浙江省嘉興市桐鄉(xiāng)虎嘯中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析

浙江省嘉興市桐鄉(xiāng)虎嘯中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若某市8所中學(xué)參加中學(xué)生比賽的得分用莖葉圖表示（如圖）其中莖為十位數(shù)，葉為個(gè)位數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是(

)A．91

5.5 B．91

5 C．92

5.5 D．92

5參考答案：A【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】由莖葉圖得到這組數(shù)據(jù)為：87，88，90，91，92，93，93，94，由此能求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差．【解答】解：由莖葉圖得到這組數(shù)據(jù)為：87，88，90，91，92，93，93，94，∴這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：=（87+88+90+91+92+93+93+94）=91，這組數(shù)據(jù)的方差為：S2=[（87﹣91）2+（88﹣91）2+（90﹣91）2+（91﹣91）2+（92﹣91）2+（93﹣91）2+（93﹣91）2+（94﹣91）2]=5.5．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意莖葉圖性質(zhì)的合理運(yùn)用．2.已知函數(shù)=，若存在唯一的零點(diǎn)，且＞0，則的取值范圍為.（2，+∞）

.（-∞，-2）

.（1，+∞）

.（-∞，-1）參考答案：B（解1）由已知，，令，得或，當(dāng)時(shí)，；且，有小于零的零點(diǎn)，不符合題意。當(dāng)時(shí)，要使有唯一的零點(diǎn)且＞0，只需，即，．選B（解2）：由已知，=有唯一的正零點(diǎn)，等價(jià)于有唯一的正零根，令，則問題又等價(jià)于有唯一的正零根，即與有唯一的交點(diǎn)且交點(diǎn)在在y軸右側(cè)記，，由，，，，要使有唯一的正零根，只需，選B3.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則取得最小值時(shí)的集合為A.

B.C.

D.參考答案：B【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．B4

解析：由題意可知A=1，T=4×（）=π，∴ω==2，∵函數(shù)經(jīng)過（，0），∴0=2sin（+φ），∵|φ|＜，∴φ=，∴函數(shù)的解析式為：y=sin（2x）．故函數(shù)的解析式．y=f（x+）=sin（2x+）．x∈R．函數(shù)取得最小值時(shí)2x+=2k，k∈Z．解得x=kπ，k∈Z．故選：B．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的圖象，求出A，T，利用周期公式求出ω，結(jié)合函數(shù)圖象過（6，0）以及|φ|＜，求出?的值．得到函數(shù)的解析式．4.已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】根據(jù)幾何體的三視圖知該幾何體是等底同高的三棱錐與三棱柱的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即可求出它的體積．【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是等底同高的三棱錐與三棱柱的組合體，畫出直觀圖如圖所示；則幾何體的體積為V幾何體=V三棱柱+V三棱錐=××2+×××2=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體三視圖的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．5.（5分）已知i是虛數(shù)單位，若z（1+3i）=i，則z的虛部為（

）

A．B．﹣C．D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．?dāng)?shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】：把已知的等式變形，然后利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．解：由z（1+3i）=i，得，∴z的虛部為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．6.設(shè)數(shù)集同時(shí)滿足條件①中不含元素，②若，則.則下列結(jié)論正確的是(

)（A）集合中至多有2個(gè)元素；（B）集合中至多有3個(gè)元素；（C）集合中有且僅有4個(gè)元素；（D）集合中有無窮多個(gè)元素.參考答案：C略7.如圖所示，正方體的棱長為1,分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱、交于，設(shè)，，給出以下四個(gè)命題：①平面平面；②當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)，四邊形MENF的面積最??；③四邊形周長，是單調(diào)函數(shù)；④四棱錐的體積為常函數(shù)；以上命題中假命題的序號(hào)為（）A．①④

B．②

C．③

D．③④

參考答案：C略8.已知三棱錐P﹣ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，PA⊥面ABC，PA=2，則此三棱錐的外接球的表面積為（）A．π B．4π C．π D．16π參考答案：D【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】根據(jù)正弦定理得出截面圓的半徑為1，利用球的幾何性質(zhì)把空間轉(zhuǎn)化為平面為梯形PANO，利用平圖形的幾何性質(zhì)求解．【解答】解：根據(jù)題意得出圖形如下；O為球心，N為底面△ABC截面圓的圓心，ON⊥面ABC∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=，∴根據(jù)正弦定理得出：=2r，即r=1，∵PA⊥面ABC，∴PA∥ON，∵PA=2，AN=1，ON=d，∴OA=OP=R，∴根據(jù)等腰三角形得出：PAO中PA=2d=2，d=∵R2=12+（）=4，∴三棱錐的外接球的表面積為4πR2=16π故選：D9.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)存在零點(diǎn)的區(qū)間是

A．

B．

C．

D．參考答案：D略10.雙曲線的實(shí)軸長是虛軸長的2倍，則rn=

A．

B．

C．2

D．4參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（5分）（2015?濟(jì)寧一模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．參考答案：8【考點(diǎn)】：由三視圖求面積、體積．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的棱錐，求出底面面積和高，代入錐柱體積公式，可得答案．解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的棱錐，其底面面積S=×（2+4）×4=12，高h(yuǎn)=2，故棱錐的體積V=Sh=8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查的知識(shí)點(diǎn)由三視圖求體積和表面積，其中根據(jù)已知中的三視圖，判斷出幾何體的形狀，是解答的關(guān)鍵．12.曲線在點(diǎn)的切線方程是________________．參考答案：略13.設(shè)，其中，表示k與n的最大公約數(shù)，則的值為=__

.參考答案：

520；

14.已知

。參考答案：15.設(shè)圓的切線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，切線的方程為________________。參考答案：設(shè)A,B的坐標(biāo)為，則AB的直線方程為，即，因?yàn)橹本€和圓相切，所以圓心到直線的距離，整理得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，所以的最小值為，此時(shí)，即，此時(shí)切線方程為，即。16.（4分）（2015?楊浦區(qū)二模）對于自然數(shù)N*的每一個(gè)非空子集，我們定義“交替和”如下：把子集中的元素從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9﹣6+4﹣2+1=6；則集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的總和為．參考答案：7×26【考點(diǎn)】：集合的表示法；進(jìn)行簡單的合情推理．【專題】：新定義；集合．【分析】：根據(jù)“交替和”的定義：求出S2、S3、S4，并根據(jù)其結(jié)果猜測集合N={1，2，3，…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和Sn即可．解：由題意，S2表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的總和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S2=1+2+2﹣1=4；S3=1+2+3+（2﹣1）+（3﹣1）+（3﹣2）+（3﹣2+1）=12，S4=1+2+3+4+（2﹣1）+（3﹣1）+（4﹣1）+（3﹣2）+（4﹣2）+（4﹣3）+（3﹣2+1）+（4﹣2+1）+（4﹣3+1）+（4﹣3+2）+（4﹣3+2﹣1）=32，∴根據(jù)前4項(xiàng)猜測集合N={1，2，3，…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和Sn=n?2n﹣1，所以S7=7×27﹣1=7×26，故答案為：7×26．【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了歸納推理的能力．17.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線的傾斜角為________．參考答案：試題分析：由題意有，，則，則切線的傾斜角為.考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.斜率的幾何意義.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知曲線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線與曲線交于兩點(diǎn)，求的值.參考答案：（1）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），利用平方關(guān)系可得：，化為直角坐標(biāo)方程.利用互化公式可得：曲線的極坐標(biāo)方程為，即.曲線的極坐標(biāo)方程為，可得：，可得：曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）聯(lián)立，可得，設(shè)點(diǎn)的極角為，則，可得，，則，代入，可得：.，代入，可得：.可得：.19.（本小題滿分13分）福彩中心發(fā)行彩票的目的是為了獲取資金資助福利事業(yè),現(xiàn)在福彩中心準(zhǔn)備發(fā)行一種面值為5元的福利彩票刮刮卡，設(shè)計(jì)方案如下：（1）該福利彩票中獎(jiǎng)率為50%；（2）每張中獎(jiǎng)彩票的中獎(jiǎng)獎(jiǎng)金有5元，50元和150元三種；（3）顧客購買一張彩票獲得150元獎(jiǎng)金的概率為，獲得50元獎(jiǎng)金的概率為.(I)假設(shè)某顧客一次性花10元購買兩張彩票，求其至少有一張彩票中獎(jiǎng)的概率；（II）為了能夠籌得資金資助福利事業(yè),求的取值范圍.參考答案：解：（I）設(shè)至少一張中獎(jiǎng)為事件則

…4分

(II)設(shè)福彩中心賣出一張彩票可能獲得的資金為

則可以取

…6分

的分布列為

…8分所以的期望為

…11分

所以當(dāng)時(shí)，即

…12分

所以當(dāng)時(shí)，福彩中心可以獲取資金資助福利事業(yè)…13分20.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為．（1）若，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a．參考答案：（1），；（2）或．試題分析：（1）直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立解交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）利用橢圓參數(shù)方程，設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)到直線距離公式求參數(shù)．試題解析：（1）曲線的普通方程為.當(dāng)時(shí)，直線的普通方程為.由解得或.從而與交點(diǎn)坐標(biāo)為，.（2）直線的普通方程為，故上的點(diǎn)到的距離為.當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以；當(dāng)時(shí)，的最大值為.由題設(shè)得，所以.綜上，或.點(diǎn)睛:本題為選修內(nèi)容，先把直線與橢圓的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的參數(shù)方程，求橢圓上一點(diǎn)到一條直線的距離的最大值，直接利用點(diǎn)到直線的距離公式，表示出橢圓上的點(diǎn)到直線的距離，利用三角有界性確認(rèn)最值，進(jìn)而求得參數(shù)的值．21.（本題滿分12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和．（Ⅰ）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若不等式對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，∴；

………………2分

當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，又.∴數(shù)列是以2