=33.在Rt△BED中,BE=BD2-DE2=(3)2-(33)2=263.方法二:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=2,BC=22,由勾股定理得AB=AC2+BC2=22+(22)2=23.∵D是AB的中點(diǎn),∴BD=CD=例42,23或27分三種情況討論.①當(dāng)∠APB=90°時(shí),△APB是直角三角形,如圖(1)(有兩種情況,點(diǎn)P記為P1,P2).∵點(diǎn)O為AB的中點(diǎn),∴OP1=OP2=AO=OB=12AB=2.又∵∠P2OA=∠P1OB=60°,∴△OBP1,△OAP2均為等邊三角形,∴BP1=OB=