2022年湖南省長沙市涌泉山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

2022年湖南省長沙市涌泉山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設(shè)，記，，，則，，的大小關(guān)系為（

）． A． B． C． D．參考答案：A解：令，則，，，，由圖可得．故選A．2.某三棱錐的側(cè)視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為

()A．4

B．8

C．12

D．24參考答案：A3.某班選派6人參加兩項公益活動，每項活動最多安排4人，則不同的安排方法有A．50種

B．70種

C．35種

D．55種參考答案：A略4.已知集合的值為

（

） A．1或－1或0

B．－1 C．1或－1 D．0參考答案：A因為,即m=0,或者,得到m的值為1或－1或0，選A5.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻．這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期．某中學(xué)擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期．記這5部專著分別為，其中產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時期．從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有共10種情況，所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的基本事件有，共9種情況，所以所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝時期專著的概率為．故選D．【點睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時，找準(zhǔn)基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本亊件的探求.在找基本事件個數(shù)時，一定要按順序逐個寫出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.6.數(shù)列{}，已知對任意正整數(shù)n，＋＋＋…＋＝2n－1，則＋＋＋…＋等于()A.(2n－1)2

B.(2n－1)

C.(4n－1)

D.4n－1參考答案：C略7.已知函數(shù)滿足對任意的實數(shù)，都有成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．參考答案：D試題分析：條件“對任意的實數(shù)，都有”說明函數(shù)是減函數(shù)，因此，解得．故選D．考點：函數(shù)的單調(diào)性．8.若a∈R，則“關(guān)于x的方程x2+ax+1=0無實根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限”的(

)A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件參考答案：B【考點】復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】一方面由a∈R，且“關(guān)于x的方程x2+ax+1=0無實根”，得到△=a2﹣4＜0，解得a的取值范圍，即可判斷出“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點是否位于第四象限”；另一方面，由“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限”，可得，解出a的取值范圍，即可判斷出△＜0是否成立即可．【解答】解：①∵a∈R，且“關(guān)于x的方程x2+ax+1=0無實根”，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2．∴﹣3＜2a﹣1＜3，﹣3＜a﹣1＜1，因此z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點不一定位于第四象限；②若“a∈R，z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限”正確，則，解得．∴△＜0，∴關(guān)于x的方程x2+ax+1=0無實根正確．綜上①②可知：若a∈R，則“關(guān)于x的方程x2+ax+1=0無實根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虛數(shù)單位）在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于第四象限”的必要非充分條件．故選B．【點評】熟練掌握實系數(shù)一元二次方程的是否有實數(shù)根與判別式△的關(guān)系、復(fù)數(shù)z位于第四象限的充要條件事件他的關(guān)鍵．9.如果函數(shù)的圖象如右圖，那么導(dǎo)函數(shù)的圖象可能是【

】參考答案：A10.在等差數(shù)列中，首項＝0，公差0，若，則＝A、22B、23C、24D、25參考答案：A由已知得，所以，故．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若f（a）是函數(shù)f（x）=x+（x＞0）的最小值，則a=．參考答案：【考點】7F：基本不等式．【分析】利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵x＞0，∴f（x）=x+≥2=1，當(dāng)且僅當(dāng)x=時取等號，∴a=．故答案為：．12.設(shè)x、y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=6x+3y的最大值是

.參考答案：5作出不等式組所表示的平面區(qū)域,如圖所示,由目標(biāo)函數(shù)z與直線在y軸上的截距之間的關(guān)系可知,當(dāng)直線過點A()時,目標(biāo)函數(shù)取得最大值5.點睛：本題是常規(guī)的線性規(guī)劃問題，線性規(guī)劃問題常出現(xiàn)的形式有：①直線型，轉(zhuǎn)化成斜截式比較截距，要注意前面的系數(shù)為負(fù)時，截距越大，值越??；②分式型，其幾何意義是已知點與未知點的斜率；③平方型，其幾何意義是距離，尤其要注意的是最終結(jié)果應(yīng)該是距離的平方；④絕對值型，轉(zhuǎn)化后其幾何意義是點到直線的距離.

13.已知雙曲線的一個焦點為，且漸近線方程為y=±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．參考答案：﹣=1【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，由雙曲線焦點的坐標(biāo)分析可得其焦點在x軸上，且c=2，可以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為：﹣=1，結(jié)合題意可得2+b2=20，①以及=，②，聯(lián)立兩個式解可得a2=16，b2=4，代入所設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程中即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，要求雙曲線的一個焦點為，則其焦點在x軸上，且c=2，可以設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為：﹣=1，又由c=2，則a2+b2=20，①其漸近線方程為y=±x，則有=，②聯(lián)立①、②可得：a2=16，b2=4，故要求雙曲線的方程為：﹣=1；故答案為：﹣=1．【點評】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的計算，可以用待定系數(shù)法分析．14.已知函數(shù)與的圖象有公共點，且點的橫坐標(biāo)為2，則_______.參考答案：15.已知平面向量，，若，則_______．參考答案：.試題分析：，，，考點：向量的模.16.已知P是拋物線y2=4x上的動點，過P作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M、N是圓（x﹣2）2+（y﹣5）2=1上的動點，則|PM|+|PN|的最小值是

．參考答案：﹣1考點：拋物線的簡單性質(zhì)．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：先根據(jù)拋物線方程求得焦點坐標(biāo)，根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的定義可知P到準(zhǔn)線的距離等于點P到焦點的距離，進而問題轉(zhuǎn)化為求點P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值，根據(jù)圖象可知當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點共線時P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小，為圓心到焦點F的距離減去圓的半徑．解答： 解：拋物線y2=4x的焦點為F（1，0），圓（x﹣2）2+（y﹣5）2=1的圓心為Q（2，5），根據(jù)拋物線的定義可知點P到準(zhǔn)線的距離等于點P到焦點的距離，進而推斷出當(dāng)P，Q，F(xiàn)三點共線時P到點N的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小為：﹣1=﹣1．故答案為：﹣1．點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想．17.已知空間四邊形ABCD中，AB=BD=AD=2，BC=1，，若平面ABD⊥平面BCD，則該幾何體的外接球表面積為．參考答案：【考點】LG：球的體積和表面積．【分析】△ABD和△BCD的形狀尋找截面圓心位置，從而得出球心位置．計算外接球的半徑即可得出面積．【解答】解：∵空間四邊形ABCD中，AB=BD=AD=2，∴△ABD是正三角形；又BC=1，，∴△BCD是直角三角形；取BD的中點M，連接CM，則AM⊥BD，又平面ABD⊥平面BCD，∴AM⊥平面BCD，∴棱錐外接球的球心為△ABD的中心，∵AM==，∴該四棱錐A﹣BCD的外接球的半徑為=，∴幾何體外接球的表面積S=4π（）2=．故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}、{bn}、{cn}，對于給定的正整數(shù)k，記，（）.若對任意的正整數(shù)n滿足：，且{cn}是等差數(shù)列，則稱數(shù)列{an}為“”

數(shù)列.（1）若數(shù)列{an}的前n項和為，證明：{an}為H(k)數(shù)列；（2）若數(shù)列{an}為數(shù)列，且，求數(shù)列{an}的通項公式；（3）若數(shù)列{an}為數(shù)列，證明：{an}是等差數(shù)列.參考答案：（1）當(dāng)時，……………2分

當(dāng)時，符合上式，則則對任意的正整數(shù)滿足，且是公差為4的等差數(shù)列，為數(shù)列.………4分（3）由數(shù)列為數(shù)列，則是等差數(shù)列，且

即……………6分則是常數(shù)列

……………9分驗證：，對任意正整數(shù)都成立

……………10分附：?

??-?得：

（3）由數(shù)列為數(shù)列可知：是等差數(shù)列，記公差為

則又

……………13分?jǐn)?shù)列為常數(shù)列，則由……………16分是等差數(shù)列.19.設(shè).（1）當(dāng)取到極值，求的值；（2）當(dāng)滿足什么條件時，在區(qū)間上有單調(diào)遞增的區(qū)間.參考答案：解：（1）由題意知且，由當(dāng)（2）要使即（i）當(dāng)（ii）當(dāng)，解得：（iii）當(dāng)此時只要解得：，綜上得：略20.（本小題滿分12分）某城市城鎮(zhèn)化改革過程中最近五年居民生活用水量逐年上升，下表是2011年至2015年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20112012201320142015居民生活用水量（萬噸）236246257276286（1）利用所給數(shù)據(jù)求年居民生活用水量與年份之間的回歸方程；（2）根據(jù)改革方案，預(yù)計在2020年底城鎮(zhèn)改革結(jié)束，到時候居民的生活用水量將趨于穩(wěn)定，預(yù)測該城市2023年的居民生活用水量.參考公式：，.參考答案：(1)；(2)萬噸.試題分析：(1)由公式先求出，再利用公式求出即可求回歸方程；(2)將代入所求回歸方程求出的值即可.試題解析：（1）解法一：容易算得：，，，故所求的回歸直線方程為解法二：由所給數(shù)據(jù)可以看出，年需求量與年份之間的是近似值直線上升，為此時數(shù)據(jù)預(yù)處理如下表：對預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，容易算得：，，，所求的回歸直線方程為，即.（2）根據(jù)題意，該城市2023年的居民生活用水量與該城市2020年的居民生活用水量相當(dāng)，當(dāng)時，滿足（1）中所求的回歸直線方程，此時（萬噸）考點：線性回歸方程及其應(yīng)用.21.已知函數(shù)f（x）=x2，g（x）=elnx．（Ⅰ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）﹣g（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m，對x∈R恒成立，且g（x）≤kx+m，對x∈（0，+∞）恒成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”，試問：f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；6K：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）在定義域內(nèi)解不等式F′（x）＞0，F(xiàn)′（x）＜0可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）由（I）可知，當(dāng)x=時，F(xiàn)（x）取得最小值F（）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共點（，）．假設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過點（，）．故設(shè)其方程為：y﹣=k（x﹣），由f（x）≥kx+﹣k對x∈R恒成立，可求得k=，則“分界線“的方程為：y=．只需在證明g（x）≤對x∈（0，+∞）恒成立即可；【解答】解：（I）由于函數(shù)f（x）=，g（x）=elnx，因此，F(xiàn)（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣elnx，則F′（x）=x﹣==，x∈（0，+∞），當(dāng)0＜x＜時，F(xiàn)′（x）＜0，∴F（x）在（0，）上是減函數(shù)；當(dāng)x＞時，F(xiàn)′（x）＞0，∴F（x）在（，+∞）上是增函數(shù)；因此，函數(shù)F（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，），單調(diào)增區(qū)間是（，+∞）．（II）由（I）可知，當(dāng)x=時，F(xiàn)（x）取得最小值F（）=0，則f（x）與g（x）的圖象在x=處有公共點（，）．假設(shè)f（x）與g（x）存在“分界線”，則其必過點（，）．故設(shè)其方程為：y﹣=k（x﹣），即y=kx+﹣k，由f（x）≥kx+﹣k對x∈R恒成立，則對x∈R恒成立，∴=4k2﹣8k+4e=e（k﹣）2≤0成立，因此k=，“分界線“的方程為：y=．下面證明g（x）≤對x∈（0，+∞）恒成立，設(shè)G（x）=elnx﹣x+，則G′（x）==，∴當(dāng)0＜x＜時，G′（x）＞0，當(dāng)x＞時，G′（x）＜0，當(dāng)x=時，G（x）取得最大值0，則g（x）≤x對x∈（0，+∞）恒成立，故所求“分界線“的方程為：y=．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值及恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，探究性題目往往先假設(shè)成立，再做一般性證明．22.（本小題滿分12分）圖4是自治區(qū)環(huán)境監(jiān)測網(wǎng)從8月21日至25日五天監(jiān)測到甲城市和乙城市的空氣質(zhì)量指數(shù)數(shù)據(jù)，用莖葉圖表示：(1)試根據(jù)圖4的統(tǒng)計數(shù)據(jù)和下面的附表，估計甲城市某一天空氣質(zhì)量等級為2

級良的概率；(2)分別從甲城市和乙城市的統(tǒng)計數(shù)據(jù)中任取一個，試求這兩個城市空氣質(zhì)量

等級相同的概率．附：國家環(huán)境標(biāo)準(zhǔn)制定的空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表：參考答案：【知識點】古典概型及其概率計算公式；莖葉圖．L4

【答案解析】（1）（2）解析：（1）根據(jù)上面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可得在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級為2級良的頻數(shù)為3，則在這五天中甲城市空氣質(zhì)量等級為2級良的頻率為．（3分）則估計甲城市某一天空氣質(zhì)量等級為2級良的概率為．（