機(jī)械強度設(shè)計課件

第3章機(jī)械強度設(shè)計3.1強度與失效3.2應(yīng)力狀態(tài)與強度理論

3.3常見的機(jī)械強度理論3.4常用（初始）屈服條件3.5塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的增量理論3.6塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的全量理論3.7含裂紋的強度理論3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則3.9彈塑性斷裂力學(xué)返回3.1強度與失效關(guān)于機(jī)械零件強度設(shè)計的實踐已經(jīng)歷了上千年的發(fā)展，作為一個理論體系，它也擁有500年左右的歷史，并且其發(fā)展與力學(xué)、工程材料學(xué)和制造工藝學(xué)等學(xué)科的發(fā)展密切相關(guān)。從廣義上來講，機(jī)械零件的強度就是指零件抵?jǐn)_各種機(jī)械破壞的能力。最早為人所知的對機(jī)械零件起破壞作用的外在因素是外載荷。后來，人們提出了內(nèi)力和應(yīng)力的概念。顯然，應(yīng)力的概念比外載荷更進(jìn)了一步。直到今天，人們?nèi)匀话褢?yīng)力作為引起材料發(fā)生破壞的因素之一。只有在應(yīng)力分布不均勻的構(gòu)件內(nèi)考慮超過彈性極限的破壞問題時，人們才又提出以極限載荷作為強度計算的準(zhǔn)則。此外，對于某些零件，例如當(dāng)柱、殼體等構(gòu)件把喪失穩(wěn)定性作為破壞形式時，才用失穩(wěn)極限載荷作為強度計算的準(zhǔn)則。材料抵抗破壞的能力取決于材料本身的力學(xué)性質(zhì)。下一頁返回3.1強度與失效以往，從強度的觀點來看，人們只知道靜破壞這一種現(xiàn)象，于是相應(yīng)地開展了對靜載荷作用下的彈塑性應(yīng)力分析和材料的強度極限，以及屈服極限的研究工作，并得出了彈性力學(xué)、塑性力學(xué)和材料力學(xué)等一系列學(xué)科的理論知識?，F(xiàn)代機(jī)械所承受的工況、載荷及環(huán)境條件越來越苛刻，所遇到的機(jī)械強度問題也越來越復(fù)雜。在制造和使用過程中，機(jī)械零構(gòu)件中經(jīng)常存在微觀缺陷和微裂紋，在研究其裂紋的產(chǎn)生、成長及破壞機(jī)制時，除了需要固體力學(xué)、計算力學(xué)和實驗力學(xué)知識以外，還需要細(xì)觀力學(xué)、損傷力學(xué)和斷裂力學(xué)的知識來進(jìn)行分析研究。為確定機(jī)械零件的使用壽命以及延壽和安全評估等問題，還必須具有隨機(jī)理論、疲勞強度、統(tǒng)計分析及可靠性方面的知識；因此，在研究現(xiàn)代機(jī)械強度問題時，需要把多種學(xué)科的知識綜合應(yīng)用起來。上一頁下一頁返回3.1強度與失效機(jī)械強度包括材料強度和結(jié)構(gòu)強度兩方面的內(nèi)容。所謂強度是指材料、機(jī)械零件和構(gòu)件抵抗外力而不失效的能力。狹義的強度是研究各種斷裂和塑性變形過大的問題；而廣義的強度則包括強度、剛度和穩(wěn)定性，有時還包括機(jī)械振動問題。強度理論是指判斷材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下是否會發(fā)生破壞的理論。材料在外力的作用下有兩種不同的破壞形式：一種是在不發(fā)生顯著塑性變形狀況下的突然斷裂，這種稱為脆性破壞；另一種是因發(fā)生顯著塑性變形而不能繼續(xù)承載的破壞，這種稱為塑性破壞。上一頁下一頁返回3.1強度與失效對于單向應(yīng)力狀態(tài)，由于可直接對其做拉伸或壓縮實驗，所以通常就用破壞載荷除以試樣的橫截面積而得到的極限應(yīng)力（強度極限或屈服極限，見材料的力學(xué)性能）作為判斷材料破壞的標(biāo)準(zhǔn)。但在二向應(yīng)力狀態(tài)下，材料的內(nèi)破壞點處的主應(yīng)力σ1、σ2不為零；在三向應(yīng)力狀態(tài)的一般情況下，三個主應(yīng)力σ1、σ2和σ3均不為零。不為零的應(yīng)力分量有不同比例的無窮多個組合，因此不能用實驗逐個確定。由于工程上的需要，兩百多年來，人們對于材料破壞產(chǎn)生的原因提但這些假說都只能被某些破壞實驗所證實，而不能解釋所有材料的破壞現(xiàn)象。這些假說統(tǒng)稱為強度理論。上一頁返回3.2應(yīng)力狀態(tài)與強度理論對于軸向拉壓和平面彎曲中的正應(yīng)力，通常將其與材料在軸向拉伸（壓縮）時的許用應(yīng)力相比較來建立強度條件。同樣，對于圓桿扭轉(zhuǎn)和平面彎曲中的切應(yīng)力，由于桿件危險點處橫截面上切應(yīng)力的值最大，且處于純剪切應(yīng)力狀態(tài)，故可將其與材料在純剪切狀態(tài)下的許用應(yīng)力相比較來建立強度條件。則構(gòu)件的強度條件為：其中，工作應(yīng)力σmax或τmax由相關(guān)的應(yīng)力公式來計算；材料的許用應(yīng)力[σ]或[τ]采用直接試驗的方法（如拉伸試驗或扭轉(zhuǎn)試驗）測得材料相應(yīng)的極限應(yīng)力并除以安全因數(shù)來求得。但是，在一般情況下，受力構(gòu)件內(nèi)的一點處既有正應(yīng)力，又有切應(yīng)力，下一頁返回3.2應(yīng)力狀態(tài)與強度理論這時，一方面要研究通過該點的各個不同方位截面上應(yīng)力的變化規(guī)律，從而確定該點處的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力及其所在截面的方位。受力構(gòu)件內(nèi)一點處所有方位截面上應(yīng)力的集合稱為一點處的應(yīng)力狀態(tài)。另一方面，由于該點處的應(yīng)力狀態(tài)較為復(fù)雜，而應(yīng)力的組合形式又有無限多的可能性，因此，不可能用直接試驗的方法來確定每一種應(yīng)力組合情況下材料的極限應(yīng)力。于是，就需要探求材料破壞（斷裂或屈服）的規(guī)律。如果能確定引起材料破壞的決定性因素，就可以通過比較軸向拉伸試驗的結(jié)果，來確定各種應(yīng)力狀態(tài)下破壞因素的極限值，從而建立相應(yīng)的強度條件，即強度理論。上一頁下一頁返回3.2應(yīng)力狀態(tài)與強度理論研究一點的應(yīng)力狀態(tài)時，往往圍繞該點取一個無限小的正六面體——單元體來研究。作用在單元體各面上的應(yīng)力可認(rèn)為是均勻分布的。如果單元體的一對截面上沒有應(yīng)力，即不等于零的應(yīng)力分量均處于同一坐標(biāo)平面內(nèi)，則稱為平面應(yīng)力狀態(tài)，如圖3.1（a）所示；而單元體的所有面上均有應(yīng)力的，則稱為空間應(yīng)力狀態(tài)，如圖3.1（b）所示。根據(jù)對彈性力學(xué)的研究可知，在任何應(yīng)力狀態(tài)下，總可以找到三對互相垂直的面，在這些面上的切應(yīng)力等于零，且只有正應(yīng)力，如圖3.2（a）所示。這樣的面稱為應(yīng)力主平面（簡稱主平面），主平面上的正應(yīng)力稱為主應(yīng)力，一般用用σ1、σ2和σ3來表示（按代數(shù)值σ1≥σ2≥σ3）。如果三個主應(yīng)力都不等于零，則稱為三向應(yīng)力狀態(tài)，見圖3.2（a）；上一頁下一頁返回3.2應(yīng)力狀態(tài)與強度理論如果只有一個主應(yīng)力等于零，則稱為雙向應(yīng)力狀態(tài)，如圖3.2（b）所示；如果有兩個主應(yīng)力等于零，則稱為單向應(yīng)力狀態(tài)，如圖3.2（c）所示。單向應(yīng)力狀態(tài)也稱為簡單應(yīng)力狀態(tài)，其他的應(yīng)力狀態(tài)稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。上一頁返回3.3常見的機(jī)械強度理論3.3.1第一強度理論第一強度理論又稱為最大拉應(yīng)力理論，其表述為：材料發(fā)生斷裂是由最大拉應(yīng)力引起的，即最大拉應(yīng)力達(dá)到某一極限值時材料將發(fā)生斷裂。在簡單拉伸試驗中，三個主應(yīng)力當(dāng)中有兩個是零，那么最大主應(yīng)力就是試件橫截面上該點的應(yīng)力σ1，當(dāng)這個應(yīng)力達(dá)到材料的極限強度σb時，試件就斷裂。因此，根據(jù)此強度理論，通過簡單拉伸試驗，可知材料的極限應(yīng)力就是σb。下一頁返回3.3常見的機(jī)械強度理論于是在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，材料的破壞條件為：上一頁下一頁返回3.3常見的機(jī)械強度理論需要指出的是，式（3.3）中的σ1必須為拉應(yīng)力。在沒有拉應(yīng)力的三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，顯然是不能采用第一強度理論來建立強度條件的。第一強度理論適用于脆性材料，且其最大拉應(yīng)力大于或等于最大壓應(yīng)力（值或絕對值）的情形。3.3.2第二強度理論第二強度理論又稱為最大伸長應(yīng)變理論，它是根據(jù)J.V.彭賽列的最大應(yīng)變理論改進(jìn)而來的。該理論假定，無論材料內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)如何，只要材料內(nèi)該點的最大伸長應(yīng)變ε1達(dá)到了單向拉伸斷裂時最大伸長應(yīng)變的極限值εu，材料就發(fā)生斷裂破壞，上一頁下一頁返回3.3常見的機(jī)械強度理論其破壞條件為：上一頁下一頁返回3.3常見的機(jī)械強度理論E——材料的彈性模量；μ——材料的泊松比。這種理論的破壞條件可用主應(yīng)力表達(dá)為：第二強度理論適用于脆性材料，且其最大壓應(yīng)力的絕對值大于最大拉應(yīng)力的情形。上一頁返回3.4常用（初始）屈服條件3.4.1Tresca屈服準(zhǔn)則Tresca屈服準(zhǔn)則又稱為屈雷斯加屈服條件或最大剪應(yīng)力屈服條件，它是由屈雷斯加于1868年根據(jù)金屬擠壓流過小孔的實驗提出的。這個條件可表述為，當(dāng)韌性金屬的最大剪應(yīng)力達(dá)到一定數(shù)值時，材料便開始屈服，即：式中τs——材料的剪切屈服應(yīng)力。對于不同材料的τ

s值，可由實驗來確定。屈雷斯加屈服條件要求預(yù)先知道最大與最小主應(yīng)力。設(shè)σ1＞σ2＞σ3，則：下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件對于簡單拉伸的情況，當(dāng)σ1=σs（σs為簡單拉伸時材料的屈服應(yīng)力），σ2=σ3=0時，由式（3.10）可得：或?qū)憺椋簩τ诩兗羟星闆r，σ1=?σ3=τs，σ2=0，將其代入式（3.10）得：上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件由此可見，根據(jù)簡單拉伸試驗和純剪切可知，屈雷斯加屈服條件中的k0值為簡單拉伸屈服應(yīng)力的1/2。在一般情況下，σ1、σ2、σ3不按大小次序排列，則下列表示最大剪應(yīng)力的6個條件中的任意一個成立時，材料就開始屈服，即：上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件上式通常可寫為：式（3.12）即為屈雷斯加屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式。在主應(yīng)力空間，它是圖3.3所示的一個與坐標(biāo)軸成等傾斜各邊長相等的正六棱柱體，平面π上為六邊形，該正棱柱體稱為屈雷斯加六棱柱體。對于二維應(yīng)力狀態(tài)（σ3=0），則有：上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件式（3.13）在σ1、σ2平面內(nèi)組成如圖3.4所示的六邊形，稱為屈雷斯加屈服六邊形。在應(yīng)力空間討論屈服條件時，對于二維應(yīng)力狀態(tài)則應(yīng)將其退化為一個平面，稱為主平面。顯然，對于確定的應(yīng)力狀態(tài)（σ1,σ2），它在主應(yīng)力平面內(nèi)是一個確定的應(yīng)力點，當(dāng)物體中某一點的應(yīng)力狀態(tài)處在屈服六邊形內(nèi)部時，則表示物體在該處的材料尚處于彈性狀態(tài)；如果物體中某一點的應(yīng)力狀態(tài)達(dá)到屈服六邊形上的任一點，則意味著物體在該處的材料開始進(jìn)入塑性狀態(tài)。Tresca屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式很簡單，與實驗結(jié)果也較符合；但在使用該條件時，一般須預(yù)先知道主應(yīng)力的大小次序，這樣才能求出最大剪應(yīng)力τmax。上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件而一般情況下，主應(yīng)力的大小次序是未知的，而且主應(yīng)力的大小次序還可能隨加載的變化而改變，因而，該條件使用起來比較困難。對于理想的彈塑性材料，其應(yīng)力點不可能處在屈服六邊形以外，而對于彈塑性強化材料開始屈服后的情況，則需做專門討論。因此，這里所討論的屈服條件為初始屈服條件，其屈服六棱柱體和屈服六邊形分別為初始屈服面和初始屈服曲線。3.4.2Mises屈服準(zhǔn)則應(yīng)該指出的是，前面提到的平面π上的Tresca六邊形的六個頂點是通過實驗得到的，但連接這6個頂點的直線都是假定的，而且六邊形的不連續(xù)性會引起數(shù)學(xué)處理上的困難。上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件為了簡化計算，又提出了Mises屈服準(zhǔn)則。Mises準(zhǔn)則認(rèn)為，如果用一個圓將這6個頂點連接起來可能更合理，該屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：如果材料仍處于彈性狀態(tài)；如果應(yīng)力狀態(tài)一旦滿足屈服條件式（3.14），材料將開始屈服。Hencky對此屈服條件的物理意義進(jìn)行了解釋。他指出，Mises方程式（3.14）相當(dāng)于彈性應(yīng)變能U達(dá)到某個臨界值時材料將開始屈服。由于平均正應(yīng)力mσ（即靜水應(yīng)力）不能使材料屈服，也就是說彈性應(yīng)變能U中的體積應(yīng)變能VU對屈服不起作用，因而可認(rèn)為，決定屈服的只是彈性應(yīng)變能U中的形狀變化應(yīng)變能FU（又稱形變能，畸變能）。上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件因此，他提出的屈服準(zhǔn)則可表達(dá)為：當(dāng)形變能達(dá)到某個臨界值時，材料將開始屈服。故Mises屈服準(zhǔn)則又稱為形變能屈服條件。由于形變能：上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件式中2I′——應(yīng)力偏量張量的第二不變量；k——表征材料屈服特征的參數(shù)，不同材料的k值可由簡單拉伸實驗來確定。式（3.15）與式（3.14）實際上是等價的，因為：將上式代入式（3.15）即得式（3.14）。上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件將簡單拉伸時與純剪切屈服時所得到的結(jié)果加以比較，可得：由此可知，按照此準(zhǔn)則，剪切屈服應(yīng)力τs應(yīng)為簡單屈服拉伸應(yīng)力σs的將代入準(zhǔn)則，即：上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件很明顯，在主應(yīng)力空間，方程式（3.16）所表示的是一個垂直于平面π的圓柱，見圖3.3（a）。通常稱此圓柱體為Mises圓柱體。它在平面π上的屈服曲線則是一個圓，見圖3.3（b）。可以證明，Mises圓柱體就是Tresca正六角柱體的外接圓柱體，在平面π上的Mises圓就是Tresca正六邊形的外接圓，而且此外接圓的半徑為：對于平面應(yīng)力狀態(tài)，σ3=0，由式（3.16）可知，準(zhǔn)則這時可簡化為：上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件即：此方程式在σ1?σ2平面內(nèi)的圖形是一個橢圓，如圖3.5所示，通常稱此橢圓為Mises橢圓，它就是Mises圓柱體與σ1?σ2平面的交線。對于Mises屈服準(zhǔn)則的討論，還應(yīng)該提到蘇聯(lián)學(xué)者伊留申的工作。他把有效應(yīng)力σi的概念引入了屈服條件，并把Mises準(zhǔn)則解釋為，當(dāng)有效應(yīng)力σi達(dá)到簡單拉伸屈服應(yīng)力σs時，材料將開始屈服。伊留申的解釋為：上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件這相當(dāng)于：此式（3.20）即式（3.16），也即Mises準(zhǔn)則。伊留申把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的屈服條件通過有效應(yīng)力σi與簡單拉伸屈服應(yīng)力σs聯(lián)系起來，使得Mises屈服條件的物理意義更加明確，并對建立彈塑性變形理論具有重要的意義。上一頁下一頁返回3.4常用（初始）屈服條件以上兩種屈服條件各有優(yōu)缺點，最大剪應(yīng)力條件是主應(yīng)力分量的線性函數(shù)，因而對于解決已知主應(yīng)力方向及主應(yīng)力間相對值的一類問題，該方法是比較簡便的，而畸變能條件則顯然復(fù)雜得多。但從理論上來說，最大剪應(yīng)力條件忽略了中間主應(yīng)力對屈服的影響，這是它的缺陷所在，而畸變能條件克服了這一問題。實驗證明：畸變能條件比最大剪應(yīng)力條件更接近于實驗結(jié)果。上一頁返回3.5塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的增量理論在載荷的作用下，變形體中有的部分可能仍處于彈性狀態(tài)，而有的部分則可能已進(jìn)入塑性狀態(tài)，因此，變形體可分為彈性區(qū)和塑性區(qū)兩部分。在彈性區(qū)，加載與卸載過程都服從胡克定律。但在塑性區(qū)，加載過程服從塑性規(guī)律，而卸載過程則服從胡克定律。這就需要建立塑性階段的本構(gòu)方程來描述塑性應(yīng)力與應(yīng)變之間或應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間的關(guān)系。塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的重要特點是它的非線性和不唯一性，其應(yīng)力、應(yīng)變關(guān)系不再是線性的，應(yīng)變不能由應(yīng)力唯一確定。當(dāng)外載荷發(fā)生變化時，應(yīng)力也要隨時發(fā)生變化，而在應(yīng)力空間代表一點應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力點也要移動，應(yīng)力點移動的軌跡稱為應(yīng)力路徑，這一過程稱為應(yīng)力歷史。對應(yīng)于外載荷就是加載路徑和加載歷史。下一頁返回3.5塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的增量理論

在彈性階段，應(yīng)變可由應(yīng)力直接用胡克定律求出。在塑性階段，應(yīng)變狀態(tài)不但與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)，而且應(yīng)變是應(yīng)力和應(yīng)力歷史的函數(shù)。因為實際結(jié)構(gòu)材料所經(jīng)歷的變形歷史的復(fù)雜性，所以，在一般加載條件下，很難建立一個能夠包括各種變形歷史影響的全量形式的塑性應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系，而只能就增量應(yīng)力與增量應(yīng)變之間建立起增量形式的塑性本構(gòu)關(guān)系，即所謂的增量理論或流動理論。由加載與卸載過程可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)材料進(jìn)入塑性狀態(tài)之后，應(yīng)力點位于屈服面上，此時材料的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系將根據(jù)加載與卸載的不同情況而服從不同的規(guī)律。若為卸載，則施加的應(yīng)力增量將使應(yīng)力點從屈服面上返回到屈服面內(nèi)，而增量應(yīng)力與增量應(yīng)變之間仍服從胡克定律。若為加載，則所施加的增量應(yīng)力將使應(yīng)力點在屈服面上移動或移動到新的屈服面上，上一頁下一頁返回3.5塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的增量理論

此時材料的本構(gòu)關(guān)系將服從流動規(guī)律。因此，塑性流動理論要解決的是在加載過程中應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間所服從的規(guī)律問題以及結(jié)構(gòu)材料因加載與卸載的不同而具有不同的本構(gòu)關(guān)系的問題。常用的論述材料在塑性狀態(tài)下應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系的理論有兩類：一類是建立在應(yīng)變增量和應(yīng)力偏量之間關(guān)系成比例基礎(chǔ)上的理論，稱為增量理論，又稱為流動理論；另一類是建立在應(yīng)變偏量與應(yīng)力偏量之間理論描述的是材料在塑性狀態(tài)下應(yīng)力與應(yīng)變增量之間的關(guān)系，它與物體的變形和變形歷史有關(guān)，并能反映塑性變形的實質(zhì)，適用于任何加求解具體問題有時比較困難。常用的增量理論有Levy?Mises理論和Prandtl?Reuss理論，后者是在前者的基礎(chǔ)上進(jìn)行的改進(jìn)。上一頁下一頁返回3.5塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的增量理論

全量理論與彈性力學(xué)相似，它在處理問題時取變形的全量，簡單加載，并以滿足比例變形為前提條件，分析問題時比較簡單，只在一些特殊的情況下才能使用。當(dāng)一點處的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)入塑性狀態(tài)以后，其相應(yīng)的總應(yīng)變εij可以分為彈性應(yīng)變eij

ε和塑性應(yīng)變pijε兩部分，即：其中，彈性部分服從胡克定律，塑性部分是總應(yīng)變與彈性應(yīng)變之差，它是卸載后不能恢復(fù)的殘留應(yīng)變，當(dāng)卸載發(fā)生時，其保持不變，而僅在繼續(xù)加載時才發(fā)生變化。有時，為了方便，pij

ε的初值假定為零，之后的應(yīng)變值便是與零應(yīng)變相比較的相對值。上一頁下一頁返回3.5塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的增量理論

塑性應(yīng)變與加載路徑有關(guān)，因此，必須討論應(yīng)力的變化特征和應(yīng)變的變化特征，并且將進(jìn)一步限定從考慮無窮小的變化開始計算其全部加載歷史過程的增量，之后用積分或求和的方法求出總應(yīng)變，所以塑性理論具有增量特征。上一頁返回3.6塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的全量理論通過增量理論可得到塑性應(yīng)變增量的分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系。為得到總塑性應(yīng)變分量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，對于理想彈塑性材料，應(yīng)將方程式（3.38）對全部加載路徑進(jìn)行積分，從而求出總應(yīng)變分量與瞬時應(yīng)力分量之間的關(guān)系式。由此可見，應(yīng)力與應(yīng)變的全量關(guān)系必然與加載的路徑有關(guān)。從全量理論的發(fā)展來看，首先是漢基（Hencky）于1924年建立了理想彈塑性材料的全量理論，隨后是那達(dá)依（Nadai）于1937年提出了剛塑性材料大變形條件下的全量理論，再后來是伊留申于1943年系統(tǒng)地提出了彈塑性材料小變形條件下的全量理論。該理論試圖直接建立用全量形式表示的與加載路徑無關(guān)的本構(gòu)關(guān)系。但塑性應(yīng)變一般都與加載路徑有關(guān)，所以全量理論一般來說是不正確的。下一頁返回3.6塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的全量理論然而，從理論上講，沿路徑積分總是可能的。但要在積分結(jié)果中引出明確的應(yīng)力應(yīng)變的全量關(guān)系式，而又不包含應(yīng)變歷史的因素，這僅在某些特殊情況下才有可能。全量理論（又稱形變理論）即試圖把彈性理論中的總應(yīng)變與應(yīng)力的關(guān)系擴(kuò)展到塑性理論中來，建立一個用全量形式表示的與加載路徑無關(guān)的本構(gòu)關(guān)系。全量理論是直接用一點的應(yīng)力分量和應(yīng)變分量表示的塑性本構(gòu)關(guān)系，它的數(shù)學(xué)表達(dá)式比較簡單，且應(yīng)用起來比較方便，但是其應(yīng)用范圍受到一定的限制。這里所介紹的彈塑性小變形理論描述了強化材料具有小變形時的塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。其中應(yīng)變包括彈性應(yīng)變部分和塑性應(yīng)變部分。這是全量理論中一個簡單、常用的理論，和廣義胡克定律相似。上一頁返回3.7含裂紋的強度理論含裂紋的強度理論，即斷裂理論是近40年來發(fā)展起來的一門學(xué)科，它是固體力學(xué)一個新興的重要分支。斷裂理論和其他學(xué)科一樣，是在生產(chǎn)實踐中產(chǎn)生和發(fā)展起來的，由于它與材料或結(jié)構(gòu)的安全直接相關(guān)，因此，盡管它出現(xiàn)的時間很短，卻在實驗和理論方面均有了迅速的發(fā)展，并已開始為生產(chǎn)服務(wù)。隨著現(xiàn)代科技和生產(chǎn)的發(fā)展，以及新材料、新產(chǎn)品和新工藝的不斷出現(xiàn)，在產(chǎn)品安裝、試驗和運行過程中，經(jīng)常發(fā)生脆斷事故。在第二次世界大戰(zhàn)中及戰(zhàn)后，軍事領(lǐng)域、工程領(lǐng)域發(fā)生了一系列的“低應(yīng)力脆斷事故”，造成了非常嚴(yán)重的損失。人們通過對大量破壞事故的研究發(fā)現(xiàn)，它們具有如下幾點共同的特征：下一頁返回3.7含裂紋的強度理論（1）破壞時的工作應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于材料的屈服極限。（2）破壞的主要原因在于實際結(jié)構(gòu)材料中存在各種缺陷或裂紋，這些裂紋的存在顯著地降低了結(jié)構(gòu)材料的實際強度。對一些典型脆斷事故的分析表明，脆斷總是由宏觀裂紋引起的。這種裂紋多是由于冶金夾雜物、加工、裝配、疲勞載荷和工作環(huán)境（如介質(zhì)、高溫等）中的一種或幾種聯(lián)合作用而產(chǎn)生的。對于大多數(shù)結(jié)構(gòu)和零件來說，宏觀裂紋的存在是不可避免的。含裂紋材料的強度取決于材料對裂紋的抵抗能力，這種抗力由材料的性質(zhì)決定。上一頁下一頁返回3.7含裂紋的強度理論從材料或構(gòu)件中存在宏觀裂紋這一點出發(fā)，應(yīng)用彈塑性理論和實驗技術(shù)研究裂紋尖端附近的應(yīng)力、應(yīng)變場和裂紋的擴(kuò)展規(guī)律的學(xué)科，就是斷裂力學(xué)。簡言之，斷裂力學(xué)就是研究含裂紋的材料或結(jié)構(gòu)的強度及裂紋擴(kuò)展規(guī)律的一門學(xué)科，也稱為“裂紋體力學(xué)”或“裂紋力學(xué)”。斷裂力學(xué)認(rèn)為，構(gòu)件的斷裂往往可以分為三個階段：（1）裂紋的生成：由于疲勞、腐蝕介質(zhì)、高溫或環(huán)境等的影響，在構(gòu)件的應(yīng)力集中處，經(jīng)過一段使用時間而形成微小裂紋；材料及構(gòu)件中原本就存在缺陷或裂紋。（2）裂紋的亞臨界擴(kuò)展：在使用過程中，裂紋緩慢地擴(kuò)展形成宏觀裂紋。上一頁下一頁返回3.7含裂紋的強度理論（3）裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展：在應(yīng)力作用下，裂紋逐漸擴(kuò)展，達(dá)到臨界長度，構(gòu)件突然失穩(wěn)斷裂。斷裂力學(xué)的方法是在大量實驗的基礎(chǔ)上研究帶裂紋的材料的斷裂韌性，研究帶裂紋的構(gòu)件在各種服役條件下裂紋的擴(kuò)展和止裂的規(guī)律，并應(yīng)用這些規(guī)律進(jìn)行設(shè)計，以保證產(chǎn)品的安全與可靠。由于斷裂力學(xué)能把含裂紋的構(gòu)件的斷裂筋力和裂紋大小以及材料抵抗裂紋擴(kuò)展的能力定量地聯(lián)系在一起，所以它不僅能圓滿地解釋常規(guī)設(shè)計不能解釋的“低應(yīng)力脆斷”事故，還為避免這類事故找到了方法。同時也為發(fā)展新材料、創(chuàng)造新工藝指明了方向，為材料的強度設(shè)計打開了一個新的領(lǐng)域。上一頁下一頁返回3.7含裂紋的強度理論斷裂力學(xué)的理論基礎(chǔ)是固體力學(xué)，其根據(jù)線彈性理論發(fā)展成為脆性斷裂的線彈性斷裂力學(xué)。目前，線彈性斷裂力學(xué)發(fā)展得比較成熟，并在生產(chǎn)中得到廣泛應(yīng)用。由于裂紋尖端附近的應(yīng)力集中，必然會產(chǎn)生塑性區(qū)，當(dāng)塑性區(qū)達(dá)到一定尺寸時，它對材料的影響就不可以忽略，此時，線彈性理論已不適用。因此，又發(fā)展出了彈塑性斷裂力學(xué)。目前，這方面的研究還不夠成熟，因此，它是當(dāng)前斷裂力學(xué)研究的一個重要課題。當(dāng)裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展后，裂紋會迅速擴(kuò)展，這又屬于斷裂動力學(xué)的研究范疇。這方面的研究工作已經(jīng)開始，并應(yīng)用于某些特殊領(lǐng)域。近年來，斷裂力學(xué)的研究正朝著宏觀和微觀相結(jié)合的方向發(fā)展，這樣對斷裂機(jī)制的了解將會更加深入和全面。上一頁下一頁返回3.7含裂紋的強度理論實際零構(gòu)件中的缺陷和裂紋是多種多樣的，可以將其概括為三種，即穿透裂紋、表面裂紋和埋藏裂紋，如圖3.7所示。在斷裂力學(xué)中，按受力情況的不同，可將裂紋分為如下三種基本形式：（1）張開圓型（Ⅰ型）裂紋：受垂直于裂紋表面的拉應(yīng)力的作用，裂紋上下兩表面相對張開而擴(kuò)展，如圖3.8（a）所示。（2）滑開型（Ⅱ型）裂紋：受平行裂紋面而垂直于裂紋前緣的剪應(yīng)力的作用，裂紋上下兩表面相對滑開而擴(kuò)展，如圖3.8（b）所示。（3）漸開型（Ⅲ型）裂紋：受平行于裂紋前緣的剪應(yīng)力的作用，裂紋上下兩表面沿z軸相對滑開，即撕開擴(kuò)展，如圖3.8（c）所示。上一頁下一頁返回3.7含裂紋的強度理論在這三種裂紋擴(kuò)展形式中，以Ⅰ型裂紋最為常見，也最危險，極易引起低應(yīng)力脆斷。若構(gòu)件同時受到正應(yīng)力和剪應(yīng)力作用，或裂紋面與正應(yīng)力成某一角度，則將出現(xiàn)“復(fù)合型”裂紋。上一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則3.8.1應(yīng)變能釋放率與G準(zhǔn)則設(shè)想一厚度為B的無限大玻璃板。將板拉長后，固定其兩端。如板受到均勻拉伸應(yīng)力的作用，則板內(nèi)單位體積內(nèi)儲蓄的應(yīng)變能為：如在板中心割開一長度為2a的裂紋，由于裂紋表面的應(yīng)力消失，釋放出部分彈性應(yīng)變能，對于平面應(yīng)力狀態(tài)而言，由彈性力學(xué)理論可得到：下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

另一方面，裂紋擴(kuò)展形成新的表面，需要吸收的能量為：式中γ——形成單位面積表面所需的表面能；4aB——裂紋上下兩個表面的面積之和。如果應(yīng)變能釋放率，恰好等于形成新表面所需要吸收的能量率，上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

則裂紋達(dá)到臨界狀態(tài)；如果需要吸收的能量率大于應(yīng)變能釋放率，則裂紋穩(wěn)定；如果應(yīng)變能釋放率大于需要吸收的能量率，則裂紋不穩(wěn)定。由此可寫出：上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

現(xiàn)分別以GI、GIc代表應(yīng)變能釋放率和能量吸收率，即：式中下標(biāo)“Ⅰ”——Ⅰ型裂紋，則裂紋失穩(wěn)的臨界條件，即G準(zhǔn)則為：上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

對于無限大玻璃板有中心裂紋，受拉伸作用，而且兩端固定邊界的情況有：根據(jù)臨界條件式（3.66），有：上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

式（3.69）寫成臨界應(yīng)力形式為：式（3.70）表示無限大平板在平面應(yīng)力狀態(tài)下，長為2a的裂紋失穩(wěn)、擴(kuò)展時拉應(yīng)力的臨界值，稱為裂紋平板的剩余強度。式（3.69）寫成臨界裂紋長度形式為：上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

式（3.71）表示無限大板在工作應(yīng)力σ的作用下，裂紋的臨界長度。G是材料常數(shù)，用來表征材料對裂紋擴(kuò)展的抵抗能力，其數(shù)值由實驗來確定。GI是裂紋長度a和工作應(yīng)力σ的函數(shù)。只有GI大于GIc時，裂紋才會失穩(wěn)、擴(kuò)展。必須指出的是，采用上述理論計算結(jié)構(gòu)的斷裂強度只局限于完全脆性材料，例如玻璃板等。對于有一定塑性的金屬材料，上述理論不完全適用。將能量平衡理論應(yīng)用于金屬材料時，需要更廣泛的概念，即材料抵抗裂紋擴(kuò)展能力的概念，這種能力應(yīng)該包括兩部分，即形成裂紋新表面所需吸收的表面能和裂紋擴(kuò)展所需吸收的塑性變形能。對于金屬材料來說，材料抵抗裂紋擴(kuò)展的能力是一個常數(shù)，只有應(yīng)變能釋放率大于此常數(shù)時，裂紋才會失穩(wěn)、擴(kuò)展。上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

設(shè)裂紋擴(kuò)展單位面積所需的塑性變形能為Up，根據(jù)上述的廣泛吸收能量率的概念，式（3.69）中的γ應(yīng)該用來代替。對金屬材料來說，Up比γ一般要大幾個數(shù)量級，即γ與Up相比較屬于極小微量，可忽略不計。因此，對于金屬材料，則有：于是，具有中心裂紋、兩端固定，且受拉伸作用的無限大金屬板的臨界條件GI=GIc，可以寫成：上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

從而得出剩余強度與臨界裂紋長度分別為：上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

3.8.2應(yīng)力強度因子與應(yīng)變能釋放率之間的關(guān)系將無限大板中心穿透裂紋的應(yīng)變能釋放率公式（3.67）與應(yīng)力強度因子公式（3.53）相比較，不難看出，KI的平方和GI都包含σ2a。因此，K

I

和GI之間應(yīng)該存在一定的關(guān)系，這些關(guān)系將進(jìn)一步揭示應(yīng)力強度因子的物理意義。由式（3.67）和式（3.53）可得：上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

進(jìn)一步可證明式中E′=E（平面應(yīng)力情況）；上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

由此可見，應(yīng)力強度因子和應(yīng)變能釋放率存在對應(yīng)關(guān)系，KI不僅表示裂紋尖端附近的彈性應(yīng)力場的強度，而且它的平方也能確定裂紋擴(kuò)展時所釋放出的能量率。所以在討論線彈性斷裂問題時，應(yīng)用KI和GI為參數(shù)都是等價的。對于Ⅱ型和Ⅲ型裂紋也有類似的關(guān)系，即：上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

3.8.3脆性斷裂的K準(zhǔn)則式（3.66）表示脆性材料裂紋失穩(wěn)、擴(kuò)展的臨界條件為：根據(jù)式（3.76）可以得到用應(yīng)力強度因子表示的裂紋失穩(wěn)、擴(kuò)展的臨界條件為：上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

式（3.79）稱為脆性斷裂的K準(zhǔn)則，它表示裂紋尖端的應(yīng)力強度因子KI達(dá)到某一臨界值KIc時，裂紋將失穩(wěn)、擴(kuò)展。式中，KIc與GIc類似，是材料常數(shù)，被稱為材料的平面應(yīng)變斷裂韌性。不難看出，在線彈性條件下，有：必須指出，KI和KIc是兩個不同的概念，應(yīng)力強度因子KI是由載荷及裂紋體的形狀和尺寸決定的量，是用來表示裂紋尖端應(yīng)力場強度的一個參量，可以用彈性理論的方法進(jìn)行計算；而斷裂韌性KIc是材料具有的一種機(jī)械性能，表示材料抵抗脆性斷裂的能力，其值由試驗測定。上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

實驗和理論分析的結(jié)果都表明，材料的斷裂韌性隨試件厚度B的增加而下降，如圖3.20所示。這是因為薄板的裂紋尖端處于平面應(yīng)力狀態(tài)，裂紋不易擴(kuò)展，因此其斷裂韌性值較高，一般用Kc來表示平面應(yīng)力斷裂韌性，隨著板厚度的增加，裂紋尖端處于平面應(yīng)變狀態(tài)的部分也增加，此時，裂紋較易于擴(kuò)展，因此其斷裂韌性降低。當(dāng)板的厚度增加到某一確定值以后，其斷裂韌性降至最低值，稱為平面應(yīng)變斷裂韌性，用KIc來表示。式（3.79）表示Ⅰ型裂紋在平面應(yīng)變條件下的脆性斷裂準(zhǔn)則。對于金屬材料而言，在平面應(yīng)力條件下，裂紋尖端會產(chǎn)生較大的塑性變形，此時在線彈性基礎(chǔ)上建立的K準(zhǔn)則不適用，而要采用彈塑性斷裂力學(xué)的斷裂準(zhǔn)則。上一頁下一頁返回3.8脆性斷裂的準(zhǔn)則

對于線彈性斷裂問題，采用G準(zhǔn)則或K準(zhǔn)則得出的結(jié)果是完全一樣的。由于應(yīng)用彈性理論，可直接計算各種裂紋體的應(yīng)力強度因子KI，同時，用試驗測定KIc