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文檔簡介
例13
設(shè)函數(shù)
Q(
x,
y)
在
xOy
平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),
曲線積分與路徑無關(guān),
并且對任意t,
總有(
0,0)(
0,0)(
t
,1)
(1,t
)2
xydx
+
Q(
x,
y)dy=
2
xydx
+
Q(
x,
y)dy,
求Q(x,y).解
由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知
?Q
=
2
x,C(
y)dy,0?x于是
Q(
x,
y)
=
x
2
+
C
(
y),
其中
C
(
y)
為待定函數(shù).2
xydx
+
Q(
x,
y)dy(
t
,1)(
0,0)1=
t
2
+
=1(t
2
+
C
(
y))dy0解
由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知
?Q
=
2
x,C(
y)dy,0?x于是
Q(
x,
y)
=
x
2
+
C
(
y),
其中
C
(
y)
為待定函數(shù).(
t
,1)(
0,0)2
xydx
+
Q(
x,
y)dy1=
t
2
+
解
由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知
?Q
=
2
x,兩邊對t
求導(dǎo),得?x于是
Q(
x,
y)
=
x
2
+
C(
y),
其中
C(
y)
為待定函數(shù).(
t
,1)
1(
0,0)(1,t
)02C(
y)dy,2
xydx
+
Q(
x,
y)dy
=
t
+(
0,0)C(
y)dy,0=
t
+2
xydx
+
Q(
x,
y)dy
=t由題意可知102t
+C(
y)dy
=
t
+t0(1
+
C(
y))dyC(
y)dy.0t解
由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知
?Q
=
2
x,兩邊對t
求導(dǎo),得?x于是
Q(
x,
y)
=
x2
+
C(
y),
其中
C(
y)
為待定函數(shù).(
t
,1)
1(
0,0)(1,t
)02C(
y)dy,2
xydx
+
Q(
x,
y)dy
=
t
+2
xydx
+
Q(
x,
y)dy(
0,0)C(
y)dy,0=
t
+t由題意可知102t
+C(
y)dy
=
t
+C(
y)dy.0t解
由曲線積分與路徑無關(guān)的條件知
?Q
=
2
x,?x于是
Q(
x,
y)
=
x2
+
C(
y),
其中
C(
y)
為待定函數(shù).(
t
,1)
102C(
y)dy,2
xydx
+
Q(
x,
y)dy
=
t
+2
xydx(
0,0)(1,t
)(
0,0)C(
y)dy,0t由題意可知102C(
y)dyt
++
Q(
x,
y)dy
=
t
+=
t
+兩邊對
t
求導(dǎo),
得C(
y)dy.0t或2t
=
1
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