空間曲線的切線與空間曲面的切平面

第六節(jié)空間曲線的切線與空間曲面的切平面一、空間曲線的切線與法平面'X=x(t)設(shè)空間的曲線C由參數(shù)方程的形式給出：{y=y(t),tG(a,p).z=z(t)設(shè)t,tG(a,p)，A(X(t),y(t),z(t)、B(x(t),y(t),z(t))為曲線上兩點(diǎn)，A，B的連線AB01 0 0 0 1 1 1稱為曲線C的割線，當(dāng)B—A時(shí)，若AB趨于一條直線，則此直線稱為曲線C在點(diǎn)A的切線.如果x=x(t),y=y(t),z=z(t)對(duì)于t的導(dǎo)數(shù)都連續(xù)且不全為零(即空間的曲線C為光滑曲線)，則曲線在點(diǎn)A切線是存在的.因?yàn)楦罹€的方程為也可以寫(xiě)為TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)B—A時(shí)，t-t,割線的方向向量的極限為(xf(t),yf(t),zf(t)},此即為切線的方向向量，0 0 0 0所以切線方程為X_x(t0)=y-y(t0)=z-z(t0)x'(t) y(T) /(t).0 0 0過(guò)點(diǎn)A(x(t),y(t),z(t)且與切線垂直的平面稱為空間的曲線C在點(diǎn)A(x(t),y(t),z(t)的法0 0 0 0 0 0平面，法平面方程為如果空間的曲線C由方程為且y(x),z'(x)存在，則曲線在點(diǎn)A(x,y(x),z(x)的切線是0 0 0 0 0法平面方程為如果空間的曲線C表示為空間兩曲面的交，由方程組確定時(shí)，假設(shè)在A(x,y,z)有J=馬竺) 。0,在A(x,y,z)某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組存在定000 d(y,z) 000A理?xiàng)l件，則由方程組C"y,z)=0'在點(diǎn)A(x,y,z)附近能確定隱函數(shù)[G(x,y,z)=0 000有y0=y(x°),z0=z(%),于是空間的曲線C在dy_16(F,G)dz_18(F,G)

=有y0=y(x°),z0=z(%),于是空間的曲線C在點(diǎn)A(x,y,z)的切線是0 0 0即類似地，如果在點(diǎn)A類似地，如果在點(diǎn)A(x,y,z)有a\FG)000 8(x,y)A。0或8F,G)。0時(shí)，我們得到的切線方程和法平8(z,x)A

面方程有相同形式。所以，當(dāng)向量時(shí)，空間的曲線C在A(x,y,z)的切線的方向向量為r0 0 0例求曲線X例求曲線X=acos0,y=asin0,z=b0在點(diǎn)Qa,0,b兀)處的切線方程.解當(dāng)0=丸時(shí)，曲線過(guò)點(diǎn)Ga,0,b兀)，曲線在此點(diǎn)的切線方向向量為blLasin0,acos0,bbl0=1所以曲線的切線方程為XxQ0)=y-y(l0)=z-z(t。)

0 -abx+a_y_z—b兀即 0 -ab.二、空間曲面的切平面與法線設(shè)曲面s的一般方程為取P(x,y,z)為曲面S上一點(diǎn)，設(shè)F(x,y,z)在P(x,y,z)的某鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 0 0 0 0 0且F2(x,y,z)+F2(x,y,z)+F2(x,y,z)豐0。設(shè)c為曲面S上過(guò)P(x,y,z)的任意一x0 0 0y0 0 0z0 0 0 0 0 0 0條光滑曲線：設(shè)x=x(t),y=y(t),z=z(t)，我們有0 0 0 0 0 0上式對(duì)t在t=10求導(dǎo)得到因此，曲面s上過(guò)P(x0,y0,z0)的任意一條光滑曲線c在P(x0,y0,z0)點(diǎn)的切線都和向量垂直，于是這些切線都在一個(gè)平面上，記為a，平面a就稱為曲面S在P(x0,y0,z0)的切平面，向量r稱為法向量。S在P(x,y,z)的切平面方程是I71I-4/7'I717I-"―*,°、°XI■i/7I—*—*/-過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0,z0)且與切平面a垂直的直線稱為曲面s在P(x0,y0,z0)點(diǎn)法線，它的方程為設(shè)曲面S的方程為若F(x,y,z)在S有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)且F2(x,y,z)+F2(x,y,z)+F2(x,y,z)豐0，則稱Sx0 0 0y0 0 0z0 0 0是光滑曲面。由上面討論可以知道光滑曲面有切平面和法線。若曲面S的方程的表示形式為z=f(x,y)，這時(shí)，容易得到s在P0(x0,y0,z0)的切平面方程為法線方程為我們知道，函數(shù)乙=f3,y)在點(diǎn)(％,^0)可微，則由Taylor公式知f(x,y)-f(x,y)=f(x,y)(x-x)+f(x,y)(y-y)+0(\.'(x-x)2+(y-y)2)也0 0x0 0 0y0 0 0Y 0 0就是說(shuō)，函數(shù)乙=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)附近可以用S在P(x0,y0,z°)的切平面近似代替，誤差為.；(x-x0)2+(y-y0)2的高階無(wú)窮小。若曲面S的方程表示為參數(shù)形式設(shè)x=x(u,V),y=y(u,v),z=z(u,v)，P(x,y,z)為曲面上一點(diǎn)。假設(shè)在P(x,y,z)0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0有J=竺￥。0，在P(x,y,z)某鄰域內(nèi)滿足隱函數(shù)組存在定理?xiàng)l件，則由方程組d(u,v) 0000P(x=x(u,v)，< , 、在點(diǎn)P(x,y,z)附近能確定隱函數(shù)(即x和y的逆映射)[y=y(u,v) 0000滿足u=u(x,y),v=v(x,y)于是，曲面S可以表示為0 0 0 0 0 0。由方程組]x=x(u,v),兩邊分別同時(shí)對(duì)x,y求偏導(dǎo)得到[y=y(u,v)故所以，S在P(x0,y0,z0)的切平面方程為法線方程為例求曲面z=y+lnx在點(diǎn)(1,1,1)的切平面和法線方程。z解曲面方程為F(x,y,z)=y+ln—-z=0，易得n={1,1,一2}z切面方程為即x+y—2z=0.法線方程為習(xí)題1.求曲線x=acosacost,y=asinacost,z=asint在點(diǎn)t=t°處的切線和法平面方程.求曲線Jx2+y2+z2=6在點(diǎn)(1,-2,1)處的切線和法平面方程.Ix+y+z=0求曲面z=arctan—在點(diǎn)(1,1,兀/4)的切平面和法線方程。x證明曲面xyz=a3(a>0)上任意一點(diǎn)的切平面與坐標(biāo)面形成的四面體體積為定值。證明曲面z=xf(—)上任意一點(diǎn)的切平面過(guò)一定點(diǎn)。x第七節(jié)極值和最值問(wèn)題一、無(wú)條件極值與一元函數(shù)極值類似，我們可以引入多元函數(shù)的極值概念。定義n元函數(shù)f(x,x,A,x)在點(diǎn)P(x0,xo,A,x0)的一個(gè)鄰域U(P)uRn內(nèi)有定TOC\o"1-5"\h\z1 2 n 0 1 2 n 0義。若對(duì)任何點(diǎn)P(x,x,A,x)GU(P)，有12 n 0f(P0)>f(P)或(f(P)<f(P))則稱n元函數(shù)f(x,x,A,x)在P(x0,x0,A,x0)取得極大(或極小)值，12 n 012 nP(x0,x0,A,x0)稱為函數(shù)f(x,x,A,x)的極大(或極小)值點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)012 n 12 n稱為極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。類似一元函數(shù)，我們稱使得n元函數(shù)f(%,%,A,x「的各個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)為駐點(diǎn)。我們有如下定理。定理若P(x0,x0,A,x0)為n元函數(shù)f(x,x,A,x)的極值點(diǎn)，且f(x,x,A,x)01 2 n 12 n 12 n在P(x0,x0,A,x0)的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則P(x0,x0,A,x0)為n元函數(shù)f(x,x,A,x)的

01 2 n 01 2 n 12 n駐點(diǎn)。證考慮一元函數(shù)4(x.)=f(x0,A,x.,A,xo)(i=1,2An)，則x,是^(x.)的極值點(diǎn)，F(xiàn)ermat馬定理告訴我們，可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是零，于是和一元函數(shù)類似，反過(guò)來(lái)，駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。而偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)也有可

能是極值點(diǎn)。判斷多元函數(shù)的極值點(diǎn)要比一元函數(shù)復(fù)雜的多，下面我們僅對(duì)二元函數(shù)不加證明給出一個(gè)判別定理。定理若P(X,y)為二元函數(shù)f3,y)的駐點(diǎn)，且f3y)在P(x,y)的一個(gè)鄰域0 0 0 0 0 0B=AC—B2，CU(PB=AC—B2，CQ=則當(dāng)Q>0時(shí)，若A>0，f(X,y)在P(x0,y0)取極小值；若A<0，f(x,y)在P0(x0,y0)取極大值；當(dāng)Q<0時(shí)，f(x,y)在P(X0,y0)不取極值；當(dāng)Q=0時(shí)，f(x,y)在P(x0,y0)可能取極值，也可能不取極值。例求函數(shù)乙.x2y3(6-x-y)的極值。解解方程組得駐點(diǎn)為P0(2,3)及直線x=0,y=0上的點(diǎn)。對(duì)P(2,3)點(diǎn)有A=-162,B=-108,C=-144,AC-B2>0，于是函數(shù)z在P(2,3)取積大值z(mì)(P0)=108。容易判斷，滿足條件卜=0 的點(diǎn)為函數(shù)z的極小值點(diǎn)，極小值為0；滿足[。<y<6條件的|x=0和|x=0的點(diǎn)為函數(shù)z的極大值點(diǎn)，極大值為0。[y<0 [y>6一、 最值問(wèn)題在社會(huì)生產(chǎn)各個(gè)領(lǐng)域我們都會(huì)遇上最值問(wèn)題，即如何用最小的成本獲取最大利益的問(wèn)題，這些問(wèn)題一般都可以歸結(jié)為求某一函數(shù)在某一范圍內(nèi)的最大值和最小值的問(wèn)題。我們稱使得函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)為函數(shù)的最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)，統(tǒng)稱為最值點(diǎn)；函數(shù)的最大值和最小值統(tǒng)稱為最值。1、一元函數(shù)設(shè)y=f3)是定義在閉區(qū)間［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，則/3)在［a,b］上一定有最大值和最小值。區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)a和b可能成為其最值點(diǎn)，而如果最值點(diǎn)在開(kāi)區(qū)間(a,b)取得的話，則一定是/(x)的極值點(diǎn)，即是/⑴的駐點(diǎn)或是使導(dǎo)數(shù)/'(x)不存在的點(diǎn)。假設(shè)/(x)的所有駐點(diǎn)是x1,x1,Ax1，使導(dǎo)數(shù)/'(x)不存在的點(diǎn)是x2,x2,Ax2，那么1 2k 1 2m例求拋物線y2=2x上與(1,4)最近的點(diǎn)。解設(shè)(x,y)是拋物線y2=2x上的點(diǎn)，則(x,y)與(1,4)的距離是考慮函數(shù)/(y)=d2，由f(y)=0，得到唯一駐點(diǎn)y=2，于是拋物線y2=2x上與(1,4)最近的點(diǎn)是(2,2)2、多元函數(shù)類似一元函數(shù)，n元函數(shù)/(x,x,A,x)的最值問(wèn)題就是求/(x,x,A,x)在某個(gè)1 2 n 1 2 n區(qū)域DURn上的最大值和最小值，我們只需求出/(x1,x2,A,xn)在D內(nèi)部的所有極值和邊界上最值，從中比較就可以選出/(氣,x2,A,xn)在D上的最值。例求平面x+2y+z=4與點(diǎn)(1,0,-2)的最短距離。解設(shè)(x,y,z)是平面x+2y+z=4上的點(diǎn)，則(x,y,z)與(1,0,-2)的距離是考慮函數(shù)/(x,y)=d2，由/'x=0,/y=0，得到唯一駐點(diǎn)(11/6,5/3)，于是平面x+2y+z=4與點(diǎn)(1,0,-2)的最短距離是d(11/6,5/3)=壬66三、條件極值問(wèn)題和Lagrange乘子法前面我們研究的極值和最值問(wèn)題都是直接給出一個(gè)目標(biāo)函數(shù)n元函數(shù)f31,七A,七)，然后求其極值或最值，是無(wú)條件極值問(wèn)題，但是，更多的極值和最值問(wèn)題是有約束條件的，即條件極值問(wèn)題。一般來(lái)說(shuō)，條件極值問(wèn)題是指：求目標(biāo)函數(shù)n元函數(shù)y=f(七,七,A,七)，G1(x1,x2,Ax)=0G(X,X,AX)0在一組約束條件J2f/ / ,(m<n)下的極值。AAG(x1,x2,Ax)—0我們可以嘗試對(duì)上面方程組用消元法解出m個(gè)變量，從而轉(zhuǎn)化為上一節(jié)的無(wú)條件極值問(wèn)題來(lái)解決，但是，消元法往往比較困難甚至是不可能的，所以，我們需要給出一種新的方法來(lái)求條件極值。下面我們介紹拉格朗日乘子法。我們以二元函數(shù)為例來(lái)說(shuō)明，即：求目標(biāo)函數(shù)z—f(x,y)在一個(gè)約束條件F(x,y)—0限制下的極值問(wèn)題。假設(shè)點(diǎn)奪、y°)為函數(shù)z-f(x，y)在條件F(x,y)-0下的極值點(diǎn)，且f(2)-0滿足隱函數(shù)存在定理的條件，確定隱函數(shù)y-g(x)，則x—x0是一元函數(shù)z=f(x,g(x))的極值點(diǎn)。于是由隱函數(shù)存在定理得到令里土-人，于是極值點(diǎn)P(x,y)需要滿足三個(gè)條件：F(x0,y0) 000因此，如果我們構(gòu)造拉格朗日函數(shù)其中，人稱為拉格朗日乘子，則上面三個(gè)條件就是也就是說(shuō)我們討論的條件極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拉格朗日函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題。用這種方法去求可能的極值點(diǎn)的方法，稱為拉格朗日乘子法。類似地，求目標(biāo)函數(shù)n元函數(shù)y=f(x1,x2,A,x「G3,x,Ax)=0 私 V1:a 在一組約束條件JG2(X1,x2,A氣)—°,(m<n)下的極值時(shí)，我們可以構(gòu)造相應(yīng)的拉格,AAG(氣,x2,Ax)=0朗日函數(shù)為于是，所求條件極值點(diǎn)滿足方程組例橫斷面為半圓形的圓柱形的張口浴盆，其表面積等于S，問(wèn)其尺寸怎樣時(shí)，此盆有最大的容積解設(shè)圓半徑為r，高為h，則表面積S=兀(r2+rh)(r>0,h>0)，容積V=-kr2h。2構(gòu)造拉格朗日函數(shù)解方程組得到r0=^S-,h0=2膏，這時(shí)匕=^2^-。由實(shí)際情況知道，V一定達(dá)到最大體積，因此，當(dāng)h0=2播=2r0時(shí)，體積最大。習(xí)題求函數(shù)z=x3+y3-3xy的極值。求函數(shù)z=x4+y4-x2-2xy-y2的極值。求橢圓4x2+y2=4上與(1,0)最遠(yuǎn)的點(diǎn)求平面x+y-z=1與點(diǎn)(2,1,-1)的最短距離。求曲面z2=xy+1上與(0,0,0)最近的點(diǎn)已知容積為V的開(kāi)頂長(zhǎng)方浴盆，問(wèn)其尺寸怎樣時(shí)，此盆有最小的表面積求用平面Ax+By+Cz=0與橢圓柱面三+苔=1相交所成橢圓的面積。第八節(jié)導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)意義邊際函數(shù)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)可導(dǎo)，則導(dǎo)函數(shù)f'(x)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱為邊際函數(shù)。在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，我們經(jīng)常用到邊際函數(shù)，例如：邊際成本函數(shù)、邊際收益函數(shù)、邊際利潤(rùn)函數(shù)等等，它們都是表示一種經(jīng)濟(jì)變量相對(duì)于另一種經(jīng)濟(jì)變量的變化率問(wèn)題，都反映了導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用。成本函數(shù)C(x)表示生產(chǎn)x個(gè)單位某種產(chǎn)品時(shí)的總成本。平均成本函數(shù)c(x)表示生產(chǎn)x個(gè)單位某種產(chǎn)品時(shí)，平均每個(gè)單位的成本，即c(x)=竺)。邊際成本函數(shù)是成本函x數(shù)C(x)相對(duì)于x的變化率，即C(x)的導(dǎo)函數(shù)O(x)。由微分近似計(jì)算公式我們知道令A(yù)x=1，我們有C'(x)-C(x+1)-C(x)，也就是說(shuō)，邊際成本函數(shù)C(x)可以近似表示已經(jīng)生產(chǎn)x個(gè)單位產(chǎn)品后再生產(chǎn)一個(gè)產(chǎn)品所需要的成本。在生產(chǎn)中，我們當(dāng)然希望平均成本函數(shù)c(x)取得極小值，這時(shí)，我們可以得到c(x)=0即則xC'(x)-C(x)=0，于是我們得到C(x)=c(x)。因此，平均成本函數(shù)c(x)取得極小值時(shí)，邊際成本函數(shù)和平均成本函數(shù)相等。這在經(jīng)濟(jì)學(xué)中是一個(gè)重要原則，就是說(shuō)在生產(chǎn)中，當(dāng)邊際成本函數(shù)低于平均成本函數(shù)時(shí)，我們應(yīng)該提高產(chǎn)量，以降低平均成本；當(dāng)邊際成本函數(shù)高于平均成本函數(shù)時(shí)，我們應(yīng)該減少產(chǎn)量，以降低平均成本。例設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn)X個(gè)單位時(shí)的成本為C3)=250+2X+0.1x2。求當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品100單位時(shí)的邊際成本和平均成本；當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為多少時(shí)平均成本最低。解(1)邊際成本函數(shù)和平均成本函數(shù)為于是，0(100)=22,c(100)=14.5(2)平均成本函數(shù)c(x)取得極小值時(shí)，邊際成本函數(shù)和平均成本函數(shù)相等，即因此，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為50時(shí)平均成本最低。類似邊際成本函數(shù)我們可以討論其它邊際函數(shù)。需求函數(shù)p(X)表示銷售X單位某種產(chǎn)品時(shí)的單個(gè)產(chǎn)品的價(jià)格。那么，p(x)是X的單調(diào)減少函數(shù)。收益函數(shù)是R(x)=Xp(x)，邊際收益函數(shù)是R(X)。利潤(rùn)函數(shù)是邊際利潤(rùn)函數(shù)是P'(X)。當(dāng)利潤(rùn)函數(shù)取極大值時(shí)，P'(X)=R'(x)-C'(x)=0，于是，R'(X)=C(X)，也就是說(shuō)取得最大利潤(rùn)的必要條件是邊際利潤(rùn)等于邊際成本。為了保證取得最大利潤(rùn)還需要下面條件即R”(x)<C”(x)。所以，當(dāng)R(x)=C(x)且R”(x)<C(x)時(shí)取得最大利潤(rùn)。例設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位時(shí)的成本為C(x)=27+1.28x-0.01X2+0.0003x3，需求函數(shù)p(x)=10.28-0.01X。當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量要達(dá)到多大時(shí)可以取得最大利潤(rùn)解收益函數(shù)是由R(x)=C(x)得到

我們得到X=100。容易驗(yàn)證對(duì)任意X>0有R⑴<C”⑴。所以，當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量達(dá)到100單位水平可以取得最大利潤(rùn)。彈性在經(jīng)濟(jì)學(xué)中我們常常用到彈性的概念，彈性也是一種變化率問(wèn)題，與導(dǎo)數(shù)概念密切相關(guān)。定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0可導(dǎo)則稱2^為函數(shù)y=f(定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X0可導(dǎo)Ax 0 0X0點(diǎn)間的彈性；稱=X在Ax-0時(shí)的極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。的彈性，記為竺Ex竺Ex或EXf(X°)X=X0如果y=f(x)在Xe(o,b)可導(dǎo)，相應(yīng)地，我們可以給出(a,b)上彈性函數(shù)的定義當(dāng)|x|很小時(shí)，我們有近似計(jì)算公式也就是說(shuō)，函數(shù)的彈性是函數(shù)的相對(duì)改變量與自變量相對(duì)改變量之比，上式表示當(dāng)x從X0產(chǎn)生1匕的改變時(shí)，y=f(x)改變￡f(%)匕需求函數(shù)Q=f(p)表示在價(jià)格為p時(shí)，產(chǎn)品的需求量為Q。需求函數(shù)Q=f(p)是單調(diào)減少函數(shù)，Q=f(p)的反函數(shù)也稱為需求函數(shù)，就是我們前面提到的需求函數(shù)P⑴。需求函數(shù)Q=f(p)對(duì)價(jià)格p的導(dǎo)數(shù)稱為邊際需求函數(shù)。需求函數(shù)Q=f(p)的彈性為由于Q=f(p)是單調(diào)減少函數(shù)，因此E<0。Ep收益函數(shù)R(p)=pQ=pf(p)，于是令e廣EL，我們有若Ed<1，則需求變動(dòng)幅度小于價(jià)格變動(dòng)幅度，稱為低彈性，這時(shí)，R'(p)〉0，R(p)是單調(diào)增加函數(shù)。也就是說(shuō)當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)收益增加，當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)收益減少。若Ed〉l，則需求變動(dòng)幅度大于價(jià)格變動(dòng)幅度，稱為高彈性，這時(shí)，R'(p)<0，R(p)是單調(diào)減少函數(shù)。也就是說(shuō)當(dāng)價(jià)格上漲時(shí)收益減少，當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)收益增加。若Ed=1，則需求變動(dòng)幅度和價(jià)格變動(dòng)幅度相同，稱為單位彈性，這時(shí)，R'(p)=0。也就是說(shuō)當(dāng)價(jià)格改變時(shí)，收益沒(méi)有變化。類似上面對(duì)需求彈性的研究，我們也可以討論供給彈性。供給函數(shù)Q=^(p)是指商品生產(chǎn)商的供給量Q與價(jià)格p之間的關(guān)系函數(shù)。Q二中(p)是單調(diào)增加函數(shù)。邊際供給函數(shù)是Q*(p)對(duì)價(jià)格p的導(dǎo)數(shù)，供給彈性函數(shù)是例設(shè)某種產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=100-5p，其中價(jià)格pe(0,20)。求需求函數(shù)Q的彈性絲；Ep用需求彈性說(shuō)明價(jià)格在什么范圍變化時(shí)，降低價(jià)格反而使收益增加。解(1)需求函數(shù)Q的彈性絲=——。Epp-20(2)容易得到當(dāng)10<p<20時(shí)，E廣譽(yù)〉1，這時(shí)，R'(p)<0，當(dāng)價(jià)格下跌時(shí)收益增加。二、其它應(yīng)用舉例導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中有很多應(yīng)用，下面舉一些例題說(shuō)明。首先，我們考慮連續(xù)復(fù)利率問(wèn)題。假設(shè)初始資金為A0，如果年利率為，，那么，t年后資金為A(t)=A°(1+r)t。通常情況下是一年多次計(jì)息，假設(shè)一年n次計(jì)息，那么我們這里是連續(xù)復(fù)利率計(jì)算問(wèn)題，令nT8得到于是，我們得到連續(xù)復(fù)利率計(jì)算公式A(t)=A。er。例某企業(yè)釀造了一批好酒，如果現(xiàn)在就出售，總收入為R。，如果貯藏起來(lái)，t年后出售，收入為R(t)=R0e+。如果銀行年利率為r，并且以連續(xù)復(fù)利率計(jì)算，問(wèn)貯藏多少年后出售可以使收入的現(xiàn)值最大。解由連續(xù)復(fù)利率計(jì)算公式，t年后的總收入R(t)的現(xiàn)值X(t)為由X'(t)=0得，t=上(年)。故貯藏上年出售，總收入的現(xiàn)值最大。25r2 25r2下面，我們?cè)倥e一個(gè)其它應(yīng)用題。例某企業(yè)生產(chǎn)某型號(hào)儀器，年產(chǎn)量A臺(tái)，分幾批生產(chǎn)，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為B元，假設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場(chǎng)，且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批，平均庫(kù)存量為批量的一半。設(shè)每年一臺(tái)儀器的庫(kù)存費(fèi)為C元。問(wèn)如何選擇批量，使一年中庫(kù)存費(fèi)與準(zhǔn)備費(fèi)之和最小。解設(shè)批量為x臺(tái)，則庫(kù)存費(fèi)為;C，每年生產(chǎn)的批數(shù)為A，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為Xb，于是總費(fèi)用為令f,(x)=0，得到x='：2AB。C因此，批量為x=J哽臺(tái)時(shí)，一年中庫(kù)存費(fèi)與準(zhǔn)備費(fèi)之和最小。C多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有非常廣泛的應(yīng)用。n元函數(shù)y=f（x,x,A,x）的偏導(dǎo)數(shù)f（x,xA,x）（i=1,2,A,n）稱為對(duì)x的邊際函數(shù)。我們可以類似一元函數(shù)dx 12n ii引入邊際成本函數(shù)、邊際收益函數(shù)、邊際利潤(rùn)函數(shù)等等。我們還可以類似一元函數(shù)引入函數(shù)的偏彈性概念。這里不再一一詳細(xì)敘述。下面我們舉幾個(gè)多元函數(shù)應(yīng)用題。例假設(shè)某企業(yè)在兩個(gè)相互分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的需求函數(shù)分別是其中p和p為售價(jià)，Q和Q為銷售量。總成本函數(shù)為1 2 1 2（1） 如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量和價(jià)格，使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)；（2） 如果該企業(yè)實(shí)行價(jià)格無(wú)差別策略，試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售量和統(tǒng)一的價(jià)格，使該企業(yè)總利潤(rùn)最大化；并比較兩種策略下的總利潤(rùn)大小。解（1）總利潤(rùn)函數(shù)是由得Q]=4,Q2=5，這時(shí)P]=10,p2=7。因?yàn)檫@是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，一定存在最大值，且駐點(diǎn)唯一，因此當(dāng)p1=10,p頊7時(shí)，取得最大利潤(rùn)（3） 若實(shí)行價(jià)格無(wú)差別策略，則p〔=p2，即有約束條件構(gòu)造拉格朗日函數(shù)由得Q=5,Q=4,X=2，這時(shí)p=p=8。最大利潤(rùn)因此，企業(yè)實(shí)行價(jià)格差別策略所得利潤(rùn)要大于實(shí)行價(jià)格無(wú)差別策略的利潤(rùn)。例假設(shè)某企業(yè)通過(guò)電視和報(bào)紙作廣告，已知銷售收入為其中X（萬(wàn)元）和y（萬(wàn)元）為電視廣告費(fèi)和報(bào)紙廣告費(fèi)。（1） 在廣告費(fèi)用不限的情況下求最佳廣告策略；（2） 如果廣告費(fèi)用限制為（萬(wàn)元），求相應(yīng)廣告策略。解（1）利潤(rùn)函數(shù)為由得到唯一駐點(diǎn)x=1.5,y=1。這時(shí)最大利潤(rùn)為P（1.5,1）=41（萬(wàn)元）（2）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)為由得到唯一駐點(diǎn)x=0,y=1.5。這時(shí)最大利潤(rùn)為P（0,1.5）=39（萬(wàn)元）習(xí)題設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位時(shí)的成本為C（x）=40000+300x+x2。求（1） 當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品1000單位時(shí)的邊際成本和平均成本；（2） 當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量為多少時(shí)平均成本最低。設(shè)某種產(chǎn)品生產(chǎn)x個(gè)單位時(shí)的成本為C（x）=1450+36x-x2+0.001x3,需求函數(shù)p（x）=60-0.01X。當(dāng)生產(chǎn)產(chǎn)品數(shù)量要達(dá)到多大時(shí)可以取得最大利潤(rùn)設(shè)某種產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=蕓，求p=6時(shí)的需求彈性；設(shè)某種產(chǎn)品的需求函數(shù)為Q=100-2p討論其彈性的變化。某產(chǎn)品的總收益函數(shù)和成本函數(shù)分別是廠商追求最大利潤(rùn)，政府對(duì)產(chǎn)品征稅，求：求產(chǎn)品產(chǎn)量和價(jià)格為多少時(shí)，廠商能取得稅前最大利潤(rùn)；征稅收益的最大值及此時(shí)的稅率；廠商納稅后的最大利潤(rùn)。假設(shè)某廠家在兩個(gè)相互分割的市場(chǎng)上出售同一種產(chǎn)品，兩個(gè)市場(chǎng)的需求函數(shù)分別是其中p和p為售價(jià)，Q和Q為銷售量。總成本函數(shù)為1 2 1 2試確定兩個(gè)市場(chǎng)上該產(chǎn)品的銷售價(jià)格，使該企業(yè)獲得最大利潤(rùn)。第九節(jié)曲率所謂曲率就是用來(lái)描述曲線的彎曲程度的.線有直線和非直線，如果一個(gè)人沿著直線行走，他不需要轉(zhuǎn)動(dòng)方向；但如果他沿著一條非直線行走時(shí)，他在每一點(diǎn)行進(jìn)的方向是曲線的切線方向.因而他在每一點(diǎn)行進(jìn)的方向大多是不一樣的.人移動(dòng)時(shí)，他要轉(zhuǎn)動(dòng)方向.當(dāng)曲線的彎曲程度大一點(diǎn)時(shí)，人走相同的距離目光的轉(zhuǎn)向要大一點(diǎn).在直線上轉(zhuǎn)向是沒(méi)有的.因而我們就用曲線上單位距離切線方向(即目光方向)的轉(zhuǎn)動(dòng)角度來(lái)刻畫(huà)曲線的彎曲程度.設(shè)光滑曲線方程為y=f(x)， xe(a,b)， x，xe(a,b)，PG，fG))，PG，fG))1 2 1 1 1 2 2 2是曲線上的兩點(diǎn).當(dāng)弧PP很小時(shí)，可以用PP的直線距離來(lái)近似.設(shè)曲線在點(diǎn)P,P12 12 1 2的切線與］軸正向的夾角分別是以，以+△以，則tan以=f'"anG+G=f僅)，所以以=arctan八」G+加)=arctanfr(x).I=仕廣氣*+(f?)一f這時(shí)有l(wèi)im怛是刻畫(huà)曲線在點(diǎn)x1的彎曲程度的，通常記為k.X2F21定義若函數(shù)y=f(x)具有兩階連續(xù)的