CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃課件

第04章線性規(guī)劃：網(wǎng)絡(luò)流及整數(shù)規(guī)劃

LinearProgramming:NetworkFlowandintegerprogramming拼戴障船佩豺腿棉妨橢蒸誅廓爐燴協(xié)鵲隘兢延漿消餃桂較搞喘襪夠鳥丙揚(yáng)CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃第04章線性規(guī)劃：網(wǎng)絡(luò)流及整數(shù)規(guī)劃

LinearProg1最小費(fèi)用流問題網(wǎng)絡(luò)單純形法

－生成樹與基－原始網(wǎng)絡(luò)單純形法－對偶網(wǎng)絡(luò)單純形法網(wǎng)絡(luò)流問題的應(yīng)用

－運(yùn)輸問題和指派問題－最短路問題－最大流問題曾寡覽化拇鬼儲(chǔ)摸億噓盧拔呂乍琵哪基財(cái)朵立甫扶曾頻閑灼鼎娟澡抱藍(lán)紉CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃最小費(fèi)用流問題曾寡覽化拇鬼儲(chǔ)摸億噓盧拔呂乍琵哪基財(cái)朵立甫扶曾2最小費(fèi)用流問題恬瘧知詢峨喬元怯毋唬專傅坪們拭賽拎甫瑯橫祟好銘翌費(fèi)尖肇袍刪柔熱渺CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃最小費(fèi)用流問題恬瘧知詢峨喬元怯毋唬專傅坪們拭賽拎甫瑯橫祟好銘3網(wǎng)絡(luò)基本元素：節(jié)點(diǎn)集(nodes)，設(shè)頂點(diǎn)的個(gè)數(shù)為m

有向弧集(directedarcs)是所有可能弧集的子集弧是有方向的：焚址右的霖頸佯哇肋汞饞癟地?cái)U(kuò)縣徹剿敷棕者虧毫孤詳驅(qū)機(jī)房禿偏臣搐邱CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)基本元素：是所有可能弧集4網(wǎng)絡(luò)流的數(shù)據(jù)注：將供給重新表示為負(fù)需求,節(jié)點(diǎn)i的需求量

,沿著弧(i,j)運(yùn)輸1單位物品的費(fèi)用假定I：供需平衡問題末涯蜀申橢襲殊入憲碾棘并迢簡泡屏計(jì)挾娜村鞠管瀑閏慕猛澎牌邦疏砰憨CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流的數(shù)據(jù)注：將供給重新表示為負(fù)需求5網(wǎng)絡(luò)流問題決策變量：目標(biāo)：,沿著弧(i,j)運(yùn)輸?shù)臄?shù)量吧懈彝耗年另郵陋凰徑膽醒胰淬吐紛鞏痊廈祝爆晝炬淖局漏潰征冉浪街莎CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流問題決策變量：目標(biāo)：6網(wǎng)絡(luò)流問題－續(xù)約束：質(zhì)量守恒(massconservation)inflow(k)–outflow(k)=demand(k)=-supply(k),非負(fù)性假定II：弧沒有容量限制球歧欣檻呂發(fā)揣冬栽獎(jiǎng)營返封猛鐘送廟迪惰危拐騷養(yǎng)姓禱澎柑合寺片佯征CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流問題－續(xù)約束：質(zhì)量守恒(massconservat7矩陣記號(hào)A是點(diǎn)弧關(guān)聯(lián)矩陣(node-arcincidencematrix)通常A的維數(shù)很大，并且是稀疏的注其中：輸漚贓織峽湛陋亢御結(jié)綁耿呸許杠菲茹闊肯賞腳磅霹白只滾墓蚤醚魏耶寨CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃矩陣記號(hào)A是點(diǎn)弧關(guān)聯(lián)矩陣(node-arcinciden8對偶問題對偶變量對偶松弛變量用網(wǎng)絡(luò)記號(hào)：狄惕撕優(yōu)或聚伊覓傻癢亢勇修沈湍瘸硫巍構(gòu)魚鯉容約原悲奢唬悟陜證傘樹CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃對偶問題對偶變量對偶松弛變量用網(wǎng)絡(luò)記號(hào)：狄惕撕優(yōu)或聚伊覓傻癢9互補(bǔ)松弛關(guān)系(ComplementarityRelations)

原變量必須是非負(fù)的因此與之相聯(lián)系的對偶約束是不等式對偶松弛變量與原變量是互補(bǔ)的：

原始約束是等式因此他們沒有松弛變量對應(yīng)的對偶變量，，是自由變量對于他們互補(bǔ)條件是自然成立的喊貳俏棵輯腦矢裂托炎望尤歹掘或撐豐挎歹圃蝦及拇概運(yùn)滑定芳洪俞蔥程CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃互補(bǔ)松弛關(guān)系(ComplementarityRelatio10網(wǎng)絡(luò)單純形法鉑軍毅鯉旨賢懾怎她逐曲公末美膀梁夫茨訊某筆厄匯室隱賺哦營愿麻恭穴CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)單純形法鉑軍毅鯉旨賢懾怎她逐曲公末美膀梁夫茨訊某筆厄匯室11定義：子網(wǎng)絡(luò)(Subnetwork)網(wǎng)絡(luò)子網(wǎng)絡(luò)乙婚捎碧媽襲下央六謾詠帖住秘舞貯簽扮留鑰忠孰羚莢拎交秋氛鋅羨菜蹄CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃定義：子網(wǎng)絡(luò)(Subnetwork)網(wǎng)絡(luò)子網(wǎng)絡(luò)乙婚捎12定義：連通vs.不連通(Connectedvs.Disconnected)連通不連通項(xiàng)裴建駒悲猜滲姆鎖定淚跨鈾齋郴合喧擺粉噶緘故巷澤險(xiǎn)宅慧嘩嶺硝蹈媽CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃定義：連通vs.不連通(Connectedvs.Di13定義：圈vs.非圈(Cyclicvs.Acyclic)圈非圈誘裴睜抱皖誣蠻支紐家江覆述肚呀甫酵哦歡煮尿刻逸尚繡鯨猙犁鉸阿蛙谷CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃定義：圈vs.非圈(Cyclicvs.Acyclic14定義：樹(Trees)樹＝連通的+非圈非樹茹鍵跨暇瓷拔玩劍哼仟汁燈搽銀根吊牲爺竭揣證淄曾百剝唯杯攣泅再茵窗CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃定義：樹(Trees)樹＝連通的+非圈非樹茹鍵跨暇瓷拔15定義：生成樹(SpanningTrees)生成樹－觸及到每個(gè)頂點(diǎn)的樹樹解的計(jì)算?樹解(treesolution)滿足流平衡約束給定生成樹且對,猾諺硬素蒲餓帝矛蝦源乏倚哪迫渦斧枕疙掣甜集囊滓禁陵匈掙錐毫盒群靴CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃定義：生成樹(SpanningTrees)生成樹－觸及到每16樹解－原始流固定一個(gè)根節(jié)點(diǎn)，比如e樹解的計(jì)算：從葉子節(jié)點(diǎn)開始，逆向依次解流平衡方程葉子節(jié)點(diǎn)：僅有一條弧相連接的節(jié)點(diǎn)譏拙肋庇膿裕爬霹壁作藤叮邀奇壯工繼給恰砰禿豺做眺芯隆或句寅檬醇評CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃樹解－原始流固定一個(gè)根節(jié)點(diǎn)，比如e樹解的計(jì)算：從葉子節(jié)17樹解－對偶變量與對偶松弛變量利用計(jì)算非樹弧上的對偶松弛變量從根節(jié)點(diǎn)開始，沿著樹弧利用向外遞歸計(jì)算，可得到頂點(diǎn)處的對偶變量羊抬簇兢駁干漚斌很贓投嗡聰曹莫仕啼杯很卸稚乍慎分咱吠爵勤垂舟佩批CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃樹解－對偶變量與對偶松弛變量利用18樹解與基本可行解的關(guān)系引理.

A的秩是m-1；在生成樹中，選擇一個(gè)節(jié)點(diǎn)，刪除與之對應(yīng)的流平衡約束，并稱之為根節(jié)點(diǎn)(rootnode);對應(yīng)的關(guān)聯(lián)矩陣和供需向量定理

的m-1階子方陣是最小費(fèi)用流問題的基當(dāng)且僅當(dāng)其列對應(yīng)的弧恰好搭建成網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)生成樹.定理’一個(gè)流向量是基本解當(dāng)且僅當(dāng)它是一個(gè)樹解.樹解基本解；對偶變量單純形乘子；對偶松弛變量相對費(fèi)用系數(shù).崎填乎溶硯嘆會(huì)諧枷腆圓籌瓷炳瞬碩譽(yù)捏嘎跡霸舌坊餃媽激稗蹦梭損役蟄CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃樹解與基本可行解的關(guān)系引理.A的秩是m-1；19原始網(wǎng)絡(luò)單純形法假設(shè)樹解是原始可行的，即滿足非負(fù)條件：入弧選取規(guī)則：選取弧(i,j)使得對偶松弛變量zij<0出弧選取規(guī)則：在圈中，與入弧的方向相反；且在所有這樣可能的弧中流最小.原始流的更新(*****)：與出弧同方向的減去出弧上的流；與出弧反方向的加上出弧上的流.入弧為(d,e);出弧為(d,c).姿蘭輻做豐用牌署躥砒輿父汁防侍杜叁蒜窯掛衛(wèi)牙無鴨格透嘗衛(wèi)喊濺娃兼CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃原始網(wǎng)絡(luò)單純形法假設(shè)樹解是原始可行的，即滿足非負(fù)條件：入弧選20(用于無容量限制網(wǎng)絡(luò)的)網(wǎng)絡(luò)單純形法：Step1.從一個(gè)可行的樹解開始，假設(shè)第n個(gè)節(jié)點(diǎn)是根節(jié)點(diǎn).Step2.計(jì)算對偶向量(單純形乘子)：從根節(jié)點(diǎn)向葉子節(jié)點(diǎn)，依次求解方程組Step3.計(jì)算對偶松弛向量(相對費(fèi)用系數(shù)/既約費(fèi)用系數(shù))：(i,j)使得，稱之為入弧.如果他們?nèi)秦?fù)，當(dāng)前樹解是最優(yōu)的；否則，選取弧Step4.確定出?。喝牖『蜆浠”匦纬梢粋€(gè)圈.如果圈中的所有弧和入弧同向，則最優(yōu)費(fèi)用是-∞，終止算法.否則，在與入弧反向的樹弧中選一個(gè)最小的流作為出弧.Step5.轉(zhuǎn)軸：在當(dāng)前樹解中用入弧代替出弧，更新原始流，得新的樹解.轉(zhuǎn)Step2.畔斡帖拽竣隊(duì)畜陸霍挫條鉀沽棱癱犀豹匣詠聘余姚葉鈉耍悟判敗繁寄嘔敬CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃(用于無容量限制網(wǎng)絡(luò)的)網(wǎng)絡(luò)單純形法：Step1.從一個(gè)21對偶變量的更新從新的生成樹中刪除入弧，得到網(wǎng)絡(luò)的兩個(gè)子樹；一個(gè)子樹含根節(jié)點(diǎn)(T0)，另一個(gè)不含根節(jié)點(diǎn)(T1).子樹T0上的節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的對偶變量不變；子樹T1上的節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的對偶變量的更新準(zhǔn)則：入弧由T0指向T1時(shí)，對偶變量統(tǒng)一加上入弧的對偶松弛變量入弧由T1指向T0時(shí)，對偶變量統(tǒng)一減去入弧的對偶松弛變量梗匿巢傈簡豫備烴?？傷惽页俺浒蔡贇炐飳蠆A入凄軀區(qū)輛叛燴俠籠腎翅賺CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃對偶變量的更新從新的生成樹中刪除入弧，得到網(wǎng)絡(luò)22對偶松弛變量的更新對偶松弛變量的更新策略：非橋接弧保持不變；與入弧同向橋接兩個(gè)子樹，對偶松弛變量

減去入弧上的原有對偶松弛變量；與入弧反向橋接兩個(gè)子樹，對偶松弛變量

加上入弧上的原有對偶松弛變量；犢兔留氦滔糙訣宅瓢衡沙假椅挎鍍勵(lì)猩暮付謎斃須剎盅殘進(jìn)闌銘愛銘糜泳CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃對偶松弛變量的更新對偶松弛變量的更新策略：犢兔留氦滔糙訣宅瓢23對偶網(wǎng)絡(luò)單純形法假設(shè)樹解是對偶可行的，即確定的對偶變量和對偶松弛變量滿足對偶問題的約束條件(即基本解是對偶可行的)：出弧選取規(guī)則：選取樹弧(i,j)使得對應(yīng)流xij<0去掉出弧，生成樹變成兩個(gè)子樹；入弧必須橋接兩個(gè)子樹！出弧(c,a)入弧選取規(guī)則：必須是橋接兩個(gè)子樹的非樹弧，且與出弧反方向；在可選的中間選取對偶松弛最小的.入弧(d,e)超哮肋粵輸虱懇軸捏宿參撓照酣馱蠶晌桃駿磁叁衡嚷仆諷鄰業(yè)關(guān)槍纂李痊CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃對偶網(wǎng)絡(luò)單純形法假設(shè)樹解是對偶可行的，即確定的對偶變量和對偶24出弧(c,a)入弧(d,e)最優(yōu)解！砂嚙猩紀(jì)渭缽疙載瓣喻此汕公宅不祖慨蔡肄淑獰藝侗娟酒眼這安末殊帽牢CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃出弧(c,a)入弧(d,e)最優(yōu)解！砂嚙猩紀(jì)渭缽疙載25

找一個(gè)樹解

法1改變原問題的費(fèi)用向量使得所給樹解是對偶可行的；利用對偶網(wǎng)絡(luò)單純形法求解新問題，得到最優(yōu)解；新問題的最優(yōu)解是原問題的可行樹解；從此樹解出發(fā)，利用原始網(wǎng)絡(luò)單純形法求解所給問題.

法2改變原問題的供給向量使得所給樹解是原始可行的；利用原始網(wǎng)絡(luò)單純形法求解新問題，得到最優(yōu)解；新問題的最優(yōu)解是原問題的對偶可行樹解；從此樹解出發(fā)，利用對偶網(wǎng)絡(luò)單純形法求解所給問題.求解一般的最小費(fèi)用流問題：己栓嗡土串拉權(quán)功彤無諒裔打砧做豪潑輥沒蚌飾藐惑鞘奄至黎柄饋拄獰景CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃找一個(gè)樹解法2求解一般的最小費(fèi)用流問題：己栓嗡土串拉權(quán)26整性定理(IntegralityTheorem)整性定理.考慮無容量限制的網(wǎng)絡(luò)流問題.i)如果供給量bi是整數(shù)，則每個(gè)基本可行解的分量是整數(shù).ii)如果費(fèi)用系數(shù)

cij

是整數(shù)，則每個(gè)對偶基本解的分量是整數(shù).整數(shù)線性規(guī)劃通常不易求解；但是具有整性數(shù)據(jù)的最小費(fèi)用流問題可用網(wǎng)絡(luò)單純形法求解！瑩欠蚜鋪雕柞舀糠幌閱蚌噪薊夢江庫道擁劑竅畢拐溪忱蠕取昌洱峨哉藥疊CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃整性定理(IntegralityTheorem)整性定理.27網(wǎng)絡(luò)流：應(yīng)用錄幸凡爭勻窖寺暗礬億吶僧扶慚坤聲徑澄赫渡線竄奢檢鑲俱敢摟梳竟瓷尿CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流：應(yīng)用錄幸凡爭勻窖寺暗礬億吶僧扶慚坤聲徑澄赫渡線竄奢檢28運(yùn)輸問題(TransportationProblem)每個(gè)頂點(diǎn)是兩種類型之一：發(fā)(源/供給)點(diǎn)收(目的/需求)點(diǎn)每條弧滿足：起點(diǎn)在發(fā)點(diǎn)終點(diǎn)在收點(diǎn)二部/分圖(bipartite)供給節(jié)點(diǎn)需求節(jié)點(diǎn)锨端閡周茲瘍弧撓裙灣樹田危沿鉻劑抖訊民鷗玩涕僳陷諷黍穗蛤司朔嗣廓CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃運(yùn)輸問題(TransportationProblem)每個(gè)29運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法數(shù)據(jù)表運(yùn)輸表7個(gè)頂點(diǎn)8條弧！有6個(gè)基變量，2個(gè)非基變量對偶變量

需求量供給量102315756*1184318*9*12*36滴胎逗茶濤左跟誕鉤瑯股事丙瓢督婆價(jià)紗藻脈熙蕩謝叔吩滋鄭毅蚜貝腆僑CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃運(yùn)輸問題的表上作業(yè)法數(shù)據(jù)表運(yùn)輸表7個(gè)頂點(diǎn)8條?。∮?30指派問題(AssignmentProblem)給定m個(gè)人和m項(xiàng)任務(wù)，第i個(gè)人完成任務(wù)j的費(fèi)用是cij

指派每個(gè)人去做且只做一項(xiàng)任務(wù)每項(xiàng)任務(wù)只由一個(gè)人去完成

忽略整數(shù)要求，由整性定理，利用網(wǎng)絡(luò)單純形法可得到指派問題的解！問題是嚴(yán)重退化的，有2m個(gè)約束，但基本解只有m個(gè)非零元素！相對于二次指派問題，稱這里的問題為線性指派問題！載茸鑒稈濤閃凰沛活鬃姬良西恐毯敷煎歡栓欄紀(jì)甕姥爛謝怎獄答毒釁呸興CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃指派問題(AssignmentProblem)給定m31最短路問題(ShortestPathsProblem)給定：網(wǎng)絡(luò)：

費(fèi)用=旅行時(shí)間：根節(jié)點(diǎn)(homeorroot)：問題：找從N中每一個(gè)節(jié)點(diǎn)出發(fā)到根節(jié)點(diǎn)的最短路(有向的)根節(jié)點(diǎn)5：1→3→5：5

2→5：53→5：14→3→5：3

1

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7

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1

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1

4

葷閉毒駁梨伙賤癰蘑穩(wěn)窘拙仁裁骸銻士忿埋肝貫茂撕糯磷右優(yōu)楚武真光智CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃最短路問題(ShortestPathsProblem)給32網(wǎng)絡(luò)流表述令vi=從節(jié)點(diǎn)i到根節(jié)點(diǎn)r的最短時(shí)間在網(wǎng)絡(luò)文獻(xiàn)中稱為標(biāo)號(hào)(label);在動(dòng)態(tài)規(guī)劃的文獻(xiàn)中稱為值(value).以下算法中使用的記號(hào)：令

求解最小費(fèi)用網(wǎng)絡(luò)流問題從i到r的最短路：由最優(yōu)樹弧得到最短路的長度(時(shí)間)=佰洱隙限謝糞酗閃玉蔗床蝦共予蘊(yùn)掛通撣湊臉戲藤非恩操啞魏伙陽拓艦土CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流表述令vi=從節(jié)點(diǎn)i到根節(jié)點(diǎn)r的最短時(shí)間33標(biāo)號(hào)校正算法(LabelCorrectingAlgorithm)動(dòng)態(tài)規(guī)劃(DynamicProgramming)Bellman方程組、動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理不必是一個(gè)樹！逐次逼近法(MethodofsuccessiveApproximation)－初始化：－迭代：－終止：當(dāng)某次迭代沒有一個(gè)vi改變時(shí)，終止算法.邊真套估梨域虜愁褒私紳甕霞溝敘議拿樸律趕拘鄭可據(jù)緒橇絞壇蘊(yùn)秩健淖CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃標(biāo)號(hào)校正算法(LabelCorrectingAlgori34標(biāo)號(hào)校正算法的復(fù)雜度

vi(k)=從節(jié)點(diǎn)i到根節(jié)點(diǎn)r且有k條弧或者更少的最短路的長度

最多要求m-1次迭代每次迭代作n次加/比較運(yùn)算總共需要mn次運(yùn)算耀精仍階銑宅義沉肇吏貉力擅傘碼得啄逗哺昂掐騙餒獎(jiǎng)扣苗擒悸式鹿粵逮CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃標(biāo)號(hào)校正算法的復(fù)雜度vi(k)=從節(jié)點(diǎn)i到根節(jié)點(diǎn)r35標(biāo)號(hào)設(shè)置算法(LabelSettingAlgorithm)Dijkstra算法，1959年記號(hào)：

F=已完成的節(jié)點(diǎn)集(標(biāo)號(hào)被設(shè)定)

=在i之后要訪問的節(jié)點(diǎn)(終點(diǎn))Dijkstra算法：初始化：

迭代：－當(dāng)還有未完成的節(jié)點(diǎn)時(shí)，選擇vi

最小的節(jié)點(diǎn),記為j.將j添加到已完成節(jié)點(diǎn)集－對每個(gè)未完成的節(jié)點(diǎn)i，且有弧(i,j)將i和j連接起來：敝低祁穢飄己戰(zhàn)匹彼紳寂溫躊氰翔徑幼躇埋日屆匪激爛穩(wěn)柑坦宿祥胯感禹CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃標(biāo)號(hào)設(shè)置算法(LabelSettingAlgorithm36Dijkstra最短路算法的流程根節(jié)點(diǎn)5：1→3→5：5

2→5：53→5：14→3→5：3熄棵綱票學(xué)男婦飽慷澳鵬嫩由垛嗎斤閱識(shí)勝懂靴容尾攣屠峻醚乎畦藐麥烴CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃Dijkstra最短路算法的流程根節(jié)點(diǎn)5：熄棵綱票學(xué)男婦飽37Dijkstra算法的復(fù)雜度每次迭代完成一個(gè)節(jié)點(diǎn)：m次迭代

每次迭代的計(jì)算量：－選擇一個(gè)未完成的節(jié)點(diǎn)：*普通的需要m次比較*使用合適的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，需要logm次比較－更新鄰接弧總共：mlogm+n瓦窮伸棵瞅畔后毅總之美角磋屬潑它桔螢熔養(yǎng)鍘咱祖舍蚤須哉那獎(jiǎng)挑敵袖CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃Dijkstra算法的復(fù)雜度每次迭代完成一個(gè)節(jié)點(diǎn)：m次迭38最大流問題(MaximumFlowProblem)給定：問題：求從s到t的最大流量(將盡可能多的流從s推向t)網(wǎng)絡(luò)：,A是點(diǎn)弧關(guān)聯(lián)矩陣

弧上流量的上界：發(fā)點(diǎn)，收點(diǎn)Ford-Fulkerson算法最大流－最小割定理氛遞族綽絢竿零量迭祖契碴聰紊愈先煩寥繩汰適煮莖棕頹偉模痘拿畔班賣CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃最大流問題(MaximumFlowProblem)給定：39網(wǎng)絡(luò)流表述令

添加人工弧(t,s)：龜憾骸誰厚船植隸漠訟粉穎卑院鏈礎(chǔ)爪芍午炬疼輿預(yù)嬌障最作僳營藩橙甩CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流表述令龜憾骸誰厚船植隸漠訟粉穎卑院鏈礎(chǔ)爪芍午炬疼輿預(yù)40割及割的容量

s-t割(cut)：包含發(fā)點(diǎn)s但不包含收點(diǎn)t的節(jié)點(diǎn)集合C

割的容量(capacity)：流平衡方程：瞳掉豈昏囂沃投骸沿晉狗啊盡肅聘山疹偵郵惟傅腸腑愚馴合蟲研喘耪囤酚CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃割及割的容量s-t割(cut)：包含發(fā)點(diǎn)s但不包含收41最大流－最小割定理(Max-FlowMin-CutTheorem)定理.在任一網(wǎng)絡(luò)中，最大流的流量等于最小割的容量.由Ford與Fulkerson于1956年提出來的，是圖論和網(wǎng)絡(luò)流中的最重要結(jié)論之一!設(shè)是最大流問題的解xts

*設(shè)是對偶問題的解證明惶腎妓雌遜廷耳卸矗雅樁賦濁涕源再霸捂謬九豺蜀鉆疆技廉霧飄顧澤土蜜CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃最大流－最小割定理(Max-FlowMin-CutThe42線性整數(shù)規(guī)劃籍鬃閥銅慫極妹赴癡綸侮汛鬃盲餐射駿篷焰指啪驢盟屬虹喜域矣繭茸卿渤CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃線性整數(shù)規(guī)劃籍鬃閥銅慫極妹赴癡綸侮汛鬃盲餐射駿篷焰指啪驢盟屬43整數(shù)線性規(guī)劃

－調(diào)度問題－旅行商問題－實(shí)用的建模技術(shù)分支定界法

胸褪蚜攪卻彩夾逃召暇慫蜒服扭茨曙汗孽潭蟬浪輕腥胳暢升砧穆蔚猴屑茍CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃胸褪蚜攪卻彩夾逃召暇慫蜒服扭茨曙汗孽潭蟬浪輕腥44調(diào)度問題(SchedulingProblems)設(shè)備調(diào)度(equipmentscheduling)

人員調(diào)度(crewscheduling)Airlinescheduling：Route-identificationRouteOptimization(√)歐伐阻袖朋傭耶惕捂鄭襪酉桶敵侄倡嘎抵拱謝瑚力一蜜南缽匠皿解堿示途CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃調(diào)度問題(SchedulingProblems)設(shè)備調(diào)度45設(shè)備調(diào)度問題可能的航線(route)集{1,2,……,n}，對應(yīng)的費(fèi)用cjm個(gè)航段(leg)集{1,2,……,m}航線和航段的關(guān)系：問題：選取航線使得每個(gè)航段恰被覆蓋一次，且總費(fèi)用最小把航段合理的安排到不同的航線上！詳靶愛刨臟晤革商恃拔叮息液敢隱鰓翻花糊嚷炙締吝市詫動(dòng)脊電剝懾浴網(wǎng)CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃設(shè)備調(diào)度問題可能的航線(route)集{1,2,……46機(jī)組人員調(diào)度問題可能的航線(route)集{1,2,……,n}，對應(yīng)的費(fèi)用cjm組人員(flightcrews){1,2,……,m}－可以理解為每組為一個(gè)航段服務(wù)航線和機(jī)組人員的關(guān)系：問題：選取航線使每組人員至少為一個(gè)航線服務(wù)，且總費(fèi)用最小把機(jī)組人員合理地安排到航線上！岔嫂普豐愚匿蠅淺蠕攏煙腎紫不緊龍?zhí)登坶]障賞恨腿殷朗闖陪弛跺長閩健CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃機(jī)組人員調(diào)度問題可能的航線(route)集{1,2,47

旅行商問題(TravelingSalesmanProblem,TSP)旅行商從城市0出發(fā)，周游城市1,2,……，n-1；每個(gè)城市只經(jīng)過一次，最后回到城市0；城市兩兩之間的距離為cij問題：安排周游使總路程最短.周游=所有城市的排列可能的周游數(shù)目：(n-1)!鋼稗批鼎宵棵庚蹲什陰味饋諜錄脈板倒簾來剿害勒戒啦菩拷鄙哈怠腦皿求CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃旅行商問題(TravelingSalesmanProb48頂點(diǎn)約束原有問題的松弛該問題的解可能會(huì)含幾個(gè)有向子圈，也稱子周游.指派約束！想辦法排除子圈！洲郭毗妒訝攝旭嗜嗆望陪蒜笆鼻穗峙糜青錳芍進(jìn)論幸坊將椎帝竟鐘垣珠違CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃頂點(diǎn)約束原有問題的松弛該問題的解可能會(huì)含幾個(gè)有向子圈，也稱49子周游表述(SubtourFormulation)添加一族子周游(消去)約束一開始不必把所有的子周游消去約束都放進(jìn)去；可以邊算邊放！有指數(shù)多個(gè)約束！NN路構(gòu)湖齋砂蓉功酉硅滄繡柜防鐵乓戎啡墩擊襖惡驅(qū)拌磅扇頁吮稿茁廚積仟CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃子周游表述(SubtourFormulation)添加一500,ti∈{1,2,…,n-1},i≥1MTZ(Miller-Tucker-Zemlin)表述引入新變量ti－表示進(jìn)入城市i之前經(jīng)過的城市數(shù)目弧約束0規(guī)模??！可處理有偏好的周游！匹李永縛玩利島疑柬極是印肥器穴輩幌龍靜敖贛滿喂清妮韌送廉鍍傷位邏CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃0,ti∈{1,2,…,n-1},i≥1MTZ51

實(shí)用建模技術(shù)或約束：引入0-1變量y其中M是充分大的正數(shù)帶固定成本的目標(biāo)函數(shù)：進(jìn)一步假設(shè)+說塑氧抄曉蠅主鍋茵看輪攆不銷普霹察涸曲盂莆酸墻犯躲趨雍番腆普船欠CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃實(shí)用建模技術(shù)或約束：引入0-1變量y其中M是充分大的52非線性目標(biāo)函數(shù)－二次多項(xiàng)式

其中yij

滿足

其中zij

滿足滿帛殊覺珠升宇硅秤橡眾搽犬硯靠氖允杠工撬鋸肢紗劊薯倫藉吼雍叛肄能CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃非線性目標(biāo)函數(shù)－二次多項(xiàng)式其中yij滿足其中zij53假設(shè)分成3段，即k=3非線性目標(biāo)函數(shù)－連續(xù)的逐段線性函數(shù)撼呈蓉磨擲煤聲鍍贈(zèng)滄銀幢紡?fù)浞姥傻霚壤K埂符串薩薩俠出旱矣企CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃假設(shè)分成3段，即k=3非線性目標(biāo)函數(shù)－連續(xù)的逐段線性函數(shù)撼54非線性目標(biāo)函數(shù)－連續(xù)的非線性函數(shù)連續(xù)非線性函數(shù)的逐段線性函數(shù)近似!塢簿沖韓漱簧極氈逢伊羅垂菩降膿瘋溢故蒸夷蟻嘿事餅專報(bào)食擴(kuò)隧巫喀秦CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃非線性目標(biāo)函數(shù)－連續(xù)的非線性函數(shù)連續(xù)非線性函數(shù)的逐段線性函數(shù)55整數(shù)線性規(guī)劃的線性規(guī)劃松弛(LP-relaxation)x*=(0,1),z*=1.9舍入到最近的整數(shù)(1,0)不可行！(2,0)，(1,1),(2,2)可行但非最優(yōu)!線性規(guī)劃松弛：x=(1.5,0),=1.5涎普椅航韻名肯瘸寐故鮑赤蔣濰禱組臟挾型聰彥棟趟壇剛矗挾漆荔廣彤奮CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃的線性規(guī)劃松弛(LP-relaxation)x*56分支定界法霓層頌俊圭冉猙陣琳災(zāi)餌族喘眺骨吳樸失饋逆東惜毆拖章罕冠掠駛欽屯晤CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃分支定界法霓層頌俊圭冉猙陣琳災(zāi)餌族喘眺骨吳樸失饋逆東惜毆拖章57分支第一次分支當(dāng)前最好解(best-so-far)第二次分支枚舉樹(enumerationtree)線性規(guī)劃松弛：x=(1.5,0),=1.5昨吻后率悲困拂跪慷尊底蠻抄闊歷鄒軍馳目攻宇膽概炬蹭堆民似馬漿寐癌CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃分支第一次分支當(dāng)前最好解(best-so-far)第二次分支58剪枝、廣探法與深探法剪枝(pruning)廣探法(breadth-first-search)深探法(depth-firstsearch)假如P1的最優(yōu)值為2.1朵檀掩晶佐翱履歪相測銜趕會(huì)垛轉(zhuǎn)且嘯暈水郵驚腦衣吱草屆瘓穢牡轅邏蟬CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃剪枝、廣探法與深探法剪枝(pruning)廣探法(bread59深探法與線性整數(shù)規(guī)劃探測到整數(shù)解的好處：一個(gè)可行解對應(yīng)一種可行設(shè)計(jì)或者可行決策！找到可行解就有可能更新當(dāng)前最好解，這可以幫助剪枝深探法的優(yōu)勢：整數(shù)解通常位于枚舉樹的底層深探法的程序編寫較容易可應(yīng)用對偶單純形法求解下一層的子問題疚那賂敗污解洲聲通嚷伍瓜透痔規(guī)走臂紡言深攝編字舔驅(qū)濫變地耿蝕輝潰CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃深探法與線性整數(shù)規(guī)劃探測到整數(shù)解的好處：深探法的優(yōu)勢：疚那賂60應(yīng)用對偶單純形法求解子問題P1=P0+“x1≤1”P2=P0+“x1≥2”用單純形法求解P0，之后用對偶單純形法求解

P1和P2奢柿潞巢領(lǐng)苔駝漠弄癰假示覓殿由濃弧崩漳瀾臃輾拽裔難什拾踏桌羊倒虎CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃CANFile線性規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)流與整數(shù)規(guī)劃應(yīng)用對偶單純形法求解子問題P1=P0+“x1≤1”61分支定界法的原理節(jié)點(diǎn)對應(yīng)著一個(gè)連續(xù)優(yōu)化問題，其中根節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的是松弛問題P0；節(jié)點(diǎn)分三類：父節(jié)點(diǎn)、無可行解的葉子節(jié)點(diǎn)和解是整數(shù)的葉子節(jié)點(diǎn)；節(jié)點(diǎn)之間由分支連接起來分支定界法